200 BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ I
(Lũy thừa và logarit)
Mở rộng khái niệm luỹ thừa
1.Rút gọn các biểu thức sau:
a) b)
c) ( ) – 10 27 – 3 + (0,2) – 4 25 – 2 d)
c) (a – 4 – b – 4 ):(a – 2 – b – 2 ) d) (x 3 + y – 6 ):(x + )
e) – f)(x.a –1 – a.x –1 ) –
2.Tính các biểu thức sau:
11
a : a a a
1
3 a a 3 a : a e)4 x 2 3 x 5 x f) 5 3
b
a a
3 2
6
+ + +
h)
1 2
1 2
1
2 3 )
2 3 ( ) 2 3 ( 2 3
−
− + +
−
−
k) () – 0,75 + ( ) – 4/3 l) 4 3 + 2 2 1 − 2 2 − 4 − 2 m) ( 25 1 + 2 − 5 2 2 ) 5 − 1 − 2 2
3.Cho hai số a ,b > 0.Tính các biểu thức sau:
3 4
3
) a 3 a
2
1 5
2 5
4 5
2 5
2 5
−
− +
+
c) ( a − 4 a + 1 )( a + 4 a + 1 )( a − a + 1 )
d)
a 1
) a 1 )(
a 1 ( a
1 2
1 2
1
+
−
− + +
−
−
e)
) a a ( a
) a a ( a
4
1 4
3 4 1
3
2 3
1 3 4
−
−
+
+
f)
6 6 3
1 3
1
b a
a b b a
+ +
2 3
2 3
1 3 1
a
b b
a 2 : b a
1 1
2 2 2
2
4 3 3
4
) b a ( : ) b a ( a
) b a ( b ) b a ( b ab 2
a
a ab b
a
−
− +
+ +
+
+ + +
j)
ab 2 ) b
a
(
a ) ) b
a
(
1
(
2 2
1
2
1
2 2 +
−
k) . ( 1 + ) . (a + b + c) – 2
4.Cho biết 4 x + 4 – x = 23 ,hãy tính 2 x + 2 – x
5.Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 2
2 2
) ab ( : ) b a (
) b a ( 2 ) b a (
b
+
+ +
+
+
3 1
1
a a
2 2 )
a
1
(
2
a
−
−
−
−
e)
1 2 2 2
2 3 1
a : a
2 ) a
1
(
−
−
−
− +
+
g) [(a – 1 + b – 1 – )(a + b + 2c)]:[a – 2 + b – 2 + ]
−
−
+
−
−
+
1 1 b 1
) 1 b ( b a a
1 b
a
a
1
2 2
Trang 2i)
2 2 1 2
1
b a : a
b a
b
2
1
−
+
2
1 2 1 2
3 2 1
4
5 4 1 4
9 4 1
b b
b b a a
a a
−
−
+
−
−
−
−
5.Rút gọn các biểu thức sau:
1 3
1 3
1 3
1 3
1
+ +
2
1 2 1
2
1 2
1
y x
x y y x
−
−
b a
) b a )(
b a
(
2
1 2 1
4
3 4
3 4
3 4
3
−
−
+
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
3 2 3
a x
a x ) ax ( a x
a x
−
−
+
−
−
b a
b a b a a
b
4
1 4 1 2
1 2 1
4
1 2
1 4
+
−
− +
−
f) F =
2
2 1 2 1
1 2
1 2 1 1
a a
a 3 4 a a 3 a 2
a 9 a 4
−
+
− +
−
−
−
−
−
−
g) G =
+
−
− +
−
−
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
3 2 3
) b a ( b a : b a
b b
a
a b
a
b a
h) H =
+
−
−
−
−
+
−
2
1 2
1 2
1 2 1 2
3 2 3 1 2
1 2 1
b a
b a b a a
b a a
3
a b a 2
5 2 4 4 2 4 4
ab a
) b a ( ) b a (
+
− + +
j)J =
3
2 3 3
2 3
2 2
2 2 3 3
2 3 2 3
2 6 4 2 2 4 6 2
b ) a b ( a
b a 2 ) a b ( ) b b a 3 b a 3 a (
a
1
−
+
− +
−
−
− + + +
+
k) K = 2(a + b) – 1 ( )
1
2 2 1
ab 1
+ − ÷÷
với a.b > 0 6.Cho 2 số a = 4 + 10 + 2 5 và b = 4 − 10 + 2 5 Tính a + b
+
7.Cho 1≤ x ≤ 2 Chứng minh rằng: x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2
8.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
1 2 1 2 2
3 2
1 2
1
2
a a
a 1 a
2 a
a
a
a
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
b) :
c)
2
1 2 1 2
1 2 1
b a
b a : ab 2 b
a
b a
−
−
−
−
+
−
+
+
b a
b a b a
b
2
1 2 1 2
1 2 1
2
1 2 1 2
1 2
1
−
−
−
+
−
−
− +
Trang 3e) −
+
− +
−
−
1 a
1 a 1 a
1 a a
2
1
2
2 1 2
3 2 3
) b a ( ) ab (
1 b a
b a b a
b
− +
+ + +
g)
1
2
1 2 1 2
3
2
3
b a
b a ab b
a
b a b
a
b
−
+
+
−
−
−
+
h)
3
1 3 1 3
2 3 2
3
2 3
1 3
1 3
2 3
2 3
1
3
1
3
2
b a
b a b b a a
b a b
b
a
a
b
a
−
−
− + +
−
− +
−
+
9**.Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
1 2 1
1 2
1
2
1
1
a a
a 2 3 a a
2
a
a
4
a
−
−
−
−
+
+ + + +
−
b)
3
2 3 4
3
4 3
2 2
3
2 3 2
3
4 3
4
a a
a 2 a 2 3 a 3 a 2 a 5
a 4 a 25
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
c)
2
1 2 1
1 2
1
2
1
1
a 2 a
a 2 5 a 2 a
a
a
a
−
−
−
−
−
+
− + +
−
d)
2
1 2
1 1 2
1 2
1
1
a 3 a
a 9 a a
5 a
a 10 3 a
−
−
−
−
−
−
− +
− +
e)
2
1 2
1
1 2
1
2
1
1
a 3 a
a 15 2 a a
5
a
a
25
a
−
−
−
−
−
− + + +
−
f)
2
1 2
1
1 2
1 2
1
1
a 3 a
a 12 1 a a 4 a 3
a 16 a 9
−
−
−
−
+
−
− +
−
−
2 3
2 3
2
c b
a + >
11.Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng nếu c là cạnh lớn nhất thì :
4
3
4
3
4
3
c
b
a + >
12.Cho a ,b ≥ 0 và m ,n là hai số nguyên dương thoả m ≥ n Chứng minh rằng :
n
1 n n m
1 m
m b ) (a b ) a
13.Cho f(x) =
a)Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
b) Tính tổng S = f() + f() + …+ f() + f()
14.Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a) y = (x 2 – 4x + 3) – 2 b) y = (x 3 – 3x 2 + 2x) 1/4 c) y = (x 2 + x – 6) – 1/3
d) y = (x 3 – 8)π/3
15.So sánh các cặp số sau:
2
2
2
5
5
3
7
4
7
6
8
7
6
2
5
π f) 2
5
2
5
3
LOGARIT 1.Tính
24 16
3
1 27 3
2 8 32
a a a log e) log3(log28) 2.Tính
a) 2log83 b)49log72 c)253 log510 d)642 log27 e) 42+log23 f)103 log108
Trang 4g)((0,25)3 log25 h) log 7
1 5
log 1
6
8 49
4 log
2 3 9
1
3 Chứng minh rằng
5
1 3
1 log35
=
b
4.Rút gọn các biểu thức sau:
a)log 63 log336 b) log 38 log481 c) 3
25
2 log 2 5
1 log
d) e) lgtg1o + lgtg2o+ …+ lgtg89o
3
1 3
1 3
1 log 400 3 log 45
2
1
6
log
5.Cho log23 = a ; log25 = b Tính các số sau : log2 ,log2
3 135 , log2180 ,log337,5 ,log3, log1524 , log 1030
6.a)Cho log53 = a,tính log2515
b) Cho log96 = a , tính log1832
7.Cho lg2 = a , log27 = b,tính lg56
8.Cho log615 = a ,log1218 = b , tính log2524
9.Cho log257 = a ,log25 = b hãy tính log 3 5 498
10 Chứng minh rằng log186 + log26 = 2log186.log26
11.a)Cho lg5 = a ,lg3 = b tính log308
b) Cho log615 = a ,log1218 = b tính biểu thức A = log2524
c) Cho log45147 = a ,log2175 = b , tính biểu thức A = log4975
12 Cho log275 = a , log87 = b , log23 = c Tính log635 theo a,b,c
13.Cho log23 = a , log35 = b , log72 = c Tính log14063 theo a,b,c
14.Cho a2 + b2 = 7ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng : lg() = ( lga + lgb )
15.Cho a2 + 4b2 = 12ab a > 0, b > 0,chứng minh rằng: lg(a + 2b) – 2lg2 = ( lga + lgb ) 16.a)Cho x2 + 4y2 = 12xy x > 0,y > 0,
chứng minh rằng lg(x + 2y) – 2lg2 = (lgx + lgy)
b) Cho a,b > 0 thoả mãn 4a2 + 9b2 = 4ab và số c > 0, ≠ 1,chứng minh rằng :
logc = 17.Cho log1218 = a , log2454 = b ,chứng minh rằng ab + 5(a – b) = 1
18.Cho logaba = 2 , tính biểu thức A = logab
18 Chứng minh rằng :
a) alog c b = blog c a b) = 1 + logab
c) logad.logbd + logbd.logcd + logcd.logad =
19.Cho a,b,c,N > 0, ≠ 1 thoả mãn: b2 = ac Chứng minh rằng :
19.Cho 1 lg x
1
10
y = − , 1 lg y
1
10
z = − Chứng minh rằng : 1 lg z
1
10
20.So sánh các cặp số sau:
a) log43 và log56 b) log215 và log51 3 c) log54 và log45
d) log231 và log527 e) log59 và log311 f) log710 và log512
g) log56 và log67 h) logn(n + 1) và log(n + 1)(n + 2)
20.Tìm miền xác định của các hàm số sau:
Trang 5a)y = log6 b) y = c) y =
21.a) Cho a > 1 Chứng minh rằng : loga(a + 1) > loga +1(a + 2)
b)Từ đó suy ra log1719 > log1920
Phương trình mũ 1.Giải các phương trình sau:
a) 2 2x – 4 = x 2 x 5
4 + − b)3 x – 2 = 2 c)0,125.4 2x – 3 = ) 2
8
2
2 x 1
x
1
x
81
9
1
−
−
+
= e) 2 x 5 x – 1 = 10 2 – x f) 2 x 3 x – 1 5 x – 2 = 12
g) ( x + 1 ) x − 3 = 1 h) 2 x 2 1
) 1 x x
j) ( x 2 − 2 x + 2 ) 4 − x 2 = 1
2.Giải các phương trình sau:
1
x
x
x + = c) 9 x – 2 x + 1 = 2 x + 2 – 3 2x – 1
x
8 + = 36.3 2 – x
3.Giải các phương trình sau:
a) 2 x – 4 x – 1 = 1 b) 5 x – 1 + 5 – x+3 = 26 c)9 2x – 3 2x – 6 = 0
c)4 x + 1 – 16 x = 2log 4 8 d)2 x – 1 – 2 2 – x = e)3 x + 1 + 3 2 – x = 28
f) = 5 g)8 x + 18 x = 2.27 x h)8 2 x 12 0
3 x x
2
= +
i) 2+ 3x + 2− 3x =4 j)(7 + 4) x + 3(2 – ) x + 2 = 0 k)( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x = 14 l)
6 2
.
5
4 x x 2 2 x 1 x 2 2
=
− − + −
−
+
m) 3 2x + 1 = 3 x + 2 + n)2sin 2 x 4.2cos 2 x 6
=
+
o) (26 + 15) x + 2(7 + 4) x – 2(2 – ) x = 1
4.Giải các phương trình sau:
a) 3.4 x +2.9 x = 5.6 x b)6.9 x – 13.6 x + 6.4 x = 0 c)4.9 x – 6 x = 18.4 x
d) 5.36 x = 3.16 x + 2.81 x e) 3.2 2lnx + 4.6 lnx – 4.3 2lnx = 0
f)3 x + 1 + x – 2 x + 1 = 0 g) 4 x − 4 x+1 = 3 2 x+ x h) 25x+ 10x = 2 2x+1
i)252x−x2 + 1 +92x−x2 + 1 =34.152x−x2 j) 5.3 2x – 1 – 7.3 x – 1 + = 0
k) (3 + ) x + 16(3 – ) x = 2 x + 3
5.Giải các phương trình sau:
a)3 x = 13 – 2x b) 3 x = – x + 11 c)4 x – 3 x = 1
d)2 x = 3 x/2 + 1 e)2 x = 3 x – 5 f)3 x = 5 x/2 + 4
g) 3 x–1 =34 – 5 x–1 h)5 2x = 3 2x + 2.5 x + 2.3 x i) 1 + 2 6x + 2 4x = 3 4x
h) (2 – ) x + (2 + ) x = 4 x
6.Giải các phương trình sau:
a) 3.4 x + (3x – 10).2 x + 3 – x = 0 b) 9 x + 2(x – 2).3 x + 2x – 5 = 0
c) 25 x – 2(3 – x).5 x + 2x – 7 = 0 d) x 2 – (3 –2 x )x + 2 – 2 x +1 = 0
e) 3.25 x– 2 + (3x – 10).5 x– 2 + 3 – x = 0 f) 2 x–1 – x 2 x
2 − = (x – 1) 2
f) (4 x – 1) 2 + 2 x + 1 (4 x – 1) = 8.4 x
7 a)Chứng minh rằng : – = 2
b)Từ đó giải phương trình :(cos72 0 ) x – (cos36 0 ) x = 2 – x
9.Tìm m để phương trình 4 x – m.2 x+1 + 2m = 0 có 2 nghiệm x 1 ,x 2
thoả x 1 + x 2 = 3
10.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :
Trang 6a) m.2 x + (m + 2)2 – x + m + 2 = 0 b) m.3 x + m.3 – x = 8
c) (m – 1)4 x + 2(m – 3)2 x + m + 3 = 0 d) (m – 4).9 x – 2(m – 2).3 x + m – 1 = 0
e)( m + 1 ) 9 x2 + ( m + 1 ) 3 x2 + 3 = 0 f)3sin 2 x m.3cos 2 x m 0
= +
+
có 2 nghiệm trái dấu
12.Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình sau được nghiệm
đúng ∀ x ≤ 0 : m.2 x+1 + (2m + 1)(3 – ) x + (3 + ) x < 0
Bất phương trình mũ 1.Giải các bất phương trình sau:
1 x 1
x ( 5 2) )
2 5
−
+
3
1 (
3
)
3
1
1 x
2
>
3
1 3
1
2+ − > +
x 6
5
2 +
−
< f) 4 x2− x−2 ≤4 x−3 g) 4 x – 3.2 x + 2 <0
h) () x – 1 – () x > 3 i) 4x 2 + 3 x x + 3 1 + x < 2.3 x x 2 + 2x + 6
j) 4x 2 + x2x2+ 1+3.2x2 >x22x2 + x+12 k)3 x − 8 3 x + x + 4 − 9 9 x + 4 > 0
2 )
1
5
( + −x +x + −x +x+ < − −x2 +x
) 1 5 (
1 x
2 2x 1) x
−
+
p) ( ) x – 1 – ( ) x > 2log 4 8
2.Cho bất phương trình : 4 x – 1 – m(2 x +1) > 0
a)Giải bất phương trình khi m = 16/9
3*.Tìm m để :
a)m.4 x + (m – 1)2 x + 2 + m – 1 > 0 ∀x
b)m.9 x – (2m + 1)6 x – 4 x < 0 ∀x ∈ [0;1]
c)4 x - m2 x + m + 3 < 0 có nghiệm
d) (m – 1).4 x + 2(m - 3)2 x + m + 3 < 0 có nghiệm
4*.Cho 2 bất phương trình :
x
1
x
2
3
1
3
1
+
> 12 (1) và 2x 2 + (m + 2)x + 2 – 3m <0 (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2)
Phương trình logrit
**Phương trình cơ bản:
log a f(x) = log a g(x) ⇔
>
>
=
0 g(x) hay 0 f(x)
g(x)
f(x)
log a f(x) = b ⇔ f(x) = a b
**Các công thức logarit:
1) log a 1 = 0 log a a = 1 2)alogab =b 3) log a a b = b 4)loga b loga b
α
β
β
b
a (1) log
6) Với A>0,B>0 log a (A.B) = log a A + log a B log a (A/B) = log a A - log a B
Trang 77) công thức đổi cơ số : log a b = hay log a b = log a c.log c b
1.Giải các phương trình sau:
a) log 3 = log 3 (x + 1) b) lg(x 2 – 6x + 7) = lg(x –3)
c) log 2 (x 2 – x – 9) = log 2 (2x – 1) d)log (x 1) log2(2 x)
2
2
1 4
x
8
log
2 1
g) log 3 (2x + 1) + log 3 (x – 3) = 2 h) log 5 (x 2 – 11x + 43) = 2
i) log 5–x (x 2 – 2x + 65) = 2 j) log 3 [log 2 (log 4 x)] = 0
k) log 2 {3 + log 6 [4 + log 2 (2 + log 3 x)]} = 2
l) log 4 {2log 3 [1 + log 2 (1 + 3log 2 x)]} =
m)52 ( x + log 5 2 ) −5x + log 5 2 =2
n) 8 lgx – 3.4 lgx – 6.2 lgx + 8 = 0 o) log 2 (25 x+3 – 1) = 2 + log 2 (5 x+3 + 1)
x log
2 log 2 1
9 x 9
+
s) log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x
t) log 2 (x – 1) 2 + log (x 4)
2
2 1
x
v)log 2 (3x – 1) + = 2 + log 2 (x + 1)
−
2
1 x log 2
1
.Giải các phương trình sau:
a) log 3 x + log 9 x + log 27 x = 11
b)log 8 x + log 64 x =
c) log 3 x + log 9 x + log 81 x =
d) log 2 x + log 4 x = log 3
2 1
e) log 5 x + log 25 x = log0,2 3
f) log 4 (x + 3) – log 4 (x – 1) = 2 – log 4 8
g) lg(x + 10) + lg(2x – 1) – lg(21x – 20) = 1 – lg5
h) log 5 x = log 5 (x + 6) – log 5 (x + 2)
i) log 4 (log 2 x) + log 2 (log 4 x) = 2
j) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x
.Giải các phương trình sau:
a) (log 2 x) 2 – 3log 2 x = log 2 x 2 – 4
3 1 3
2 1 2
2
8
x log )
x
(
log
2 2 2
2
e) log 2 (2 x + 1).log 2 (2 x+1 + 2) = 6
2.Giải các phương trình sau:
a)
2
1 x log 3 log x log
3
logx + 3 = x + 3 + b)logx2(2+x)+log 2+x x=2
b) log x+7( 5 x + 3 ) + log x+3( x + 7 ) = 2
c) logx2 16 + log x64 = 3 d) 3 logx4 + 2 log x4 + 3 log16x4 = 0
x x
x 5 log ( x ) 2 , 25 (log 5 )
Trang 8g) 2.xlog 2 x +2.x− 3 log 8 x −5=0 h) log 5 x.log 3 x = log 5 x + log 3 x
3.Giải các phương trình sau :
a) log x [log 4 (2 x + 6)] = 1 b) log x [log 9 (2.3 x + 3)] = 1
8
x log )
x
(
log
2 2 2
2
5 x
2
1 ) 3
x ( log x log
).
x
3
(
3 3 2
f)
2
1 ) x x 1 3
(
3
x cos x sin
x sin 2 x 2 sin 3 log 7 − x 2 = 7 − x 2
h) log (sinx2 sinx) log (sin2x cosx) 0
3 1
3.Giải các phương trình sau:
a) log2x (x 1)log2x 6 x
b)( x 2 ) log 2 ( x 1 ) 4 ( x 1 ) log3( x 1 ) 16 0
+
c) log2( 1 + x ) = log3x d) log ( x 2 x 13 ) log2x
e)log ( x 2 x 8 ) log3x 1
3
4.Giải các bất phương trình sau:
2
2 3 (
+
+
x
x
x c) logx2(x+2)<1
d)logx2 log2x2 log24x> 1 e)log [log3( 9x − 72 )] ≤ 1
x
f)6(log 6x)2 + xlog 6x ≤12 g) log ( 1) log ( 1) log 3(5 ) 1
3
1 3
h)
) 1 (
log 2
2
2
x
1
2
3
1
3
1 x
) 3 x ( log ) 3 x (
3 1 2 2
1
> +
+
− +
l)
4
3 16
1 3 log ).
1
3
(
4 1
x
.Tìm miền xác định của các hàm số
a) y = +
b) y = lg(5x 2 – 8x – 4) + (x + 3) – 0,5
c) y = d) y = x x183x 29 x 17
2 4
2
+ +
+ +
−
1 1 ( log log
4 2 1 2
3 2
a)Giải phương trình khi m = 2
b)Tìm để phương trình có nghiệm x∈[1 ; 3 3]
6.Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duynhất :
3 1
2
b) = 2
Trang 9
7.Tìm m để phương trình : ( 2 +x)m + ( 2 −x)m = 2 2 là
) x 3 ( log
) x 9 ( log
2
3
−
−
8 Xác định m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình :
2log 4 (2x 2 – x + 2m – 4m 2 ) – log 2 (x 2 + mx – 2m 2 ) = 0 lớn hơn 1
9 Với giá trị nào của m thì bất phương trình log 2 (x 2 – 2x + m) < 3
Có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số
y =
2 2 3 2
được thoả mãn với mọi a
(2 – log 2 )x 2 – 2(1 + log 2 )x – 2(1 + log 2 ) > 0
12.a)Giải hệ bất phương trình
>
+
+
<
+ +
2 )2 x(
log
) 12 lg(7.2 )1
2 lg(
2 lg )1 x(
x
x 1
x
(1)
b)Tìm các giá trị của m để phương trình
m.2 –2x – (2m + 1)2 - x m + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 (x 1 < x 2 )
13.a)Giải bất phương trình > 3 (1) a là tham số > 0; ≠ 1
b)Tìm các giá trị của m sao cho mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : 1 + log 5 (x 2 + 1) – log 5 (x 2 + 4x + m) > 0 (2)
14.Với giá trị nào của a thì bất phương trình
log 2a +1 (2x - 1) + log a (x + 3) > 0 được thoả mãn đồng thời tại x = 1 và x = 4
15.Giải bất phương trình:
(2 + )( – 1) ≤ (+ 2)log x
16.Cho hệ phương trình
=
− +
=
−
0 ay y x
0 y log x
log 2
1
2 3
3
2 3
a là tham số
a)Giải hệ khi a = 2
b)Xác định a để hệ có nghiệm
.Giải các hệ phương trình :
a)
+ +
=
+
+
=
6 y3 x3 y
x
) xy (2 3
9
2
2
3 log )
xy
(
b)
= +
=
+
4 y log x log 2
5 ) y x(
log
2 4
2 2 2