ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ MÁT PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
NGUYỄN THỊ MÁT
PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
NGUYỄN THỊ MÁT
PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu
THÁI NGUYÊN - 2016
Trang 3Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 ĐỒNG DƯ VÀ ĐỒNG DƯ BẬC HAI 3 1.1 Đồng dư và các lớp đồng dư 3
1.2 Định lí Euler và định lí Fermat 16
1.2.1 Hàm số Euler ϕ(n) 16
1.2.2 Định lý Fermat 18
1.3 Phương pháp đồng dư 21
1.4 Các ví dụ 26
2 MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG DƯ BẬC HAI 28 2.1 Phương trình Pell 28
2.2 Biểu diễn số nguyên dương thành tổng của hai số chính phương 32 2.3 Phương trình dạng toàn phương ax2+ bxy + cy2= n 36
3 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒNG DƯ BẬC HAI 38 3.1 Một số bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình 38
3.2 Tính toán tổng và hiệu 43
Trang 4MỞ ĐẦU
Chuyên đề “Phương trình Diophant trong lớp đồng dư bậc hai” là một nộidung quan trọng của số học Các dạng toán liên quan đến đồng dư thường khó vàphức tạp Trong chương trình trung học phổ thông, những bài toán giải phươngtrình trong đồng dư thường rất khó và trừu tượng đối với hầu hết học sinh
Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán khu vực và quốc
tế, các bài toán liên quan đến đồng dư cũng hay được đề cập và thường thuộcloại khó song chưa được dạy nhiều ở phổ thông, ít có trong các tài liệu thamkhảo Các bài toán về đồng dư trong chương trình phổ thông nhiều kiến thứcchưa được đề cập đến
Với mong muốn nâng cao trình độ nghiệp vụ chuyên môn, đáp ứng việc bồidưỡng học sinh giỏi cùng với những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Phương trìnhdiophant trong lớp đồng dư bậc hai và áp dụng” để làm đề tài luận văn thạc sĩcủa mình
Chuyên đề “Phương trình Diophant trong lớp đồng dư bậc hai và áp dụng”gồm ba chương: Đồng dư và đồng dư bậc hai; Một số lớp phương trình Diophanttrong lớp đồng dư bậc hai; các dạng toán liên quan đến đồng dư bậc hai Cáckết quả của luận văn được tham khảo từ [1] đến [7] và các bài toán chọn lọc từcác kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình,nghiêm túc và trách nhiệm của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp này, tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với giáo
sư - Người Thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùng với kinh nghiệmnghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề
Trang 5tài Đồng thời tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo, Khoa Toán
- Tin, các anh em, bạn bè lớp K8B - Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên;Ban giám hiệu trường THCS Thành Nhân - Ninh Giang, Hải Dương và gia đình
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập,công tác và thực hiện đề tài luận văn
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Mát
Trang 6Ký hiệu
Hệ thức (1.1) gọi là đồng dư thức
Chứng minh Ta định nghĩa
p]},
Trang 7S chứa([ √
mâu thuẫn với (x1, y1) 6= (x2, y2).
thuẫn với (x1, y1) 6= (x2, y2)
Tính chất 1.1.3 (xem [2]-[5])
Trang 8b Nếu a 1 ≡ a 2 (mod m); b 1 ≡ b 2 (mod m) thì
Tính chất 1.1.6 (xem [3]-[5])
Trang 9• Nếu c ∈Z, (c, n) = 1 thì tập cA = {ca 1 , ca 2 , , ca n } cũng lập thành hệ đầy
Trang 10Một phần tử a i b j ∈ AB không chia hết cho p khi và chỉ khi cả a i và b j đều
Nhận xét 1.1.14 Ví dụ trên có thể phát biểu dưới dạng một bài toán vui như
kim đồng hồ theo quy tắc sau: Lớp trưởng (coi là học sinh mang số một) bỏ quahọc sinh bên cạnh (học sinh mang số hai) chuyền bóng cho học sinh mang số
ba Học sinh mang số ba có bóng, bỏ qua hai học sinh kế tiếp (mang số bốn và
số năm) chuyền bóng cho học sinh mang số sáu Học sinh mang số sáu có bóng,
bỏ qua ba học sinh kế tiếp (mang số 7,8,9) chuyền bóng cho học sinh mang số
Trang 1110 và cứ tiếp tục như thế Chứng minh rằng nếu n không có ước lẻ thì luôn tồntại ít nhất một học sinh không bao giờ nhận được bóng.
Thật vậy, bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được em mang số thứ i nhận
tam giác
mâu thuẫn
Trang 12Ta chứng minh 2) Giả sử có a, a0 ∈ A, b, b0 ∈ B sao cho an + bm ≡ a0n + b0m
thuẫn
Trang 14Hệ quả 1.1.18 ( xem [2]-[5]) Giả sử p là một số nguyên tố và a ∈ Z sao cho
(mod p).
˜
với giả thiết
thiết
Trang 15Hệ quả 1.1.21 ( xem [2]-[5]) 1 TDTP × TDTP = TDTP,
Ở đây TDTP = thặng dư toàn phương
BTDTP = bất thặng dư toàn phương
Trang 173 Như chúng ta đã biết nếu a ≡ b (mod p) thì a, b đồng thời là thặng dư
p−1 2
Trang 18Ta xét một số bài toán liên quan.
=
−1 p
2 p
Trang 191.2 Định lí Euler và định lí Fermat
Trong phần này ta xét hai định lý quan trọng của lý thuyết số, liên quan đến
hàm số Euler và công thức tính nó
nguyên tố cùng nhau thì
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
cột này là
y, a + y, 2a + y, , (b − 1)a + y.
Trang 20Giả sử r x là số dư khi chia ax + y cho b Như vậy (ax + y, b) = (r x , b) Dễ dàng
hợp
Sau đây là một sự suy rộng của định lý Euler
ta có:
Trang 21Chứng minh Ta phải chứng minh
Trang 22Định lý 1.2.7 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p là một số nguyên tố và a làmột số nguyên tùy ý khi ấy ta có
Lời giải
ta nói định lý 1.2.7 là dạng khác của định lý Fermat
diễn thành tổng của hai số chính phương
Trang 23Chứng minh Giả sửp = x2+ y2 vớix, y nguyên không âm Ta cần chứng minh
lý do sau: phần tử bất kỳ thuộc một lớp thặng dư là đại diện cho toàn bộ lớp
đó trong phép toán số học thực hiện trên phần tử đó Vì vậy, ta có thể khảo sát
Trang 25Định lý 1.3.2 Các phép đồng dư có thể cộng vế với vế, nghĩa là nếu a i ≡ b i
(a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m.
Trang 26Chứng minh Định lý được chứng minh bằng quy nạp theo n.
Trang 27Từ Định lý 1.3.3, suy ra các hệ quả sau:
Ta sẽ vận dụng các tính chất của phép đồng dư để giải bài toán chia hết
Lời giải Ta sẽ chứng minh khẳng định tổng quát rằng với mọi số tự nhiên
hết cho 133
Trang 29Cộng vế với vế các phép đồng dư trên, ta được
chia hết cho 9 trong các trường hợp sau:
1 r1= r2= r3;
Trang 30Lời giải Tìm số dư của 1482004 + 8 chia hết cho 11 Do 14 ≡ 3 (mod 11) nên
Trang 31Chương 2
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TRONG LỚP ĐỒNG
DƯ BẬC HAI
Định nghĩa 2.1.1 Phương trình Pell là phương trình bậc hai, hai ẩn dạng
Trang 32Pell nhân vế với vế của (2.1) và (2.2) ta có:
Trang 33Cách tìm nghiệm của phương trình Pell
Trang 34Ví dụ 2.1.5 Tìm tất cả các số nguyên dương x > 2 sao cho tam giác có độ dài
công thức nghiệm của phương trình Pell là
Trang 35tổng của hai số chính phương của số nguyên.
Trang 36tổng của hai số chính phương hay không.
Chứng minh Xét đa thức
Trang 37Ta xét xem tổng bình phương x2+ 12 có liên hệ gì với các số nguyên Gauss?
thành tổng của hai số chính phương theo hai cách như sau:
Trang 38Nhận xét rằng đồng nhất thức Lagrange cho thấy một hợp số mà mọi nhân
tử của nó có thể được viết thành tổng của hai số chính phương thì số đó cũng
có thể được viết thành tổng của hai số chính phương
Như vậy, ta biết rằng bất kỳ một số là tích của các thừa só nguyên tố dạng
thấy trong "Định lý hai số chính phương" nêu dưới đây, một số có thể được viếtthành tổng của hai số chính phương cả khi số đó bao gồm các thừa số nguyên
Định nghĩa 2.2.6 Ta gọi số nguyên dương a là không là chính phương (square
Định lý 2.2.7 (Về hai số chính phương) Số nguyên dương n là tổng của hai
viết được thành tổng của hai số chính phương Ta biết rằng 2 có thể viết thành
các số nguyên dương có thể viết thành tổng của hai số chính phương thì m cũng
Trang 39(⇐) Giả sử n = x2+ y2 Nếu m = 1thì n = s2, do đó mỗi số nguyên tố ptrong
n
Xét phương trình dạng toàn phương
Trang 40Đặt u = 2ax + by, v = y, ∆ = b2− 4ac, ta có
Như vậy nếu phương trình (2.3) có nghiệm thì phương trình (2.4) phải có nghiệm.Tuy nhiên nếu (2.4) có nghiệm thì chưa chắc (2.3) có nghiệm có lẽ bằngphương pháp của toán học sơ cấp ta không có hy vọng tìm được lời giải bài toántổng quát (2.3)
Trang 41Lời giải Gọi 5m− 1 = 2 α pα11 · · · pαkk (pi ∈ ℘, pi> 2, α ∈N∗, αi ∈N∗, i = 1, , k).
Từ điều kiện bài toán suy ra
Trang 42Bài toán 3.1.2 (Serbia Mathematical Olympiad 2007) Tìm tất cả các cặp số
Trang 43Từ (3.1) ⇔ x(x2+ 2) = 2n− 1 Vì x(x2+ 2) luôn chia hết cho 3 với mọi x nên n
2 p
nguyên
=
−1 p
3 p
=
−1 p
Vậy (3.2) và (3.3) mâu thuẫn với nhau suy ra điều giả sử là sai hay phương trình
đầu tiên
Xét các khả năng sau đây
Trang 44
a
n pi
pi
a
pk. Do đó n > pk.
(vô lý)
Bài toán 3.1.5 (Serbia Mathematical Olympiad 2008) Tìm tất cả các nghiệm
Trang 45Mà 2008 = 251 · 8, p = 251 là số nguyên tố và a, b đều không chia hết cho 251.
Bài toán 3.1.6 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Vậy phương trình vô nghiệm
Trang 46= 1.
⇒
−1 p
=
−a p
=
p − a p
.
Trang 47Như vậy ta sẽ có đúng p−14 số chính phương modulo p không lớn hơn p−12 và có
= 2
p−1 2
−
p−1 2
p−1 2
X
k=1
p−1 2
p
p−1 2
Trang 48p−1 2
X
k=1
p−1 2
=
p−1 2
X
k=1
=
ab p
=
a p
b p
= −
b p
⇔
b p
= −1,
Trang 49Lời giải Bài toán tương đương với việc chứng minh tồn tại số nguyên dươngn
⇔ x ≡ y ≡ z (modp)
từ đó ta có điều phải chứng minh
Bài toán 3.2.6 Chứng minh rằng
Bài toán 3.2.7 [Olympic toán Hà Nội mở rộng 2010] Giả sử có các cặp số tự
chính phương
Trang 50Bài toán 3.2.8 (Olympic toán Hà Nội mở rộng 2014) Tìm tất cả các cặp số
Trang 51Bài toán 3.3.1 (TS vào lớp 10 THPT chuyên ĐH SP HN 2012-2013) Cho 5
số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ướcnguyên tố nào khác 2 và khác 3 Chứng minh rằng trong 5 số này, luôn tồn tạihai số mà tích của chúng là một số chính phương
(chẵn; chẵn); (chẵn; lẻ); (lẻ; chẵn); (lẻ; lẻ) Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhấtcặp và cùng thuộc 1 trong 4 dạng trên (tức là cùng tính chẵn, lẻ) Từ đó suy ra
là những số chẵn Do đó là số chính phương
Tương tự bài toán này, ta có bài toán sau
Bài toán 3.3.2 (IMO 1985) Cho tập hợp gồm 1985 số nguyên dương phânbiệt, mỗi số có các ước nguyên tố nhỏ hơn 26 Chứng minh rằng ta có thể tìm
Trang 52Với mỗi số m trong M này, ta gán dãy (x 1 ; x 2 ; ; x 9 ) theo qui tắc x i = 0 nếu
số nguyên nào đó
Suy ra d4 = ci2.cj2 = ai.aj.bi.bj, với ai; aj; bi; bjlà các phần tử phân biệt bất kì
Nhận xét 3.3.3 Ta có bài toán tương tự: Cho tập hợp gồm 2003 số nguyêndương phân biệt , mỗi số có các ước nguyên tố nhỏ hơn 26 Chứng minh rằng ta
bậc 4 của một số nguyên
nhỏ nhất n sao cho mọi tập hợp con gồm n phần tử của tập hợp S đều chứa 5
số đôi một nguyên tố cùng nhau
Trang 53nào đó, từ đó 2 số này không nguyên tố cùng nhau Ta đã chứng minh được
Sau đây ta xét các bài toán số học có liên quan đến hình học
Trang 54Bài toán 3.3.5 (Olympic 30-4-2015) Trong mặt phẳng tọa độOxy, có 10 điểm
có tọa độ nguyên (hoành độ và tung độ đều là những số nguyên) Hỏi trong sốcác tam giác tạo thành từ 3 trong 10 điểm đó, có bao nhiêu tam giác có diệntích là số nguyên
một số nguyên
7 tam giác có diện tích nguyên
Vậy có 3.7+1=22 tam giác có diện tích là số nguyên
độ nguyên (hoành độ; tung độ; cao độ là những số nguyên) Chứng minh rằngtồn tại ít nhất 2 điểm mà trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó có tọa độnguyên
Lời giải Gọi là 2 điểm bất kì trong không gian và trung điểm cửa đoạn thẳng
Vì có bộ ba số chẵn lẻ khác nhau: (chẵn; chẵn; chẵn); (chẵn; chẵn; lẻ); (chẵn;lẻ; chẵn); (lẻ; chẵn; chẵn); (lẻ; lẻ; chẵn); (lẻ; chẵn; lẻ); (chẵn; lẻ; lẻ); (lẻ; lẻ; lẻ)nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất 2 trong 9 điểm có cùng bộ ba chẵn;
lẻ như nhau Vậy có ít nhất 2 điểm trong 9 điểm mà trung điểm của đoạn thẳngnối 2 điểm đó là có tọa độ nguyên
Trang 55Bài toán 3.3.7 (Vietnam TST 2004) Chứng minh rằng số2n+ 1 (n ∈N)không
=
−1 p
2 p
= −1,
Bài toán 3.3.8 (IMO Shosrlist 2008) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên
Trang 56Bài toán 3.3.10 (Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2015) Xác định tất cả các
Trang 57Vìx, y là các số nguyên nên n − 1; 2y2− y − x là các số nguyên và là ước của −1.
Bài toán 3.3.11 (Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2007) Có bao nhiêu cặp số
y ∈ {−1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Trang 59Tài liệu tham khảo
[A] Tiếng Việt
[1] Lê Hải Châu (2008), Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông ViệtNam (1990 - 2002), NXB Giáo dục
[2] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận(2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục
[3] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục
[4] Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Minh Tuấn(2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục
[5] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), 2008 Chuyên đề số học và các dạng toán liênquan, NXB Giáo dục
[6] Nguyễn Văn Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Vũ Kim Thủy (2010), Bài giảng sốhọc, NXB Giáo dục
[B] Tiếng Anh
[7] Nathanson M.B (2000), Elementary Methods in number theory, Springer
... b không chia hết cho 251.Bài tốn 3.1.6 Tìm tất nghiệm nguyên dư? ?ng phương trình sau:
Vậy phương trình vô nghiệm
Trang 46