Phương trình đồng dư một ẩn và phương trình vô định

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: Giáo viên hướng dẫn : TS Đậu Thế Cấp Sinh viên thực : Nguyễn Thị Thuý Hằng Khoá : VI Tp.HCM, 05/2004 LỜI NÓI ĐẦU Số học, ngành lâu đời hấp dẫn toán học, nhà toán học tiếng gọi “bà chúa toán học” Các toán số học làm say mê nhiều người, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn yêu toán Trong khuôn khổ luận văn, xin trình bày phương trình đồng dư ẩn phương trình vô định Đó chủ đề toán học xa xưa từ lâu quen thuộc với bạn trẻ yêu toán Về nội dung, luận văn gồm chương: Chương I: Trình bày số kiến thức đồng dư thức phương trình đồng dư Chương II: Trình bày phương pháp giải phương trình đồng dư Chương III: Trình bày phương trình vô định Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến nhận xét, đóng góp quý thầy cô bạn Trong trình làm luận văn, có tham khảo số tài liệu, xin chân thành cảm ơn tác giả Chúng xin chân thành cảm ơn Tiến só Đậu Thế Cấp tận tình hướng dẫn, xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa tạo điều kiện cho thực hoàn thành luận văn Sinh viên thực Nguyễn Thị Thuý Hằng MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương I ĐỒNG DƯ THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ §1 Định nghóa đồng dư thức §2 Các tính chất đồng dư thức §3 Phương trình đồng dư ẩn 11 Chương II PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ 13 §1 Phương pháp giải phương trình bậc 13 §2 Phương pháp giải phương đồng dư bậc cao 17 §3 Định lý Wilson 21 Chương III PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH 23 §1 Phương trình vô định bậc 23 §2 Định lý Trung Hoa thặng dư 33 Tài liệu tham khảo LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Chương I ĐỒNG DƯ THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ §1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒNG DƯ THỨC Cho m số nguyên dương Ta nói hai số nguyên a b đồng dư với theo môđun m phép chia a b cho m, ta số dư Ký hiệu: a ≡ b (mod m) Hệ thức a ≡ b (mod m) gọi đồng dư thức, a gọi vế phải, b gọi vế trái đồng dư thức 46 ≡ 16 (mod 10) Thí dụ: 19 ≡ (mod 8) –2 ≡ 16 (mod 3) Trong trường hợp không xảy a b đồng dư với theo mô đun m, ta viết: a Thí dụ: 12 b (mod m) (mod 10) Định lý Điều kiện cần đủ để a ≡ b (mod m) a – b Mm Chứng minh Nếu a ≡ b (mod m) tồn q , q , r cho: a = mq + r vaø b = mq + r suy ra: a – b = m(q – q ) Vaäy a – b Mm Ngược lại, a – b Mm tồn q cho a – b = mq Từ đó, a chia cho m dư r a = mq + r, ≤ r < m ta có b = a – mq = m(q – q) + r Vaäy, b chia cho m có số dư r Nhận xét Trong định lý này, cho b = 0, ta nhận a ≡ (mod m) ⇔ a Mm SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Định lý Quan hệ đồng dư theo môđun m quan hệ tương đương Z Chứng minh Với a ∈ Z, ta có: a – a = Mm nên a ≡ a (mod m) Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất phản xạ Với a, b ∈ Z, a ≡ b (mod m) ⇒ a – b Mm ⇒ b – a Mm ⇒ b ≡ a (mod m) Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất đối xứng Với a, b, c ∈ Z, a ≡ b (mod m) vaø b ≡ c (mod m) ⇒ a – b Mm vaø b – c Mm ⇒ a – c = (a – b) + (b – c) Mm ⇒ a ≡ c (mod m) Vậy, quan hệ đồng dư có tính chất bắc cầu Nhận xét Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư gọi lớp thặng dư Lớp thặng dư chứa n ký hiệu n Dễ thấy quan hệ đồng dư theo m có m lớp thặng dư là: , , , … , m − Định nghóa hệ thặng dư đầy đủ: Một tập hợp H số nguyên gọi hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m nếu: − Các số nguyên H đôi không đồng dư với theo môđun m − Mọi số nguyên đồng dư theo môđun m với số H Mỗi số nguyên H gọi thặng dư SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP §2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG DƯ THỨC a) Ta cộng trừ vế nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể ta có: a i ≡ b i (mod m), i = 1, 2, …, k ta có a ± a ± … ± a k ≡ b ± b ± … ± b k (mod m) b) Ta nhân vế với nhiều đồng dư thức theo môđun Cụ thể ta có: a i ≡ b i (mod m), i = 1, 2, …, k ta có a a … a k ≡ b b … b k (mod m) Chứng minh a) Từ a i ≡ b i (mod m), i = 1, 2, …, k tồn t i ∈ Z, cho a i = b i + mt i , i = 1, 2, …, k Cộng (hoặc trừ) vế đẳng thức ta được: a ± a ± … ± a k = b ± b ± … ± b k + m(t ± t ± … ± t k ) Đẳng thức chứng tỏ: a ± a ± … ± a k ≡ b ± b ± … ± b k (mod m) b) Từ đẳng thức a i = b i + mt i , nhân vế đẳng thức, ta được: a a … a k = b b … b k + mt, t ∈ Z Đẳng thức chứng tỏ: a a … a k ≡ b b … b k (mod m) Hệ a) a ≡ b (mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c (mod m) Thật vậy, ta áp dụng tính chất 1.a) với hai đồng dư thức a ≡ b (mod m) c ≡ c (mod m) b) a + c ≡ b (mod m) ⇒ a ≡ b – c (mod m) Thật vậy, áp dụng hệ a) cộng vào hai vế đồng dư thức a + c ≡ b (mod m) với –c c) a ≡ b (mod m) ⇒ a + km ≡ b (mod m), ∀ k ∈ Z Ta áp dụng tính chất 1.a) với hai đồng dư thức: SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP a ≡ b (mod m) km ≡ (mod m) d) a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m), ∀ c ∈ Z Thật vậy, ta áp dụng tính chất 1.b) với hai đồng dư thức: a ≡ b (mod m) c ≡ c (mod m) e) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m), ∀ n ∈ Z, n > Thaät vaäy, ta áp dụng tính chất 1.b) với n đồng dư thức a ≡ b (mod m) g) Giả sử f(x) đa thức với hệ số nguyên Nếu ta có: α ≡ β (mod m) ta có: f(α) ≡ f(β) (mod m) Đặc biệt, f(α) ≡ (mod m) ta có: f(α + km) ≡ (mod m) ∀ k ∈ Z Thaät vậy, giả sử f(x) = a + a x + … + a n xn Theo giả thiết: α ≡ β (mod m), ta suy a i αi ≡ a i βi (mod m), i = 1, 2, …, n Do a + a α + … + a n αn ≡ a + a β + … + a n βn (mod m) Nghóa f(α) ≡ f(β) (mod m) Đặc biệt, ta có α ≡ α + km (mod m), k ∈ Z neân f(α) ≡ f(α + km) (mod m) mà nên ta có f(α) ≡ (mod m) f(α + km) ≡ (mod m) Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng ước nguyên tố với môđun Cụ thể là: ac ≡ bc (mod m) , ÖCLN (c, m) = ⇒ a ≡ b (mod m) Chứng minh Nếu ac ≡ bc (mod m) ⇒ m Ta có ƯCLN (m, c) = neân m ac – bc hay m c(a – b) a – b nghóa a ≡ b (mod m) a) Ta nhân hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương Nếu ta có a ≡ b (mod m) ta có ac ≡ bc (mod mc), với c số nguyên dương SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP b) Ta chia hai vế môđun đồng dư thức cho ước chung dương chúng Cụ thể là: Nếu ta có a ≡ b (mod m), < d ∈ Z, d ÖCLN (a, b, m) ta có: m a b ≡ (mod ) d d d Chứng minh a) Nếu a ≡ b (mod m) tồn t ∈ Z cho a = b + mt neân ta coù ac = bc + (mc)t ⇒ ac ≡ bc (mod mc) b) Từ giả thiết d ƯCLN (a, b, m) Ta đặt a = da', b = db’, m = m’d với a’, b’, m’ ∈ Z Vì a ≡ b (mod m) ⇒ a = b + mt, t ∈ Z ⇒ da' = db’ + dm’t ⇒ a’ = b’ + m’t, t ∈ Z ⇒ a’ ≡ b’ (mod m’) hay a b m ≡ (mod ) d d d Nếu hai số a b đồng dư với theo nhiều môđun chúng đồng dư với theo môđun bội chung nhỏ môđun Cụ thể có a ≡ b (mod m i ), i = 1, 2, …, k ta có a ≡ b (mod m), m = BCNN (m , m , …, m k ) Chứng minh a ≡ b (mod m i ) , i = 1, 2, …, k ⇒ a – b bội chung m , m , …, m k Đặt m = BCNN (m , m , …, m k ) ⇒ a – b bội m ⇒ a ≡ b (mod m) Nếu a b đồng dư với theo môđun m chúng đồng dư với theo môđun ước dương m Cụ thể có: ta coù a ≡ b (mod m), d m, d > a ≡ b (mod d) Chứng minh Ta có a – b Mm, d SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng m ⇒ a – b Md ⇒ a ≡ b (mod d) Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Nếu a ≡ b (mod m) ƯCLN (a, m) = ƯCLN (b, m) Chứng minh Ta có a ≡ b (mod m) ⇒ tồn t ∈ Z cho a = b + mt Đẳng thức chứng tỏ tập hợp ước chung a m trùng với tập hợp ước chung b m Do ƯCLN (a, m) = ƯCLN (b, m) SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 10 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN I Định nghóa: Phương trình đồng dư ẩn đồng dư thức có dạng f(x) = a xn + a xn-1 + … + a n-1 x + a n ≡ (mod m), đó: (1) m, n ∈ N* số nguyên a , a , … , a n gọi hệ số a không chia hết cho m x gọi ẩn phương trình đồng dư Nếu với số nguyên x = x , ta có f(x ) ≡ (mod m) đồng dư thức x nghiệm phương trình (1) II Các tính chất đơn giản: Nếu r nghiệm phương trình giá trị y với y ≡ r (mod m) nghiệm phương trình Thật vậy, ta coù y ≡ r (mod m) ⇒ ∀ i ∈ N ta có: yi ≡ ri (mod m) Từ ñoù ta coù a n-i yi ≡ a n-i ri (mod m) , (i = 0, 1, … , n) Cộng vế n + đồng dư thức ta được: f(y) ≡ f(r) (mod m) Vì r nghiệm phương trình nên f(r) ≡ (mod m) ⇒ f(y) ≡ (mod m) Nhận xét Lớp thặng dư theo môđun m mà phần tử thuộc nghiệm gọi nghiệm phương trình đồng dư Giải phương trình đồng dư tìm tất nghiệm Vậy, để tìm nghiệm phương trình đồng dư, ta cho x lấy giá trị hệ thặng dư đầy đủ xem giá trị nghiệm phương trình cho Nếu có số x , t thoả mãn f(x ) = mt SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 11 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP toạ độ x , y M Về phương diện đại số, giải vần đề này, ta có kết sau: II Tập hợp nghiệm nguyên: Định lý Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên (x , y ) có vô số nghiệm nguyên Họ tất nghiệm nguyên (1) là: x = x0 + b t D y = y0 - b t D t ∈ Z, D = ƯCLN (a, b) Chứng minh ax + by = c nên: Vì ax + by = c ⇔ a(x - x ) ⇔ Vì ( = -b(y - y ) a b ( x - x ) = - (y - y ) D D a b , ) = neân: D D b b    x - x ≡ (mod D )  x = x0 + D t ax + by = c ⇔  ⇔  a(x - x ) a  y - y0 =  y = y0 − t D  −b  Vậy định lý chứng minh III Phương pháp để tìm nghiệm phương trình ax + by = c (1) Theo định lý trên, để giải phương trình (1) cần tìm nghiệm Sau hai phương pháp để tìm nghiệm phương trình (1):  Sử dụng thuật toán Euclide Nếu D = ƯCLN (a, b) ta tìm số u v cho: au + bv = D ⇒ a Ta coù: cu cv +b =c D D x0 = cu cv , y0 = D D SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 24 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP  Áp dụng định lý Euler Giản ước cho D ta đưa phương trình trường hợp (a, b) = Không tính tổng quát, ta giả thiết b > Theo định lý Euler: aϕ (b) ≡ (mod b), tìm số k cho: aϕ (b) = + kb Từ ta coù : a caϕ (b) – + b (-kc) = c Vaäy x = caϕ (b) – 1, y = -kc Ví dụ: Giải phương trình: 53x + 32y = 14 Giải Vì (53, 32) = nên phương trình có nghiệm Theo thuật toán Euclide 53 = 32 + 21 ⇒ 21 = 53 - 32 32 = 21 + 11 ⇒ 11 = 32 - 21 21 = 11 + 10 ⇒ 10 = 21 - 11 11 = 10 + ⇒ = 11 - 10 1 = 11 - (21 - 11 1) 1 = - 21 + 11 = - 21 + (32 - 21 1) = 32 - 21 = 32 - (53 - 32 1) = - 53 + 32 = 53 (-3) + 32 Vaäy u = -3, v = x0 = 14.(-3) 14 = -42 , y = = 70 1 (-42, 70) nghiệm phương trình Họ tất nghiệm phương trình là: x = -42 + 32t , t∈ Z  y 70 = 53t  SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 25 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Giải phương trình: 15x + 4y = Giải Vì (15, 4) = nên phương trình có nghiệm Ta có: ϕ(4) = Theo định lý Euler: 15ϕ (4) ≡ (mod 4) 152 ≡ (mod 4) ⇒ 152 = + k ⇒ k = 56 Vậy, phương trình có nghiệm là: x0 = 152 – = 45 y0 = -56 =-168 Họ tất nghiệm phương trình laø:  x = 45 + 4t , t∈ Z   y = -168 - 15t Nhận xét Nếu a b việc tìm nghiện nguyên phương trình (1) coi giải Thật vậy, chẳng hạn a = phương trình (1) trở thành x + by = c Khi đó, tập hợp nghiệm nguyên gồm cặp số nguyên (x, y)  x = c - bt , t∈ Z  y = t Ví dụ: Phương trình 15x - 3y = -45 tương đương với phương trình 5x - y = -15 hay y = 5x + 15 nên ta được: x = t , t∈ Z   y = 15 + 5t họ tất nghiệm nguyên phương trình Trong trường hợp a b khác khác ta chuyển việc tìm nghiệm nguyên phương trình (1) việc tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn mà hệ số ẩn ± SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 26 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ví dụ: GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Giải phương trình: 47x - 17y = Giaûi 47x - 17 47x - 17y = ⇔ y = ⇔ y = 2x + 13x - 17 ⇔ y = 2x + u , u ∈ Z với u = 13x - 17u + ⇔x= 17 13 ⇔ x=u+ 4u + 13 ⇔ x = u + v , v∈ Z với v = 4u + 13v − ⇔u= 13 ⇔ u = 3v + v-5 ⇔ u = 3v + t , t ∈ Z với t = v-5 ⇔ v = 4t + Ta coù u = 15 + 13t  x = 20 + 17t  y = 50 + 47t Từ ta có  Đối với phương trình bật nhiều ẩn, phương trình: a1x1 + a2x + + anxn = c có nghiệm nguyên (a , a , , a n )c Để giải phương trình hệ phương trình bậc nhiều ẩn ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giảm số ẩn, dùng phép để giảm số phương trình Ví dụ: Giải phương trình 6x + 15y + 10z = Giải Ta có x = - 15y - 10z - 3y + 2z = -2 y - 2z + 6 SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 27 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP ⇔ x = -2y - 2z + u với u = - 3y + 2z y -1 ⇒ z = 3u + y - + ⇒ z = 3u + y - + v với v = y -1 ⇒ y = 2v + Từ ta nghieäm:  x = -2 - 5u - 10v  (u, v ∈ Z)  y = + 2v  z = 3u + 3v  IV Mối liên hệ phương trình đồng dư bậc phương trình vô định ax + by = c Ta giả thiết b > Khi (x , y ) nghiệm nguyên phương trình vô định ax + by = c nghóa ta có ax + by = c Điều chứng tỏ ax ≡ c (mod b) y = c - ax b Đảo lại, có số nguyên x cho có đồng dư thức ax ≡ c (mod b) c - ax ≡ (mod b) nghóa có số nguyên y để c – ax = by Từ suy ax + by = c Nói khác đi, phương trình vô định ax + by = c có nghiệm (x , y ) Vậy, điều kiện phương trình vô định ax + by = c có nghiệm nguyên tương đương với điều kiện phương trình đồng dư ax ≡ c (mod b) có nghiệm, ƯCLN (a, b) ước c Việc giải phương trình vô định ax + by = c đưa giải phương trình đồng dư ax ≡ c (mod b) Ví dụ Giải phương trình 11x + 47y = 40 Giải Trước hết, ta giải phương trình đồng dư 47y ≡ 40 (mod 11) ⇔ 3y ≡ -4 (mod 11) ⇔ 3y ≡ -15 (mod 11) ⇔ y ≡ -5 (mod 11) SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 28 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ⇔ y Khi GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP ,t∈Z = -5 + 11t 40 - 47y = 25 - 47 t 11 x= Vậy, họ tất nghiệm phương trình là:  x = 25 - 47t ,t∈Z   y = -5 + 11t Bài tập áp dụng Tìm chữ số x y hệ thập phân cho chia xxxxx cho yyyy thương 16 dư r, chia xxxx cho yyy thương 16 số dư nhỏ r 2000 đơn vị Giải Từ giả thiết ta có:  10 x + 10 x + 10 x + 10x + x = 16(10 y + 10 y + 10y + y) + r  10 x + 10 x + 10x + x = 16(10 y + 10y + y) + r - 2000  Từ suy phương trình vô định: 104x = 16 103y +2000 hay5x = 8y + Giải phương trình vô định x= 8y + ⇔ x = 2y + - 2y ⇔ x = 2y + u , u ∈ Z với u = - 5u - 2y ⇔y= ⇔ y = -3u + 1+ u ⇔ y = -3u + v với v = ,v∈ Z 1+ u ⇔ u = 2v - SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 29 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP x = - 8v Từ ta có:   y = - 5v Vì ≤ x; y ≤ nên ta phải chọn v = ta x = y = Với x = y = 3, ta có: 55555 = 3333 16 + 2227 5555 = 333 16 + 227 Vậy x = y = Tìm năm sinh nhà thơ Nguyễn Du, biết năm 1786 tuổi ông tổng chữ số năm ông sinh Giải Ta biết Nguyễn Du sống không đến 86 tuổi Vậy, năm sinh ông là: 17 xy , ta có phương trình: 1786 - 17xy = + + x + y (0 ≤ x ≤ 8, ≤ y ≤ 9) ⇔ 1786 – (1700 + 10x + y) = + x + y ⇔ 11x + 2y = 78 Ta giải phương trình y= 78 - 11x y = 39 - 6x + x y = 39 - 6x + t , t ∈ Z Với t = x ⇔ x = 2t y = 39 – 2t + t = 39 – 11t maø ≤ x ≤ ⇒ ≤ 2t ≤ ⇒ ≤ t ≤ ≤ y ≤ ⇒ ≤ 39 – 11t ≤ ⇒ ≤ t ≤ với t = 2: x = 4, y = 17 (loaïi) t =3: x = 6, y = (chọn) Vậy, năm sinh nhà thơ Nguyễn Du 1766 SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 30 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Giải toán cổ: Trăm trâu, trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già ? Giải Gọi x số trâu đứng, y số trâu nằm, z số trâu già Ta có x, y, z nguyên dương x + y + z = 100 7 x + 4y = 100   5x + 3y + z = 100 ⇔   z = 100 - x - y  Từ phương trình thứ nhất, ta có: y = 25 – 2x + x  x = 4t x  Đặt t = ta có  y = 25 - 7t z = 75 + 3t  Do 4t > ⇒ t > 25 - 7t > ⇒ t ≤ Vaäy t = 1, 2, Thay t = 1, 2, ta ba nghiệm toán là: (4, 18, 78) , (8, 11, 81) , (12, 4, 84) Chứng minh với cặp số nguyên dương m, n có phương trình bậc hai ẩn ax + by = c với hệ số a, b, c số nguyên, nhận x = m, y = n nghiệm nguyên dương Giải Giả sử m, n hai số nguyên dương a, b hai số nguyên tố khác lớn m + n Giả sử c = am + bn, x = m, y = n nghiệm nguyên dương phương trình ax + by = c SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 31 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Thật vậy, giả sử x , y nghiệm nguyên dương khác phương trình, tức ax + by = c đồng thời x ≥ m, y > n hoaëc x > m, y ≥ n ax + by > am + bn = c Do < x < m hoaëc < y < n Nếu x < m < m – x < m vaø ax + by = am + bn Neân by = a(m – x ) + bn nghóa b a(m - x ) Nhưng (a, b) = kéo theo b (m - x ) điều xảy với b > m Tương tự, y < n ta đến mâu thuẫn §2 ĐỊNH LÝ TRUNG HOA VỀ THẶNG DƯ SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 32 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP I Định lý Trung Hoa thặng dư Định lý Cho số a , a , … , a n nguyên dương, nguyên tố sánh đôi số b , b , … , b n tuỳ ý (n ≥ 2) Khi đó, tồn số nguyên y n cho y n ≡ b i (mod a i ) với i ≤ n Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với n = Do (a , a ) = nên tồn x , x để: a1x1 − a 2x2 = b2 − b1 a1x1 + b1 = a2x2 + b Đặt y2 = a1x1 + b rõ raøng y2 ≡ b (mod a ) y2 ≡ b (mod a ) ⇔ Giả sử định lý với n = k, k > tức tồn y k để y k ≡ b i (mod a i ) với i ≤ k Ta chứng minh định lý với n = k + Đặt a = a a …a k Do (a , a k+1 ) = nên tồn (x, x k+1 ) để: ax − a k+1 x k+1 = b k+1 − y k = a k+1 x k+1 + b k+1 ⇔ ax + y k y k+1 = a k+1 x k+1 + b k+1 ⇒ y k+1 = ax + y k Đặt Hiển nhiên y k+1 ≡ b k+1 (mod a k+1 ) vaø a Ma i với i ≤ k nên ta có: ≡ y k (mod a i ) y k+1 Do đó, theo giả thiết quy nạp ta có: y k+1 ≡ b i (mod a i ) với i ≤ k Kết với n = k + Vậy định lý chứng minh II Một vài ứng dụng SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 33 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Xét hệ gồm n–1 phương trình bậc n ẩn (n ≥ 2) daïng: a x + b = a x + b = … = a n x n + b n (1) a , a , … , a n vaø b , b , … , b n số nguyên cho trước, a , a , … , a n đồng thời khác nguyên tố sánh đôi Ta phát biểu định lý Trung Hoa thặng dư theo cách khác: Với điều kiện a , a ,… , a n nguyên tố sánh đôi, hệ phương trình (1) có nghiệm nguyên Thực hành giải hệ phương trình (1) Ta đặt a x + b = a x + b = … = a n x n + b n = y Trước tiên xét: a x + b = a x + b = y Ta thấy phương trình a x + b = a x + b có nghiệm nguyên là: x1 = c1 + a 2t2 x2 = c2 + a 1t2 với c , c thoả mãn a c + b = a c + b t số nguyên tuỳ ý Thay x = c + a t vào biểu thức y = a x + b ta y = y + a a t với y = a c + b Hệ phương trình (1) tương đương với hệ: x1 = c1 + a2t x2 = c2 + a1t y = a1a2t2 + y2 = a2x + b2 = … = a nxn + bn Ta xeùt y = a a t + y = a x + b Vì a a nguyên tố với a nên phương trình a a t + y = a x + b có nghiệm nguyên là: t2 = d1 + a3t x3 = d2 + a1a2t với d , d thoả mãn a a d + y = a d + b vaø t laø số nguyên tuỳ ý Thay t = d + a t vào biểu thức y = a a t +y , x = c + a t vaø x = c + a t ta được: y = a1a2d1 + y2 + a 1a2a3t3 x1 = a2d1 + c + a2a3t SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 34 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP x2 = a1d1 + c + a1a3t Do hệ phương trình (1) tương đương với hệ: x = (a d + c ) + a a t x = (a d + c ) + a a t x3 = d2 + a1a2t y = y3 + a1a2a3t = a4x + b4 = … = anxn + bn Cứ tiếp tục tiến hành thế, sau n−1 bước ta đến: y = yn + a1a2 … ant ta nghiệm phương trình (1) là: x = x10 + a t a1 x = x 02 + a t a2 x n = x 0n + a t an y n , x10 , x 02 , …, x 0n laø số nguyên xác định, t số nguyên tuỳ ý a = a a … a n Nhận xét Nếu y n thoả mãn y n ≡ b i (mod a i ) với i ≤ n y = y n + a a …a n t, t ∈ Z có tính chất Do vậy, có vô số số y n thoả mãn định lý chọn y n lớn tuỳ ý Theo chứng minh định lý Trung Hoa thặng dư, ta suy cho trước n số nguyên dương khác 0, nguyên tố sánh đôi a , a , … , a n n số tự nhieân b , b , … , b n có số nguyên mà chia chuùng cho a , a , … , a n số dư b , b , … , b n Bài tập áp dụng Chứng minh tồn số k ∈ Ν cho với n ∈ Ν*, số k.2n + hợp số (Thi vô địch toán Mỹ, 1982) Giải SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 35 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP Xét số: F m = 2 + Đặt a i = F i ( i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) m Ta nhaän thấy số a = + =3 a = 22 + = a = 24 + = 17 a = 28 + = 257 a = 216 + = 65537 số nguyên tố a = 232 + = (232 − 1) + = a a a a a + Ta coù ⇒ a ≡ (mod a i ) ⇒ (a , a ) = (i = 0, 1, 2, 3, 4) Ta coù a = 264 + = (264 − 1) + = (232 − 1)a + = a a a a a a + Do số a , a , a , a , a , a , a nguyên tố sánh đôi Theo định lý Trung Hoa thặng dư, tồn số tự nhiên k > max(a , a ,… a ) để: k ≡ (mod a m ), m = 0, 1, …, vaø k ≡ −1 (mod a ) Xem số A = k.2n + xét trên, n∈ Ν Với n bất kỳ, ta viết n dạng n = 2m.p, m ≥ 0, p lẻ  m≤4 Ta có k.2n + ≡ 2n + (mod a m ) Mặt khác 2n + = 2 p +1 = ( 2 )p + M2 + hay 2n + M a m Do 2n + ≡ (mod a m ) k.2n + ≡ (mod a m ) ⇒ m m m Vì k.2n + > k > a m nên k.2n + hợp số  m=5 Ta có k.2n + ≡ + (mod a ) Mặt khác 2n + = ( 2 )p + M2 + hay 2n + Ma Do 2n + ≡ (mod a ) k.2n + ≡ (mod a ) ⇒ n 5 Vì k.2n + > a nên k.2n + hợp số SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 36 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP  m≥6 Trường hợp ta có n = 26.b với b∈ Ν* Ta coù k.2n + ≡ –2n + (mod a ) 2n Mặt khác = ( 2 )2b = (a − 1)2b 2n ⇒ 2n hay ≡ (–1)2b (mod a ) ≡ (mod a ) ⇒ k.2n + ≡ –1 + (mod a ) hayk.2n + ≡ (mod a ) Vì k.2n + > a nên k.2n + hợp số Tóm lại, với n∈ Ν*, k.2n + hợp số Nhận xét Các số tự nhiên có dạng a m = 2 + gọi số Fermat Nhà m toán học Fermat dự đoán a m số nguyên tố với m∈ Ν Năm 1732, nhà toán học Euler tìm thấy số: a = 232 + = 641 6700417 hợp số Vậy dự đoán Fermat sai Chứng minh với số nguyên dương n, có n số nguyên dương liên tiếp cho số n số số lũy thừa số nguyên tố (Vô địch toán Quốc tế 1989, Thụy Điển) Giải Với dãy tuỳ ý số nguyên tố phân bieät p , p , …, p n , áp dụng định lý Trung Hoa thặng dư, ta tìm số nguyên a thoả mãn điều kiện: a ≡ (p k − k) (mod p 2k ) , k = 1, 2, …, n Dễ dàng thấy n số sau số phải tìm: N + a + 1; N + a + 2; …, N + a + n N = (p p … p n )2 SVTH: Nguyeãn Thị Thuý Hằng Trang 37 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS ĐẬU THẾ CẤP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Số học, NXB Giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Hữu Hoan, Số học phổ thông, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1986 [3] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thuỷ, Bài giảng số học, NXB Giáo dục, 1995 SVTH: Nguyễn Thị Thuý Hằng Trang 38 ... I ĐỒNG DƯ THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ §1 Định nghóa đồng dư thức §2 Các tính chất đồng dư thức §3 Phương trình đồng dư ẩn 11 Chương II PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG... Chương I: Trình bày số kiến thức đồng dư thức phương trình đồng dư Chương II: Trình bày phương pháp giải phương trình đồng dư Chương III: Trình bày phương trình vô định Do thời gian có hạn kiến thức... ĐỒNG DƯ 13 §1 Phương pháp giải phương trình bậc 13 §2 Phương pháp giải phương đồng dư bậc cao 17 §3 Định lyù Wilson 21 Chương III PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH 23 §1 Phương trình