Tôpô liên kết với compact hóa một điểm trong không gian tôpô khalimsky

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Ngơ Ngọc Nam TƠPƠ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HĨA MỘT ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ KHALIMSKY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Ngơ Ngọc Nam TƠPƠ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HĨA MỘT ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ KHALIMSKY Chun ngành : Hình học Tơpơ Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng cá nhân tôi, không chép ai, tự nghiên cứu, đọc, dịch tài liệu, tổng hợp thực Các số liệu, sử dụng phân tích luận văn có nguồn gốc rõ ràng, trình bày mục tài liệu tham khảo Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan phù hợp với thực tiễn Việt Nam Nếu có gian lận nào, xin chịu trách nhiệm nghiên cứu Tác giả Lê Ngơ Ngọc Nam LỜI CÁM ƠN Trong trình xây dựng đề cương, nghiên cứu hồn thành luận văn thạc sĩ, tơi xin bày tỏ cảm kích đặc biệt biết ơn tới Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh, giảng viên hướng dẫn khoa học Thầy ln khích lệ, động viên tận tình hướng dẫn cho tơi suốt q trình thực luận văn Không thế, giảng thầy giúp mở mang thêm kiến thức lĩnh vực hình học kỹ thuật số nói riêng tốn học nói chung Thầy ln người cho lời khuyên vô quý giá chuyên môn định hướng phát triển nghiệp cách ứng xử sống Một lần nữa, xin gửi tới thầy lời cám ơn chân thành Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cám ơn q thầy khoa Tốn – Tin, q thầy phịng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, q thầy giảng dạy Cao học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh bạn lớp Cao học K28, K30, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cám ơn tới Ban lãnh đạo, Ban giám hiệu Hệ thống trường Song ngữ Quốc tế EMASI tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học thạc sĩ Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình tơi ln bên cạnh động viên hỗ trợ mặt sống Tôi xin gửi trân trọng cám ơn tới người vợ cưới tơi ln ủng hộ khích lệ hỗ trợ tơi cơng việc để tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2020 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục bảng Danh mục hình vẽ MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian Alexandroff 1.3 Tôpô Khalimsky 12 1.4 Không gian compact hóa điểm khơng gian tơpơ 20 Chương KHƠNG GIAN COMPACT HĨA MỘT ĐIỂM CỦA TÔPÔ KHALIMSKY 24 2.1 Một số tính chất tơpơ  ,κ  24 2.2 Khơng gian compact hóa điểm đường thẳng Khalimsky mặt phẳng Khalimsky 30 2.3 Một số tính chất tơpơ khơng gian compact hóa điểm đường thẳng Khalimsky mặt phẳng Khalimsky 36 Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ THƯƠNG CỦA  ,κ  VÀ  * , κ*  53 3.1 Không gian thương  ,κ  53 3.2 Không gian thương  * , κ*  62 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  , κ  : đường thẳng Khalimsky   n , κ n  : tôpô Khalimsky n – chiều , κ  : mặt phẳng Khalimsky Vκ  x  : lân cận mở nhỏ chứa x U z : lân cận mở nhỏ chứa z   * , κ , κ2  , κ*  : không gian compact hóa điểm đường thẳng Khalimsky 2* , κ 2*  : khơng gian compact hóa điểm mặt phẳng Khalimsky : tập hợp tất số nguyên chẵn : tập hợp tất số nguyên lẻ   : tập hợp tất điểm mở  Der  A  : tập dẫn xuất tập hợp A a, b : đoạn Khalimsky , κ  DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 So sánh số tính chất tơpơ khơng gian tơpơ Khalimsky chiều với khơng gian compact hóa điểm tương ứng 52 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Một phần Đường thẳng Khalimsky 14 Hình 1.2 Một phần Mặt phẳng Khalimsky 15 Hình 3.1 Một phép đồng phôi h từ X  1, 9 / ~1 lên Y   4,12 / ~1 57 MỞ ĐẦU Tôpô kỹ thuật số chuyên ngành nghiên cứu cấu trúc tính chất tơpơ ảnh kỹ thuật số Ngành học nghiên cứu, sử dụng khái niệm kết lý thuyết tơpơ để giải vấn đề quan trọng khoa học máy tính, đặc biệt xử lý ảnh số gọi hình học kỹ thuật số So với hình học Euclide biết tơpơ đại cương, lĩnh vực mẻ, đặc biệt Việt Nam Tôpô kỹ thuật số nghiên cứu lần vào năm 1960 Azriel Rosenfeld (1931 – 2004) Năm 1989, Rosenfeld cộng đề xuất tính liên thơng kỹ thuật số, sau phương pháp thuật toán làm việc đối tượng kỹ thuật số đề xuất sử dụng Vào năm 1980, Khalimsky công bố báo cấu trúc tơpơ không gian kỹ thuật số ứng dụng Từ đó, tơpơ Khalimsky tơpơ quan trọng nghiên cứu giải vấn đề liên quan hình học kỹ thuật số Trong nghiên cứu tôpô Khalimsky – chiều (đường thẳng Khalimsky, kí hiệu   , κ  ) – chiều (mặt phẳng Khalimsky, kí hiệu , κ  ), ta chứng minh  , κ   , κ  không gian compact Hausdorff Tuy nhiên, chúng lại khơng gian compact địa phương Từ đó, cách tự nhiên, ta compact hóa khơng gian tôpô Khalimsky cách sử dụng phương pháp compact  gian compact hóa điểm tương ứng với  , κ   hóa điểm Alexandroff Ta ký hiệu  * , κ*  và 2* , κ 2*  không ,κ  Khi đó, ta nghiên cứu tính chất tơpơ khơng gian compact hóa điểm này, từ so sánh chúng với tính chất tơpơ  , κ   , κ  Việc nghiên cứu tính chất cho ta thêm nhiều công cụ việc nghiên cứu tiên đề tách, tính compact, liên thơng gợi ý hướng nghiên cứu mẻ tôpô khác không gian kỹ thuật số tôpô Marcus-Wyse, tôpô 𝜔 hay tôpô H giới thiệu gần Bên cạnh đó, việc nghiên cứu tính chất khác khơng gian kỹ thuật số có ứng dụng quan trọng có tính thời vào ngành khoa học máy tính, đặc biệt cơng nghệ xử lý hình ảnh Vì lý trên, với đề tài: “TÔPÔ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HĨA MỘT ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ KHALIMSKY”, luận văn trình bày cách có hệ thống nghiên cứu không gian tôpô Khalimsky với khơng gian compact hóa điểm tương ứng Trong đó, đối tượng chủ yếu luận văn không gian tôpô Khalimsky – chiều – chiều mối quan hệ chúng tôpô liên kết với compact hóa điểm Alexandroff Trong luận văn có sử dụng cơng cụ tiên đề tách , định lý Alexandroff định lý không gian tôpô Phạm vi nghiên cứu luận văn cịn mở rộng lên khơng gian tơpơ thương  * ,κ*  , từ giới thiệu phát triển số cấu trúc tôpô mẻ Nội dung luận văn bao gồm phần: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày lại khái niệm không gian tôpô, tiên đề tách, không gian Alexandroff, không gian tôpô Khalimsky với số tính chất tơpơ Chương Khơng gian compact hóa điểm tơpơ Khalimsky Chương trình bày định nghĩa khơng gian compact hóa điểm Alexandroff giới thiệu khơng gian compact hóa điểm khơng gian tơpơ Khalimsky Từ đó, trình bày, chứng minh tính chất không gian tôpô rút số kết luận quan trọng 55 Cho đoạn Khalimsky a, b , κa, b  với b  a  2m, ta xét quan hệ tương đương ~1  a, b  sau: x ~1 y x  a, y  b x  b, y  a x  y Khi đó, ký hiệu không gian tôpô thương hệ tương đương ~1 a, b a, b , κa, b  với quan  / ~1, κa, b  , ta có kết sau : Định lý 3.1.4 Cho  a, b   a', b' với b  a  b  a'  2m Khi đó, đoạn Khasimsky a, b , κa, b  a', b' , κa', b'  không thiết phải đồng phôi không gian tôpô thương tương ứng với quan hệ tương đương ~1 đồng phôi với Chứng minh Xét X   a, b với a số lẻ, Y   a', b' với a' số chẵn, b  a  b  a'  2m nên X Y có 2m  phần tử, tập hợp X có m  phần tử lẻ tập hợp Y có m phần tử lẻ  Giả sử X   a, b  , κa, b   Y  a', b' , κa', b'  đồng phôi, nghĩa tồn song ánh liên tục f : X  Y cho f 1 liên tục Theo công thức (2.3), với x lẻ X, đặt f  x   y x tập mở f liên tục nên f  x   f x  Vκ  y  Mặt khác, f 1 liên tục nên f 1  Vκ  y    x Vậy Vκ  y  có phần tử suy y số lẻ Do f song ánh nên suy số phần tử lẻ X Y nhau, mâu thuẫn Vậy đoạn Khasimsky thiết phải đồng phôi a, b , κa, b  a', b' , κa', b'  không 56 Ta chứng minh không gian tôpô thương tương ứng đoạn Khalimsky a, b , κa, b  a', b' , κa', b'  với quan hệ tương đương ~1 đồng phôi với Khơng tính tổng qt, giả sử a số lẻ Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: a' số lẻ Khi đó, xét song ánh h :  a, b   a', b' cho h  x   x  a  a, x  a, b  Dễ dàng nhận thấy song ánh h phép đồng phôi từ  a, b  lên  a', b' , từ ánh xạ h :a, b / ~1  a, b / ~1 thỏa h  x   h  x  phép đồng phôi từ  a, b  / ~1 lên  a, b  / ~1 - Trường hợp 2: a' số chẵn Khi đó, theo định nghĩa quan hệ tương đương ~1 , ta có  a    b a'   b' , hay ta viết: a, b / ~1  a ;a  1;;a  b  a  1 a', b' / ~1  a  1;a'  2;;b' Đặt h :a, b / ~1  a, b / ~1 thỏa: h  x    x  a  a  1, x a, b  1 Khi  a, b  / ~1  a', b' / ~1 có m phần tử đóng m phần tử mở h song ánh biến phần tử đóng  a, b  / ~1 thành phần tử đóng  a', b' / ~1 biến phần tử mở  a, b  / ~1 thành phần tử mở  a', b' / ~1 Do đó, theo cơng thức (2.3) h phép đồng phôi từ  a, b  / ~1 lên  a, b  / ~1 Vậy  a, b  / ~1  a, b  / ~1 đồng phôi với ■ 57 Ta xét ví dụ cụ thể để mơ tả lại phép đồng phôi h mô tả trường hợp chứng minh Ví dụ 3.1.5 Xét  X  1; 9 , κ X   Y   4;12 , κ Y  dễ dàng nhận thấy X có điểm mở cịn Y có điểm mở, hiển nhiên X Y không đồng phôi với (tham khảo Hình 3.1.) Hình 3.1 Một phép đồng phơi h từ X  1, 9 / ~1 lên Y   4,12 / ~1 Tuy nhiên X / ~1 Y / ~1 đồng phôi với qua phép đồng phôi h : X / ~1  Y / ~1 thỏa: h  x    x  4, x 1; 8 Phép đồng phôi biểu diễn Hình Ta nhắc lại định nghĩa quan trọng sau: Định nghĩa 3.1.6 Cho không gian K-tôpô  X, κ nX  a Một K-đường đơn X dãy hữu hạn  x i i0, 1,,n với hai điểm x i x j K-kề i  j  58 b Trong  n , κ n  K-cung đóng đơn với n phần tử K-đường đơn  x i i1,,n  n n cho đường đồng phôi với không gian thương đoạn Khalimsky a, b , κa, b  với b  a  2m Ta kí hiệu cung đóng đơn Cn,κ l :   x i i0, l 1 với l số chẵn l  Hay nói cách khác Cn,κ l K-đường đơn với x  x l x i x j K-kề i  j   mod l  Từ đó, theo Định lý 3.1.5 ta có nhận xét sau: a, b , κ  / ~ ,κ  không đồng phôi với C Nhận xét 3.1.7 Cho đoạn Khalimsky a) Nếu b  a   a, b a, b a, b 2, κ b) Nếu b  a   2m  với m  , m  b  a   ta có a, b  / ~1 , κa, b đồng phôi với C2,κ l với l  b  a Phần luận văn nghiên cứu không gian tôpô thương  , κ  thỏa mãn tính chất khơng gian tơpơ loại trừ điểm không gian tôpô liên kết điểm Ta nhắc lại số định nghĩa Định nghĩa 3.1.8 Cho không gian tôpô  X, τ  Không gian tôpô X gọi không gian tôpô liên kết điểm tập S X tập mở tập rỗng tồn phần tử p X cho S chứa p Cho đường thẳng Khalimsky  , κ  , ta xét quan hệ tương đương ~ o sau: x ~ o y x  y x, y  Khi đó, ký hiệu không gian tôpô thương đương ~  / ~ o , κ Qo   , ta có kết sau:  , κ  với quan hệ tương 59 Định lý 3.1.9 Không gian tôpô thương  / ~ o , κ Qo  không gian tôpô liên kết điểm Chứng minh Tập lớp tương đương / ~o   2m;  2m  1 | m    , κ  với quan hệ tương đương ~ o là: với  2m  2m  2m  1  Xét ánh xạ tắc π :        / ~ cho π  x    x  Khi đó, gọi U tập khác rỗng - Trường hợp 1:  2m  1  (1.1),  π1  U   2m  |  m  I    1  2m  U Khi đó, U   2m | m  I  tập đóng hay   suy , κ  , suy U không / ~0 / ~ o , κ Qo  không gian liên kết điểm với p   2m  1 ■ Khi với khơng gian tơpơ thương tập  π 1  U  ,  theo công thức / ~o - Trường hợp 2:  2m  1  Vậy , κ  Từ suy π 1  U  tập mở , κ  hay U tập mở phải tập mở  U Khi đó, Vκ  2m   2m  1;2m;2m  1   2m tập mở  2m  / ~ , ta xét hai trường hợp: / ~o \    / ~ , κ Q0   đã xác định trên, Tập dẫn xuất (xem Định nghĩa 2.3.9.) tôpô κ Q0 Hơn nữa, phần tập đóng khác / ~ o / ~ o rỗng Do đó, ta có hệ sau: Hệ 3.1.10 Trong không gian tôpô thương U mở khác rỗng đóng / ~ o khác  / ~ o , κ Qo  , tập / ~ thỏa mãn cl  U   / ~ o Mọi tập / ~ o không đâu trù mật / ~o 60 Nhận xét 3.1.11 Mặc dù tập phần tử bao đóng cl      1 tập compact / ~ o lại tập compact / ~ o , κ Qo  Hệ 3.1.12 Không gian tôpô thương  / ~ o , κ Qo  không gian T0 không gian T1 Cho không gian tôpô (X, τ ) Thêm vào tập X phần tử #  X ký hiệu tập X # :  X  # Ta chứng minh họ tập τ # X # thỏa V  τ#  V   hoặc U  τ,  V  U  # tôpô X # Khi đó: Định nghĩa 3.1.13  X# , τ#  không gian tôpô gọi mở rộng đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) Hệ 3.1.14 Mọi tập đóng khác X #  X# , τ#  tập đóng (X, τ ) Hệ 3.1.15 Khơng gian tơpơ thương đóng tôpô rời rạc / ~o \   / ~ o , κ Qo  mở rộng  Định nghĩa 3.1.16 Cho không gian tôpô  X, τ  Không gian tôpô gọi không gian tôpô loại trừ điểm tập S tập mở tồn phần tử p x cho p không phần tử S Cho đường thẳng Khalimsky  , κ  , ta xét quan hệ tương đương ~ e sau: x ~ e y x  y x, y  Khi đó, ký hiệu khơng gian tơpơ thương đương ~ e  / ~ e , κ Qe  , ta có kết sau:  , κ  với quan hệ tương 61 Định lý 3.1.17 Không gian tôpô thương  / ~ e , κ Qe  không gian tôpô loại trừ điểm Chứng minh Tập lớp tương đương / ~e   2m;  2m  1 | m   , κ  với quan hệ tương đương ~ e là:  với 2m   2m  1  2m  1 Xét ánh xạ tắc π :        / ~ e cho π  x    x  Lấy V tập V   2m  1 | m  I   / ~ e không chứa phần tử  2m   , suy Khi ta có π1  U   2m  1  |  m  I   tập mở , κ  , suy V tập mở Gọi V tập mở 0  π 1  V  Mặt  / ~ e , κ Qe  / ~ e chứa phần tử khác với Vκ  2m   2m  1;2m;2m  1  π 1  V  nên 2m   2m  2m  Vκ  2m   Khi  π 1  V  , suy V  / ~ e Vậy không gian tôpô thương điểm  / ~ e , κ Qe  không gian tôpô loại trừ ■ Theo chứng minh trên, hiển nhiên mà không chứa / ~ e tập mở / ~e , từ ta có hệ sau: Hệ 3.1.18 Khơng gian tơpơ thương  / ~ e , κ Qe  không gian tôpô compact liên thông Hệ 3.1.19 Không gian tôpô thương không gian T1  / ~ e , κ Qe  không gian T0 62 Cho không gian tôpô (X, τ ) Thêm vào tập X phần tử  X ký hiệu tập X :  X    Ta chứng minh họ tập τ X thỏa V  τ  V  X  hoặc U  τ,  V  U tơpơ X Khi đó: Định nghĩa 3.1.20  X , τ  không gian tôpô gọi mở rộng mở không gian tôpô (X, τ ) Hệ 3.1.21 Mọi tập mở khác X  X , τ  tập mở (X, τ ) Hệ 3.1.22 Không gian tôpô thương / ~e \  mở tôpô rời rạc  / ~ , κ Q0  mở rộng  Phần cuối luận văn dùng ý tưởng tương tự để xây dựng số không gian thương  * , κ*  phát triển số loại tôpô mang tính chất đặc trưng khơng gian thương 3.2 Không gian thương  * , κ*  Định nghĩa 3.2.1 Cho không gian tôpô  X, τ  Không gian tôpô X gọi khơng gian tơpơ loại trừ hai điểm X có hai phần tử tập khác X tập mở khơng chứa hai phần tử cố định X Nghĩa X gọi không gian tôpô loại trừ hai điểm p, q  X, τ  S  X |  p  S,  q  S  S  X Cho đường trịn vơ hạn Khalimsky ~ e*  * , κ*  , ta xét quan hệ tương đương sau: x ~ e* y x  y x, y  Khi đó, ký hiệu không gian tôpô thương đương ~ e*  *  / ~ e* , κ Qe* , ta có kết sau  * , κ*  với quan hệ tương 63  Định lý 3.2.2 Không gian tôpô thương * / ~ e* , κ Qe*  không gian tôpô loại trừ hai điểm Chứng minh  * / ~e*   2m;; 2m  1 | m   Tập hợp lớp tương đương ~ e* là: * , κ*  với quan hệ tương đương với    ;  2m   2m  1  2m  1 Xét ánh xạ tắc π :        * Lấy V tập * / ~ e* cho π  x    x  / ~e* không chứa hai phần tử  2m      Khi ta có V   2m  1 | m  I  V tập mở  *   tập mở  Suy π1  U   2m  1  |  m  I  * , κ*  , suy  / ~ e* , κ Qe* Gọi V tập mở * / ~e* chứa phần tử     Khi đó, π 1  V  tập mở  * , κ*  chứa phần tử  Theo Định nghĩa 1.4.2 tồn tập đóng, compact C  , κ  cho π 1  V    \ C    Giả sử C khác rỗng, C đóng  , κ  nên tồn 2n  C hay 2n  π 1  V  Mặt khác, C compact nên có hữu hạn phần tử Do tồn m cho 2m   \ C   π 1  V  , suy Vậy C  , suy π 1  V   *  V hay π  2n   V, mâu thuẫn hay V  * / ~e* Hơn nữa, 2m tập đóng compact nghĩa 1.4.2., ta có  \ 2m    tập mở  *  , κ  nên theo Định , κ*  64 Hơn nữa, tồn n  : 2n   \ 2m    nên π * tập mở / ~e* chứa phần tử  2n   Không thế, nên suy π   \ 2m     \ 2m     = Vậy không gian tôpô thương điểm *   \ 2m        \ 2m    / ~ e* / ~ e , κ Qe  không gian tôpô loại trừ hai  ■ Định nghĩa 3.2.3 Cho không gian tôpô  X, τ  Không gian tôpô X gọi không gian tôpô liên kết điểm bù hữu hạn xác định cặp xếp thứ tự  p, q  với p, q  X tập sau tập mở  X, τ  : a)  b) Bất kỳ tập chứa p mà không chứa q c) X \ F , với F tập hữu hạn X chứa p mà không chứa q Cho đường trịn vơ hạn Khalimsky ~ e*  * , κ*  , ta xét quan hệ tương đương sau: x ~ o* y x  y x, y  Khi đó, ký hiệu không gian tôpô thương đương ~o*  *  * , κ*  với quan hệ tương  / ~ o* , κ Qo* , ta có kết sau: Định lý 3.2.3 Khơng gian tôpô thương tôpô liên kết điểm bù hữu hạn  * / ~ o* , κ Qo*  không gian 65 Chứng minh Tập hợp lớp tương đương ~ o* là: * / ~o*   2m;; 2m  1 | m   * , κ*  với quan hệ tương đương  với    ; 2m  1   2m  2m Xét ánh xạ tắc π :        * / ~ o* cho π  x    x  Ta có - Hiển nhiên:  κ Qo* - Xét U tập chứa Khi đó, mà khơng chứa     π 1  U   Mặt khác, theo công thức (1.1), 2m  Vκ  2m   2m  1;2m;2m  1   1  2m hay , κ  Từ suy π 1  U  tập mở *  *  2m tập mở , κ*  hay U tập mở / ~ o* - Xét U  * / ~ o* \F với F tập hữu hạn * / ~ o* chứa mà khơng chứa    Khi F chứa hữu hạn phần tử  2m  2m | m  Do U  * * / ~ o* \F tập mở Vậy không gian tôpô thương điểm bù hữu hạn ■  * / ~ o*  / ~ o* , κ Qo* không gian tôpô liên kết 66 KẾT LUẬN Như vậy, ta trình bày cách có hệ thống nghiên cứu không gian tôpô Khalimsky – chiều (đường thẳng Khalimsky), – chiều (mặt phẳng Khalimsky) khơng gian compact hóa điểm tương ứng (đường trịn vơ hạn Khalimsky mặt cầu vơ hạn Khalimsky) Qua đó, từ việc so sánh tính chất hai loại tơpơ này, ta thấy bản, không gian compact hóa điểm khơng gian tơpơ Khalimsky bảo tồn nhiều tính chất tơpơ đường thẳng Khalimsky mặt phẳng Khalimsky tính liên thơng, tiên đề tách T0 , T1 , T2 , TD , tính Sober hay chí tập trù mật không gian tương ứng sau Tuy nhiên, ta tính chất đặc trưng khác không gian tôpô Khalimsky không gian compact hóa điểm tương ứng tính compact, tính tự cắt, tính chất liên quan tới tập đóng, khơng gian Alexandroff, khơng gian phổ Từ đó, ta rút số kết luận quan trọng không gian nửa - T1 với tiên đề tách T0 không thiết không gian Alexandroff chiều ngược lại đúng; hay tập đóng khơng gian khơng thiết tập đóng compact hóa điểm khơng gian Những kết luận cung cấp thêm phản ví dụ chất lượng cho kiến thức tôpô liên quan Không thế, việc nghiên cứu quan hệ tương đương khác đường thẳng Khalimsky đường tròn vô hạn Khalimsky cho ta không gian thương tương ứng cảm sinh từ ánh xạ tắc Thơng qua giới thiệu hai loại khơng gian tôpô không gian tôpô liên kết điểm bù hữu hạn không gian tôpô loại trừ hai điểm 67 Các kết có luận văn cung cấp thêm số công cụ đắc lực nghiên cứu tiên đề tách, tính compact tính chất quan trọng khác khơng gian tơpơ Trong thời gian tới, ta có thẻ mở rộng thêm việc nghiên cứu đề tài cách nghiên cứu tính thơng thường nửa – thơng thường khơng gian tơpơ Khalimsky khơng gian compact hóa điểm tương ứng Bên cạnh đó, ta nghiên cứu thêm tính chất khơng gian tơpơ Khalimsky với số chiều lớn với không gian compact hóa điểm tương ứng để tìm số tính chất tơpơ khơng gian Hơn nữa, luận văn cịn cung cấp gợi ý hướng nghiên cứu mẻ với tôpô khác không gian kỹ thuật số tôpô MarcusWyse, tôpô  hay tôpô H giới thiệu gần đây, nghiên cứu khơng gian compact hóa điểm tơpơ để tìm thêm tính chất tơpơ có liên quan tương lai 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Al Hajri, K Belaid and L J Belaid, On Khalimsky Topology and Applications on the Digital Image Segmentation, Applied Mathematical Sciences, Vol 9, no 74, 2015, pp 3687 – 3701 [2] A Andrikopoulos, A New Proof of the Nagata-Smirnov Metrization Theorem, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 113, No 1, 2017, pp 1-5 [3] F.G Arenas, Alexandroff Spaces, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXVIII, 1999, pp 17–25 [4] K Belaid, O Echi and R Gargouri, A-spectral Space, Topology and its Applications, 138, , 2004, pp 315 – 322 [5] M.C Cueva and R K Saraf, A Research on Characterizations of Semi- T1 Spaces, Divulgaciones Mathematicas, Vol 8, No 1, 2000, pp 43–50 [6] S.-E Han, Study on Topological Spaces with the semi- T1 Separation Axiom, Honam Math J 35, 2013, pp 717–726 [7] M Hochster, Prime Ideal Structure in Commutative Rings, Trans Amer Math Soc 142, 1969, pp 43-60 [8] B Honari, Y Bahrampou, Cut-point Spaces, Proc Am Math Soc 127 (9), 1999, pp 2797–2803 [9] Il-Kang Na, A Study on Properties of Khalimsky Topological Spaces, Master thesis (supervised by S.-E Han), Chonbuk National Univ., 2017 [10] E.D Khalimsky, Applications of Connected Ordered Topological Spaces in Iopology, in: Conference of Math., Department of Provoia, 1970 [11] E.D Khalimsky, R Kopperman, P.R Meyer, Computer Graphics and Connected Topologies on Finite Ordered Sets, Topololy Applications, 36, 1990, pp 1–17 69 [12] T.Y Kong and A Rosenfeld, Digital Topology: Introduction and Survey, Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 1989, pp 357-393 [13] H.T.T Lan, Không Gian Cận Mêtríc Sober, Luận văn Thạc sĩ Hình học – Tôpô (hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh), Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2020 [14] N Levine, Semi-open Sets and Semi-continuity in Topological Spaces, Amer Math Monthly, 1963, pp 36–41 [15] H Maki, J Umehara and K Yamamura, Characterizations of T1 -spaces Using Generalized V-sets, Indian J pure appl Math, 1988, pp 634-640 [16] N Mariappan, M.L Thivagar, Some Separation Properties of the Digital line, Int J Comput Appl 64 (10) (2013) 39–41, 0975-8887 [17] E Melin, Digital Geometry and Khalimsky space, Uppsala Dissertations in Mathematics, vol 54, 2008 [18] J.R Munkres, Topology A First Course, Prentice-Hall, Inc., 1975 [19] J Šlapal, Topological Structuring of the Digital Plane, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, DMTCS, Vol 15 no (2), 2013, pp.165–176 [20] L.A Steen, J Arthur Seebach Jr., Counterexamples in Topology, Springer, 1978 [21] T Tráng, Tôpô Đại Cương, NXB Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 [22] J J Wyckoff, Compactification, A Thesis Presented to the Faculty of the Department of Mathematics Kansas State Teachers College, 1973 ... trên, với đề tài: “TƠPƠ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HĨA MỘT ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ KHALIMSKY? ??, luận văn trình bày cách có hệ thống nghiên cứu khơng gian tơpơ Khalimsky với khơng gian compact hóa điểm. .. chương 2, ta nhắc lại số định nghĩa liên quan tới không gian tôpô không gian tôpô Khalimsky với định nghĩa khác liên quan tới ánh xạ không gian tôpô không gian tôpô Khalimsky mà sử dụng cụ thể Chương... compact khơng gian compact hóa điểm theo định nghĩa 21 Định nghĩa 1.4.1 [22] Cho không gian tôpô (X, τ ) Một không gian tôpô (Y, τ' ) gọi khơng gian compact hóa khơng gian (X, τ ) (Y, τ' ) không