Phương pháp toán tử giải phương trình schrodinger cho ion h 2 hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO TRUỜNG ÐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Lanh PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO ION H +2 HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO TRUỜNG ÐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Lanh PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO ION H +2 HAI CHIỀU Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử Mã số: 60 44 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT NGUỜI HUỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Hồng Lanh ii Lời cảm ơn Trong q trình thực luận văn, tơi nhận giúp đỡ động viên từ phía gia đình, thầy bạn bè Đầu tiên, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, giáo viên hướng dẫn luận văn này, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình thực hồn thành luận văn Cảm ơn thầy Hồng Văn Hưng giúp đỡ tơi q trình lập trình Xin cảm ơn gia đình bạn bè ủng hộ suốt thời gian học thời gian thực luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học xét duyệt cho nhận xét vơ q báu để luận văn hồn chỉnh Kính mong nhận góp ý, phê bình xây dựng từ Hội đồng khoa học Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh danh mục bảng iv Danh mục hình vẽ v MỞ ĐẦU Chương PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK 1.1 Phương pháp toán tử FK 1.2 Áp dụng phương pháp toán tử FK cho ion H +2 2D Chương ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK KẾT HỢP KHAI TRIỂN HÀM SÓNG .16 2.1 Thành phần tiệm cận hàm sóng .16 2.2 Áp dụng phương pháp toán tử FK 18 Chương KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH 23 3.1 Năng lượng liên kết .23 3.2 Khảo sát tốc độ hội tụ theo tham số tự ω 27 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 PHỤ LỤC P1 Phụ lục 1: Toán tử sinh hủy hai chiều hệ thức giao hoán P1 Phụ lục 2: Dạng chuẩn toán tử P3 Phụ lục 3: Tính phần tử ma trận chương P6 Phụ lục 4: Xây dựng sơ đồ vòng lặp P11 Phụ lục 5: Hamiltonian hệ xét tiệm cận hàm sóng P13 Phụ lục 6: Tính phần tử ma trận chương P16 Phụ lục 7: Lưu đồ lập trình P20 iv Danh danh mục bảng Bảng 3.1 Năng lượng liên kết electron ion phân tử H +2 2D trạng thái n= , khoảng cách liên hạt nhân R = 0.1 a.u ứng với ω = 20.0 n= R = 1.0 a.u với ω = 9.0 24 Bảng 3.2 Năng lượng liên kết electron ion phân tử H +2 2D trạng thái n1 1,= n2 , khoảng cách liên hạt nhân R = 0.1 a.u ứng với tham số kích thích= ω = 0.7 .25 v Danh mục hình vẽ + Hình 1.1 Ion phân tử H 2D Hình 1.2 Lưu đồ vịng lặp .14 Hình 3.1 Sự phụ thuộc sai số theo số vòng lặp s trạng thái với R = 0.1 a.u 26 Hình 3.2 Sự phụ thuộc sai số theo số vịng lặp s trạng thái kích thích với R = 0.1 a.u 26 Hình 3.3 Sự hội tụ lượng trạng thái R = 1.0 a.u ứng với giá trị khác tham số tự 28 Hình 3.4 Trạng thái R = 1.0 a.u , ω = 12.0 a.u lượng không hội tụ 28 Hình 3.5 Năng lượng trạng thái vòng lặp s = 30 R = 1.0 a.u ứng với giá trị khác tham số tự .29 Hình 3.6 Năng lượng trạng thái vòng lặp s = 30 R = 5.0 a.u ứng với giá trị khác tham số tự .29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề học lượng tử giải phương trình Schrưdinger để tìm lượng hàm sóng ngun tử, phân tử Bài tốn ngun tử đơn giản toán nguyên tử hydro với electron hạt nhân, số tốn tìm nghiệm xác Việc giải tốn tìm nghiệm xác trở nên khó khăn số hạt hệ tăng lên, ứng với toán nguyên tử nhiều electron hay + phân tử Phân tử đơn giản ion phân tử hydro H , tạo thành từ hai hạt nhân hydro electron Nó nghiên cứu vào ngày đầu học + lượng tử [12] Quá trình nghiên cứu ion phân tử H mở đầu tạo sở cho + toán hệ nhiều hạt Nên việc giải phương trình Schrưdinger cho ion phân tử H cần thiết + Nhiều cơng trình nghiên cứu cấu trúc ion H ba chiều (3D) [2, 7, 8] Tuy + nhiên, ion H hai chiều (2D) nhận nhiều quan tâm [1, 3, 13, 15] Hệ lượng tử 2D chủ đề quan tâm vật lí chất rắn Các thí nghiệm để nghiên cứu cấu trúc điện tử 2D thực từ năm 1974, lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhiều tượng vật lí thú vị xuất chuyển động electron bị giới hạn mặt phẳng 2D [11, 14] Ngoài ra, bán dẫn 2D tồn liên kết electron lỗ trống hình thành giả hạt exciton + dương (một electron liên kết với hai lỗ trống) có cấu trúc tương tự ion H [4] Trong + hệ 2D, ion H có khoảng cách liên hạt nhân nhỏ lượng liên kết lớn hệ 3D Điều cho ta thấy lượng liên kết phụ thuộc vào số chiều mà ta + xét [17] Trong luận văn, tơi giải phương trình Schrưdinger cho ion phân tử H 2D + Một số cơng trình nghiên cứu ion H 2D [1, 3, 12, 15, 17] Kết + lượng ion H 2D xác định công bố cơng trình trước + Năm 1990, lần toán ion phân tử H 2D giải Z Jia-Lin X Jia- Jiong, tác giả sử dụng phương pháp tách biến hệ tọa độ elip đồng tiêu; từ đó, xác định lượng ứng với trạng thái trạng thái kích thích thứ với độ xác từ đến ba chữ số thập phân [17] Năm 2003, S H Patil sử dụng phương pháp tách biến hệ tọa độ elip đồng tiêu để thu lượng cho trạng thái số trạng thái kích thích bậc thấp với độ xác cao từ + ba đến năm chữ số thập phân xét đến tính đối xứng ion H [15] Năm 2012, N Qi-Cheng cộng dùng phương pháp tách biến xét tọa độ elip 2D giải phương trình Schrưdinger dừng phương pháp thời gian ảo giải phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian, kết thu lượng cho bốn trạng thái đầu sử dụng hai phương pháp giống từ đến 13 chữ số thập phân [13] + Trong luận văn, để giải toán ion H 2D, tơi sử dụng phương pháp tốn tử [11] Phương pháp nhóm nghiên cứu giáo sư I D Feranchuk L I Komarov Đại học Tổng hợp Belarus xây dựng nên thường gọi phương pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk Komarov) [10] Phương pháp toán tử FK xây dựng sở kế thừa ưu điểm phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, đồng thời tận dụng ưu biểu diễn đại số toán tử sinh hủy Dirac để tiện lợi trình tính tốn Phương pháp áp dụng thành cơng cho nhiều tốn khác vật lí nguyên tử, vật lí chất rắn toán lý thuyết trường áp dụng nhiều cơng trình [5, 6, 9, 16] Qua cơng trình áp dụng, phương pháp tốn tử FK thể ưu điểm bật đơn giản hóa q trình tính tốn, việc tính tích phân phức tạp thay phép tính đại số đơn giản Phương pháp cho phép xác định giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường ngoài, áp dụng cho toán phi nhiễu loạn Đối với tốn hệ ngun tử, cơng trình [5, 6], phương pháp áp dụng thành cơng cho tốn exciton 2D từ trường đều, kết xác định lượng số xác biểu thức giải tích lượng cho trạng thái kích thích Để thu kết đó, áp dụng phương pháp, tác giả sử dụng phép biến đổi Levi-Civita để đưa phần tọa độ số hạng tương tác Coulomb khỏi mẫu số viết lại phương trình Schrưdinger dạng tốn dao động tử phi điều hịa Tuy nhiên, mở rộng cho toán phức tạp hơn, tốn hệ nhiều tâm phép biến đổi khơng thể sử dụng + Do đó, việc giải phương trình Schrưdinger cho ion H 2D có ý nghĩa việc phát triển phương pháp tốn tử cho hệ nhiều tâm, đó, tơi sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phương trình tốn dạng phù hợp với tính tốn đại số Đồng thời, nghiên cứu tạo tảng cho việc giải tốn có ý + nghĩa vật lí quan tâm hệ H điện trường, từ trường hệ phức tạp Đó lý để tơi tiến hành luận văn “Phương pháp toán tử giải + phương trình Schrưdinger cho ion H hai chiều” Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục tiêu luận văn áp dụng phương pháp tốn tử tìm nghiệm số xác + cho tốn ion phân tử H 2D Căn vào mục tiêu đề ra, luận văn gồm có nội dung sau: - + Xác định tính thiết thực toán ion phân tử H 2D - Thiết lập Hamiltonian hệ đưa dạng toán tử sinh hủy - Xây dựng hàm sóng sở tính tốn yếu tố ma trận - Sử dụng ngơn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số xác Phương pháp nghiên cứu - Tính tốn lý thuyết - Lập trình Fortran Cấu trúc luận văn Chương 1: Áp dụng phương pháp toán tử FK Trong chương này, phương pháp toán tử FK sử dụng để giải toán ion + phân tử H 2D Phương pháp thực qua bốn bước Bước một, đưa Hamiltonian hệ dạng toán tử sinh hủy Dirac Tuy nhiên, số hạng tương tác Coulomb Hamiltonian có chứa biến động lực mẫu, gây khó khăn việc đưa dạng tốn tử Để giải khó khăn này, tơi sử dụng phép biến đổi Laplace P14 Suy −λ y + ( x +b )2 −λ y + ( x −b ) 2  ∂  ∂   ∂  ∂  − λ1 r1 − λ2 r2 (∇ r e )(∇ ryy )=  i + j e j ,  i+ ∂y  ∂y   ∂x  ∂x   λ ( x + b) λ2 ( x − b)  ∂  λ1 y λ2 y  ∂  − − (∇ r e − λ1 r1 −λ2r= )(∇ ryy ) e − λ1 r1 −λ2r2   −  +−   (A5.4) ∂ r r x r r 2  ∂y     − λ1 r1 − λ2 r2 r * Tính ∇ e  ∂2 ∂  − λ1 =  + e  ∂x ∂y  y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b ) Ta có: ∂ − λ1 e ∂x y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b ) = e + e − λ1 +e ∂ − λ1 e ∂y y + ( x + b ) − λ2 − λ1 y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b )    λ1 ( x + b)   ( y + ( x + b) 2 ) + λ2 ( x − b) (   ,  2 y + ( x − b)   ) y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b ) = e Nên  λ ( x + b) λ1 ( x + b)λ2 ( x − b) λ2 ( x − b)    +2 + 2 2 2  y + ( x + b)  y x b ( ) + − y x b y x b ( ) ( ) + + + −     λ1 λ2 y + ( x −b ) −  − 2 2   ( ) ( ) + + + − y x b y x b   − λ1 y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b )   λ12 y λ1λ2 y λ2 y   + + 2 2 2  y + ( x + b)  + − y x b ( ) + + + − y x b y x b ( ) ( )     λ1 λ2 y + ( x −b ) −  − 2 2   + + + − y x b y x b ( ) ( )      1 y + ( x −b )  + λ2 y  λ1 y 3  2 2  y + ( x + b) y + ( x − b)    − λ1 y + ( x + b ) − λ2 y + ( x −b ) + e − λ1 y + ( x + b ) − λ2 + e − λ1 y + ( x + b ) − λ2 ( ) ( ) P15  ∂2 ∂  − λ1 y + ( x +b )2 −λ2 y + ( x −b )2 ∇ 2r e − λ1 r1 −λ2r2 = + e  2  ∂ ∂ x y   2λ1λ2 ( x − b + y ) λ1 λ2  − λ1 r1 − λ2 r2  2 = e − −   λ1 + λ2 + r1r2 r1 r2   (A5.5) Từ (A5.3), (A5.4), (A5.5), ta có: − e − λ1 r1 −λ2r2 ∇ r2e − λ1 r1 −λ2r2   λ1 ( x + b) λ2 ( x − b)  ∂  λ1 y λ2 y  ∂  − − ∇ r +  −  + 2 −   r1 r2 r2  ∂y  − λ1 r1 −λ2r2 − λ1 r1 −λ2r2    ∂x  r1 e = − e   2 2   ( ) x b y − + λ λ λ λ  + λ2 +λ +  − 1−     r1r2 r1 r2     (A5.6) Thay (A5.6) vào (A5.3), ta Hamiltonian hệ:  Z Z  ZZ Hˆ " e −2 λ1 r1 − λ2r2  − − + − E  = R  r1 r2    λ1 ( x + b) λ2 ( x − b)  ∂  λ1 y λ2 y  ∂ − − ∇ r +  −  + 2 −  r1 r2 r2  ∂y − λ1 r1 −λ2r2 − λ1 r1 −λ2r2    ∂x  r1 e − e  2 2  +  λ + λ + 2λ1λ2 ( x − b + y ) − λ1 − λ2     r1r2 r1 r2           (A5.7) P16 Tính phần tử ma trận chương Phụ lục 6: Hamiltonian hệ sau đưa dạng chuẩn: Hˆ *= Hˆ + Hˆ + Hˆ + Hˆ , (A6.1) Các phần tử ma trận xác định sau: H n1 ,n2 = n1 ', n2 ' Hˆ * n1 , n2 , n1 ', n2 ' H n1 ,n2 = H n11 ,n2 + H n21 ,n2 + H n31 ,n2 + H n41 ,n2 , n1 ', n2 ' n1 ', n2 ' n1 ', n2 ' n1 ', n2 ' (A6.2) n1 ', n2 ' (phụ lục 3)  Tính phần tử ma trận H n11 ,n2 n1 ', n2 ' H n11 ,n2 = n1 ', n2 ' Hˆ n1 , n2 n1 ', n2 ' H n11 ,n2 = n1 ', n2 ' ll n1 ', n2 ' 4πω +∞ ×∫ e − l2 2ω t − +∞ ∫ l12 2ωt a2 t 4( t +1) e t 3/2 e − − e a12t 4( 2t +1) t 3/2 −t a1t Mˆ + aˆ1+ e 2t +1 e 2t +1 e a1t t ˆ aˆ1 − M − Nˆ ln ( 2t +1) 2t +1 2t +1 e e e −t ˆ + M t +1 e a 2t + aˆ1 t +1 e a 2t t ˆ aˆ1 − M − Nˆ ln ( t +1) t +1 t +1 e e dt ω ω  2 Z1Z  ω ×  − Mˆ + + Nˆ − ll − E − Mˆ  n1 , n2 − + R 2   Để tính phần tử ma trận này, ta thực bước sau: + Đầu tiên ta khai triển Taylor thừa số e lũy thừa ∞ e x = ∑ xi i =0 i ! + Tính tác dụng ω ˆ  ω ˆ + ω ˆ 2 Z1Z  − M + N − λ1 − λ2 + R − E − M  n1 , n2 dt P17 Tính tác dụng + l2 − a t 4( t +1) 2ω t +∞ ∫ e − e t 3/2 e −t ˆ + M t +1 e a 2t + a 2t t ˆ aˆ1 − Nˆ ln ( t +1) aˆ1 − M t +1 t +1 t +1 e e e dt ω ω  2 Z1Z  ω ×  − Mˆ + + Nˆ − ll − E − Mˆ  n1 , n2 − + R 2   +∞ n1 ', n2 ' ∫ e − l12 2ωt − e a12t 4( 2t +1) e t 3/2 l2 − a t 4( t +1) 2ω t −t ˆ + M 2t +1 a1t e 2t +1 aˆ1+ e a1t t ˆ aˆ1 − M − Nˆ ln ( 2t +1) 2t +1 2t +1 e e dt +∞ ×∫ e − e t 3/2 e −t ˆ + M t +1 e a 2t + aˆ1 t +1 e a 2t t ˆ aˆ1 − M − Nˆ ln ( t +1) t +1 t +1 e e dt (phụ lục 3) Từ đó, ta tính H n11 ,n2 tổng số hạng sau: n1 ', n2 ' λλ H n121 , n2 = − (n2 + 1)(n2 + 2)n2 '!n1 '!n1 !(n2 + 2)! 16πω n1 ', n2 ' n2 '/ n1 '/ n1 ' − j2 n1 / n1 − j4 n2 / +1 ∞ ∞ ∞ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ j1 = j2 = j3 = j4 = j5 = j6 = ∞ ∑ ∑ j7 = j8 = j9 Max (0, − n1 ' + n1 + j2 + j3 − j7 − j4 − j5 + j8 ) j= = 10 Max (0, − n2 '/ + n2 / +1+ j1 − j6 ) (−1) n2 '/ − n2 / −1+ j2 + j7 + j10 + j8 + j4 + j6 a1j3 + j9 a 2n1 '− n1 − j2 − j3 + j9 + j7 − j8 + j5 + j4 (n2 '− j1 + j10 )!(n1 '− j2 − j3 + j7 + j9 )! (n2 '− j1 )!(n1 '− j2 − j3 )!(n1 − j4 − j5 )!(n2 + − j6 )! +∞ ×∫ e − λ12 2ωτ − e a12τ 4( 2τ +1) τ (2τ + 1) H n131 , n2 = − n1 ', n2 ' j1 + j2 + j3 + j9 + j7 + j10 − 3/ n1 ' + n2 ' − j1 − j2 + j9 + j7 + j10 +1 dτ +∞ ∫ e − λ2 2ω τ − a 22τ 4( τ +1) n2 '/ − n2 / + n1 ' − n1 − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 − j8 + j5 + j4 + j6 − 5/ e τ (2τ + 1) n1 '+ n2 '/ + n2 / − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 + j8 − 2i2 + j5 + j4 + dτ λ1λ2 n1 !n2 !n2 '!n1 '! 16πω n2 '/ n1 '/ n1 ' − j2 n1 / −1 n1 − − j4 n2 / ∞ ∞ ∞ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = j1 = j2 = j3 = j4 = j5 ∑ ∞ ∑ = j6 = j7 = j8 = j9 Max (0, − n1 ' + n1 + j2 + j3 − j7 − − j4 − j5 + j8 ) j= 10 Max (0, − n2 '/ + n2 / + j1 − j6 ) (−1) n2 '/ − n2 / + j2 + j7 + j10 + j8 + j4 + j6 a1j3 + j9 a 2n1 '− n1 + − j2 − j3 + j9 + j7 − j8 + j5 + j4 (n2 '− j1 + j10 )!(n1 '− j2 − j3 + j7 + j9 )! (n2 '− j1 )!(n1 '− j2 − j3 )!(n1 − − j4 − j5 )!(n2 − j6 )! +∞ ×∫ e − λ12 2ωτ − e a12τ (2τ + 1) λ2 − a τ 4( τ +1) n2 '/ − n2 / + n1 ' − n1 − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 − j8 + j5 + j4 + j6 +1/ 2ω τ 4( 2τ +1) τ j1 + j2 + j3 + j9 + j7 + j10 − 3/ n1 ' + n2 ' − j1 − j2 + j9 + j7 + j10 +1 dτ +∞ ∫ e − e τ (2τ + 1) n1 '+ n2 '/ + n2 / − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 + j8 − 2i2 + j5 + j4 +1 dτ P18 H n141 , n2 = − n1 ', n2 ' λ1λ2 n1 !n2 !n2 '!n1 '! 16πω n2 '/ n1 '/ n1 ' − j2 n1 / n1 − j4 n2 / −1 ∞ ∞ ∞ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ j1 = j2 = (−1) j3 = j4 = j5 = j6 = ∞ ∑ ∑ j7 = j8 = j9 Max (0, − n1 ' + n1 + j2 + j3 − j7 + − j4 − j5 + j8 ) j= = 10 Max (0, − n2 '/ + n2 / −1+ j1 − j6 ) n2 '/ − n2 / +1+ j2 + j7 + j10 + j8 + j4 + j6 a1j + j a 2n '− n − j − j + j + j − j + j + j (n2 '− j1 + j10 )!(n1 '− j2 − j3 + j7 + j9 )! 1 (n2 '− j1 )!(n1 '− j2 − j3 )!(n1 − j4 − j5 )!(n2 − − j6 )! +∞ ×∫ e − λ12 2ωτ − e a12τ τ (2τ + 1) λ2 − a τ 4( τ +1) n2 '/ − n2 / + n1 ' − n1 − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 − j8 + j5 + j4 + j6 −1/ 2ω τ 4( 2τ +1) j1 + j2 + j3 + j9 + j7 + j10 − 3/ n1 ' + n2 ' − j1 − j2 + j9 + j7 + j10 +1 dτ +∞ ∫ e − e τ (2τ + 1) n1 '+ n2 '/ + n2 / − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 + j8 − 2i2 + j5 + j4 − λ1λ2  ω ZZ 1  (n1 + n2 +1) − λ12 − λ2 + − E  n2 '!n1 '!n1 !n2 !  R 4πω  2  15 = H n1 , n2 n1 ', n2 ' n2 '/ n1 '/ n1 ' − j2 n1 / n1 − j4 n2 / ∞ ∞ ∞ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = j1 = j2 (−1) dτ = j3 = j4 = j5 ∞ ∑ ∑ = j6 = j7 = j8 = j9 Max (0, − n1 ' + n1 + j2 + j3 − j7 − j4 − j5 + j8 ) j= 10 Max (0, − n2 '/ + n2 / + j1 − j6 ) n2 '/ − n2 / + j2 + j7 + j10 + j8 + j4 + j6 a1j + j a 2n '− n − j − j + j + j − j + j + j (n2 '− j1 + j10 )!(n1 '− j2 − j3 + j7 + j9 )! 1 (n2 '− j1 )!(n1 '− j2 − j3 )!(n1 − j4 − j5 )!(n2 − j6 )! +∞ ×∫ e − λ12 2ωτ − e a12τ τ j +j +j +j +j +j (2τ + 1) λ2 − a τ 4( τ +1) n2 '/ − n2 / + n1 ' − n1 − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 − j8 + j5 + j4 + j6 − 3/ 2ω τ 4( 2τ +1) 10 − 3/ n1 ' + n2 ' − j1 − j2 + j9 + j7 + j10 +1 dτ +∞ ∫ − e e τ (2τ + 1) n1 '+ n2 '/ + n2 / − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 + j8 − 2i2 + j5 + j4 +1 dτ Đặt Sum ( n1 , n2 , p, q ) = n2 '/ n1 '/ n1 ' − j2 n1 / n1 − j4 n2 / n2 '!n1 '!n1 !n2 ! ∑ j1 = j2 = (−1) +∞ ×∫ j3 = ∞ j4 = j5 = ∞ ∑ ∞ ∑ j6 = j7 = j8 = j9 Max (0, − n1 ' + n1 + j2 + j3 − j7 − j4 − j5 + j8 ) j= = 10 Max (0, − n2 '/ + n2 / + j1 − j6 ) (n2 '− j1 + j10 )!(n1 '− j2 − j3 + j7 + j9 )! a a (n2 '− j1 )!(n1 '− j2 − j3 )!(n1 − j4 − j5 )!(n2 − j6 )! n2 '/ − n2 / + j2 + j7 + j10 + j8 + j4 + j6 e ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ − λ12 2ωτ − j3 + j9 n1 ' − n1 − j2 − j3 + j9 + j7 − j8 + j5 + j4 a12τ 4( 2τ +1) e τ j1 + j2 + j3 + j9 + j7 + j10 − p dτ n1 ' + n2 ' − j1 − j2 + j9 + j7 + j10 +1 (2τ + 1) λ2 − a τ 4( τ +1) n2 '/ − n2 / + n1 ' − n1 − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 − j8 + j5 + j4 + j6 − q 2ω τ +∞ ∫ e − e τ (2τ + 1) n1 '+ n2 '/ + n2 / − j1 − j2 − j3 + j9 + j7 + j10 + j8 − 2i2 + j5 + j4 +1 dτ Ta H n11 , n2 n1 ', n2 '  3 3     (n1 + 1)(n1 + 2) Sum  n1 + 2, n2 , ,  + (n2 + 1)(n2 + 2) Sum  n1 , n2 + 2, ,          λλ 3 3   = − + n1 (n1 − 1) Sum  n1 − 2, n2 , ,  + n2 (n2 − 1) Sum  n1 , n2 − 2, ,   16πω  2 2     ω  3 2 ZZ   −  (n1 + n2 +1) − λ1 − λ2 + − E  Sum  n1 , n2 , ,   2 R 2    ω2  P19 Thực bước tính phần tử ma trận tương tự trên, ta phần tử ma trận lại  Phần tử ma trận H n21 ,n2 n1 ', n2 ' H n21 , n2 n1 ', n2 '  1 1     (n1 + 1)(n1 + 2) Sum  n1 + 2, n2 , ,  + (n1 + 1)(n1 + 2) Sum  n1 + 2, n2 , ,         λλ  1 1   = − + n1 (n1 − 1) Sum  n1 − 2, n2 , ,  + n2 (n2 − 1) Sum  n1 , n2 − 2, ,   π  2 2      1  +2(n1 + n2 +1 − ωb ) Sum  n1 , n2 , ,   2     Phần tử ma trận H n31 ,n2 n1 ', n2 ' H n31 , n2 n1 ', n2 '  3     (n1 + 1)(n1 + 2) Sum  n1 + 2, n2 , ,  + (n2 + 1)(n2 + 2) Sum  n1 , n2 + 2, ,          3 3   − n1 (n1 − 1) Sum  n1 − 2, n2 , ,  − n2 (n2 − 1) Sum  n1 , n2 − 2, ,   2 2   λ1λ2   = −     Z1 3 2ω π    Sum  n1 , n2 , ,  −2 n + n + −   2 λ1   2    3 3     − 2ω b n1 Sum  n1 − 1, n2 , ,  − 2ω b (n1 + 1) Sum  n1 + 1, n2 , ,          Phần tử ma trận H n41 ,n2 n1 ', n2 ' H n41 ,n2 n1 ', n2 '  1     (n1 + 1)(n1 + 2) Sum  n1 + 2, n2 , ,  + (n2 + 1)(n2 + 2) Sum  n1 , n2 + 2, ,          1 1   − n1 (n1 − 1) Sum  n1 − 2, n2 , ,  − n2 (n2 − 1) Sum  n1 , n2 − 2, ,   2 2   λ1λ2   = −     Z2 1 2ω π    Sum  n1 , n2 , ,  −2 n + n + −   2 λ2   2    1 1     − 2ω b n1 Sum  n1 − 1, n2 , ,  − 2ω b (n1 + 1) Sum  n1 + 1, n2 , ,         P20 Lưu đồ lập trình Phụ lục 7:  Lưu đồ chung P21  Tích phân TP ( x, N1 , N ) = +∞ t N1 − ∫ ( 2t + 1) N2 e − x 2t t +1 dt 1 1   Γ  N1 +  Γ  N − N1 −  CHM 2 2  TP ( x, N1 , N ) = N1 + 0.5 x  Γ [ N2 ] e Trong    N − N1 − , N , x  P22  Ma trận H H= Tn1 + sn1 ,n1 − n1 + sn1 , n1 n2 + sn2 , n2 n2 + sn2 , n2 2ω π S n1 + sn1 ,n1 n2 + sn2 , n2  Ma trận S S n1 + sn1 , n1 = n2 + sn2 , n2 ∑ =i 1,2 × ( n1 + sn1 )/ n1 / ∑ ∑ Zi = i1 n1 − i2 ∑ = i2 0= i3 Max (0, − sn1 + i1 − i2 ) = i4 (n2 + sn2 )!(n1 + sn1 )!n1 !n2 ! (n1 − 2i2 − i3 )!(n2 − 2i4 )! (−1) sn2 / + 2i4 + i1 + i2 ∑ Max (0, − sn2 / 2) i1 !i3 !i2 !i4 !( sn2 / + i4 )!( sn1 − 2i1 + 2i2 + i3 )! n2 / (a i ) sn1 − 2i1 + 2i2 + 2i3  a i 2t  t sn2 / 2+ sn1 −i1 + 2i3 + 3i2 + 2i4 −1/ exp − ∫0  ( 2t + 1)  (2t + 1)n1 + n2 + sn2 / 2+ sn1 −i1 +i3 +i2 +1 dt   +∞ Z= , suy Xét ion H 2+ nên Z= ( n1 + sn1 )/2 n1 /2 S n1 + sn1 ,n1 n2 + sn2 , n2 ∑ ∑ i1 = n1 − i2 ∑ n2 /2 ∑ i2 0= i3 Max (0, − sn1 + i1 − i2 ) = i4 Max (0, − sn2 /2) = ( X , NA, NB ) CL( sn2 / + i1 + i2 ).HESOTP với SN1  , SN  Trường hợp lại S n1 + sn1 ,n1 = n2 + sn2 , n2 Trong CL( sn2 / + i1 + i2 ) =(−1) sn2 /2+ 2i4 +i1 +i2 HESO = (n2 + sn2 )!(n1 + sn1 )!n1 !n2 ! (n1 − 2i2 − i3 )!(n2 − 2i4 )!i1 !i3 !i2 !i4 !( sn2 / + i4 )!( sn1 − 2i1 + 2i2 + i3 )! X =α2 /8 NA = sn2 / + sn1 − i1 + 2i3 + 3i2 + 2i4 NB = n1 + n2 + sn2 / + sn1 − i1 + i3 + i2 + P23 P24  Ma trận T  (n1 + 1)(n1 + 2)δ n ',n + + (n2 + 1)(n2 + 2)δ n ',n 1 1 Tn1 ,n1 ' n2 , n2 '   Z1Z = −  δ n ',n + R n12 ',n12  −2(n1 + n2 +1)δ n ',n + n1 (n1 − 1)δ n ',n − + n2 (n2 − 1)δ n ',n  1 1 1 n2 ', n2 n2 ', n2 n2 ', n2 −   ω n2 ', n2 n2 ', n2 + P25  Vòng lặp n2 + s n1 + s  (s) (s) ˆ = E  n1 ,n2 ∑ ∑ Ck1 ,k2 H n1 ,n2 ,k1 ,k2 = k 0= k1  n2 + s n1 + s  Ck(1s,)k2 Hˆ j1 , j2 ,k1 ,k2 − Hˆ j1 , j2 , j1 , j2  ∑ ∑  ( s +1) = k 0= k1 C j1 , j2 = En(1s,)n2 − Hˆ j1 , j2 , j1 , j2   (s) (0) Cn1 ,n2 = ; Ck1 ,k2 = δ k1 ,k2 ,n1 ,n2    ) ( Vòng lặp NS = FUNCTION ENERGY(0) NS = FUNCTION ENERGY(NS) COEWF(K1,K2 ABS(ENERGY(NS)ENERGY(NS)