Định nghĩa 1.7.1. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó, hợp của tất cả các tập con mở nằm A được gọi là phần trong của A, và kí hiệu IntA. Như vậy,
IntA = S
{V ∈ τ : V ⊂ A}.
Nhận xét 1.7.2. Giả sử A,B là các tập con của không gian topo (X, τ). Khi đó,
1) IntA là tập con mở lớn nhất trong A;
2) A mở khi và chỉ khi IntA = A; 3) Nếu A ⊂ B, thì IntA⊂ IntB.
Chứng minh. (1) Bởi vì
IntA = S
{V ∈ τ : V ⊂ A}
nên IntA là tập con mở nằm trong A. Bây giờ, giả sử G là tập mở lớn nhất nằm trong A. Suy ra G ∈ {V ∈ τ : V ⊂A}. Do đó,
G ⊂S
{V ∈ τ : V ⊂ A}= IntA. (2) Giả sử A mở, khi đó A ∈ {V ∈ τ :V ⊂ A}. Suy ra
A ⊂ S
{V ∈ τ : V ⊂A} = IntA.
Ngược lại, nếu IntA= A, thì theo (1) ta suy ra A mở. (3) Cách 1: Bởi vì A⊂ B nên
{V ∈ τ : V ⊂ A} ⊂ {V ∈ τ : V ⊂ B}.
Cách 2: Theo (1), IntA là tập mở trong A ⊂ B, và IntB là tập mở lớn nhất nằm trong B. Như vậy, Int A ⊂ Int B.
Ví dụ 1.7.3. Cho X = {a, b, c},
τ = {∅, X,{a},{a, b},{a, c},{b}}
và M ⊂ X. Hãy tìm IntM trong các trường hợp sau:
M = {b, c}, M = {a, b}.
Bài giải. (1) Trường hợp 1: M = {b, c}. Ta có
{V ∈ τ : V ⊂ M} = ∅,{b} . Suy ra IntM = ∅ ∪ {b} = {b}. (2) Trường hợp 2: M = {a, b}. Cách 1: Ta có {V ∈ τ : V ⊂M} = ∅,{a},{a, b},{b} . Suy ra IntM = ∅ ∪ {a} ∪ {a, b} ∪ {b} = {a, b}.
Cách 2: Bởi vì M = {a, b} ∈ τ nên theo Nhận xét 1.7.2, ta suy ra
IntM = M = {a, b}.
Ví dụ 1.7.4. Xét R với topo thông thường, A⊂ R. Hãy tìm IntA biết
A = [a, b]; A= (a, b); A = (a, b]; A = [a, b).
Bài giải. Bởi vì phần trong của A là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A
nên ta có
Int[a, b] = (a, b); Int(a, b) = (a, b);
Int(a, b] = (a, b); Int[a, b) = (a, b). Định lí 1.7.5. Giả sử (X, τ) là không gian topo. Khi đó,
1) Int(A∩B) = IntA∩ IntB;
2) IntA∪IntB ⊂ Int(A∪B), đẳng thức không xảy ra;
3) IntA = X \X \A.
Chứng minh. (1) Bởi vì IntA ⊂ A và IntB ⊂ B nên
IntA∩IntB ⊂ A∩B.
Mặt khác. vì IntA∩IntB là tập hợp mở nằm trong A∩B và Int(A∩B)
là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A∩B nên
IntA∩IntB ⊂ Int(A∩B). (1.5) Lại vì Int(A∩B) ⊂ IntA và Int(A∩B) ⊂ IntB nên
Int(A∩B) ⊂ IntA∩IntB. (1.6) Từ (1.5) và (1.6) ta suy ra điều phải chứng minh.
(2) Bởi vì IntA ⊂ A và IntB ⊂ B nên
IntA∪IntB ⊂ A∪B.
Do đó, IntA∪IntB là tập mở nằm trong A∪B. Mặt khác, vì Int(A∪B)
là tập mở lớn nhất nằm trong A∪B nên
IntA∪IntB ⊂ Int(A∪B).
Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức không xảy ra.
Thật vậy, xét R là tập số thực với topo thông thường. Ta lấy
A = (0,1), B = [1,2).
Khi đó,
Như vậy, Int(A∪B) 6= IntA∪ IntB. (3) Bởi vì X \A ⊂ X \A nên
X \X \A ⊂ X \(X \A) = A.
Suy ra X \X \A là tập mở trong A. Do đó,
X \X \A⊂ IntA. (1.7)
Mặt khác, vì IntA ⊂ A nên X \A ⊂ X \IntA. Hơn nữa, vì X \IntA
đóng nên
X \A ⊂ X \IntA = X \IntA.
Như vậy,
IntA ⊂X \X \A. (1.8) Nhờ (1.7) và (1.8) ta suy ra điều phải chứng minh.
CHƯƠNG2
HỘI TỤ THỐNG KÊ TRONG KHÔNG GIAN TOPO
Trong chương này, chúng tôi chứng minh chi tiết một số kết quả về dãy hội tụ thống kê trên R, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu sự hội tụ thống kê trên không gian topo. Trình bày mối quan hệ giữa dãy hội tụ thống kê và dãy hội tụ thông thường trên R. Nghiên cứu về mối quan hệ giữa dãy hội tụ thống kê và dãy Cauchy thống kê trên R và chứng minh rằng dãy hội tụ thống kê và dãy Cauchy thống kê trên R là tương đương. Cuối cùng, chúng tôi ghiên cứu về mật độ tiệm cận trên R và sự hội tụ thống kê trong không gian topo, là một sự tổng quát hóa của hội tụ thống kê trên R. Tương tự dãy hội tụ thống kê trên R, chúng tôi chứng minh một số tính chất của dãy hội tụ thống kê trong không gian topo và mối quan hệ giữa dãy hội tụ thống kê và dãy s∗-hội tụ.