Định nghĩa 1.6.1. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó, giao của các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của
A và kí hiệu A. Như vậy,
A = T {F ⊂ X : F đóng, A ⊂F}. Nhận xét 1.6.2. 1) A luôn tồn tại và A ⊂A; 2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; 3) A đóng khi và chỉ khi A = A; 4) Nếu A ⊂ B, thì A ⊂ B.
Chứng minh. (1) Bởi vì X là tập đóng chứa A nên
X ∈ {F ⊂ X : F đóng, A ⊂F}.
Do đó, A tồn tại và theo Định nghĩa 1.6.1 nên A ⊂A.
(2) Bởi vì A = T
{F ⊂ X : F đóng, A ⊂ F} nên theo Nhận xét 1.5.2 ta suy ra A là tập đóng chứa A.
Bây giờ, ta chứng minh rằng A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Thật vậy, giả sử G là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A. Khi đó,
G∈ {F ⊂X :F đóng, A ⊂ F},
kéo theo
A= T
{F ⊂ X : F đóng, A ⊂ F} ⊂ G.
(3) Giả sử A⊂ X là tập con đóng. Khi đó, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng là tập đóng chứa A nên A ⊂ A. Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A ⊂ A. Do vậy, A = A.
Bây giờ, giả sử A = A, theo khẳng định (1) thì rõ ràng A là tập con đóng của X.
(4) Ta có A ⊂ B ⊂ B nên B là tập đóng chứa A. Mặt khác, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên A⊂ B.
Ví dụ 1.6.3. Cho X = {a, b, c}, A ⊂X và một topo trên X là
τ =
n
∅, X,{a},{a, b},{a, c},{b}o.
Hãy tìm A trong các trường hợp sau: A= {a}, A = {a, b}, A = {b, c}.
Bài giải. Ta có
1) Trường hợp 1: A = {a}.
(b) Các tập đóng trong X chứa A là: X. Như vậy, A= X ∩ {a, c} = X. 2) Trường hợp 2: A = {a, b}. (a) Các tập đóng trongg X là: X, ∅, {b, c}, {c}, {b}. (b) Các tập đóng trong X chứa A là: X. Như vậy, A= X. 3) Trường hợp 1: A = {b, c}. Cách 1. (a) Các tập đóng trong X là: X, ∅, {b, c}, {c}, {b}. (b) Các tập đóng trong X chứa A là: X, {b, c}. Như vậy, A= X ∩ {b, c} = {b, c}. Cách 2. Bởi vì A đóng nên A= A. Như vậy, ta có A = A.
Ví dụ 1.6.4. Xét R với topo thông thường, A⊂ R. Hãy tìm A biết
A = [a, b]; A= (a, b); A = (a, b]; A = [a, b).
Bài giải. Ta có [a, b] = [a, b]; (a, b) = [a, b]; (a, b] = [a, b]; [a, b) = [a, b]. Bổ đề 1.6.5. Giả sử (X, τ) là không gian topo. Khi đó,
1) A∪B = A∪ B;
2) S
α∈I
Aα ⊂ S
α∈I
Aα, đẳng thức không xảy ra;
3) A∩B ⊂ A∩B,đẳng thức không xảy ra. Chứng minh. (1) Ta có
◦ A∪B ⊂A∪B.
Thật vậy, vì A⊂ A∪B và B ⊂A∪B nên theo Nhận xét 1.6.2 ta có
A ⊂A∪B; B ⊂A∪B.
Như vậy, A∪B ⊂ A∪B.
◦ Theo Nhận xét 1.6.2(2) ta có
A ⊂ A; B ⊂ B.
Do đó, A∪B ⊂A∪B. Lại theo nhận xét 1.6.2 (2), A và B đóng. Do đó, theo Nhận xét 1.5.2 (2), A∪B đóng. Như vậy, áp dụng Nhận xét 1.6.2 (2) ta thu được A∪B ⊂ A∪B = A∪B. (2) Với mọi α ∈ I ta có Aα ⊂ S α∈I Aα. Theo theo Nhận xét 1.6.2 (2) ta suy ra Aα ⊂ [ α∈I Aα với mọi α ∈ I. Do đó, S α∈I Aα ⊂ S α∈I Aα. (3) Theo Nhận xét 1.4.2 (2) ta có A ⊂ A và B ⊂ B. Do đó, A∩B ⊂ A∩B. Sử dụng Nhận xét 1.5.2 và Nhận xét 1.4.2 ta suy ra A∩B ⊂ A∩B = A∩B.
Bây giờ, ta chứng tỏ rằng đẳng thức không xảy ra. Thật vậy, giả sử R là tập số thực với topo thông thường. Ta đặt
An = 0,1− 1 n với mọi n∈ N.
Khi đó, ∞ S n=1 An = [0,1) nhưng ∞ S n=1 An = [0,1]. Do đó, đẳng thức trong (2) không xẩy ra.
Lấy A = (0,1), B = (1,2). Lúc này, ta có
A= [0,1], B = [1,2], A∩B = ∅= ∅, A∩B = {1}.
Như vậy, đẳng thức trong (3) không xẩy ra.
Định lí 1.6.6. Giả sử (X, τ) là một không gian topo, F ⊂ X. Khi đó,
x ∈ F khi và chỉ khi với mọi lân cận mở V của x ta đều có V ∩F 6= ∅. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử x ∈ F và V là một lân cận mở của x. Ta phải chứng minh rằng V ∩F 6= ∅.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng V ∩ F = ∅. Khi đó, F ⊂ X \V, kéo theo F ⊂ X \V. Bởi vì V ∈ τ nên X \V đóng, kéo theo X \V = X \V. Do đó, F ⊂ X \V, kéo theo
x ∈ F ∩V = ∅.
Nhờ mâu thuẫn này ta suy ra điều phải chứng minh.
Điều kiện đủ. Giả sử mỗi lân cận mởV bất kì củaxta đều cóV ∩F 6= ∅. Ta phải chứng minh x ∈ F.
Thật vây, giả sử ngược lại rằng x /∈ F. Khi đó, x ∈ X \F. Bởi vì, F
đóng nên X \F là lân cận mở của x. Theo giả thuyết điều kiện đủ ta suy ra F ∩(X \F) 6= ∅. Do đó,
∅ 6= F ∩ (X \F) ⊂ F ∩(X \F) =∅,