Hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ GVHD: TS Lƣơng Lê Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu I Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov Kết luận chương I 10 II Gii phng trỡnh Schră odinger cho cỏc h th nng khác 11 Hạt hố sâu vô hạn 11 Hàng rào - Hiệu ứng đường ngầm 14 Dao động tử điều hòa 24 Thế Woods–Saxon 30 Thế Morse 36 Th nng PăoschlTeller 42 Thế Coulomb 48 Thế Hulthen 54 Thế Kratzer 60 10 Dao động giả điều hòa 67 Kết luận chương II 73 III Kết luận 74 IV Tài liệu tham khảo 76 Phụ 77 Lời cảm ơn Để luận văn đạt kết tốt đẹp, suốt trình thực em nhận nhiều quan tâm, động viên, giúp đỡ q thầy cơ, gia đình bạn bè Với lịng sâu sắc đó, cho em xin bày tỏ lịng biết ơn đến: Trước hết thầy, TS Lương Lê Hải, người định hướng, dạy em suốt trình thực luận văn Hơn hết, thầy người truyền cho em tự tin niềm đam mê, đồng thời thầy người trực tiếp hướng dẫn em từ ngày đầu Thứ hai, q thầy, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM truyền đạt cho em kiến thức, kĩ phương pháp sư phạm tảng cho tương lai nghề nghiệp Đặc biệt, TS Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn Bên cạnh, người quan tâm em, giúp đỡ em thật nhiều suốt bốn năm đại học, thời gian em làm khóa luận Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018 Huỳnh Trúc Như Phần mở đầu Lý chọn đề tài Phương trỡnh Schrăodinger l phng trỡnh ng lc hc c bn dùng để mơ tả tính chất hệ học lượng tử, tương tự phương trình định luật II Newton học cổ điển Đối với hệ cổ điển, thơng qua việc giải phương trình II Newton ta biết tính chất chuyển động vật hệ vật Tuy nhiên, hạn chế phương trình định luật II Newton dùng để mô tả chuyển động vật có kích thước khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mơ) Do vậy, nghiên cứu đến tính chất vật có kích thước vi mơ, điển hình nghiên cứu chuyển động hạt electron (các hạt bản), ta khơng thể dùng phương trình II Newton để mô tả mà phải thông qua việc giải phng trỡnh Schrăodinger tỡm c hm súng (nghim ca phương trình) giá trị lượng (trị riêng), từ ta khảo tính chất hệ xét hay tìm tính chất mi Chớnh vỡ vy m vic gii phng trỡnh Schrăodinger điều cần thiết quan trọng [1] Dựa kiến thức việc gii phng trỡnh Schrăodinger vi cỏc h th c bn như: hố sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào mà ta xõy dng phng trỡnh Schrăodinger cho nhng h th phc tạp Ví dụ xét hạt chuyển động trường xuyên tâm, hay nghiên cứu đến tương tác neutron với hạt nhân, tán xạ nguyên tử phân tử gồm hai nguyên tử Tuy nhiên, chương trình đại học, sinh viên lại chưa có hội nhiều để tiếp xúc với dạng hố Do đó, đề tài luận văn mục ớch l h thng li vic gii phng trỡnh Schrăodinger cho hố nhau, hố học chương trình đại học, luận văn đưa vào dạng hố khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse [6], [12], Pă oschlTeller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] dao động giả điều hòa [10] Với mục đích đưa đến nhiều dạng hố khác đến gần với sinh viên, tài liệu tham khảo bổ ích Mặt khác, vấn đề quan tâm việc gii phng trỡnh Schrăodinger chớnh l phng phỏp gii chương trình đại học, hố sâu vơ hạn hàng rào thế, toán giải cách giải phương trình vi phân cấp hai Riêng mơ hình dao động tử điều hịa, hai phương pháp sử dụng giải tích áp dụng tốn tử sinh hủy Tuy nhiên, phương pháp giải tích áp dụng cho số hố khác lại gặp khó khăn việc tính tốn, số phương pháp khác cho nghiệm gần Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phng trỡnh Schrăodinger cho cỏc h th khỏc l điều cần thiết Có nhiều phương pháp giải khác đưa ra, cho nghiệm gần xác Trong số đó, phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần xác với nhiều hố khác nhau, có hố nghiệm xác ứng với mức lượng tử, có hố cho nghiệm xác ứng với trạng thái Nhưng nhìn chung, phương pháp lại đơn giản hóa vic tớnh toỏn v gii phng trỡnh Schrăodinger i với nhiều hố phức tạp Vì xét kĩ, áp dụng phương pháp này, người giải cần thực bước làm theo hệ thống định, quan trọng cần đổi biến số từ đầu cho phù hợp chọn nghiệm cho thỏa mãn tính chất vật lý hàm sóng Hơn hết, phương pháp áp dụng nhiều tốn phức tạp Chính vậy, đề tài luận văn đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải hệ thống lại toán học lng t vic gii phng trỡnh Schrăodinger ng vi hố khác Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) trị riêng lượng dạng biểu thức toán học, luận văn trình bày hình vẽ minh họa cho kết tính phần mền Maple Đối tượng phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu hệ thống lại số hố khác khác thụng qua vic gii phng trỡnh Schrăodinger bng phng pháp Nikiforov–Uvarov Các toán xếp theo thứ tự hố từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, luận văn sử dụng phần mềm Maple để giải toán tán xạ Cấu trúc luận văn Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov Chương II: Hệ thống số toán học lượng tử vic gii phng trỡnh Schrăodinger ng vi cỏc h khác Kết luận – Hướng phát triển Tài liệu tham khảo Phụ Chương I I Luận văn tốt nghiệp Cơ sở phương pháp Nikiforov–Uvarov Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] xây dựng hai nhà vật lí người Nga, Nikiforov Uvarov Cơ sở phương pháp dựa việc giải phương trình vi phõn bc hai Bng cỏch rỳt phng trỡnh Schrăodinger phương trình vi phân bậc hai dạng hàm siêu việt, ta tìm giá trị xác lượng hàm sóng tương ứng Ta xét phương trình vi phân bậc hai dạng: ψ (s) + τ˜(s) σ ˜ (s) ψ (s) + ψ(s) = 0, σ(s) σ (s) (I.1) đó, τ˜(s) đa thức bậc nhất, σ(s) σ˜ (s) đa thức bậc hai, ψ(s) hàm số có dạng hàm hàm siêu việt Đưa phương trình (I.1) dạng đơn giản cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), hàm ψ(s) chọn cho thích hợp Ta có: ψ (s) = φ (s)y(s) + φ(s)y (s), ψ (s) = φ (s)y(s) + 2φ (s)y (s) + φ(s)y (s) Khi phương trình (I.1) viết lại: y (s) + φ (s) τ˜(s) + φ(s) σ(s) y (s) + φ (s) φ (s) τ˜(s) σ ˜ (s) + + φ(s) φ(s) σ(s) σ (s) y(s) = (I.2) Đặt hệ số đứng trước y (s) τ (s)/σ(s), với τ (s) đa thức có bậc đồng nhất, ta được: φ (s) τ˜(s) τ (s) + = , φ(s) σ(s) σ(s) (I.3) φ (s) π(s) = , φ(s) σ(s) (I.4) đó: Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp với π(s) đa thức có bậc đồng Từ biểu thức (I.3) (I.4), ta biểu diễn τ (s) dạng: (I.5) τ (s) = τ˜(s) + 2π(s) Biểu thức φ (s)/φ(s) xuất hệ số đứng trước y(s) Biểu diễn φ (s)/φ(s) theo biểu thức (I.4): φ (s) = φ(s) φ (s) φ(s) + φ (s) φ(s) = π(s) σ(s) + π(s) σ(s) (I.6) hệ số đứng trước y(s) viết lại: φ (s) φ (s) τ˜(s) τ˜(s) σ(s) + + = , φ(s) φ(s) σ(s) σ (s) σ (s) (I.7) σ(s) = σ ˜ (s) + π (s) + π(s)[˜ τ (s) − σ (s)] + π (s)σ(s) (I.8) với So sánh vế phương trình (I.2), (I.3) (I.7), ta được: y (s) + σ(s) τ (s) y (s) + y(s) = σ(s) σ (s) (I.9) Từ phương trình (I.7), ta thấy σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt: σ(s) = λσ(s), (I.10) λ số Khi phương trình (I.9) đưa dạng: σ(s)y (s) + τ (s)y (s) + λy(s) = (I.11) Phương trình (I.11) phương trình có dạng hàm siêu việt, nghiệm biểu diễn dạng hàm siêu việt Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta tìm hàm π(s) số λ cách viết lại phương trình (I.8) dạng biểu thức bậc hai theo π(s): π (s) + π(s)[˜ τ (s) − σ (s)] + σ ˜ (s) − λ + π (s) = (I.12) Nghiệm phương trình bậc hai (I.12): σ (s) − τ˜(s) ± π(s) = σ (s) − τ˜(s) 2 −σ ˜ (s) + kσ(s), (I.13) với k = λ − π (s) (I.14) Vì π(s) đa thức nên biểu thức dấu phương trình (I.13) phải có dạng bình phương đa thức Do đó, ∆s = Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm giá trị k , từ ta tìm hàm π(s) tương ứng từ phương trình (I.13) Các biểu thức τ (s), λ φ(s) xác định phương trình (I.5), (I.14) (I.4) Vì đạo hàm hàm siêu việt hàm siêu việt Do đó, lấy đạo hàm bậc phương trình (I.11) đặt υ1 (s) = y (s), ta thu được: συ1 (s) + τ1 (s)υ1 (s) + µ1 υ1 (s) = 0, (I.15) τ1 (s) = τ (s) + σ (s) (I.16) µ1 = λ + τ (s) (I.17) với đa thức có bậc đồng nhất, µ1 tham số phụ thuộc vào biến số s Tương tự, đạo hàm bậc hai phương trình (I.11), với υ2 (s) = y (s): σ(s)υ2 (s) + τ2 (s)υ2 (s) + µ2 υ2 (s) = 0, (I.18) τ2 (s) = τ1 (s) + σ (s) = τ (s) + 2σ (s) (I.19) với Trang Chương I Luận văn tốt nghiệp µ2 = µ1 + τ1 (s) = λ + 2τ (s) + σ (s) (I.20) Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn (s) = y (n) (s), ta được: σ(s)υn (s) + τn (n)υn (s) + µn υn (n) = 0, (I.21) τn (s) = τ (s) + nσ (s) (I.22) với µn = λ + nτ (s) + n(n − 1) σ (s) (I.23) Tất nghiệm phương trình (I.21) biểu diễn dạng υn (s) = y (n) (s), với y(s) nghiệm phương trình (I.11) Khi µn = 0, phương trình (I.21) có nghiệm đặc biệt υn (s) = const, phương trình (I.23) trở thành: λn = −nτ (s) − n(n − 1) σ (s), n = 0, 1, (I.24) yn (s) hàm có dạng hàm siêu việt: yn (s) = Bn dn n [σ (s)ρ(s)] , ρ(s) dsn (I.25) với Bn số chuẩn hóa ρ(s) phải thỏa điều kiện: [σ(s)ρ(s)] = τ (s)ρ(s) Trang (I.26) > psiI := (k, r)− > J(K, r, 0); psiI := (k, r) → J(K, r, 0) (IV.18) Hàm sóng r > r0 : > psiII := (k, r)− > J(k, r, 0) + B0 ∗ Y (k, r, 0); psiII := (k, r) → J(k, r, 0) + B0 Y (k, r, 0) (IV.19) Với điều kiện liên tục hàm sóng, ta tìm hệ số chuẩn hóa Nl : > Nl := k− > psiII(k, r0)/psiI(k, r0); Nl := k → psiII(k, r0) psiI(k, r0) (IV.20) Đồ thị hàm sóng r < r0 r > r0 : > plot([subs(V = −2, k = 2, Nl (k) ∗ psiI(2, r)), subs(V = −2, k = 2, psiII(2, r))], r = 10, color = [red, black], linestyle = [solid, dot], thickness = 3, title = Œthcahmsngkhir < r0vr > r0 ); Hình IV.14: Đồ thị hàm sóng r < r0 r > r0 Khảo sát hàm sóng vùng lân cận điểm r0 = > plot([subs(V = −2, k = 2, Nl (k) ∗ psiI(2, r)), subs(V = −2, k = 2, psiII(2, r))], r = 0.5 1.5, color = [red, black], thickness = 3, linestyle = [solid, dot]); Hình IV.15: Đồ thị hàm sóng vùng lân cận r0 = Hệ số chuẩn hóa phụ thuộc lượng k V0 = −5 > plot(subs(V = −5, Nl (k)), k = 10, N = −10 10, thickness = 3, color = red); Hình IV.16: Đồ thị hệ số chuẩn hóa phụ thuộc vào lượng k Xấp xỉ Born • Hố loại I > restart; with(orthopoly); with(plots) : assume(r > 0, a > 0); > E := k /2 : > q := (k, theta)− > ∗ k ∗ sin(theta/2); q := (k, theta) → 2k sin θ (IV.21) Xét hố đối xứng cầu có dạng: > U := r− > −Z ∗ Heaviside(a − r); U := (r) → −ZHeaviside(a − r) Đồ thị hố Z = 1, a = 2: > plot(subs(Z = 1, a = 2, U (r)), r = 4, U = −1.5 1.5, thickness = 4, color = red); (IV.22) Hình IV.17: Đồ thị hố loại I Biên độ tán xạ tính theo công thức: > f (q) := −2 ∗ int(U (r) ∗ sin(q ∗ r)/q ∗ r, r = inf inity); f (q) := − 2Z(cos(qa)qa − sin(qa)) q3 (IV.23) Tiết diện hiệu dụng góc khối dΩ tính theo cơng thức: dσ = |(θ)|2 dΩ, với: dΩ = 2πsinθdΩ Biểu thức dσ Z = 1, a = 2, q = q(k, θ): > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ); d(σ) := (k, θ)− > subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, θ), |f (q)|2 ) Đồ thị góc σ phụ thuộc vào góc θ k = 1: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = P i, thickness = 3, color = red); (IV.24) Hình IV.18: Sự phụ thuộc tiết diện hiệu dụng vào góc Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ k thay đổi từ k = đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, k = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.19) Ta cố định lượng tán xạ k = 1, thay đổi độ sâu cảu hố cách thay đổi Z : Đồ thị hàm f (q) phụ thuộc vào góc θ, với a = 2, k = Z thay đổi từ Z = đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, Z = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.20) Đồ thị hàm f (q) phụ thuộc vào góc θ, với Z = 1, k = a thay đổi từ đến 6: Hình IV.19: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc k thay đổi Hình IV.20: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc Z thay đổi > animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, a = 6, color = red, thickness = 3); Hình IV.21: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc a thay đổi Tiết diện tán xạ toàn phần tính theo cơng thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f (q)2 /k , q = 1, ‘continuous‘); σ := πZ (2aa4 + sin(2a)a − 2a2 + cos(2a) − 1) k2 (IV.25) • Hố loại II > restart; with(orthopoly) : with(plots) : assume(r > 0, a > 0); > E := k /2 : q := (k, theta)− > ∗ k ∗ sin(theta/2) q := (k, θ) → 2k sin Hố loại có dạng: θ (IV.26) > U := r− > Z ∗ exp(−r2 /a2 ); r2 U := (r) → Ze a2 − (IV.27) Đồ thị hố Z = 1, a = phụ thuộc vào r: > plot(subs(Z = 1, a = 1, U (r)), r = 4, U = 1.1, color = red, thickness = 3); Hình IV.22: Đồ thị hố loại II Tính f(q): > f (q) := −2 ∗ int(r ∗ U (r) ∗ sin(q ∗ r)/q, r = inf inity); 1 √ − q2 a2 f (q) := − Z πa e (IV.28) Giá trị tiết diện hiệu dụng dσ = |f (q)|2 dΩ góc khối dΩ Z = 1, a = k = 1: > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ); d(sigma) := (k, θ) → subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, θ), |f (q)|2 ) Đồ thị dσ k = phụ thuộc vào θ: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = P i/4, thickness = 3, color = red); (IV.29) Hình IV.23: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ vào góc Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ k thay đổi từ k = đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i/4, k = 6, color = red, thickness = 3); Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ Z thay đổi từ Z = đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, Z = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.25) Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ a thay đổi từ a = đến a = 6: > animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, a = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.26) Hình IV.24: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc k thay đổi Hình IV.25: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc Z thay đổi Hình IV.26: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc a thay đổi Tiết diện tán xạ tồn phần tính theo công thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f (q)2 /k , q = 1, ‘continuous‘);   − a2 2  a π Z e − 1 σ := − (IV.30) k2 • Hố loại III > restart; with(orthopoly) : with(plots) : > E := k /2 : q := ∗ k ∗ sin(theta/2); q := (k, θ) → 2k sin θ (IV.31) Hố có dạng: > U := r− > Z ∗ exp(−r/a)/r; r Ze a U := r → r − (IV.32) Đồ thị hố Z = 1, a = 1: > plot(subs(Z = 0.01, a = 1, U (r)), r = −4 4, color = red, thickness = 3); Hình IV.27: Hố loại III Biên độ tán xạ tính theo công thức: > f (q) := −2 ∗ int(r ∗ U (r) ∗ sin(q ∗ r)/q, r = inf inity);  2Z −  f (q) := − I − Iq a q + I + Iq a    (IV.33) Giá trị tiết diện hiệu dụng dσ = |f (q)|2 dΩ góc khối dΩ Z = 1, a = k = 1: > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ); d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), |f (q)|2 ) Đồ thị dσ k = phụ thuộc vào θ: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = P i/4, thickness = 3, color = red); (IV.34) Hình IV.28: Sự phụ thuộc tiết diện hiệu dụng vào góc Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ k thay đổi từ k = đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i/4, k = 6, color = red, thickness = 3); Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ Z thay đổi từ Z = đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, Z = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.30) Đồ thị dσ phụ thuộc vào góc θ a thay đổi từ a = đến a = 6: > animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f (q))2 ), theta = P i, a = 6, color = red, thickness = 3); (hình III.31) Hình IV.29: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc k thay đổi Hình IV.30: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc Z thay đổi Hình IV.31: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc a thay đổi Tiết diện tán xạ toàn phần tính theo cơng thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f (q)2 /k , q = 1, ‘continuous‘); σ := − 4πZ a4 k (a + I)(−a + I) (IV.35) Kết luận Trong phần giải toán tán xạ việc sử dụng thuật ngữ phần mềm Maple Các toán tán xạ khai triển sóng phẳng thành sóng riêng lẻ, tán xạ cộng hưởng hạt chậm trường xuyên tâm xấp xỉ Born Về bản, giải tốn chương trình phần mềm khác cách viết lệnh code Phần mềm Maple có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật khoa học tự nhiên Đây phần mềm toán học đại dùng để viết chương trình thuật tốn nhằm khảo sát mơ hình tốn phức tạp Phần mềm Maple có khả tính tốn mạnh hiệu việc giải phương trình để tìm nghiệm số giải tích có khả vẽ đồ thị hàm số cách xác ... tả tính chất hệ học lượng tử, tương tự phương trình định luật II Newton học cổ điển Đối với hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton ta biết tính chất chuyển động vật hệ vật Tuy nhiên,... đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải hệ thống lại tốn học lượng tử việc giải phương trình Schrăodinger ng vi cỏc h th khỏc Bờn cnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) trị riêng lượng dạng... đại học, hố sâu vơ hạn hàng rào thế, tốn giải cách giải phương trình vi phân cấp hai Riêng mơ hình dao động tử điều hịa, hai phương pháp sử dụng giải tích áp dụng toán tử sinh hủy Tuy nhiên, phương