Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh – 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Long TP Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt khóa học việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy Thầy Nguyễn Công Tâm đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm trường Đại Học Khoa học –Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập làm việc Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thủ tục hành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Toán - Khoa Khoa học, trường Đại học Nông Lâm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi mặt để yên tâm học tập làm việc Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn thân thương đến gia đình -chỗ dựa tinh thần sống sau này, tạo điều kiện tốt giúp hoàn thành luận văn anh Nguyễn Hữu Thái – người giúp đỡ nhiều việc in ấn tài liệu sửa chữa luận văn Vì kiến thức thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tp.HCM, ngày 20 tháng 11 năm 2006 Lê Nguyễn Kim Hằng MỞ ĐẦU Trong luận văn này, khảo sát toán utt − μ (t )u xx + f ( u , ut ) = F ( x, t ) , < x < 1, < t < T , (0.1) u x ( 0, t ) = P ( t ) , (0.2) u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, (0.3) u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , (0.4) f ( u , ut ) = Ku + λ ut , (0.5) μ , u0 , u1 , F hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau, K , λ , λ1 số không âm cho trước Hàm chưa biết u ( x, t ) giá trị biên chưa biết P ( t ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (0.6) với K số cho trước, g , k hàm cho trước Trong trường hợp này, toán ( 0.1) − ( 0.5 ) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa chịu tác dụng lực cản nhớt Một toán khác loại toán thành lập từ toán (0.1) – (0.4), hàm chưa biết u ( x, t ) giá trị biên chưa biết P ( t ) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường P // ( t ) + ω P ( t ) = K utt ( 0, t ) , < t < T , (0.7) P ( ) = P0 , P / ( ) = P1 , (0.8) ω > 0, K ≥ 0, P0 , P1 số cho trước Từ ( 0.7 ) ( 0.8 ) ta biểu dieãn P ( t ) theo ω , K , P0 , P1 , utt ( 0, t ) sau tích phân phần, ta t P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − K 0ω ∫ sin (ω ( t − s ) ) u ( 0, s )ds, (0.9) g (t ) = ( P0 − K u0 ( ) ) cos ωt + ( P1 − K u1 ( ) ) sin ωt ω (0.10) Chú ý công thức (0.9) xác định P ( t ) dạng (0.6) với k ( t ) = K 0ω sin ωt (0.11) Bằng cách khử ẩn hàm P ( t ) , ta thay điều kiện biên (0.2) t u x ( 0, t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds (0.12) Khi đó, đưa toán ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) veà ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.9 ) − ( 0.11) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12) Trước đây, tác giả Nguyễn Thúc An Nguyễn Đình Triều [1] nghiên cứu trường hợp riêng toán ( 0.1) , ( 0.2 ) , ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) u (1, t ) = với μ ( t ) = 1, u0 = u1 = P0 = vaø f ( u , ut ) = Ku + λ ut , K , λ số không âm cho trước Bài toán mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Như vậy, toán nghiên cứu luận văn tương tự với toán xét [1] Trong [2], Đặng Đình Áng Alain Phạm Ngọc Định thiết lập định lý tồn nghiệm toàn cục cho toán giá trị biên ban đầu (0.1), (0.2), (0.4) vaø u (1, t ) = với μ ( t ) = 1, u0 , u1 , P hàm cho trước F ( x, t ) = 0, f ( u , ut ) = ut α −1 ut , ( < α < 1) (0.13) Bằng tổng quát hóa [2], Long Alain Phạm [6, 7], Long Thuyết [9], Long Dũng [10], Long, Tâm Trúc [11] xét toán (0.1), (0.4) liên kết với điều kiện biên x = không x = có dạng t u x ( 0, t ) = g ( t ) + H ( u ( 0, t ) ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds , u (1, t ) = 0 (0.14) Các tác giả nêu xét [6] với μ ( t ) ≡ 1, k ≡ 0, H ( s ) = K s, K > 0; [6,11] với μ ( t ) ≡ 1, H ( s ) = K s, K > Liên quan đến toán (0.1) – (0.6), ta xét toán nhiễu theo ba tham số bé ( ε1 , K , λ ) ∈ với ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * (trong + ε1* , K * , λ * số dương cố định) (P ε1 , K ,λ ) ⎧ ⎪u − μ (t ) + ε μ t u = − Ku − λ u + F x, t , < x < 1, < t < T , ( ) 1 ( ) ) xx t ⎪ tt ( ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x ⎨u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , t ⎪ ⎪ P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds ⎪⎩ Ta giả sử K ≥ 0, λ1 > hai số thực cố định hàm ( u0 , u1 , μ , μ1 , F , g , k ) moãi ( ε1 , K , λ ) ∈ ( u, P ) + cho trước cố định thỏa giả thiết cho với cho trước, toán ( 0.1) − ( 0.6 ) có nghiệm yếu phụ thuộc vào ba tham số ( ε1 , K , λ ) u = uε1 , K ,λ , P = Pε1 , K ,λ Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán (P ε1 , K , λ ) theo ba tham soá bé (ε , K , λ ) , tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo ba bieán ( ε1 , K , λ ) u ( x, t ) ≈ P (t ) ≈ ∑ γ γ γ1 + + ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ + ∑ γ γ γ1 + + ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ + Uˆ γ1γ 2γ ( x, t ) ε1γ1 K γ λ γ , Pˆγ1γ 2γ ( t ) ε1γ1 K γ λ γ , theo nghóa cần phải hàm Uˆ γ1γ 2γ ( x, t ) , Pˆγ 1γ 2γ ( t ) , γ + γ + γ ≤ N , γ1, γ , γ ∈ + thiết lập đánh giá ∑ u− γ +γ +γ ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ ∑γ γ P− γ +γ +γ ≤ N , , ,γ 3∈ Uˆ γ 1γ 2γ ε1γ K γ λ γ + ≤ CN ( ε12 + K + λ N +1 , * Pˆγ 1γ 2γ ε1γ1 K γ λ γ + ) ( ε12 + K + λ ≤ CN ) N +1 , ** theo chuẩn i * , i ** không gian hàm thích hợp với tham số ( ε1 , K , λ ) đủ bé, số CN , CN độc lập với tham soá ( ε1 , K , λ ) Các kết liên quan đến toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [12], Long, Út, Trúc [13], Long, Giai [14], Long, Trường [15] Trong luận văn này, tác giả mở rộng kết [12] với trường hợp K1 = , tác giả Long, Alain Phạm, Diễm xét toán (2.1)(2.6) với hàm μ ≡ thu khai triển tiệm cận nghiệm toán ( P ) theo hai tham số bé ( K , λ ) K ,λ (P ) K ,λ ⎧ ⎪utt − u xx = − Ku − λ ut + F ( x, t ) , < x < 1, < t < T , ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x ⎨u x (1, t ) + K1u (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , t ⎪ = + − P t g t K u 0, t ( ) ( ) ( ) ⎪⎩ ∫0 k ( t − s ) u ( 0, s ) ds Luaän văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toàn cục toán (0.1) – (0.6) Chứng minh dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu tính compact Chương 3, chứng minh nghiệm yếu ( u , P ) toán ( 0.1) − ( 0.6 ) ổn định hàm ( μ, F , g, k ) số ( K , K , λ , λ1 ) Chương 4, nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu ( ) toán nhiễu Pε1 , K ,λ theo ba tham số bé ε1 , K , λ Chương 5, xét toán cụ thể minh họa cho phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ tiệm cận theo tham số Sau phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nhìn chung, kết trình bày chương – nới rộng nhỏ kết [12] đóng góp khiêm tốn tác giả Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt ký hiệu Ω = ( 0,1) , QT = Ω × ( 0, T ) , T > 0, u ( t ) , u / ( t ) = ut ( t ) , u // ( t ) = utt ( t ) , u x ( t ) = ∇u ( t ) , u xx ( t ) = Δu ( t ) để u ( x, t ) , ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u x t x t , , , , x , t , ( ) ( ) ( ) ( x, t ) ∂t ∂x ∂t ∂x bỏ qua định nghóa không gian hàm thông dụng: C m ( Ω ) , Lp ( Ω ) , H m ( Ω ) , W m , p ( Ω ) Có thể xem [3] Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau Lp ( Ω ) = Lp , H m ( Ω ) = H m = W m ,2 , W m , p ( Ω ) = W m , p Ta định nghóa L2 không gian Hilbert tích vô hướng u, v = ∫ u ( x ) v ( x ) dx, u , v ∈ L2 (1.1) Kí hiệu i để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghóa u , u , u ∈ L2 (1.2) H = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 } , (1.3) u = Và định nghóa không gian Hilbert tích vô hướng u , v = u , v + u x , vx , u , v ∈ H Kí hiệu i H1 (1.4) để chuẩn sinh tích vô hướng (1.4), nghóa v H1 ( = v, v = v + v x ) 1/ , v ∈ H (1.5) Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1 Phép nhúng H 1 C ( Ω ) laø compact vaø v ( ) C0 Ω ≤ v Chứng minh bổ đề (1.1) không khó khăn H1 ∀v ∈ H (1.6) Bổ đề 1.2 Đồng L2 với ( L2 ) (đối ngẫu L2 ) Khi ta coù / H 1 L2 ≡ ( L2 ) ( H ) , / / với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh Trước hết ta chứng minh L2 nhúng ( H ) / Vì H 1 L2 , với w ∈ L2 , ánh xạ Tw : H → v Tw ( v ) = w, v = ∫ w ( x ) v ( x ) dx (1.7) tuyến tính liên tục H , tức Tw ∈ ( H ) / Ta xét ánh xạ T : L2 → ( H ) / (1.8) T ( w ) = Tw w Khi đó, ta coù Tw , v ( H ) , H = w, v , ∀v ∈ H , ∀w ∈ L / (1.9) Ta seõ chứng minh toán tử T thỏa tính chất sau: (i) T : L2 → ( H ) laø đơn ánh, / (ii) Tw ( H ) ≤ w ∀w ∈ L , / (iii) T ( L2 ) = {Tw : w ∈ L2 } laø trù mật ( H ) / Chứng minh (i): Ta dễ dàng T tuyến tính Nếu Tw = 0, w, v = Tw , v ( H ) , H = 0, ∀v ∈ H / Do H trù mật L2 , nên ta có w, v = 0, ∀v ∈ L2 Do w = Vậy T đơn ánh, nghóa T phép nhúng từ L2 vào ( H ) / Chứng minh (ii): Ta có, với w ∈ L2 , 52 ⎛ ⎜ μ ∑ ⎝ γ CN = L∞ ( 0,T ) =N uγ ( L∞ 0,T ; H ) + uγ ( L∞ 0,T ; L2 ) + uγ/ ( L∞ 0,T ; L2 ⎞ ) ⎟⎠ (4.9) Ta chứng minh xong bổ đề 4.2. Từ ta có định lí sau ( A1−5 ) ( A3 ) Định lí 4.3 Giả sử giả thiết ε = ( ε1 , K , λ ) ∈ + thoûa Khi với ( , ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * , toán Pε1 , K ,λ ( nghiệm yếu ( u , P ) = uε1 , K ,λ , Pε1 , K ,λ ) ) có thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 sau u/ − ∑ γ 0≤ ≤ N uγ/ ε γ + u− ( L∞ 0,T ; L2 ) ∑ γ 0≤ ≤ N + u / (1,i ) − uγ ε γ ( L∞ 0,T ; H ∑ 0≤ γ ≤ N ) (4.10) uγ/ (1,i ) ε γ ≤ DT* ε N +1 , L2 ( 0.T ) vaø P− ∑ γ 0≤ ≤N Pγ ε γ N +1 ≤ DT** ε (4.11) , L ( 0,T ) ∞ với DT* , DT** số độc lập với ε , hàm ( uγ , Pγ ) nghiệm yếu ( ) toán Pγ , γ ∈ + , γ ≤ N Chứng minh Ta đặt μ = μ + ε1 μ1 (A3)* μ ∈ C ( + ) vaø μ ( t ) ≥ μ0 > 0, ∀t ∈ [0, T ] Nhaân tích vô hướng phương trình đầu (4.3) với 2v / ( t ) , ta coù d dt v/ (t ) + ( μ (t ) v (t ) ) + 2λ μ (t ) v (1, t ) dt d x / + 2λ v / ( t ) + K d dt +K d v (t ) dt ( μ ( t ) v ( 0, t ) ) = μ / ( t ) vx ( t ) + K μ / ( t ) v ( 0, t ) + 2μ ( t ) v / ( 0, t ) ∫ k ( t − s ) v ( 0, s )ds + EN ( ε ) , v / ( t ) t (4.12) 53 Lấy tích phân theo biến thời gian từ đến t đẳng thức (4.12), sau dùng tích phân phần, ta t t 0 ( ) Z ( t ) = ∫ E N ( ε ) , v / ( s ) ds + ∫ μ / ( s ) vx ( s ) + K v ( 0, s ) ds t t 0 + 2μ ( t ) v ( 0, t ) ∫ k ( t − s )v ( 0, s ) ds − 2k ( ) ∫ μ ( s ) v ( 0, s ) ds t s 0 − 2∫ v ( 0, s ) ds ∫ ∂ ∂s (4.13) ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦v ( 0,τ ) dτ = I1* + I 2* + I 3* + I 4* + I 5* , t Z ( t ) = v ( t ) + μ ( t ) vx ( t ) + 2λ1 ∫ μ ( s ) v / (1, s ) ds / 2 t (4.14) + K μ ( t ) v ( 0, t ) + K v ( t ) + 2λ ∫ v / ( s ) ds 2 Tương tự phần trước, ta sử dụng bất đẳng thức 2ab ≤ α a + ( ) ∀a, b ∈ , ∀α > 0, với giả thiết ( A3 ) − ( A5 ) vaø A3 α b2 việc đánh giá I i* , i = 1,5 Áp dụng bổ đề 4.2, từ (4.14) ta thu t t t I1* = ∫ EN ( ε ) , v / ( s ) ds ≤ ∫ EN ( ε ) ds + ∫ v / ( s ) ds ≤ EN (ε ) t ( L∞ 0,T ; L2 ) + ∫ Z ( s ) ds ≤ TC N2 ε N +2 t (4.15) + ∫ Z ( s ) ds Cũng từ (4.14), ta coù ( t ) I = ∫ μ ( s ) vx ( s ) + K v ( 0, s ) ds ≤ * / ≤ μ0 μ 2 μ0 t ∫ μ ( s ) Z ( s ) ds / t / L∞ ( 0,T ) ∫ Z ( s ) ds, t I 3* = μ ( t ) v ( 0, t ) ∫ k ( t − s )v ( 0, s ) ds ≤4 μ L∞ ( 0,T ) v (t ) t H1 ∫ k (t − s ) v ( s ) H1 ds (4.16) 54 ≤ α v (t ) ≤ α v (t ) + H1 + H1 μ α μ α t t ∫ k ( s ) ds ∫ v ( s ) L∞ ( 0,T ) 0 t k L∞ ( 0,T ) L2 ( 0,T ) ∫ v(s) t L ( 0,T ) s 0 ∂ I = −2 ∫ v ( 0, s ) ds ∫ ∂s ∫ v(s) H1 (4.18) ds, ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦v ( 0,τ ) dτ ⎡s ∂ ⎤ ≤ ∫ v ( 0, s ) ds + ∫ ds ⎢ ∫ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦v ( 0,τ ) dτ ⎥ 0 ⎣ ∂s ⎦ t (4.17) ds, t ∞ t ds H1 H1 I 4* = −2k ( ) ∫ μ ( s ) v ( 0, s ) ds ≤ k ( ) μ * 2 t 2 s ⎡s ⎛ ∂ ⎤ ⎞ ≤ ∫ v ( 0, s ) ds + ∫ ds ⎢ ∫ ⎜ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦ ⎟ dτ ∫ v ( 0,τ ) dτ ⎥ ⎠ 0 ⎣⎢ ⎝ ∂s ⎦⎥ t t (4.19) 2 s t ⎡s ⎛ ∂ ⎞ + ⎡ − ⎤ μ τ τ ds ds s k s d ∫0 ⎢⎢ ∫0 ⎜⎝ ∂s ⎣ ( ) ( )⎦ ⎟⎠ ∫0 v (τ ) H1 ⎣ t ≤ 2∫ v ( s ) 2 ⎛ T s⎛ ∂ ⎞t ⎞ ≤ ⎜1 + ∫ ds ∫ ⎜ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦ ⎟ dτ ⎟ ∫ v ( s ) ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎝ ∂s ⎠0 2 H ⎤ dτ ⎥ ⎥⎦ ds H1 Từ (4.17) – (4.19), ta thu I 3* + I 4* + I 5* ≤ α μ t L∞ ( 0,T ) + α v (t ) = α v (t ) k L2 ( 0,T ) v(s) ∫ H1 H1 t H1 L∞ ( 0,T ) ∫ v(s) H1 ds s + φT( ) (α , ε1 ) ∫ v ( s ) t ds + k ( ) μ t ⎛ ⎛∂ ⎞ ⎞ + ⎜ + ∫ ds ∫ ⎜ [ μ ( s ) k ( s − τ )] ⎟ dτ ⎟ ∫ v ( s ) ⎠ ⎠0 ⎝ 0 ⎝ ∂s T 2 2 H1 ds (4.20) ds, H1 φT(1) (α , ε1 ) = α μ L∞ ( 0,T ) k L2 ( 0,T ) + k ( 0) μ L∞ ( 0,T ) ⎛ T s⎛ ∂ ⎞ ⎞ + ⎜1 + ∫ ds ∫ ⎜ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦ ⎟ dτ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎝ ∂s ⎠ (4.21) Chứng minh tương tự công thức (2.113), ta có v (t ) H1 = vx ( t ) + v ( t ) ≤ 2 μ0 t Z ( t ) + t ∫ Z ( s ) ds (4.22) 55 Từ (4.20) (4.22), ta thu t t s ⎛ ⎞ (1) ⎛ ⎞ * I α Z t t Z s ds φ α , ε Z s s Z (τ ) dτ ⎟ ds = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ⎜ ⎟ T ∑ ∫⎜ i ∫ ∫ μ i =3 0⎝ 0 ⎝ μ0 ⎠ ⎠ ⎛ ⎞t α 1 Z ( t ) + ⎜ α T + φT( ) (α , ε1 ) + T 2φT( ) (α , ε ) ⎟ ∫ Z ( s ) ds ≤ μ0 μ0 ⎝ ⎠0 (4.23) Ta suy từ (4.13), (4.15), (4.16) (4.23) Z ( t ) ≤ TCN2 ε N +2 t + ∫ Z ( s ) ds + μ0 α Z ( s ) ds + Z (t ) ∫ ) μ t μ/ L ( 0,T ∞ 0 ⎛ ⎞t (1) (1) + ⎜ α T + φT (α , ε1 ) + T φT (α , ε1 ) ⎟ ∫ Z ( s ) ds μ0 ⎝ ⎠0 Choïn α > cho Z ( t ) ≤ 2TC ε N α ≤ Từ (4.24) ta có μ0 2 N +2 t + 2∫ Z ( s ) ds + μ0 μ t / L∞ ( 0,T ) ∫ Z ( s ) ds ⎛ ⎞t 1 + ⎜ α T + φT( ) (α , ε ) + T 2φT( ) (α , ε1 ) ⎟ ∫ Z ( s ) ds μ0 ⎝ ⎠0 ≤ 2TC N2 ε (4.24) N +2 + φT( (4.25) t (α , ε1 ) ∫ Z ( s ) ds, 2) ⎡ ⎣⎢ μ0 φT( 2) (α , ε1 ) = ⎢1 + μ/ ∞ L ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ + ⎜⎜ α T + ⎜ + T ⎟ φT( ) (α , ε1 ) ⎟⎟ ⎥ ( 0,T ) ⎝ μ0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ (4.26) Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy từ (4.26) raèng Z ( t ) ≤ 2TCN2 ε N +2 ( exp T φT( 2) (α , ε1 ) ) ≡ Cˆ N2 (ε1 ) ε N +2 , (4.27) ( ) Cˆ N2 ( ε1 ) = 2TCN2 exp T φT( ) (α , ε1 ) Từ (A3)* ≤ ε ≤ ε 1* , ta chọn số Cˆ N3 ( ε1* ) không phụ thuộc vào tham số ε1 , K , λ cho Z ( t ) ≤ Cˆ N3 ( ε1* ) ε Ta thu từ (4.14) (4.27) sau N +2 (4.28) 56 t v ( t ) + μ0 vx ( t ) + 2λ1 μ0 ∫ v / (1, s ) ds ≤ Z ( t ) ≤ Cˆ N3 ( ε1* ) ε / 2 N +2 (4.29) Baèng cách chọn số thích hợp, từ (4.29) ta rút v/ ∞ ( L 0,T ; L ) + vx ( L∞ 0,T ; H ) + v / (1,i ) ≤ DT* ε L ( 0,T ) N +1 (4.30) , DT* số độc lập với ε Do u/ − ∑ γ 0≤ ≤N uγ/ ε γ ∑ γ + u− ( L∞ 0,T ; L2 ) 0≤ + u / (1,i ) − ≤N uγ ε γ ∑ γ 0≤ ( L∞ 0,T ; H ≤N ) uγ/ (1,i ) ε γ ≤ DT* ε N +1 L ( 0.T ) Mặt khác, từ biểu thức thứ tư (4.3), ta coù R ( t ) ≤ K v ( 0, t ) 2 ⎛t ⎞ + ⎜ ∫ k ( t − s ) v ( 0, s ) ds ⎟ ⎝0 ⎠ t t ≤ K v ( 0, t ) + ∫ k ( t − s ) ds ∫ v ( 0, s ) ds 2 ≤ K 02 v ( t ) t +4 k H1 ⎛ ≤ ⎜ K 02 + T k ⎝ 2 L2 ( 0,T ) ∫ v(s) H1 (4.31) ds ⎞ v ( s ) L∞ 0,T ; H ⎟ ( ) L2 ( 0,T ) ⎠ ⎛ ≤ ⎜ K 02 + T k ⎝ ( ⎞ * ⎟ DT ε L ( 0,T ) ⎠ ) N +1 Suy R L∞ ( 0,T ) ≤ DT* K 02 + T k L2 ( 0,T ) ε N +1 ≡ DT** ε N +1 tức P− ∑ γ 0≤ ≤N Pγ ε γ ≤ DT** ε ∞ L ( 0,T ) Vậy định lí 4.3 chứng minh xong. N +1 , (4.32) 57 ƒ Chú thích Trong luận văn này, tác giả mở rộng kết [12] với trường hợp K1 = 0, tác giả Long, Alain Phạm, Diễm xét toán (2.1)(2.6) với hàm μ ≡ nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán ( P ) theo hai tham số bé ( K , λ ) K ,λ 58 Chương 5: MINH HỌA BẰNG BÀI TOÁN CỤ THỂ Trong phần này, xét toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo ba tham số đến cấp cấp Xét toán (2.1) – (2.6) cụ thể sau ⎧u // − u xx + Ku + λ u / = 0, < x < 1, < t < T , ⎪ / ⎪u x ( 0, t ) = P ( t ) , u x (1, t ) + λ1u (1, t ) = 0, ⎪ ⎨u ( x,0 ) = u / ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = g t + K u 0, t − sin t − s u 0, s ds, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ⎪ ⎩ (5.1) kiện toán (5.1) tương ứng với (2.1) – (2.6) laø K = λ1 = vaø u0 , u1 , μ , F hàm thỏa u0 = u1 = , F = 0, μ = 1, k ( t ) = sin t vaø hàm g cho trước thỏa giả thiết ( A1 ) − ( A5 ) Cho μ1 ∈ C ( + ) , μ1 ( t ) ≥ 0, ta xét toán nhiễu sau theo ba tham số bé ε1 , K , λ , với ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * ( ε1* , K * , λ * số dương cố định) (P ε1 , K ,λ ) ⎧u // − (1 + ε1 μ1 (t ) ) u xx = − Ku − λ u / , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎪u x ( 0, t ) = P ( t ) , u x (1, t ) + ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎨u ( x,0 ) = u / ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = g t + K u 0, t − sin t − s u 0, s ds () ( ) ∫ ( ) ( ) ⎪ ( ) ⎩ với giả thiết ( ε1 , K , λ ) ∈ + Do định lí 2.1, toán (5.1) có nghiệm yếu ( u , P ) nằm không gian hàm (2.7), nghiệm phụ thuộc vào tham số ( ε1 , K , λ ) u = uε1 , K ,λ , P = Pε1 , K ,λ Chúng ta nghiên cứu khai triển tiệm cận đến cấp cấp ( ) nghiệm toán Pε1 , K ,λ theo tham số bé ( ε1 , K , λ ) 59 Giả sử ( u0 , P0 ) ≡ ( u0,0,0 , P0,0,0 ) nghiệm yếu toán ( P ) ≡ ( P ) tương ứng với ε = (ε , K , λ ) = ( 0,0,0 ) , nghóa là: 0,0,0 ⎧ // ⎪ Lu0 ≡ u0 − u0 xx = 0, < x < 1, < t < T , ⎪ Au ≡ u ( 0, t ) = P ( t ) , Bu ≡ u (1, t ) + u / (1, t ) = 0, 0x 0 0x ⎪ / ⎪u0 ( x,0 ) = u0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P0 ⎨ P0 ( t ) = g ( t ) + u0 ( 0, t ) − ∫ sin ( t − s ) u0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ / ∞ ∞ // ⎪u0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 0,i ∈ W 1,∞ 0, T , u 1,i ∈ H 0, T , P ∈ W 1,∞ 0, T ( ) 0( ) ( ) ( ) ⎩ 0( ) ( ) Bây ta xét dãy hữu hạn nghiệm yếu ( uγ , Pγ ) , γ ∈ ( 5.2 ) + , γ = xác định toán sau (P ) ⎧ Lu ⎪ 1,0,0 = F1,0,0 = μ1 ( t ) u0,0,0 xx , < x < 1, < t < T , ⎪ Au = P ( t ) , Bu 1,0,0 1,0,0 = 0, ⎪ 1,0,0 / ⎪u1,0,0 ( x,0 ) = u1,0,0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 1,0,0 1,0,0 ∫0 sin ( t − s ) u1,0,0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C1 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 1,0,0 ⎪ / ∞ ∞ // ⎪u1,0,0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u1,0,0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 1,0,0 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u1,0,0 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P1,0,0 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.3) (P ) ⎧ Lu = F = −u , < x < 1, < t < T , 0,1,0 0,0,0 ⎪ 0,1,0 ⎪ Au = P ( t ) , Bu = 0, 0,1,0 0,1,0 ⎪ 0,1,0 / ⎪u0,1,0 ( x,0 ) = u0,1,0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 0,1,0 0,1,0 ∫0 sin ( t − s ) u0,1,0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C1 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 0,1,0 ⎪ / ∞ ∞ // ⎪u0,1,0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0,1,0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 0,1,0 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u0,1,0 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P0,1,0 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.4 ) 1,0,0 0,1,0 60 (P ) 0,0,1 ⎧ Lu = F = −u / , < x < 1, < t < T , 0,0,1 0,0,0 ⎪ 0,0,1 ⎪ Au = P ( t ) , Bu = 0, 0,0,1 0,0,1 ⎪ 0,0,1 / ⎪u0,0,1 ( x,0 ) = u0,0,1 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 0,0,1 0,0,1 ∫0 sin ( t − s ) u0,0,1 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C1 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 0,0,1 ⎪ / ∞ ∞ // ⎪u0,0,1 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0,0,1 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 0,0,1 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u0,0,1 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P0,0,1 ∈ W ( 0, T ) ( 5.5) Khi nghiệm toán (5.1) xấp xỉ đa thức cấp theo biến ε1 , K , λ sau u ( x, t ) ≈ u0,0,0 ( x, t ) + u1,0,0 ( x, t ) ε1 + u0,1,0 ( x, t ) K + u0,0,1 ( x, t ) λ , (5.6) P ( t ) ≈ P0,0,0 ( t ) + P1,0,0 ( t ) ε1 + P0,1,0 ( t ) K + P0,0,1 ( t ) λ với đánh giá tiệm cận đến cấp 2: ( / / / / u / − u 0,0,0 + u1,0,0 ε1 + u 0,1,0 K + u 0,0,1 λ ) ( L∞ 0,T ; L2 + u − ( u0,0,0 + u1,0,0ε1 + u0,1,0 K + u0,0,1λ ) ( ) L∞ 0,T ; H ) ( / / / / + u / (1,i ) − u 0,0,0 (1,i ) + u1,0,0 (1,i ) ε1 + u 0,1,0 (1,i ) K + u 0,0,1 (1,i ) λ P − ( P0,0,0 + P1,0,0ε1 + P0,1,0 K + P0,0,1λ ) với ε = ( ε1 , K , λ ) ∈ + ) ≤ DT* ε , L ( 0.T ) ≤ DT** ε , (5.7) L∞ ( 0,T ) , ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * vaø DT* , DT** số độc lập với ε , hàm ( uγ , Pγ ) nghiệm yếu toán ( P ), γ γ∈ + , γ ≤ Bây ta xét dãy hữu hạn nghiệm yếu ( uγ , Pγ ) , γ ∈ xác định toán sau + , γ = 61 (P ) ⎧ Lu ⎪ 2,0,0 = F2,0,0 = μ1 ( t ) u1,0,0 xx , < x < 1, < t < T , ⎪ Au = P2,0,0 ( t ) , Bu2,0,0 = 0, ⎪ 2,0,0 / ⎪u2,0,0 ( x,0 ) = u2,0,0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 2,0,0 2,0,0 ∫0 sin ( t − s ) u2,0,0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∞ 1 2 ⎪ 2,0,0 ∈ H ( QT ) ∩ C ( 0, T ; H ) ∩ C ( 0, T ; L ) ∩ L ( 0, T ; H ) , ⎪ / ∞ ∞ // ⎪u2,0,0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u2,0,0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 2,0,0 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u2,0,0 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P2,0,0 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.8) (P ) ⎧ Lu ⎪ 0,2,0 = F0,2,0 = −u0,1,0 , < x < 1, < t < T , ⎪ Au = P0,2,0 ( t ) , Bu0,2,0 = 0, ⎪ 0,2,0 / ⎪u0,2,0 ( x,0 ) = u0,2,0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ ⎨ P0,2,0 ( t ) = u0,2,0 ( 0, t ) − ∫ sin ( t − s ) u0,2,0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u 1 2 ∞ ⎪ 0,2,0 ∈ H ( QT ) ∩ C ( 0, T ; H ) ∩ C ( 0, T ; L ) ∩ L ( 0, T ; H ) , ⎪ / // ∞ ∞ ⎪u0,2,0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0,2,0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 0,2,0 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u0,2,0 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P0,2,0 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.9 ) (P ) ⎧ Lu / ⎪ 0,0,2 = F0,0,2 = −u0.0.1 , < x < 1, < t < T , ⎪ Au = P0,0,2 ( t ) , Bu0,0,2 = 0, ⎪ 0,0,2 / ⎪u0,0,2 ( x,0 ) = u0,0,2 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 0,0,2 0,0,2 ∫0 sin ( t − s ) u0,0,2 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u 1 2 ∞ ⎪ 0,0,2 ∈ H ( QT ) ∩ C ( 0, T ; H ) ∩ C ( 0, T ; L ) ∩ L ( 0, T ; H ) , ⎪ / // ∞ ∞ ⎪ u0,0,2 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0,0,2 ∈ L ( 0, T ; L ) , 1,∞ 1,∞ ⎪u ⎩ 0,0,2 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u0,0,2 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P0,0,2 ∈ W ( 0, T ) , 2,0,0 0,2,0 0,0,2 ( 5.10 ) 62 (P ) ⎧ Lu = F = −u − u / , < x < 1, < t < T , 0,1,1 0,0,1 0,1,0 ⎪ 0,1,1 ⎪ Au = P ( t ) , Bu = 0, 0,1,1 0,1,1 ⎪ 0,1,1 / ⎪u0,1,1 ( x,0 ) = u0,1,1 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ⎨ 0,1,1 ( ) 0,1,1 ( ) ∫ sin ( t − s ) u0,1,1 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C1 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 0,1,1 ⎪ / // ∞ ∞ ⎪u0,1,1 ∈ L ( 0, T ; H ) , u0,1,1 ∈ L ( 0, T ; L ) , 1,∞ 1,∞ ⎪u ⎩ 0,1,1 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u0,1,1 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P0,1,1 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.11) (P ) ⎧ Lu = F = − μ t u / < x < 1, < t < T , 1,0,1 ( ) 0,0,1 xx − u1,0,0 , ⎪ 1,0,1 ⎪ Au = P ( t ) , Bu = 0, 1,0,1 1,0,1 ⎪ 1,0,1 / ⎪u1,0,1 ( x,0 ) = u1,0,1 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ P t = u 0, t − ( ) ( ) ⎨ 1,0,1 1,0,1 ∫0 sin ( t − s ) u1,0,1 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 1,0,1 ⎪ / // ∞ ∞ ⎪u1,0,1 ∈ L ( 0, T ; H ) , u1,0,1 ∈ L ( 0, T ; L ) , 1,∞ 1,∞ ⎪u ⎩ 1,0,1 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u1,0,1 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P1,0,1 ∈ W ( 0, T ) , ( 5.12 ) (P ) ⎧ Lu = F = μ t u < x < 1, < t < T , 1,1,0 ( ) 0,1,0 xx − u1,0,0 , ⎪ 1,1,0 ⎪ Au = P ( t ) , Bu = 0, 1,1,0 1,1,0 ⎪ 1,1,0 / ⎪u1,1,0 ( x,0 ) = u1,1,0 ( x,0 ) = 0, ⎪ t ⎪ ⎨ P1,1,0 ( t ) = u1,1,0 ( 0, t ) − ∫ sin ( t − s ) u1,1,0 ( 0, s )ds, ⎪ ⎪u ∈ H Q ∩ C 0, T ; H ∩ C 0, T ; L2 ∩ L∞ 0, T ; H , ( T) ( ) ( ) ( ) ⎪ 1,1,0 ⎪ / ∞ // ∞ ⎪u1,1,0 ∈ L ( 0, T ; H ) , u1,1,0 ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪u 1,∞ 1,∞ ⎩ 1,1,0 ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u1,1,0 (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , P1,1,0 ∈ W ( 0, T ) ( 5.13) 0,1,1 1,0,1 1,1,0 Khi nghiệm toán (5.1) xấp xỉ đa thức cấp theo biến ε1 , K , λ sau 63 u ( x, t ) ≈ u0,0,0 ( x, t ) + u1,0,0 ( x, t ) ε1 + u0,1,0 ( x, t ) K + u0,0,1 ( x, t ) λ + u1,1,0 ( x, t ) ε1K + u0,1,1 ( x, t ) K λ + u1,0,1 ( x, t ) ε1λ + u2,0,0 ( x, t ) ε12 + u0,2,0 ( x, t ) K + u0,0,2 ( x, t ) λ , (5.14) P ( t ) ≈ P0,0,0 ( t ) + P1,0,0 ( t ) ε1 + P0,1,0 ( t ) K + P0,0,1 ( t ) λ + P1,1,0 ( t ) ε1 K + P0,1,1 ( t ) K λ + P1,0,1 ( t ) ε1λ + P2,0,0 ( t ) ε12 + P0,2,0 ( t ) K + P0,0,2 ( t ) λ , với đánh giá tiệm cận đến cấp 3: u / − ∑ uγ/ ε γ γ ≤2 ( L∞ 0,T ; L2 ) + u − ∑ uγ ε γ γ ≤2 ( L∞ 0,T ; H ) + u / (1,i ) − ∑ uγ/ (1,i ) ε γ γ ≤2 P − ∑ Pγ ε γ γ ≤2 với ε = ( ε1 , K , λ ) ∈ + (5.15) ≤ DT* ε , L2 ( 0.T ) ≤ DT** ε , L∞ ( 0,T ) , ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * , DT* , DT** số độc lập với ε , hàm ( uγ , Pγ ) nghiệm yếu toán ( P ), γ γ∈ + , γ ≤ 64 KẾT LUẬN Qua việc hoàn thành luận văn, tác giả bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu cách có hệ thống, có phương pháp có định hướng rõ ràng Các kinh nghiệm thu quý báu tác giả trình học tập nghiên cứu sau Các khó khăn chủ yếu mà tác giả gặp phải đánh giá trung gian phức tạp việc chứng minh định lí, điều xuất phát từ điều kiện biên ban đầu phức tạp Tuy nhiên luận văn thu số kết có ý nghóa, sở tham khảo công trình nghiên cứu quan trọng công bố trước Các kết sử dụng nghiên cứu toán va chạm đàn hồi có lực cản nhớt mặt bên Việc khai triển tiệm cận xấp xỉ theo tham số bé phát triển từ công trình [12], cho phép đánh giá gần nghiệm toán theo điều kiện cho trước Tuy nhiên khuôn khổ có hạn luận văn nên tác giả chưa có dịp đề cập đến vấn đề đánh giá sai số xấp xỉ theo tham số bé bậc khai triển chưa tìm hiểu cặn kẽ khả ứng dụng kết thu toán vật lý lónh vực khác 65 Tài liệu tham khảo Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam 13 (2) (1991) 1-7 Đặng Đình Áng, Alain Phạm Ngọc Định, Mixed problem for some semilinear wave equation with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 12 (1988), 581-582 Haim Breùzis, Analyse fonctionnelle, Theùorie et Applications, Paris, 1983 Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001), 547-561 J L Lions, Quelques meùthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod-Gauthier-Villars, Paris, 1969 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, On the quasilinear wave: utt − Δu + f ( u, ut ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (1992), 613-623 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (1995), 1261-1279 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm, On the nonlinear wave equation utt − u xx = f ( x, t , u , u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (1997), 1217-1230 Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (2003), No.4, 915-938 10 Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, A nonlinear wave equation associated with a nonlinear integral equation involving boundary value, Electronic J Diff Equ Vol 2004 (2004), No 103, pp.1-21 ISSN: 1072-6691 66 11 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2005), No.2, 365-386 12 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, J Boundary Value Problems, 2005 (3), (2005), 337-358 13 Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 63 (2) (2005), 198-224 14 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: Global existence and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, (2006) (to appear) 15 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường, Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Analysis, (2006) (to appear) ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... cho trước, g , k hàm cho trước Trong trường hợp này, toán ( 0.1) − ( 0.5 ) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa chịu tác dụng lực cản nhớt Một toán khác loại toán... = P0 = vaø f ( u , ut ) = Ku + λ ut , K , λ số không âm cho trước Bài toán mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Như vậy, toán nghiên cứu luận văn tương tự