Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Dũng PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ VỚI HỆ SỐ NGUYÊN P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quí báu suốt trình học tập thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Đại số, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học tập Chân thành cám ơn q thầy phịng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi tỉnh Tây Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học thực luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn TP HCM tháng 03 năm 2012 Tác giả Trần Quốc Dũng MỤC LỤC Lời cảm ơn T 31T Mục lục T 31T Một số kí hiệu T 31T Lời nói đầu T 31T Chương Kiến thức T T 1.1 Quan hệ đồng dư 31T T 1.2 Lớp thặng dư hệ thặng dư 31T T 1.3 Định lí Ơle định lí Phecma 31T T 1.4 Kí hiệu Legendre 11 31T T 1.5 Chuẩn trường 12 31T T 1.6 Xây dựng trường số p – adic 22 31T T 1.7 Khai triển p – adic x  p 25 31T T Chương Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 28 T T 2.1 Phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố 28 31T T 2.2 Các tổng lượng giác 35 31T T 2.3 Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 55 31T T Kết luận 62 T 31T Tài liệu tham khảo 63 T 31T MỘT SỐ KÍ HIỆU p : Trường lớp thặng dư môđun nguyên tố p *p p Op : Tập phần tử khả nghịch  p : Trường số p – adic : Vành số nguyên p – adic O*p : Tập phần tử khả nghịch O p  p : Chuẩn thông thường : Chuẩn p – adic vp ( a ) tố Ba ( r ) : Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên Ba ( r ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính r  p Sa ( r ) a  p   χ τa (χ ) Ω ( f ,g) fa : Hình cầu mở tâm a bán kính r  p : Mặt cầu tâm a bán kính r  p : Kí hiệu Legendre a p : Hàm đặc trưng nhân tính môđun p : Tổng Gauss : Tập hàm số phức : Tích Hermit Ω : Hàm đặc trưng cộng tính mơđun p LỜI NĨI ĐẦU Giải tích p – adic chuyên ngành Tốn học phát triển có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học đại lý thuyết số, hình học đại số, tô pô đại số… Vào năm 40 kỷ trước, giải tích p – adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích p – adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài “Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic” để nghiên cứu sâu mối liên hệ số p – adic với phương trình đồng dư số học Luận văn làm sáng tỏ mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên cứu phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố với hệ số nguyên Nghiên cứu phương trình đồng dư theo mơđun ngun tố với hệ số nguyên p – adic Cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Tìm hiểu chứng minh công thức số nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên, đưa cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư trường hợp đặc biệt Cấu trúc luận văn chia thành hai chương: Chương1 Kiến thức Chương chúng tơi trình bày kiến thức quan hệ đồng dư, lớp thặng dư hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, giải tích p – adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường p – adic, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau Chương Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Chương chúng tơi trình bày vấn đề tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên theo môđun nguyên tố Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Tuy có nhiều cố gắng, khả cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận thơng cảm góp ý chân thành q thầy cô tất bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức quan hệ đồng dư, lớp thặng dư hệ thặng dư, kí hiệu Legendre, kiến thức giải tích p – adic chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Acsimet, xây dựng trường số p – adic, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau Đa số chứng minh chương bỏ qua người đọc dễ dàng tìm thấy chúng qua tài liệu tham khảo 1.1 Quan hệ đồng dư 1.1.1 Định nghĩa đồng dư Cho m số tự nhiên khác Các số nguyên a b gọi đồng dư theo môđun m chia a b cho m ta số dư Kí hiệu: a ≡ b ( mod m ) Hệ thức a ≡ b ( mod m ) gọi đồng dư thức, a gọi vế trái, b gọi vế phải đồng dư thức Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để a ≡ b ( mod m ) ( a − b ) m Nhận xét: Trong định lí trên, ta thay b = ta a ≡ ( mod m ) ⇔ a m Định lí 1.2 Quan hệ đồng dư theo môđun m quan hệ tương đương  Chứng minh:  Tính phản xạ: Với a ∈  , ta có ( a − a ) m ⇒ a ≡ a ( mod m )  Tính đối xứng: Với a, b ∈  mà a ≡ b ( mod m ) ( a − b ) m ⇒ ( b − a ) m ⇒ b ≡ a ( mod m )  Tính bắc cầu: Với a, b, c ∈  mà a ≡ b ( mod m ) b ≡ c ( mod m ) ( a − b ) m ( b − c ) m ( a − b + b − c ) m ⇒ a ≡ c ( mod m ) ⇒a−c = 1.1.2 Các tính chất đồng dư thức a ≡ b ( mod m )  ⇒ a + c ≡ b + d ( mod m ) ≡ c d mod m ( )  a ≡ b ( mod m )  ⇒ ac ≡ bd ( mod m ) c ≡ d ( mod m ) 2’ a ≡ b ( mod m ) ⇒ ka ≡ kb ( mod m ) , với k ∈  2’’ a ≡ b ( mod m ) ⇒ a n ≡ b n ( mod m ) , với n ∈ * a ≡ b ( mod m ) ⇒ c1a + c2 a +  + cn a n ≡ c1b + c2b +  + cnb n ( mod m ) , với c1 , , cn ∈ , n ∈ * a ≡ b ( mod m ) ⇒ a ' ≡ b ' ( mod m ') , với = a ka = ', b kb= ', m km ' a ≡ b ( mod m ) , d | m ⇒ a ≡ b ( mod d ) 1.2 Lớp thặng dư hệ thặng dư Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư gọi lớp thặng dư Lớp thặng dư chứa a kí hiệu a Quan hệ đồng dư theo môđun m có m lớp thặng dư 0, 1, 2, , m − Kí hiệu  m = {0, 1, 2, , m − 1} Nếu từ lớp thặng dư theo môđun m ta chọn phần tử ta m số, gọi hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun m Ví dụ: 5 = 3, 4} {5, 11, −8, 13, 4} {0, 1, 2,= Do đó, {0, 1, 2, 3, 4} hay {5, 11, − 8, 13, 4} hệ thặng dư đầy đủ theo môđun Nhận xét: Ta thường chọn hệ thặng dư đầy đủ theo hai cách:  Chọn giá trị không âm, nhỏ nhất: {0, 1, 2, , m − 1}  Chọn giá trị có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất: m − 1  0, ± 1, ± 2, , ±  m lẻ   m  0, ± 1, ± 2, , ±  m chẵn 2  { x1 , x2 , , xm } hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m xi x j không đồng dư với theo môđun m với i ≠ j { } Kí hiệu *m = a ∈  m | ( a, m ) = tập hợp lớp thặng dư nguyên tố môđun m Với lớp thặng dư thuộc *m ta chọn phần tử Khi đó, ta H m* tập = {a | a ∈  } gọi hệ thặng dư thu gọn theo môđun m * m Số nguyên a gọi thặng dư bậc hai theo môđun p a làm cho phương trình x ≡ a ( mod p ) có nghiệm Ngược lại, a gọi bất thặng dư bậc hai Chú ý:  Nếu a thặng dư bậc hai theo mơđun p phần tử a ' ∈ a + p thặng dư bậc hai theo môđun p Do đó, ta xem hai thặng dư bậc hai a a ' phân biệt chúng không đồng dư với theo môđun p  Cho p số ngun tố lẻ  p ta có số thặng dư bậc hai theo môđun p số bất thặng dư bậc hai theo môđun p p −1 1.3 Định lí Ơle định lí Phecma 1.3.1 Hàm Ơle Hàm Ơle ϕ ( m ) , m ∈ * hàm xác định ϕ (1) = ϕ ( m ) số số tự nhiên nhỏ m , nguyên tố với m m > Nói cách khác, = ϕ ( m) = ∑ 1≤ k ≤ m ,( k ,m )= ( Card  ) * m Nhận xét: Nếu p số nguyên tố α ∈ * ϕ ( pα= ) pα − pα −1 Đặc biệt, với α = ta có ϕ ( p )= p −  −ab  Vì χ đặc trưng bậc hai môđun p nên χ ( −ab ) =   (theo định lí 2.12)  p  Hơn nữa, τ= 1(χ ) ζ ζ ζ ∑= ∑= ∑= x −x x x x τ −1 ( χ ) x Suy ra,  −ab   −ab   −ab  = = = τ a ( χ )τ b ( χ )  τ χ τ χ τ χ ) ( ) ) ( (     p  p   p   p  Hệ 2.14 Cho χ đặc trưng bậc hai mơđun p ≠ Khi đó, ∑ 'τ ( χ ) = x x Chứng minh: Với x ≡/ ( mod p ) , theo chứng minh định lí 2.13 ta có τ x ( χ ) = χ ( x )τ ( χ ) Khi đó, = ∑ 'τ x ( χ ) x ' χ ( x )τ ( χ ) ∑= x τ1 ( χ ) ∑ ' χ ( x ) x Do χ đặc trưng bậc hai mơđun p ≠ nên theo định lí 2.12 ta có x χ ( x) =   p   Hơn nữa, p số nguyên tố lẻ nên  p ta có số thặng dư bậc hai theo môđun p số bất thặng dư bậc hai theo mơđun p đó, suy p −1 Từ  x = ∑x 'τ x ( χ ) τ= ( χ ) ∑ '  x  p Cuối cùng, ta chứng minh định lí số nghiệm phương trình đồng dư bậc hai sau: Định lí 2.15 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) , đó, ≡/ ( mod p ) với i = 1, , n , d = a1 an p ≠ Khi đó, N xác định cơng thức n    n −1 d − ( )  p n−1 + ( p − 1)   p n chẵn   p  N =     p n−1 neáu n lẻ Chứng minh: Áp dụng định lí 2.9 cho trường hợp ri =2 ⇒ di =( ri , p − 1) =2 (do p số nguyên tố lẻ) Khi đó, n 1 N= p + ∑ ' ∏τ x ( χ ) = p n−1 + ∑ 'τ a1x ( χ ) τ an x ( χ ) p x i =1 p x n −1 (Với χ đặc trưng bậc hai môđun p ≠ ) Có hai trường hợp xảy ra:  Trường hợp n số chẵn: Theo tính chất kí hiệu Lengendre, ta có  a2   ab   a   b   p  =  p   p   p  =        Kết hợp điều với kết định lí 2.13 ta có  −a1 xa2 x   −an−1 xan x   −a1a2   −an−1an  n2 τ a1x ( χ ) τ an x ( χ ) = p =  p  p   p  p p   p        n   n a a a − ( ) n −1an   = = p   p   n   n d − ( )   p2 ,  p    với x chạy khắp hệ thặng dư thu gọn môđun p Suy ra, n n   n   −1) d  −1) d  n2 −1 ( ( n −1 n −1   N = p + ∑' p = p + ( p − 1) p  p  p x  p       Trường hợp n số lẻ:  −a1 xa2 x   −an−2 xan−1 x   p   p.τ an x ( χ ) p   p   τ a x ( χ ) τ a x ( χ ) =  n n −1   n−1 a a − ( ) n − 1  p τ (χ ) = an x   p   với x chạy khắp hệ thặng dư thu gọn môđun p Mặc khác, = τ an x ( χ ) χ= ( an x )τ ( χ ) χ ( an = ) χ ( x )τ ( χ ) χ ( an )τ x ( χ ) , suy n −1   n−1 a a − ( ) n −1 n −  p χ ( a )τ ( χ ) N p + ∑ ' = n x   p x p   n −1   n−1−1 a a − ( ) n −1 n −1   = p + p χ ( an ) ∑ 'τ x ( χ )   p x   Theo hệ 2.14, ∑ 'τ ( χ ) = x x Từ đó, ta có N = p n−1 Vậy số nghiệm N phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) xác định công thức n    n −1 d − ( )  p n−1 + ( p − 1)   p neáu n chaün   p  N =     p n−1 n lẻ  Hệ 2.16 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư ax + by ≡ ( mod p ) , đó, ab ≡/ ( mod p ) , d = ab p ≠ Khi đó, N xác định cơng thức   −d   N =+ ( p − 1) 1 +   p    Chứng minh: Áp dụng định lí 2.15 cho trường hợp n = ta có   −d    −d  N =p + ( p − 1)  =+ p − ( ) 1 +     p    p   Hệ 2.17 Cho N số nghiệm phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) , đó, ≡/ ( mod p ) với i = 1, , n , d = a1 an p ≠ Khi đó, N xác định công thức (2.29) n    n −  p n−1 +  ( ) d  p −1   p     N = n −1   n−1  ad − ( ) n −1  p p +   p     n chẵn n lẻ Chứng minh: Trước hết, ta nhận xét số nghiệm ( x1, , xn ) phương trình đồng dư (2.29) số nghiệm phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) cho x0 ≡ 1( mod p ) Ta tìm số nghiệm phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) (2.30) Xét phương trình đồng dư −ax0 + a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) (2.31)  Số nghiệm ( x0 , x1 , , xn ) phương trình (2.31) cho x0 ≡ ( mod p ) rõ ràng số nghiệm phương trình a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p )  Với b ∈ *p , ( b, x1 , , xn ) nghiệm phương trình (2.31) xn   x1 1, , ,  nghiệm phương trình (2.30) ngược lại b  b Do đó, với b ∈ *p , số nghiệm ( x0 , x1 , , xn ) phương trình (2.31) thỏa x0 ≡ b ( mod p ) số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) (2.30) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) Từ đó, gọi M số nghiệm phương trình (2.30) thỏa x0 ≡ 1( mod p ) ( p − 1) M số nghiệm phương trình (2.31) thỏa x0 ≠ Số nghiệm phương trình (2.31) bao gồm số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) với x0 ≠ số nghiệm ( x0 , x1, , xn ) với x0 = Ta tìm M dựa vào định lí 2.15 Có hai trường hợp:  Nếu n số chẵn n + số lẻ Khi đó, số nghiệm M phương trình (2.30) xác định quan hệ n   n −1 d − ( ) n −1   p2 = pn ( p − 1) M + p + ( p − 1)  p    Suy n n    n −1    n −1 d d − − ( ) ( )  n n −1 n −1     p2  = = M= p − p − ( p − 1) p p −    p   p  ( p − 1)          Nếu n số lẻ n + số chẵn Khi đó, số nghiệm M phương trình (2.30) xác định quan hệ n +1   n+1−1 ( −a ) d − ) ( n −1 n  p ( p − 1) M + p = p + ( p − 1)   p   n −1    n−1  ad − ( )  n n −1  p  M p − p + ( p − 1) ⇒ =    p −  p     n −1   n−1 ad − ( ) n −1  p ⇒M = p +   p   Vậy số nghiệm N phương trình đồng dư a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) xác định công thức n    n −  p n−1 −  ( ) d  p −1   p     N = n −1   n−1  ad − ( ) n −1  p p +   p     n chẵn  n lẻ 2.3 Phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 2.3.1 Các phương trình đồng dư phương trình vành O p Định lí 2.18 Cho F ( x1 , , xn ) đa thức hệ số nguyên hữu tỉ Phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p k ) (2.32) giải với k ≥ phương trình F ( x1 , , xn ) = (2.33) giải tập số nguyên p – adic Chứng minh: Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (2.33) có nghiệm nguyên p – adic (α1 , ,α n ) Với k ≥ tồn số nguyên hữu tỉ x1( ) , , xn ( ) cho k k α1 ≡ x1( k ) ( mod p k ) , ,α n ≡ xn ( k ) ( mod p k ) Từ đó, ta có ( F x1( ) , , xn ( ( nghĩa x1( ) , , xn ( k k) k k) ) ≡ F (α , ,α ) ≡ ( mod p ) , k n ) nghiệm phương trình đồng dư (2.32) (2.34) Điều kiện cần: Giả sử với k, phương trình đồng dư (2.32) có nghiệm ( x ( ) , , x ( ) ) Chọn từ dãy {x ( )} số nguyên hữu tỉ dãy hội tụ p – adic { x ( ) } Từ dãy { x ( ) } chọn lần dãy hội tụ Lập lại k k k 1 n ki ki q trình n lần, ta có dãy số tự nhiên {l1 , l2 , } cho { } dãy xi ( ) , xi ( ) , hội tụ p – adic Cho l l lim xi ( m ) = α i l m→∞ Ta chứng minh (α1 , ,α n ) nghiệm (2.33) Vì đa thức F ( x1 , , xn ) hàm liên tục nên ( ) F (α1 , ,α n ) = lim F x1( m ) , , xn ( m ) m→∞ ( l l ) Mặc khác, theo cách chọn dãy x1( m ) , , xn ( m ) , ( l l ) ( ) F x1( m ) , , xn ( m ) ≡ mod p ( m ) , l l l cho ( ) lim F x1( m ) , , xn ( m ) = m→∞ l l Do đó, F (α1 , ,α n ) = , định lí chứng minh Định lí 2.19 Cho F ( x1 , , xn ) dạng bậc k với hệ số nguyên hữu tỉ Phương trình F ( x1 , , xn ) =  có nghiệm không tầm thường vành O p với m, phương trình đồng dư F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p m ) có nghiệm, xi khơng đồng thời chia hết cho p Chứng minh: Cho F ( x1 , , xn ) dạng bậc k với hệ số nguyên hữu tỉ  Giả sử phương trình F ( x1 , , xn ) = ( ) có nghiệm khác α1 , ,α n tập số nguyên p – adic Đặt ( ( ) ( )) m = v p α1 , , v p α n Khi đó, α i biểu diễn dạng m α i p= αi , = ( i 1,2, , n ) , đó, α i số nguyên không đồng thời chia hết cho p Vì F ( x1 , , xn ) dạng bậc k nên ta có ( ) mk = F α1 , ,α n F (= p mα1 , , p mα n ) p= F (α1 , ,α n ) Do (α1 , ,α n ) nghiệm phương trình F ( x1 , , xn ) = Bộ số ( x ( ) , , x ( ) ) k k n thỏa (2.34) nghiệm (2.32) cho xi ( ) không đồng thời chia hết cho p k  Ngược lại, giả sử F ( x1 , , xn ) ≡ ( mod p k ) ( với F đa thức nhất, với k có nghiệm x1( ) , , xn ( có số xi ( k) k k) ) , không chia hết cho p Rõ ràng, với số i = i0 có số vơ hạn giá trị m cho xi0 ( m) khơng chia hết cho p Do đó, ta chọn dãy {l1 , l2 , } cho tất xi0 ( m ) không chia hết cho p Từ l α i = lim xi (l m m→∞ ) suy α i0 không chia hết cho p α i0 ≠ Như vậy, định lí chứng minh 2.3.2 Tính giải vài phương trình đồng dư Định lí 2.20 Cho F ( x1 , , xn ) đa thức hệ số nguyên p – adic Cho γ , γ , , γ n số nguyên p – adic cho với i (1 ≤ i ≤ n ) Ta có: F ( γ , γ , , γ n ) ≡ ( mod p 2δ +1 ) , ∂F (γ 1, γ , , γ n ) ≡ ( mod pδ ) , ∂xi ∂F (γ 1, γ , , γ n ) ≡/ ( mod pδ +1 ) ∂xi ( δ số ngun hữu tỉ khơng âm) Khi đó, tồn số nguyên p – adic θ1 , ,θ n cho F (θ1 , ,θ n ) = θ1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) , ,θ1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) Chứng minh:  Xét đa thức f ( x ) = F ( γ , , γ i −1 , x, γ i +1 , , γ n ) Để chứng minh định lí, ta tìm nguyên p – adic α thỏa f (α ) = α ≡ γ i ( mod pδ +1 ) Nếu α tìm ta đặt θ j = γ j với j ≠ i θi = α  Cho γ i = γ , ta xây dựng dãy α ,α1 , ,α m , (2.34’) số nguyên p – adic, đồng dư với γ môđun pδ +1 cho f (α m ) ≡ ( mod p 2δ +1+ m ) , với m ≥ (2.35) Với m = , đặt α = γ Giả sử với m ≥ đó, số nguyên p – adic α , ,α m−1 thỏa mãn yêu cầu trên, đặc biệt, α m−1 ≡ γ ( mod pδ +1 ) f (α m−1 ) ≡ ( mod p 2δ + m )  Khai triển đa thức f ( x ) theo lũy thừa x − α m−1 : f ( x) = β + β1 ( x − α m−1 ) + β ( x − α m−1 ) +  (β ∈O ) i p Theo giả thiết quy nạp, β f= = (α m−1 ) p 2δ +m A , A số nguyên , β1 f= p – adic Hơn nữa, từ α m−1 ≡ γ ( mod pδ +1 )= ' (α m−1 ) pδ B , B không chia hết cho p vành O p Đặt = x α m−1 + ξ p m+δ , ta có δ f (α m−1 + ξ p m+= ) p 2δ +m ( A + Bξ ) + β2 ( p 2δ +2mξ ) + Bây giờ, ta chọn ξ= ξ ∈ O p cho A + Bξ ≡ ( mod p ) (vì B ≡/ ( mod p ) ) Chú ý kδ + km ≥ 2δ + + m với k ≥ , ta có f (α m−1 + ξ p m+δ ) ≡ ( mod p 2δ +1+ m ) Do đó, ta đặt = α m α m−1 + ξ p m+δ Vì m + δ ≥ δ + nên α m ≡ γ ( mod pδ +1 ) Theo cách xây dựng, ta có ν p (α m − α m−1 ) ≥ m + δ , nên dãy (2.34’) hội tụ Kí hiệu giới hạn dãy (2.34’) α Rõ ràng, α ≡ γ ( mod pδ +1 ) Từ (2.35) suy lim f (α m ) = , m→∞ mặc khác f liên tục nên lim f (α m ) = f (α ) m→∞ Do đó, f (α ) = Hệ 2.21 Nếu đa thức F ( x1 , , xn ) có hệ số số nguyên p – adic với i (1 ≤ i ≤ n ) số nguyên p – adic γ , , γ n thỏa mãn F ( γ , , γ n ) ≡ ( mod p ) , F 'xi ( γ , , γ n ) ≡/ ( mod p ) , tồn số nguyên p – adic θ1 , ,θ n cho  F (θ1 , ,θ n ) = θ1 ≡ γ ( mod p ) , ,θ n ≡ γ n ( mod p ) Chứng minh: Áp dụng định lí 2.20 với δ =  KẾT LUẬN Luận văn số điều kiện tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Luận văn mối liên hệ tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Đặc biệt luận văn chứng minh công thức số nghiệm phương trình đồng dư a1 x1r1 +  + an xn rn ≡ ( mod p ) , ≡/ ( mod p ) cách sử dụng tổng Gauss Từ đó, luận văn đến chứng minh cơng thức số nghiệm phương trình đồng dư bậc hai a1 x12 +  + an xn ≡ ( mod p ) a1 x12 +  + an xn ≡ a ( mod p ) , ≡/ ( mod p ) , a tùy ý p ≠ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] A.J.Baker (2003), An Introdution to p – adic Numbers and p – adic Analysis [2] Neal Koblitz (1984), p – adic Numbers, p – adic Analysis and Zeta – Functions, Springer [3] Neal Koblitz (1980), p – adic Analysis: a Short course and Recert word, Cambridge University Press [4] W.H.Schikhof (1984), Utrametric caculus, An introdution to p – adic analysis [5] Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Numbers theory, Academic Press Tiếng Việt [6] Đậu Thế Cấp (2008), Số học, Nhà xuất giáo dục [7] Lại Đức Thịnh (1969), Số luận, Nhà xuất giáo dục ... hệ phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên cứu phương trình đồng dư theo môđun nguyên tố với hệ số nguyên Nghiên cứu phương trình đồng dư theo... môđun nguyên tố Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic. .. phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic Nghiên cứu mối liên hệ phương trình đồng dư với hệ số nguyên phương trình đồng dư với hệ số nguyên p – adic 2.1 Phương trình đồng dư theo mơđun ngun