Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Tự Vượng PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Tơi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy nhiệt tình giảng dạy thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Phan Tự Vượng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 1.2 Bậc tôpô ánh xạ đa trị 10 1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát 14 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 19 2.1 Điểm bất động ánh xạ đa trị tăng 19 2.2 Điểm bất động ánh xạ đa trị lõm 27 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự 39 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị khơng gian có thứ tự bắt đầu nghiên cứu từ năm 1940 cơng trình mở đầu M.Krein A.Rutman phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 cơng trình M.A.Krasnoselskii , H Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các kết trừu tượng lý thuyến có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu định tính định lượng nhiều lớp phương trình bất phương trình vi phân xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị khơng gian có thứ tự chứng minh áp dụng rộng rãi lý thuyết phương trình vi phân Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy , nguyên lý đệ quy tổng quát, … nhà toán học bỏ giả thiết liên tục compact ánh xạ Do đó, cách tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng kết sang đa trị tìm ứng dụng lý thuyết phương trình Một số định nghĩa định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Nishnianidze, W V Petryshyn, P M Fitzpatrick… đưa cơng trình họ vào năm 1970 Trong năm gần tác giả S.Carl , S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy… chứng minh số kết ứng dụng phương trình vi phân , toán kinh tế lý thuyết trị chơi… Trong luận văn chúng tơi sử dụng nguyên lý phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm vectơ riêng ánh xạ đa trị khơng gian có thứ tự áp dụng phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết gần giống với kết đơn trị 2 Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương nhắc lại khái niệm, kết sử dụng.Trong gồm có khái niệm khơng gian Banach với thứ tự sinh nón ; Bậc tơpơ ánh xạ đa trị Ngun lí đệ quy tổng quát Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo Chương gồm định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Phần 2.1 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị tăng áp dụng vào phương trình dạng Lu  Nu 1 L : V  P ánh xạ đơn trị N : V  P \  ánh xạ đa trị với V, P tập thứ tự, phần tham khảo [3] , [4] Phần 2.2 trình bày điểm bất động ánh xạ đa trị lõm Đây số mở rộng kết qủa cổ điển số kết [10],[11] Chương gồm kết phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô ánh xạ đa trị đặc trình bày kết vectơ riêng ánh xạ đa trị đặc khơng gian có thứ tự Các kết qủa tham khảo [8] Phần 3.2 trình bày mở rộng kết qủa cổ điển nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng ngun lí tổng qt tập có thứ tự bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng Phương pháp bậc tôpô Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach K tập X K gọi nón nếu: i) K đóng, khác rỗng K    ii) a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K iii) x  K  x  K  x  Ví dụ 1: Cho X  n Khi K nón Ta xét K  1 ,  , ,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2, , n n Định nghĩa 1.1.2 Trong khơng gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  sau: x, y  X , x  y  y  x  K Khi quan hệ  có tính chất: 1) Phản xạ: x  x   K  x  x, x  X 2) Phản xứng: x, y  K , x  y y  x y  x  K x  y  K Do iii) ta có y  x  nên x  y 3) Bắc cầu: x, y , z  X x  y y  z y  x  K z  y  K Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K Do x  z Vậy  quan hệ thứ tự X Mệnh đề 1.1.1 Cho X khơng gian Banach với thứ tự sinh nón K Khi đó:  x   y i)   0, x, y, z  X ; x  y   x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n lim xn  x, lim yn  y x  y n  n  iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) hội tụ x xn  x,  xn  x  n Chứng minh i) Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z ii) xn  yn  yn  xn  K Vì lim  yn  xn   y  x K đóng nên y  x  K Do x  y n  iii) Giả sử  xn  tăng Với n, ta có xn  xn  m Cho m   ta có xn  x, n Định nghĩa 1.1.2 i) Nón K X gọi nón miniheral mạnh tập M bị chặn X tồn supM ii) Nón K khơng gian Banach X gọi nón chuẩn N  cho x, y  X , x  y x  N y Khi số N gọi số chuẩn K iii) Nón K X gọi nón (chính qui) dãy đơn điệu tăng bị chặn X hội tụ iv) Nón K X gọi nón tách (nón sinh) x  X , u , v  K : x  u  v Ví dụ 2: 1) K   f  C  0,1 : f  0 không nón chuẩn C1  0,1 2) K   x  C  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 nón chuẩn C1  0,1 3) Nón hàm khơng âm hầu khắp nơi L  0,1 nón L  0,1 4) Nón hàm khơng âm C0,1 khơng nón Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: i) u , v  X , u  v u,v   x  X : u  x  v tập đóng bị chặn ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,  lim xn  lim zn  x lim yn  x n  n    iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy xn k k n  hội tụ x  xn n hội tụ x Chứng minh i) u , v đóng: Giả sử xn  u , v , n lim xn  x n  Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v u , v bị chặn: x  u , v u  x  v  x-u  K, v-u  K x-u  v-u Vì K nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u Do x  N v  u  u  M ii) Giả sử xn  yn  zn , n   yn  xn  zn  xn Do K nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  n  n  Từ (*) cho n   yn  xn  Do yn   yn  xn   xn  x  n     *   iii) Giả sử  xn n dãy tăng có dãy xn k Ta có xn  x   , k0 : x  xn k k0   N k hội tụ x Ta có xn  x, k x n  xn nên x n  x, n k k Khi n  nk xn  xn  x   x  xn  x  xn k0 k0  x  xn  N x  xn k0  Vậy lim xn  x n  Định lí 1.1.1 Trong khơng gian Banach X với nón chuẩn K tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho x, y  X ,  x  y  x *  y * Chứng minh Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K  * Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  đủ lớn + Do  K    K  nên B  0,1  A + Chứng minh A  B  0, r  , r  Thật vậy, ngược lại ta xây dựng dãy  xn n  A xn  n y n , zn  B  0,1 , un ,  K cho xn  yn  un  zn  Vì un   zn  yn nên un   Do K nón chuẩn nên un  N un   N Do n  xn  yn  un   N , n (vô lý) với * Xét phiếm hàm Minkovski tập A: x   x *  inf   :  A x  A    * x  X , x  0, gọi 0  x * x x  B  0,1  A x 0 x x x  A  B  0, r  nên x *  x r x 0 x * Theo ta có  x * x  r x * Khi x  đẳng thức xảy Do chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu y  x  * Giả sử  x  y , ta có   :     :      Thật vậy, xét  cho Vì x  nên Vì x  y nên Mà y  Do Vì x  x  K   y   y  x  y  A 0  x  x   B  0,1  K K  K nên theo định nghĩa A ta có x  A x *  y * y   u  v với u  B  0,1  K 33 Trong phần khảo sát tồn điểm bất động toán tử đa trị u0 lõm Trước tiên ta nhắc lại kết có đơn trị Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Đặt P  u; v    x  X : u  x  v Định nghĩa 2.2.2 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0  Fx   u0 iii)  a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx Định lý 2.2.4 Giả sử i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u  Fu ; Fv  v Khi F có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do : Tồn N>0 cho x, y  K ; x  y x  N y Tồn M>0 cho x  P x  M Ta xét hai dãy lặp sau: xn1  Fxn ; yn1  Fyn với x0  u ; y0  v Vì F đơn điệu x0  y0 nên: x0  x1   xn  yn   y1  y0 Suy  xn n dãy tăng,  yn n dãy giảm , xn  yn , n 34 Ta chứng minh  xn n  yn n hội tụ Do X không gian Banach nên ta cần chứng minh  xn n ,  yn n dãy Cauchy Chọn    0;1 cho x0   y0 Chọn  đủ bé cho     MN   Do F toán tử u0 lõm nên   cho x  P, t   ;1    MN  ta có Ftx  1    tFx  N 1          MN Chọn N số tự nhiên thỏa điều kiện:    1    N0     MN Bằng cách giảm  xem  1    N0 1 Ta có: x0   y0 Suy Fx0  1     Fy0 hay x1  1     y1   Tiếp tục ta có : xN0  1     y N0  1  N Vì xN0  y N0 nên  y N0  xN0   MN    yN MN  yN0 Khi n  N ta có  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  nên xn p  xn  N  MN y N0  N  MN  MN yN0 M  Hồn tồn tương tự ta có  yn  yn p  yn  xn   MN y N0 suy yn  yn p  N Vậy  xn n ,  yn n dãy Cauchy nên hội tụ  MN y N0   35 Giả sử lim xn  x* ; lim yn  y* n  n  Do  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  nên yn  xn   MN  MN yN0 y N0 Cho n   ta suy x*  y* Vậy lim xn  lim yn  x n  n  Do xn  x  yn nên xn1  Fx  yn1 Cho n   ta suy x  Fx hay x điểm bất động F P Định nghĩa 2.2.3 Với A, B  X ta định nghĩa A  B  a  A; b  B : a  b Ánh xạ F : X  X gọi tăng x  y Fx  Fy  A   a a  A Định nghĩa 2.2.4 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0   Fx   u0  iii)   a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx Định lý 2.2.5 Giả sử i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u  Fu ; Fv  v 36 iv) supFx tồn thuộc Fx x  P Khi F có điểm bất động P Chứng minh Xét ánh xạ đơn trị f : P  P xác định f(x)=supFx Rõ ràng f định nghĩa tốt x điểm bất động f điểm bất động F Ta kiểm tra f thỏa điều kiện định lý 2.2.4 Hiển nhiên F tăng nên f tăng x  P,  ,  :  u0   Fx   u0  suy  u0  f  x    u0  a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx f  tx   1    tf  x  Vậy theo định lý 2.2.4 f có điểm bất động x điểm bất động F Nếu X ta xét thứ tự mạnh định lý 2.2.5 ta giảm bớt giả thiết supFx tồn thuộc Fx x  P Định nghĩa 2.2.5 Với A, B  X ta định nghĩa AB  a  A; b  B : a  b Ánh xạ F : X  X gọi tăng x  y FxFy Định nghĩa 2.2.6 Cho u0  Toán tử F : P  P gọi u0 lõm P nếu: i) F đơn điệu P ii) x  P,  ,  :  u0  Fx  u0  iii)   a, b    0;1 ,   cho x  P, t   a, b  Ftx  1    tFx 37 Định lý 2.2.6 Giả sử: i) K nón chuẩn ii) F: P  P toán tử u0 lõm P iii) u Fu ; Fv v Khi F có điểm bất động P Chứng minh Do K nón chuẩn nên P đóng bị chặn Do : Tồn N>0 cho x, y  K ; x  y x  N y Tồn M>0 cho x  P x  M Ta xét hai dãy lặp sau: xn1  Fxn ; yn1  Fyn với x0  u ; y0  v Vì F đơn điệu x0  y0 nên dễ dàng suy : x0  x1   xn  yn   y1  y0 Suy  xn n dãy tăng,  yn n dãy giảm , xn  yn , n Ta chứng minh  xn n  yn n hội tụ Do X không gian Banach nên ta cần chứng minh  xn n ,  yn n dãy Cauchy Chọn    0;1 cho x0   y0 Chọn  đủ bé cho     MN   Do F toán tử u0 lõm nên   cho x  P, t   ;1  ta có Ftx  1    tFx  N 1          MN Chọn N số tự nhiên thỏa điều kiện:    1    N0     MN   MN  38 Bằng cách giảm  xem  1    N0 1 Ta có: x0   y0 Suy Fx0  1     Fy0 suy x1  1     y1   Tiếp tục ta có : xN0  1     y N0  1  N Vì xN0  y N0 nên  y N0  xN0   MN    yN MN  yN0 Khi n  N ta có  xn p  xn  yn  xn  y N0  xN0  xn p  xn  N  MN y N0  N  MN  MN MN y N0 nên M  Hồn tồn tương tự ta có  yn  yn p  yn  xn  y n  yn  p  N   MN y N0 nên y N0   Vậy  xn n ,  yn n dãy Cauchy nên hội tụ Tương tự định lý 2.2.4 ta suy tồn x cho lim xn  lim yn  x n  n  Do xn  x  yn nên Fxn Fx Fyn suy  xn1 Fx   yn1 Do xn1  x  yn1 x  Fx Cho n   ta suy x  x , x  Fx hay  x  Fx (đpcm) 39 Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị không gian có thứ tự Mệnh đề 3.1.1 [8] Cho X không gian Banach M  X với M tập lồi đóng , bị chặn Ánh xạ đa trị F: M  X k1  set co f: F ( M )  M k2  set co giả sử k1k2 ta có  x0  F ( x0 ) r Hệ 3.1.1 Cho X khơng gian Banach với K nón chuẩn với số chuẩn N  y F: K r  2K k  set co Đặt   sup inf s(0,r ) 2rkN    Khi y  F ( x ), s  x  r  1thì tồn   x  Kr cho  x  F ( x ) Chứng minh x  N y với x, y  K , x  y , suy Do K nón chuẩn nên ta có x  N x  y với x, y  K Chọn  '  s  (0, r ) cho  inf y 2rkN  '  y  F ( x ), s  x  r   ' Chọn   K cho   có y  (r  x )  ' N ' rs Khi x  Kr y  F ( x ) ta với x  K r Áp dụng định lý 3.1.1 ta có điều phải chứng minh 41 Định lý 3.1.2 Cho X khơng gian Banach với nón K Ánh xạ F: K r  2K k  set co với k  (0;1) ánh xạ G: K r  2K compact Giả sử tồn   ,  0 cho y   với y  G ( x ) x   K K r ; iK ( F , K  Br )  Khi tồn   x   K K r cho x  F ( x )  G ( x ) Chứng minh   Chọn x0  K , x0  cho tx0 t     C ( K Kr ) K   Ta chứng minh tồn 0  cho x  F ( x )  0G ( x )   x0   x   K Kr Thật vậy, 0 khơng tồn ta chọn n  , n   (0;  )  xn    K Kr cho n    xn  F ( x n )  nG ( xn )   n x0 với n Khi F ( K Kr )  K Kr tập bị chặn nên ta chọn yn  G ( xn )  cho  yn   n  x   Vì yn  bị chặn yn   với n, nên n  n       x0  C ( K Kr ) K Điều mâu thuẫn với cách chọn x0 n Vậy 0 thỏa tính chất tồn Xét H n ,t  F ( x )  0G ( x )  tnx0 với t   0;1 x  Kr Ta có x  H n ,t với t   0;1 x  Kr H n ,t k  set co đồng luân dương Do iK ( F  0G , K  Br )  iK ( F  0G  nx0 , K  Br ) , điều với n nên iK ( F  0G , K  B (0, r ))  Thật , ngược lại ta phải có nx0 n  N    I  F  0G   Kr   I  F  0G   Kr  tập bị chặn điều mâu thuẫn 42 Đặt Ft ( x )  F ( x )  t0G ( x ) với t   0;1 x  Kr Ft k  set co đồng luân dương iK ( F0 , K  Br )  iK ( F1 , K  Br ) Do tồn t   0;1 x   K K  Br cho x  Ft ( x ) Vậy x  F ( x )  G ( x ) với   t0  Hệ 3.1.2 Cho X khơng gian Banach với nón K Ánh xạ F: Kr  2K k  set co ánh xạ G: Kr  2K compact Giả sử tồn   ,   cho y   với y  G ( x ) x   K K r Khi tồn   ,   cho với   (0; 0 ) tồn    (  )  x   K Kr thỏa x   F ( x )  G ( x ) Chứng minh   Chọn  cho  k  0 F Kr  B(0, r ) Khi với   (0;  )  F  k  set co thỏa  k  Hơn x  t  F ( x) với t   0;1 x   K Kr nên iK (  F , K  B (0, r ))  Do áp dụng định lý 3.1.3 cho  F G ta có điều phải chứng minh 43 3.2 Nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số Trong phần khảo sát tồn nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình x  F , x  (3.2) với I=  0;  F : P  2P \  ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục ( compact ) Ta ký hiệu tập nghiệm phương trình (3.2)     , x   I x P x  F   , x  , x    Đặt   S  x  P /     I : x  F   , x  Định nghĩa 3.2.1 Ta nói S nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  S  G   với tập mở, bi chặn G chứa  Sử dụng định lý 1.2.3 ta chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho F : P  2P \  G lân cận mở bị chặn  Giả sử tồn 1 , 2  I x0  P /   cho: i)  x  F  1 , x  x  P  G;   ii) x   x0  F  2 , x  Khi S  G   x  P  G;   44 Định lý 3.2.1 Cho F : P  2P \  ánh xạ đa trị hoàn toàn liên tục thoả điều kiện sau : 1) Tập nghiệm S (3.2) nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  2) Với x  S tồn     x   I để   , x  nghiệm (3.2) 3) Với đoạn  r ; R    0;   tồn đoạn  ;     0;   cho x  S , x   r ; R     x    ;   4) a) lim sup   x   o    lim inf   x  x 0 x  b) lim sup   x     0  lim inf   x  x  x 0 Khi với    0 ;   (     ; 0  ) phương trình (3.2) có nghiệm x  P \   Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp a) , trường hợp b) chứng minh tương tự Giả sử phản chứng :    0 ;   : x  F   , x  x  P \   (3.2.1) Ta xét     x  S :   x    S1  x  S :   x    , S2 Từ giả thiết 4) định nghĩa S1 , S2 ta có sup  x : x  S1   ; inf  x : x  S2   (3.2.2) Kết hợp với 1) suy inf  x : x  S1  (3.2.3) Ta chứng minh: inf  x  y : x  S1 ; y  S2     Thật , (3.2.4) khơng  xn   S1; yn   S2 cho (3.2.4) ta tìm dãy lim xn  yn  n  Do 4) nên tồn  r ; R    0;   cho  x ; y    r; R  n n 45 Do theo 3) tồn  ;     0;   để   xn  ;  yn    ;   Vì   xn  ;  yn  bị chặn , xn  F    xn  , xn  ; yn  F    yn  , yn  F hoàn toàn liên tục nên ta chọn dãy nk  cho xnk  x0 ; ynk  y0 ;   xn   1 ;   yn   2 k Khi x0  F  1 ; x0  ; y0  F  2 ; y0  k ; 1    2 Theo 2) ta phải có 1    2 , điều mâu thuẫn với (3.2.1) Vậy inf  x  y : x  S1 ; y  S2       Đặt G   B  x;  Ta có G tập mở bị chặn chứa  ( (3.2.3)) xS1   Theo cách xây dựng G ta có S1  G   , theo (3.2.4) ta có S  G   Suy S  G   , điều mâu thuẫn với 1) Vậy giả thiết (3.2.1) sai định lý chứng minh 46 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết cổ điển số mở rộng ban đầu điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm , véctơ riêng ánh xạ đa trị nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số khơng gian có thứ tự Tuy nhiên, chúng tơi chưa có điều kiện trình bày ứng dụng kết vào lớp phương trình cụ thể , đặc biệt phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số không gian có thứ tự Một số hướng phát triển luận văn là: 1) Làm giảm nhẹ điều kiện kết trình bày luận văn 2) Tìm kết phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc nhiều tham số 3) Tìm ứng dụng kết lý thuyết vào lớp phương trình cụ thể Qua trình làm luận văn thấy kiến thức học học phần giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tơpơ … giúp tơi nhiều việc hồn thành luận văn Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Carl (1999), S.Heikkila: Operator and diffrential equations in oedered space , J.Math.Anal.Appl.134, 31-54 S.Carl (2000), S.Heikkila: Nonlinnear Diffrential Equations in ordered spaces , ChapmanHall/CRC S.Carl (2004), S.Heikkila: Fixed point theorem for multifunctions with appliciations to discontinuous operator and diffrential equations, J.Math.Anal.Appl 297, 56-69 S.Heikkila: Existence and comparison results for operator and diffrential equations in abstract spaces, J.Math.Anal.Appl.274(2002), 586-607 S.Heikkila: On extremal solutions of inclusions problems with applications to game theory,Non.Anal.69(2008), 3060-3069 N.B.Huy: Fixed points of increasing multivalued operators and an appliciations to discontinuous elliptic equations, Non.Anal.51(2002), 673678 W.V Petryshyn, P M Fitzpatrick: A Degree Theory, Fixed Point Theorems, and Mapping Theorems for Multivalued Noncompact Mappings, Trans Math 194 (1974), 1-25 W.V Petryshyn, P M Fitzpatrick: Positive eigenvalues for nonlinear multivalued noncompact operators with applications to differential operators Jour.Diff Equa, 22 (1976) , 428-441 W V Petryshyn, P M Fitzpatrick: Fixed point theorems and the fixed point index for mappings in cones, J.London Math Sot 11 (1975), 75-85 10 Zhai Chengbo ,Yang Chen: Some fixed point theorems for multivalued maps in ordered Banach spaces and applications Inter.Jour.Math 20 (2005), 32473259 11 Zengqin Zhao, Xinsheng Du: Fixed points of generalized e-concave (generalizede-convex) operators and their applications J.Math.Anal Appl 334 (2007),1426-1438 ... điểm bất động ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm , véctơ riêng ánh xạ đa trị nhánh liên tục tập nghiệm dương phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số khơng gian có thứ tự Tuy nhiên,... 3: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị khơng gian có thứ tự Mệnh đề 3.1.1 [8] Cho X không gian Banach M  X với M tập lồi đóng , bị chặn Ánh xạ đa trị. .. Điểm bất động ánh xạ đa trị lõm 27 Chương PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39 3.1 Véctơ riêng ánh xạ đa trị khơng gian có thứ tự 39 3.2 Nhánh liên tục tập