1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương trình diophant trong lớp đồng dư bậc hai và áp dụng

59 1K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 59
Dung lượng 435,13 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ MÁT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MÁT

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ MÁT

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2016

Trang 3

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 ĐỒNG DƯ VÀ ĐỒNG DƯ BẬC HAI 3 1.1 Đồng dư và các lớp đồng dư 3

1.2 Định lí Euler và định lí Fermat 16

1.2.1 Hàm số Euler ϕ(n) 16

1.2.2 Định lý Fermat 18

1.3 Phương pháp đồng dư 21

1.4 Các ví dụ 26

2 MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI 28 2.1 Phương trình Pell 28

2.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng của hai số chính phương 32 2.3 Phương trình dạng toàn phương ax2+ bxy + cy2= n 36

3 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒNG DƯ BẬC HAI 38 3.1 Một số bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình 38

3.2 Tính toán tổng và hiệu 43

Trang 4

MỞ ĐẦU

Chuyên đề “Phương trình Diophant trong lớp đồng dư bậc hai” là một nộidung quan trọng của số học Các dạng toán liên quan đến đồng dư thường khó vàphức tạp Trong chương trình trung học phổ thông, những bài toán giải phươngtrình trong đồng dư thường rất khó và trừu tượng đối với hầu hết học sinh

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán khu vực và quốc

tế, các bài toán liên quan đến đồng dư cũng hay được đề cập và thường thuộcloại khó song chưa được dạy nhiều ở phổ thông, ít có trong các tài liệu thamkhảo Các bài toán về đồng dư trong chương trình phổ thông nhiều kiến thứcchưa được đề cập đến

Với mong muốn nâng cao trình độ nghiệp vụ chuyên môn, đáp ứng việc bồidưỡng học sinh giỏi cùng với những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Phương trìnhdiophant trong lớp đồng dư bậc hai và áp dụng” để làm đề tài luận văn thạc sĩcủa mình

Chuyên đề “Phương trình Diophant trong lớp đồng dư bậc hai và áp dụng”gồm ba chương: Đồng dư và đồng dư bậc hai; Một số lớp phương trình Diophanttrong lớp đồng dư bậc hai; các dạng toán liên quan đến đồng dư bậc hai Cáckết quả của luận văn được tham khảo từ [1] đến [7] và các bài toán chọn lọc từcác kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình,nghiêm túc và trách nhiệm của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp này, tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với giáo

sư - Người Thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùng với kinh nghiệmnghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề

Trang 5

tài Đồng thời tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo, Khoa Toán

- Tin, các anh em, bạn bè lớp K8B - Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên;Ban giám hiệu trường THCS Thành Nhân - Ninh Giang, Hải Dương và gia đình

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập,công tác và thực hiện đề tài luận văn

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Mát

Trang 6

Ký hiệu

Hệ thức (1.1) gọi là đồng dư thức

Chứng minh Ta định nghĩa

p]},

Trang 7

S chứa([ √

mâu thuẫn với (x1, y1) 6= (x2, y2).

thuẫn với (x1, y1) 6= (x2, y2)

Tính chất 1.1.3 (xem [2]-[5])

Trang 8

b Nếu a 1 ≡ a 2 (mod m); b 1 ≡ b 2 (mod m) thì

Tính chất 1.1.6 (xem [3]-[5])

Trang 9

• Nếu c ∈Z, (c, n) = 1 thì tập cA = {ca 1 , ca 2 , , ca n } cũng lập thành hệ đầy

Trang 10

Một phần tử a i b j ∈ AB không chia hết cho p khi và chỉ khi cả a i và b j đều

Nhận xét 1.1.14 Ví dụ trên có thể phát biểu dưới dạng một bài toán vui như

kim đồng hồ theo quy tắc sau: Lớp trưởng (coi là học sinh mang số một) bỏ quahọc sinh bên cạnh (học sinh mang số hai) chuyền bóng cho học sinh mang số

ba Học sinh mang số ba có bóng, bỏ qua hai học sinh kế tiếp (mang số bốn và

số năm) chuyền bóng cho học sinh mang số sáu Học sinh mang số sáu có bóng,

bỏ qua ba học sinh kế tiếp (mang số 7,8,9) chuyền bóng cho học sinh mang số

Trang 11

10 và cứ tiếp tục như thế Chứng minh rằng nếu n không có ước lẻ thì luôn tồntại ít nhất một học sinh không bao giờ nhận được bóng.

Thật vậy, bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được em mang số thứ i nhận

tam giác

mâu thuẫn

Trang 12

Ta chứng minh 2) Giả sử có a, a0 ∈ A, b, b0 ∈ B sao cho an + bm ≡ a0n + b0m

thuẫn

Trang 14

Hệ quả 1.1.18 ( xem [2]-[5]) Giả sử p là một số nguyên tố và a ∈ Z sao cho

(mod p).

˜

với giả thiết

thiết

Trang 15

Hệ quả 1.1.21 ( xem [2]-[5]) 1 TDTP × TDTP = TDTP,

Ở đây TDTP = thặng dư toàn phương

BTDTP = bất thặng dư toàn phương

Trang 17

3 Như chúng ta đã biết nếu a ≡ b (mod p) thì a, b đồng thời là thặng dư

p−1 2

Trang 18

Ta xét một số bài toán liên quan.



=



−1 p

 

2 p

Trang 19

1.2 Định lí Euler và định lí Fermat

Trong phần này ta xét hai định lý quan trọng của lý thuyết số, liên quan đến

hàm số Euler và công thức tính nó

nguyên tố cùng nhau thì

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).

cột này là

y, a + y, 2a + y, , (b − 1)a + y.

Trang 20

Giả sử r x là số dư khi chia ax + y cho b Như vậy (ax + y, b) = (r x , b) Dễ dàng

hợp

Sau đây là một sự suy rộng của định lý Euler

ta có:

Trang 21

Chứng minh Ta phải chứng minh

Trang 22

Định lý 1.2.7 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p là một số nguyên tố và a làmột số nguyên tùy ý khi ấy ta có

Lời giải

ta nói định lý 1.2.7 là dạng khác của định lý Fermat

diễn thành tổng của hai số chính phương

Trang 23

Chứng minh Giả sửp = x2+ y2 vớix, y nguyên không âm Ta cần chứng minh

lý do sau: phần tử bất kỳ thuộc một lớp thặng dư là đại diện cho toàn bộ lớp

đó trong phép toán số học thực hiện trên phần tử đó Vì vậy, ta có thể khảo sát

Trang 25

Định lý 1.3.2 Các phép đồng dư có thể cộng vế với vế, nghĩa là nếu a i ≡ b i

(a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m.

Trang 26

Chứng minh Định lý được chứng minh bằng quy nạp theo n.

Trang 27

Từ Định lý 1.3.3, suy ra các hệ quả sau:

Ta sẽ vận dụng các tính chất của phép đồng dư để giải bài toán chia hết

Lời giải Ta sẽ chứng minh khẳng định tổng quát rằng với mọi số tự nhiên

hết cho 133

Trang 29

Cộng vế với vế các phép đồng dư trên, ta được

chia hết cho 9 trong các trường hợp sau:

1 r1= r2= r3;

Trang 30

Lời giải Tìm số dư của 1482004 + 8 chia hết cho 11 Do 14 ≡ 3 (mod 11) nên

Trang 31

Chương 2

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG

DƯ BẬC HAI

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình Pell là phương trình bậc hai, hai ẩn dạng

Trang 32

Pell nhân vế với vế của (2.1) và (2.2) ta có:

Trang 33

Cách tìm nghiệm của phương trình Pell

Trang 34

Ví dụ 2.1.5 Tìm tất cả các số nguyên dương x > 2 sao cho tam giác có độ dài

công thức nghiệm của phương trình Pell là

Trang 35

tổng của hai số chính phương của số nguyên.

Trang 36

tổng của hai số chính phương hay không.

Chứng minh Xét đa thức

Trang 37

Ta xét xem tổng bình phương x2+ 12 có liên hệ gì với các số nguyên Gauss?

thành tổng của hai số chính phương theo hai cách như sau:

Trang 38

Nhận xét rằng đồng nhất thức Lagrange cho thấy một hợp số mà mọi nhân

tử của nó có thể được viết thành tổng của hai số chính phương thì số đó cũng

có thể được viết thành tổng của hai số chính phương

Như vậy, ta biết rằng bất kỳ một số là tích của các thừa só nguyên tố dạng

thấy trong "Định lý hai số chính phương" nêu dưới đây, một số có thể được viếtthành tổng của hai số chính phương cả khi số đó bao gồm các thừa số nguyên

Định nghĩa 2.2.6 Ta gọi số nguyên dương a là không là chính phương (square

Định lý 2.2.7 (Về hai số chính phương) Số nguyên dương n là tổng của hai

viết được thành tổng của hai số chính phương Ta biết rằng 2 có thể viết thành

các số nguyên dương có thể viết thành tổng của hai số chính phương thì m cũng

Trang 39

(⇐) Giả sử n = x2+ y2 Nếu m = 1thì n = s2, do đó mỗi số nguyên tố ptrong

n

Xét phương trình dạng toàn phương

Trang 40

Đặt u = 2ax + by, v = y, ∆ = b2− 4ac, ta có

Như vậy nếu phương trình (2.3) có nghiệm thì phương trình (2.4) phải có nghiệm.Tuy nhiên nếu (2.4) có nghiệm thì chưa chắc (2.3) có nghiệm có lẽ bằngphương pháp của toán học sơ cấp ta không có hy vọng tìm được lời giải bài toántổng quát (2.3)

Trang 41

Lời giải Gọi 5m− 1 = 2 α pα11 · · · pαkk (pi ∈ ℘, pi> 2, α ∈N∗, αi ∈N∗, i = 1, , k).

Từ điều kiện bài toán suy ra

Trang 42

Bài toán 3.1.2 (Serbia Mathematical Olympiad 2007) Tìm tất cả các cặp số

Trang 43

Từ (3.1) ⇔ x(x2+ 2) = 2n− 1 Vì x(x2+ 2) luôn chia hết cho 3 với mọi x nên n

 

2 p

nguyên



=



−1 p

 

3 p



=



−1 p



Vậy (3.2) và (3.3) mâu thuẫn với nhau suy ra điều giả sử là sai hay phương trình

đầu tiên

Xét các khả năng sau đây

Trang 44



a

n pi

pi

a

pk. Do đó n > pk.

(vô lý)

Bài toán 3.1.5 (Serbia Mathematical Olympiad 2008) Tìm tất cả các nghiệm

Trang 45

Mà 2008 = 251 · 8, p = 251 là số nguyên tố và a, b đều không chia hết cho 251.

Bài toán 3.1.6 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

Vậy phương trình vô nghiệm

Trang 46

= 1.



−1 p



=



−a p



=



p − a p



.

Trang 47

Như vậy ta sẽ có đúng p−14 số chính phương modulo p không lớn hơn p−12 và có



= 2

p−1 2



p−1 2

p−1 2

X

k=1

p−1 2



p

p−1 2

Trang 48

p−1 2

X

k=1

p−1 2



=

p−1 2

X

k=1



=



ab p



=



a p

 

b p



= −



b p





b p



= −1,

Trang 49

Lời giải Bài toán tương đương với việc chứng minh tồn tại số nguyên dươngn

⇔ x ≡ y ≡ z (modp)

từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 3.2.6 Chứng minh rằng

Bài toán 3.2.7 [Olympic toán Hà Nội mở rộng 2010] Giả sử có các cặp số tự

chính phương

Trang 50

Bài toán 3.2.8 (Olympic toán Hà Nội mở rộng 2014) Tìm tất cả các cặp số

Trang 51

Bài toán 3.3.1 (TS vào lớp 10 THPT chuyên ĐH SP HN 2012-2013) Cho 5

số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ướcnguyên tố nào khác 2 và khác 3 Chứng minh rằng trong 5 số này, luôn tồn tạihai số mà tích của chúng là một số chính phương

(chẵn; chẵn); (chẵn; lẻ); (lẻ; chẵn); (lẻ; lẻ) Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhấtcặp và cùng thuộc 1 trong 4 dạng trên (tức là cùng tính chẵn, lẻ) Từ đó suy ra

là những số chẵn Do đó là số chính phương

Tương tự bài toán này, ta có bài toán sau

Bài toán 3.3.2 (IMO 1985) Cho tập hợp gồm 1985 số nguyên dương phânbiệt, mỗi số có các ước nguyên tố nhỏ hơn 26 Chứng minh rằng ta có thể tìm

Trang 52

Với mỗi số m trong M này, ta gán dãy (x 1 ; x 2 ; ; x 9 ) theo qui tắc x i = 0 nếu

số nguyên nào đó

Suy ra d4 = ci2.cj2 = ai.aj.bi.bj, với ai; aj; bi; bjlà các phần tử phân biệt bất kì

Nhận xét 3.3.3 Ta có bài toán tương tự: Cho tập hợp gồm 2003 số nguyêndương phân biệt , mỗi số có các ước nguyên tố nhỏ hơn 26 Chứng minh rằng ta

bậc 4 của một số nguyên

nhỏ nhất n sao cho mọi tập hợp con gồm n phần tử của tập hợp S đều chứa 5

số đôi một nguyên tố cùng nhau

Trang 53

nào đó, từ đó 2 số này không nguyên tố cùng nhau Ta đã chứng minh được

Sau đây ta xét các bài toán số học có liên quan đến hình học

Trang 54

Bài toán 3.3.5 (Olympic 30-4-2015) Trong mặt phẳng tọa độOxy, có 10 điểm

có tọa độ nguyên (hoành độ và tung độ đều là những số nguyên) Hỏi trong sốcác tam giác tạo thành từ 3 trong 10 điểm đó, có bao nhiêu tam giác có diệntích là số nguyên

một số nguyên

7 tam giác có diện tích nguyên

Vậy có 3.7+1=22 tam giác có diện tích là số nguyên

độ nguyên (hoành độ; tung độ; cao độ là những số nguyên) Chứng minh rằngtồn tại ít nhất 2 điểm mà trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó có tọa độnguyên

Lời giải Gọi là 2 điểm bất kì trong không gian và trung điểm cửa đoạn thẳng

Vì có bộ ba số chẵn lẻ khác nhau: (chẵn; chẵn; chẵn); (chẵn; chẵn; lẻ); (chẵn;lẻ; chẵn); (lẻ; chẵn; chẵn); (lẻ; lẻ; chẵn); (lẻ; chẵn; lẻ); (chẵn; lẻ; lẻ); (lẻ; lẻ; lẻ)nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 2 trong 9 điểm có cùng bộ ba chẵn;

lẻ như nhau Vậy có ít nhất 2 điểm trong 9 điểm mà trung điểm của đoạn thẳngnối 2 điểm đó là có tọa độ nguyên

Trang 55

Bài toán 3.3.7 (Vietnam TST 2004) Chứng minh rằng số2n+ 1 (n ∈N)không



=



−1 p

 

2 p



= −1,

Bài toán 3.3.8 (IMO Shosrlist 2008) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên

Trang 56

Bài toán 3.3.10 (Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2015) Xác định tất cả các

Trang 57

Vìx, y là các số nguyên nên n − 1; 2y2− y − x là các số nguyên và là ước của −1.

Bài toán 3.3.11 (Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2007) Có bao nhiêu cặp số

y ∈ {−1, 0, 1, 2, 3, 4}.

Trang 59

Tài liệu tham khảo

[A] Tiếng Việt

[1] Lê Hải Châu (2008), Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông ViệtNam (1990 - 2002), NXB Giáo dục

[2] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận(2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục

[3] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục

[4] Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Minh Tuấn(2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục

[5] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), 2008 Chuyên đề số học và các dạng toán liênquan, NXB Giáo dục

[6] Nguyễn Văn Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Vũ Kim Thủy (2010), Bài giảng sốhọc, NXB Giáo dục

[B] Tiếng Anh

[7] Nathanson M.B (2000), Elementary Methods in number theory, Springer

... b không chia hết cho 251.

Bài tốn 3.1.6 Tìm tất nghiệm nguyên dư? ?ng phương trình sau:

Vậy phương trình vô nghiệm

Trang 46

Ngày đăng: 21/12/2016, 11:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w