Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -OOO - TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUN NGÀNH : TỐN GIẢI TÍCH MÃ S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -OOO - TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HỒNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Phó giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 1: Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 2: Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic Người thực hiện: HOÀNG ANH TUẤN Khoa Thống kê - Toán Kinh tế - Tin học Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tơi xin kính gửi đến Phó Giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG - Khoa Tốn Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn Q thầy : Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic đọc thảo, phê bình phản biện cho luận văn Xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Khoa Tốn tận tình truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập Q Thầy thuộc Phịng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn Xin cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ chí Minh, 1997 Hồng Anh Tuấn MỤC LỤC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Phổ tốn tử tuyến tính II Cấu trúc phổ toán tử vi phân tuyến tính III Ứng dụng CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Hàm liên tục bị chặn 10 II Hàm đầu tuần hoàn 10 III Hàm truy đồi 11 IV Các bổ đề 12 V Điều kiện tồn toán tử ngược 22 CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TỒN TÍNH FREDHOLM CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 33 I Định nghĩa kết 33 II Sự bảo tồn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân vơ cực 34 III Sự bảo tồn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị vô cực 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 KÝ HIỆU R, p tập hợp số thực số phức Rn(Pn) không gian thực (phức) với chuẩn Mn không gian (vành) ma trận thực cấp n với chuẩn C(Rn),C(Pn) không gian Banach phức hàm liên tục, bị chặn R, có giá trị Rn, pn với chuẩn : C1(Rn) không gian Banach phức hàm liên lục, bị chặn x(t ) có đạo hàm cấp (t) liên tục, bị chặn R ( C(Rn) ) với chuẩn C*(Rn) không gian C(Rn) gồm tất hàm liên tục bị chặn R, có giá trị Rn C(Mn) không gian Banach hàm ma trận A(t ) liên tục, bị chặn với chuẩn C*(Mn) không gian Banach hàm ma trận A(t ) liên tục đều, bị chặn với chuẩn MỞ ĐẦU Lý thuyết tốn tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trục số nhiều tác giả quan tâm, cơng trình cổ điển Bohl P , Person O , Favard J sau lý thuyết nhà toán học nghiên cứu theo hướng khác : Về tính chất nghiệm, dáng điệu nghiệm, tính giải phương trình khơng xét không gian hàm khác Luận văn chúng tơi nghiên cứu tốn tử vi phân tuyến tính có dạng với A(t) ma trận hàm liên tục bị chặn trục số phương trình Từ tính chất tốn tử L ta thu tính chất phương trình khơng Luận văn gồm ba chương: Chương nghiên cứu cấu trúc phổ toán tử vi phân tuyến tính L (Định lý 1.1) Chúng tơi thiết lập mối liên hệ khái niệm khả qui hầu khả qui phương trình Kết chương định lý 1.2, xem ứng dụng, xác định điều kiện cần đủ dạng phổ để phương trình (2) hầu khả qui phương trình có hệ số Chương trình bày điều kiện tồn tốn tử ngược tốn tử vi phân tuyến tính Chúng nhắc lại khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi hàm truy hồi chứng minh ba bổ đề mang tính chất kỹ thuật Kết chương tốn tử L:C1(Rn) C(Rn) có tốn tử ngược bị chặn hai trường hợp sau : (a) Hệ số ma trận hàm A(t) truy hồi (hay hầu tuần hồn) tất phương trình giới hạn khơng có nghiệm khác khơng bị chặn R (Định lý 2.1, 2.2) (b) Toán tử L giải chuẩn tắc A ma trận hàm truy hồi (Định lý 2.4) Ngoài với vài giả thiết bổ sung, chúng tơi xác định tính chất nghiệm phương trình khơng Lx = f (Định lý 2.3) Chương nói bảo tồn tính Fredholm tốn tử L phụ thuộc tham số bé dựa hai khái niệm : ma trận hệ số hội tụ tích phân vơ cực định vị vơ cực Kết chương với α > đủ bé Lα Fredholm hai trường hợp sau : (a) Ma trận hàm A(t,α) hội tụ tích phân vơ cực đến A0(t) α⟶0 (Định lý 3.1) (b) Ma trận hàm A(t,α) định vị vô cực α⟶0 với dãy { ̃ ̃ }, với α k ⟶ tồn dãy , ̃ - hội tụ đến ma trận B khơng có giá trị riêng ảo (Định lý 3.2) Trong chương cịn có hai hệ quả, xem phần ứng dụng, thú vị suy từ kết (Hệ 3.1,3.2) Phương pháp chứng minh hai chương dựa phương pháp Mukhamadiev[4] mà sở sử dụng toán tử giới hạn vơ cực xuất phát từ tốn tử L ban đầu CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Phổ tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1 Cho không gian Banach phức E tốn tử tuyến tính liên tục L : E->E Số phức λ, gọi giá trị qui tốn tử L tốn tử L-λI có tốn tử ngược liên tục, xác định toàn E Một số phức khơng phải giá trị qui L gọi giá trị phổ L Tập hợp tất giá trị phổ L gọi phổ L, phần bù (L) P giá trị qui L Đinh nghĩa 1.2 Các tốn tử tuyến tính L1, L gọi đồng dạng tồn tốn tử tuyến tính U liên tục khả nghịch liên tục cho Mệnh đề 1.1 Các tốn tử đồng dạng có phổ II Cấu trúc phổ toán tử vi phân tuyến tính Xét phương trình nhất: L tốn tử vi phân tuyến tính từ C R n ) vào C ( R n ) định : Bổ đề 1.1, Với số thực α , toán tử L α định đồng dạng với toán tử L C( P n ) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHỨNG MINH Xây dựng tốn tử Uα C(Pn) sau : Thì Uα tốn tử tuyến tính, liên tục, khả nghịch liên tục Với y C(Pn) Vậy L Lα đồng dạng, chúng có phổ Bổ đề chứng minh □ Đinh lý 1.1 Phổ toán tử L gồm đường thẳng song song với trục ảo mặt phẳng phức CHỨNG MINH Giả sử L có giá trị phổ α + iβ P Ta chứng minh α + iβ/ giá trị phổ L Theo bể đề 1.1 , α + iβ giá trị phổ Lβ nên Lp - (a + ip)l khơng có tốn tử ngược liên tục Mặt khác Lβ/ - ( α + iβ/ ) I khơng có tốn tử ngược liên tục suy α + iβ/ giá trị phổ Lβ/ Theo bổ đề 1.1, α + iβ/ giá trị phổ L Vậy phổ toán tử L gồm đường thẳng song song với trục ảo mặt phẳng phức CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH (8) từ (7), với ta có Nên với k (9) Khơng giảm tính tổng qt, coi tồn ̃  E H (A ) thỏa (10) Khi k > k0 Kết hợp ba bất đẳng thức (8), (9), (10) ta có 37 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Như với < -1 suy khoảng hữu hạn Do đó, với t cố định, chia đoạn [0,t] thành số hữu hạn đoạn nhỏ có chiều dài khơng q áp dụng kết trên, ta có (11) Ta chứng minh dãy {xk} hội tụ C(Rn) Với k  N, t  R Vậy dãy hàm {xk} bị chặn Vì xk thỏa đẳng thức (5) nên xk thỏa đẳng thức Do với kN, t,s  R 38 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH dãy hàm {xk} liên lục đồng Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} tập compac tương đối nên chứa dãy hội tụ đến hàm x0 C(Rn) Khơng giảm tính tổng quát, ta coi dãy dãy hàm {xk} Với t  R, nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) R, khoảng hữu hạn Vì Nên dãy ,∫ ̃ - hội tụ ∫ khoảng hữu hạn Cũng từ (5) ta có (12) lấy giới hạn hai vế (12) k ⟶ ta Tương tự chứng minh bổ đề 2.2, chương 2, x0 nghiệm khác không bị chặn C1Rn) phương trình Mâu thuẫn với giả thiết L0 Fredholm Định lý chứng minh □ 39 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG Xét toán tử Lα từ C1Rn) vào C(Rn) định (13) với α > A  C*(Mn) Định nghĩa 3.3 Ma trận A  C*(Mn) gọi trung bình hóa vơ cực tồn hai ma trận A+ A_ cho (14) Nhờ khái niệm dựa vào định lý 1, ta suy tiên chuẩn hiệu nghiệm cho tính Fredholm tốn tử (13) với α bé Hệ 3.1 Giả sử (i) Ma trận A(t) trung bình hóa vơ cực; (ii) Phần thực giá trị riêng ma trận A+ A_ khác khơng Khi với α > bé, toán tử (13) Fredholm CHỨNG MINH Cùng với tốn tử (13), xét tốn tử Đặt Khi Uα tốn tử tuyến tính liên tục khả nghịch liên tục Ngoài nên 40 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Cho nên tốn tử (13) Ficdholm toán tử (15) Fredholm (Krein [6]) Xác định ma trận hàm (16) Ta chứng minh A α , A C* (Mn ), Ma trận hàm A(t,α)  C*(Mn) A(t)  C*(Mn) Ngoài Nếu t, s Nếu t, s t, s A0(t) liên tục s < A0(s) = A0(0),cịn s > A0(s) = A0(l) nên A0(t)e C*(Mn) Ta chứng minh ma trận hàm Aa(t) hội tụ tích phân vơ cực đến ma trận hàm A0(t) a ⟶ nghĩa với > 0, tồn = 41 ( ) > cho với α  (0, 0) ta có CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét trường hợp h → + suy (17) Tồn h > cho +h với [ ,1] h > h Khi (18) Do α nên α = Từ giả thiết (14) suy tồn T > cho 42 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH [ 0,1], nên giả sử h > h0 suy (19) Từ (17), (19) với α  (0, 0), t a c ó Trường hợp h⟶ , chứng minh tương tự Vậy ma trận hàm Aα(t) hội tụ tích phân vô cực đến hàm A0(t) α⟶ Ta chứng minh toán tử K0 định 43 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Fredholm nghĩa chứng minh phương trình khơng có nghiệm khác khơng bị chặn R, phản chứng Giả sử tồn ̃ H(A0) x0 khác khơng bị chặn R thỏa Vì ̃ H(A0) nên tồn dãy {hk} thỏa cho khoảng hữu hạn Cố định t R xét trường hợp Tồn k0 > cho t + hk =+ k > k0 Khi xo nghiệm khác khơng bị chặn phương trình Vì phần thực giá trị riêng A+ khác khơng nên nghiệm khác khơng phương trình không bị chặn Mâu thuẫn Chứng minh tương tự cho trường hợp =- Vậy toán tử K0 Fredholm Hệ chứng minh □ III Sự bảo tồn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị vô cực Định nghĩa 3,4, Ma trận hàm A(t,α) gọi định vị vô cực 0, tồn = ( ) > cho với với >  (0, ) bất đẳng thức sau thỏa mãn (20) Định lý 3.2 Giả sử 44 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH (i) Ma trận h m A(t,α) định vị t i vỗ cực k h i α⟶0 (ii) Đối với dãy {̃ } (̃ ( ̃ )) t h ỏ a =0 tồn dãy { ̃ } hội tụ đến ma trận B giá trị riêng ma trận B khơng nằm trục ảo Khi tồn α0 (0,α1) cho với α (0,(α0), toán tử Lα Fredholm CHỨNG MINH Ta chứng minh tồn α0 (0,α1) cho với α (0,(α0), tất phương trình giới hạn dạng khơng có nghiệm khác khơng bị chặn R phản chứng Tương tự chứng minh định lý 3.1, ta kết quả: •Tồn dãy số {αk}, dãy ma trận hàm {̃ }, ̃ H( ) dãy hàm {xk} C1Rn) thỏa (21) H( • Với • Tồn số ) > cho • Khơng giảm tính tổng qt, coi • Dãy hàm {xk}hội tụ đến hàm x0 C( Rn), nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) R, khoảng hữu hạn Theo giả thiết (ii) 45 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH nên ta coi dãy { ̃ } hội tụ đến B (22) Ta chứng minh dãy {̃ (t)} hội tụ đến B khoảng hữu hạn Thật vậy, Aα định vị vơ cực α⟶0 nên với ɛ > 0, tồn = (ɛ) > cho với α (0, ) Ta giả sử < αk < Khi tồn dãy { với k } thỏa cho (23) Mặt khác, H(̃ ), tồn dãy { } thỏa cho lừng khoảng hữu hạn Đối với k, chọn j(k) cho (24) Từ (23), với ta có nên Từ bất đẳng thức (24), suy 46 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Như với –1 khoảng hữu hạn Dựa vào từ (22), xét khoảng hữu hạn [-a,a] t [-a,a], chia đoạn [0,t] thành số hữu hạn đoạn nhỏ có chiều dài khơng q 1, ta suy dãy { ̃(t, đến B khoảng hữu hạn Do dãy { ̃(t, khoảng hữu hạn Vì xk thỏa đẳng thức (21) nên thỏa đẳng thức 47 )} hội tụ )xk(t)} hội tụ Bx0(t) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH k → ∞ ta hay x thỏa phương trình Tương tự chứng minh định lý , x nghiệm khác không bị chặn R phương trình Vì giá trị riêng B khơng nằm trục ảo nghĩa phần thực chúng khác không nên m ọi nghiệm khác không phương trình khơng bị chặn Mâu thuẫn chứng minh định lý ỨNG DỤNG Xét toán tử nhiễu loạn kỳ dị K α từ C l (R n ) vào C(R n ) định (25) A  C*(M n ) Giả sử λ (t), λ (t),… λ n (t) giá trị riêng A(t) Ký hiệu + ( _) tập điểm giới hạn hàm λ (t), λ (t),… λ n (t) t t Từ định lý suy hệ sau : Hệ 3.2 Giả sử tập + - không cắt trục ảo Khi với α > bé, tốn t K α Fredholm CHỨNG MINH Cùng với toán tử K α , xét toán tử M α định (26) Đặt U α tốn tử tuyến tính liên tục khả nghịch liên tục Ngoài 48 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Cho nên toán tử Kα Fredholm toán tử Mα Fredholm (Krein [6]) Đặt Rõ ràng A α , A  C*(Mn) Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (i) định lý 3.2 Thật vậy, A C*(Mn) nên với ɛ > 0, tồn | t - s | < Với α  (0, ) ) cho  [0,1] nên với h  R Vậy ma trận hàm A(αt) định vị vô cực α⟶ Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (ii) định lý 3.2 Thật vậy, xét dãy { ̃ ̃ H( ) thỏa Với ɛ > tồn k0 cho k Với k, tồn dãy { k0, ta có } thỏa cho 49 } CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Với k = 1, tồn jo(l) > cho với j > jo(l), ta có chọn j(l) = j0(l) Giả sử chọn j(k - 1) với k > Tồn j0(k) > cho với j j0(k), ta có Chọn j(k) = max { j(k -1), j0(k), k} Ta dãy {j(k)} thỏa Khi với k k0, ta có Nghĩa Cho k⟶ ta Vậy giá trị riêng ma trận B không nằm trục ảo Hệ chứng minh □ 50 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] DEMIDOVICH B.P , Bài giảng l ý thuyết toán ổn định, N X R Khoa học M 1967, 472 trang [2] KRASNOCELSKI M.A VÀ NHỮNG NGƯỜI KHÁC, Dao động hầu tuần hoàn phi tuyến, NXB Khoa học M 1970 [3] ZABREIKO P.P , KRASNOCELSKI M.A., STRƯGIN V.V , nguyên lý biến phép quay, Thông báo trường Đại học Tốn (Liên X ơ) N° 5, 1972 [4] MUKHAMADIEV E , lính khả ngược tốn tử vi phân không gian hàm bị chặn liên tục trục số, Báo cáo Viện Hàn lâm (Liên Xô) ( 196, N° 1, 1971, 47 - 49 ) [5] FAVARD J , Sur les équations différentielles a coefficients presque- périodique, Acta Math 1927 , V 51 , p 31 - 81 [6] KREIN S G., Phương trình tuyến tính khơng gian Banach, NXB Khoa học, M 1971 , 104 trang [7] MILLIONSHIKOV V.M , nghiệm hầu tuần hồn truy hồi củahệ khơng ôtônôm, tập "Phương trình vi phân", 1968 , T , N° , 1555 -1559 [8] SHUBIN M A , Lý thuyết Favard - Mukhamadiev toán tử giả vi phân, Báo cáo Viện Hàn lâm Khoa học (Liên Xô), 1975 , T 225 , N° , - [9] KURBATOV V G , khả ngược tốn tử hầu tuần hồn,"Tun tập tốn học" (Liên Xơ) 1989 , T 180 , N° , 913 - 923 [10] SLUSARTRUC V E , Sự khả nghịch toán tử hàm C-liên tục hầu tuần hồn, "Tuyển tập tốn học" (Liên Xơ), 1981 , T 116 , N° , - [11] TRẦN HỮU BỔNG, số điều kiện khả ngược toán tử vi phân hàm Cliên tục, "Báo cáo Viện Hàn lâm Khoa học" (Nga) 1993 , T 329 , N° , 278 - 280 ... PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Phổ tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.1 Cho khơng gian Banach phức E tốn tử tuyến tính liên tục L : E->E Số phức... nhất: L tốn tử vi phân tuyến tính từ C R n ) vào C ( R n ) định : Bổ đề 1.1, Với số thực α , toán tử L α định đồng dạng với toán tử L C( P n ) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TỐN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHỨNG... đều, bị chặn với chuẩn MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trục số nhiều tác giả quan tâm, cơng trình cổ điển Bohl P , Person O , Favard J sau lý thuyết nhà toán học