Hội tụ thống kê trong không gian topo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Hồng Trung Hiếu HỘI TỤ THỐNG KÊ TRONG KHƠNG GIAN TOPO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Hồng Trung Hiếu HỘI TỤ THỐNG KÊ TRONG KHƠNG GIAN TOPO Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số thực 1.2 Giới hạn giới hạn 17 1.3 Không gian topo, tập hợp mở 18 1.4 Lân cận 21 1.5 Tập hợp đóng 23 1.6 Bao đóng tập hợp 24 1.7 Phần tập hợp 29 CHƯƠNG Hội tụ thống kê không gian topo 33 2.1 Hội tụ thống kê R 33 2.2 Dãy Cauchy thống kê R 40 2.3 Mật độ tiệm cận N 45 2.4 Hội tụ thống kê không gian topo 48 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm hội tụ thống kê dãy số thực H Fast giới thiệu vào năm 1951 cách dựa vào khái niệm mật độ tiệm cận tập A ⊂ N, mở rộng hội tụ thông thường dãy số thực (xem [2]) Tuy nhiên, ý tưởng hội tụ thống kê xuất tên gọi hội tụ thông thường ấn (Warsaw, 1935) chuyên khảo tiếng A Zygmund Hội tụ thống kê nghiên cứu nhiều khía cạnh khác số tác R.A Bernstein, Z Frolik, H ˇ Fast, T Salát, v.v (xem [1]) Hội tụ thống kê có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học lý thuyết tính tổng, lý thuyết số, chuỗi lượng giác, lý thuyết xác suất, lý thuyết đo lường, lý thuyết tối ưu hóa lý thuyết xấp xỉ ([1]) Bằng cách thay dãy số thực dãy không gian ˇ metric, P Kostyrko, M Maˇcaj, T Salát nghiên cứu tổng quát hội tụ thống kê cho dãy không gian metric (xem [4]) Năm 2008, G Di Maio L.D.R Koˇcinac thu nhiều kết thú vị nghiên cứu hội tụ thống kê không gian topo Hausdorff, không gian Nhờ đó, tác giả thu số ứng dụng chúng không gian hàm siêu không gian Với mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê tập số thực không gian topo, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Hội tụ thống kê không gian topo” làm đề tài cho luận văn Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu hội tụ thống kê tập số thực, không gian metric không gian topo Chứng minh chi tiết số kết tài liệu Đối tượng nghiên cứu Hội tụ thống kê không gian R, hội tụ thống kê không gian topo Hausdorff Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính chất hội tụ thống kê không gian topo Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan hội tụ thống kê • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận chúng tơi trình bày hai chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức hội tụ thông thường dãy số, không gian topo nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày hội tụ thống kê tập không gian topo Trong chương này, chứng minh chi tiết số kết dãy hội tụ thống kê R, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu hội tụ thống kê khơng gian topo Trình bày mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy hội tụ thông thường R Nghiên cứu mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy Cauchy thống kê R chứng minh dãy hội tụ thống kê dãy Cauchy thống kê R tương đương Cuối cùng, ghiên cứu mật độ tiệm cận N hội tụ thống kê không gian topo, tổng quát hóa hội tụ thống kê R Tương tự dãy hội tụ thống kê R, chứng minh số tính chất dãy hội tụ thống kê không gian topo mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy s∗ -hội tụ 51 y = s-lim xk nên nhờ Bổ đề 2.4.3 ta có k δ({n ∈ N : xn ∈ V }) = (2.23) Hơn nữa, U ∩ V = ∅ nên {n ∈ N : xn ∈ V } ⊂ {n ∈ N : xn ∈ X \ U } (2.24) = {n ∈ N : xn ∈ / U } Kết hợp (2.22), (2.23) (2.24) ta suy = δ({n ∈ N : xn ∈ V }) ≤ δ({n ∈ N : xn ∈ / U }) = 0, mâu thuẫn Định lí 2.4.5 Nếu s∗ -lim xn = x, s-lim xn = x n n Chứng minh Giả sử U lân cận x X Khi đó, s∗ -lim xn = x n nên tồn A ⊂ N với δ(A) = n0 = n0 (U ) cho {xn : n ∈ A, n ≥ n0 } ⊂ U Như vậy, n ∈ A mà xn ∈ / U , xn ∈ / {xn : n ∈ A, n ≥ n0 }, nghĩa n < n0 Do đó, {n ∈ A : xn ∈ / U } ⊂ {1, 2, , n0 }, kéo theo {n ∈ N : xn ∈ / U } = {n ∈ A : xn ∈ / U } ∪ {n ∈ N \ A : xn ∈ / U} ⊂ {1, 2, , n0 } ∪ (N \ A) (2.25) Bởi {1, 2, , n0 } tập hữu hạn nên theo Nhận xét 2.3.3 ta suy δ({1, 2, , n0 }) = 0, Theo Nhận xét 2.3.2(3), δ(N) = Mặt khác, δ(A) = N = A ∪ (N \ A) 52 nên theo Nhận xét 2.3.2(2), δ(N \ A) = Do đó, δ {1, 2, , n0 } ∪ (N \ A) ≤ δ({1, 2, , n0 }) + δ(N \ A) = Kết hợp (2.25) Nhận xét 2.3.2 ta suy δ({n ∈ N : xn ∈ / U }) = Như vậy, x = s-lim xn n Hệ 2.4.6 Trong không gian topo Hausdorff, điểm s∗ -giới hạn dãy Chứng minh Giả sử x = s∗ -lim xn y = s∗ -lim xn n n Khi đó, theo Định lí 2.4.5, ta suy x = s-lim xn y = s-lim xn n n Như vậy, nhờ Bổ đề 2.4.4 ta suy x = y Định lí 2.4.7 Giả sử (X, d) không gian topo thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, {xn } dãy hội tụ thống kê đến x, {xn } dãy s∗ -hội tụ đến x Chứng minh Giả sử {Un } sở địa phương giảm cố định x Với i ∈ N, ta đặt Ai = {n ∈ N : xn ∈ Ui } Bởi {Un } dãy giảm nên ta suy {An } dãy giảm Hơn nữa, x = s-lim xn nên theo Bổ đề 2.4.3 ta suy n δ(Ai ) = với i ∈ N 53 • Ta lấy k1 ∈ A1 • Bởi δ(A2 ) = 1, nghĩa lim n |{m ∈ A2 : m ≤ n}| |A2 (n)| = lim =1 n n n nên với ε = 1/2, tồn N ∈ N cho |{m ∈ A2 : m ≤ n}| − < với n ≥ N n Nếu A2 hữu hạn, nhờ Nhận xét 2.3.3 ta suy δ(A2 ) = Điều mâu thuẫn ta suy A2 tập vô hạn Do đó, tồn k2 ∈ A2 cho k2 > max{k1 , N } Suy k2 > k1 với n ≥ k2 ta có |A2 (n)| |{m ∈ A2 : m ≤ n}| = >1− n n • Bởi δ(A3 ) = 1, nghĩa lim n |A3 (n)| |{m ∈ A3 : m ≤ n}| = lim =1 n n n nên với ε = 1/3, tồn N ∈ N cho |{m ∈ A2 : m ≤ n}| − < với n ≥ N n Nếu A3 hữu hạn, nhờ Nhận xét 2.3.3 ta suy δ(A3 ) = Điều mâu thuẫn ta suy A3 tập vô hạn Do đó, tồn k3 ∈ A3 cho k3 > max{k2 , N } Suy k3 > k2 với n ≥ k3 ta có |A3 (n)| |{m ∈ A3 : m ≤ n}| = >1− n n • Bằng quy nạp, ta tìm dãy {ki } thỏa mãn ◦ ki ∈ Ai với i ∈ N; ◦ ki < ki+1 với i ∈ N; 54 ◦ Với n ≥ ki ta có |Ai (n)| |{m ∈ Ai : m ≤ n}| = >1− n n i Ta đặt A = {1, 2, , k1 } ∪ (ki , ki+1 ] ∩ Ai , i∈N nghĩa với k ≤ k1 , k ∈ A; i ≥ ki < k ≤ ki+1 , k ∈ A k ∈ Ai Giả sử A = {ni : ni < ni+1 , i ∈ N} Khi đó, ta có hai trường hợp sau Trường hợp 1: Tồn n ∈ N cho ki ≤ n ≤ ki+1 Ta có Ai (n) = {m ∈ Ai : m ≤ n} ⊂ {m ∈ A : m ≤ n} = A(n) Thật vậy, giả sử m0 ∈ {m ∈ Ai : m ≤ n} Khi đó, m0 ∈ Ai m0 ≤ n ≤ ki+1 ◦ Nếu m0 ≤ k1 , m0 ∈ A ◦ Nếu tồn i ≥ j ≥ cho kj < m0 ≤ kj+1 , m0 ∈ Ai j ≤ i nên m0 ∈ Ai ⊂ Aj Suy m0 ∈ (kj , kj+1 ] ∩ Aj , m0 ∈ A Ai (n) ⊂ A(n) Như vậy, ta có |A(n)| |Ai (n)| ≥ >1− n n i 55 Trường hợp 2: Không tồn n ∈ N cho ki ≤ n ≤ ki+1 Lúc này, ta có N = {ki : i ∈ N} ⊂ A, kéo theo A = N Nhờ Nhận xét 2.3.2 ta suy δ(A) = Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ lim n→∞,n∈A = lim xni = x i Thật vậy, giả sử V lân cận x Khi đó, {Un } sở địa phương x nên tồn i ∈ N cho Ui ⊂ V Nếu n ∈ A, n ≥ ki , tồn j ≥ i cho kj ≤ n ≤ kj+1 Do đó, nhờ định nghĩa A ta suy n ∈ Aj Do đó, với n ∈ A cho n ≥ ki ta có xn ∈ Uj ⊂ Ui ⊂ V Như vậy, lim xni = x, x = s∗ -lim xn i n 56 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu dãy hội tụ thống kê không gian topo, luận văn thu thành sau (1) Chứng minh chi tiết số kết dãy hội tụ thống kê R, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu hội tụ thống kê khơng gian topo Trình bày mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy hội tụ thông thường R (2) Nghiên cứu mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy Cauchy thống kê R Chứng minh dãy hội tụ thống kê dãy Cauchy thống kê R tương đương (3) Nghiên cứu mật độ tiệm cận R hội tụ thống kê không gian topo, tổng quát hóa hội tụ thống kê R Tương tự dãy hội tụ thống kê R, chúng tơi chứng minh số tính chất dãy hội tụ thống kê không gian topo Hơn nữa, chứng minh chi tiết mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy s∗ -hội tụ 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Di Maio, G., Kˇocinac, L.D.R (2008), Statistical convergence in topology Topol Appl 156, 28–45 [2] Fast, H (1951), Sur la convergence statistique Colloq Math 2, 241244 [3] Fridy, J (1985), On statistical convergence Analysis 5, 301–313 ˇ [4] Kostyrko, P., Maˇcaj, M., Salát, T., Strauch, O (2000), On statistical limit points, Proc Amer Math Soc 129, 2647–2654 ˇ [5] Salát, T (1980), On statistically convergent sequences of real numbers Math Slovaca 30, 139-150 [6] Schoenberg, I J (1959), The integrability of certain functions and related summability methods Amer Math Monthly 66, 361-375 [7] Zhou, X., Liu, L., Lin S., (2020), On topological spaces defined by I -convergence, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 46, 675–692 58 Figure 2.1 ... cận R hội tụ thống kê khơng gian topo, tổng qt hóa hội tụ thống kê R Tương tự dãy hội tụ thống kê R, chứng minh số tính chất dãy hội tụ thống kê không gian topo mối quan hệ dãy hội tụ thống kê dãy... Đối tượng nghiên cứu Hội tụ thống kê không gian R, hội tụ thống kê không gian topo Hausdorff Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính chất hội tụ thống kê không gian topo Phương pháp nghiên... cứu hội tụ thống kê không gian topo Hausdorff, không gian Nhờ đó, tác giả thu số ứng dụng chúng không gian hàm siêu không gian Với mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê tập số thực không gian topo,