Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt-Nguyễn Lê Kim Hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long TP. Hồ Chí Minh – 2006 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1:…………………………………………………………………………………………… Người nhận xét 2:…………………………………………………………………………………………… Học viên cao học: Lê Nguyễn Kim Hằng Bộ môn Toán-Khoa Khoa Học, Đại học Nông Lâm Tp. Hồ Chí Minh. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh vào lúc …….giờ ……ngày…….tháng ……….năm 2006. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguy ễ n Bích Huy và Thầy Nguyễn Công Tâm đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm và trường Đại Học Khoa học –Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc. Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Toán - Khoa Khoa học, trường Đại học Nông Lâm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi có thể yên tâm học tập và làm việc. Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn thân thương nhất đến gia đình tôi -chỗ dựa tinh thần trong cuộc sống của tôi bây giờ và mãi sau này, đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành bản luận văn này, đến anh Nguyễn Hữu Thái – người đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc in ấn tài liệu và sữa chữa luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tp.HCM, ngày 20 tháng 11 năm 2006 Lê Nguyễn Kim Hằng MỤC LỤC Mở đầu 1 Chương 1: Một số công cụ chuẩn bò 6 1.1. Các không gian hàm 6 1.2. Về không gian hàm ( ) 0, ; , 1 . p LTX p ≤ ≤∞ 8 1.3. Bổ đề về tính compact của Lions 13 Chương 2: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 14 Chương 3: Sự ổn đònh của nghiệm 38 Chương 4: Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo ba tham số bé 48 Chương 5: Minh họa bằng bài toán cụ thể 58 Kêết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 1 MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán ( ) ( ) () , , , 0 1, 0 , tt xx t utufuuFxt x tT μ −+ = <<<< (0.1) () ( ) 0, , x utPt= (0.2) () ( ) 1 1, 1, 0, xt ut ut λ += (0.3) () ( ) ( ) ( ) 01 ,0 , ,0 , t ux ux ux ux== (0.4) trong đó () ,, tt f uu Ku u λ =+ (0.5) và μ , 01 ,,uuF là những hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau, 1 ,,K λ λ là các hằng số không âm cho trước. Hàm chưa biết () ,uxt và giá trò biên chưa biết () Pt thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau: () () ( ) ( ) ( ) 0 0 0, 0, , t Pt gt Ku t kt su sds=+ −− ∫ (0.6) với 0 K là hằng số cho trước, và ,gk là những hàm cho trước. Trong trường hợp này, bài toán ( ) ( ) 0.1 0.5 − là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền chòu tác dụng của lực cản nhớt. Một bài toán khác cùng loại bài toán này cũng được thành lập từ bài toán (0.1) – (0.4), trong đó hàm chưa biết () ,uxt và giá trò biên chưa biết () Pt thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường dưới đây () () ( ) // 0 0, , 0 , tt Pt Pt Ku t tT ω += << (0.7) () () / 01 0,0,PPP P== (0.8) trong đó 001 0, 0, ,KPP ω >≥ là các hằng số cho trước. Từ () 0.7 và () 0.8 ta biểu diễn ( ) Pt theo () 001 ,,,, 0, tt KPPu t ω và sau đó tích phân từng phần, ta được () () ( ) ( ) () () 00 0 0, sin 0, , t Pt gt Ku t K t s u sds ωω =+ − − ∫ (0.9) 2 trong đó () () () () 000 101 sin () 0 cos 0 . t gt P Ku t P Ku ω ω ω =− +− (0.10) Chú ý rằng công thức (0.9) xác đònh ( ) Pt cùng dạng (0.6) với ( ) 0 sin .kt K t ω ω = (0.11) Bằng cách khử ẩn hàm ( ) ,Pt ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi () () () ( )() 0 0 0, 0, 0, . t x utgtKut ktsusds=+ −− ∫ (0.12) Khi đó, chúng ta đưa bài toán ( ) ( ) ( ) ( ) 0.1 0.4 , 0.7 , 0.8 − về () ( ) 0.1 0.4 , − ()( ) 0.9 0.11− hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12). Trước đây, các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều [1] đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán ( ) ( )( )( ) ( ) 0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.7 , 0.8 và () 1, 0ut= với () 1,t μ = 010 0uuP = == và ( ) , tt f uu Ku u λ =+, trong đó , K λ là các hằng số không âm cho trước. Bài toán này là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]. Như vậy, bài toán nghiên cứu trong luận văn này tương tự với bài toán được xét trong [1]. Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Đònh đã thiết lập đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1), (0.2), (0.4) và () 1, 0=ut với ( ) 1,t μ = 01 ,,uuP là các hàm cho trước và () () ( ) 1 ,0,, ,0 1. ttt Fxt fuu u u α α − == << (0.13) Bằng sự tổng quát hóa của [2], Long và Alain Phạm [6, 7], Long và Thuyết [9], Long và Dũng [10], Long, Tâm và Trúc [11] đã xét bài toán (0.1), (0.4) liên kết với điều kiện biên thuần nhất tại 1 = x và không thuần nhất tại 0 x = có dạng () () () () ()() 0 0, 0, 0,=+ −− ∫ t x utgtHut ktsusds , () 1, 0=ut (0.14) 3 Các tác giả nêu trên đã lần lượt xét nó trong [6] với () 1, 0,tk μ ≡≡ () 0 ,=Hs Ks trong đó 0 0;>K trong [6,11] với ( ) 1,t μ ≡ () 0 ,=Hs Ks trong đó 0 0.>K Liên quan đến bài toán (0.1) – (0.6), ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo ba tham số bé () 3 1 ,,K ελ + ∈ với *** 11 0,0 ,0KK ε ελλ ≤ ≤≤≤ ≤≤ (trong đó *** 1 ,,K ε λ là các số dương cố đònh) () () () () () () () () ( ) () ( ) () () () ( ) ( ) ( ) 1 11 ,, 1 01 0 0 () , ,0 1, 0 , 0, , 1, 1, 0, ,0 , ,0 , 0, 0, . tt xx t x Kx t t t ut tuKuuFxtx tT utPt Putut ux u x u x u x Pt gt Ku t kt su sds ελ μεμ λ λ ⎧ ⎪ −+ =−−+ <<<< ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ += ⎨ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ =+ −− ⎪ ⎩ ∫  Ta giả sử rằng 01 0, 0K λ ≥> là hai số thực cố đònh và các hàm () 01 1 ,,,,,,uu Fgk μμ cho trước cố đònh và thỏa các giả thiết nào đó sao cho với mỗi () 3 1 ,,K ελ + ∈ cho trước, bài toán ( ) ( ) 0.1 0.6 − có duy nhất một nghiệm yếu () ,uP phụ thuộc vào ba tham số ( ) 1 ,,K ε λ 11 ,, ,, , K K uu PP ε λελ = = Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán () 1 ,,K P ε λ  theo ba tham số bé ( ) 1 ,, , ε λ K tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo ba biến () 1 ,,K ε λ () ( ) () () 3 12 123 123 123 3 12 123 123 123 1 , ,, 1 , ,, ˆ ,,, ˆ , N N uxt U xt K Pt P t K γ γγ γγ γ γγγ γγ γ γ γγ γγ γ γγγ γγ γ ε λ ελ + + ++≤ ∈ ++≤ ∈ ≈ ≈ ∑ ∑   theo nghóa cần phải chỉ ra các hàm ( )() 123 123 123 ˆˆ ,, , , γγ γ γγ γ γγγ ++≤UxtPt N 123 ,, γ γγ + ∈ và thiết lập các đánh giá 4 ( ) ( ) 3 12 123 123 123 3 12 123 123 123 1 222 111 ,,, * 1 222 121 ,,, ** ˆ , ˆ , γ γγ γγγ γγγ γγγ γ γγ γγγ γγγ γγγ ελ ε λ ελ ε λ + + + ++≤ ∈ + ++≤ ∈ −≤++ −≤++ ∑ ∑   N N N N N N uUKCK PPKCK theo các chuẩn *** ,ii trong các không gian hàm thích hợp và với các tham số () 1 ,,K ε λ đủ bé, các hằng số 12 , NN CC độc lập với các tham số () 1 ,, . ε λ K Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số đã được một số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [12], Long, Út, Trúc [13], Long, Giai [14], Long, Trường [15]. Trong luận văn này, tác giả đã mở rộng một kết quả của [12] với trường hợp 1 0K = , trong đó các tác giả Long, Alain Phạm, Diễm đã xét bài toán (2.1)- (2.6) với hàm 1 μ ≡ và đã thu được khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán () ,K P λ  dưới đây theo hai tham số bé ( ) ,K λ () () () () () () () ( ) () ( ) () () () ( ) ( ) ( ) ,11 01 0 0 ,,0 1,0 , 0, , 1, 1, 1, 0, ,0 , ,0 , 0, 0, . λ λ λ ⎧ −=−− + << << ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ++= ⎨ ⎪ == ⎪ ⎪ =+ − − ⎪ ⎩ ∫  tt xx t x Kx t t t uu Ku uFxt x tT utPt PutKutut ux ux ux ux Pt gt Ku t kt su sds Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm và một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.6). Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact. 5 Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu () ,uP của bài toán ()() 0.1 0.6− là ổn đònh đối với các hàm ( ) ,,,Fgk μ và các hằng số () 01 ,,,. λ λ KK Chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu () 1 ,,K P ε λ  theo ba tham số bé 1 ,,. ε λ K Chương 5, chúng tôi xét một bài toán cụ thể minh họa cho phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ tiệm cận theo 3 tham số. Sau cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Nhìn chung, các kết quả trình bày trong các chương 2 – 4 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [12] như là một đóng góp khá khiêm tốn của tác giả. 6 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu () ( ) 0,1 , 0, , 0,Ω= =Ω× > T QTT () () () / ,,= t ut u t u t ( ) ( ) // ,= tt ut ut ( ) ( ) , = ∇ x ut ut () () xx ut ut=Δ để lần lượt chỉ () () () 2 2 ,, ,, ,, ∂∂ ∂ ∂ uu uxt xt xt t t () () 2 2 ,, ,. ∂∂ ∂ ∂ uu x txt x x và bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng: ( ) () ,, mp CLΩΩ ( ) , Ω m H () , .Ω mp W Có thể xem trong [3]. Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau () () ( ) ,2 , , ,,.Ω= Ω= = Ω= p p m m m mp mp LLH HWW W Ta đònh nghóa 2 L là không gian Hilbert đối với tích vô hướng ()() 1 2 0 ,,,.=∈ ∫ uv u xv xdx uv L (1.1) Kí hiệu i để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghóa là 2 ,, .=∈uuuuL (1.2) Và đònh nghóa { } 122 :, x H vLv L=∈ ∈ (1.3) là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 1 1 ,,,,,.=+ ∈ xx uv uv u v u v H (1.4) Kí hiệu 1 H i để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghóa là ( ) 1 1/2 22 1 1 ,,.==+ ∈ x H vvvvvvH (1.5) Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H 1 ( ) 0 C Ω là compact và () 01 1 2. CH vvvH Ω ≤∀∈ (1.6) Chứng minh bổ đề () 1.1 không khó khăn. [...]... u , ut ) = Ku + λ ut , (2.5) với K , λ , λ1 là các hằng số không âm cho trước; μ , u0 , u1 , F là những hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u ( x, t ) và giá trò biên chưa biết P ( t ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (2.6) 0 trong đó K 0 là hằng số cho trước và g , k là các hàm cho trước Trước... Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra được các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian hàm thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là một cơ sở đếm được của H 2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng: m um ( t ) = ∑ cmj ( t ) w j , (2.8) j =1 trong đó các hàm hệ số cmj ( t ) thỏa mãn hệ phương trình vi tích phân... dạng (2.8) thỏa ( 2.9 ) − ( 2.11) hầu khắp nơi trên [ 0, Tm ] với Tm nào đó thỏa 0 < Tm ≤ T Các đánh giá tiên nghiệm ở bước 2 dưới đây cho phép ta lấy hằng số Tm = T với mọi m Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm 1 / Thay ( 2.11) vào ( 2.9 ) và nhân phương trình thứ j của ( 2.9 ) với cmj ( t ) , sau đó lấy tổng theo j , ta được 2 2 2 2 1 d / 1 d 1 d / um ( t ) + μ ( t ) umx ( t ) + λ1 μ ( t ) um (1, t ) +... t ) , w jx + λ1 μ ( t ) um (1, t ) w j (1) / + λ1 μ / ( t ) um (1, t ) w j (1) + / // + Kum ( t ) + λ um ( t ) , w j d ( μ ( t ) Pm ( t ) ) w j ( 0 ) dt = F / ( t ) , w j , 1 ≤ j ≤ m (2.43) // Nhân phương trình thứ j của (2.43) với cmj ( t ) sau đó lấy tổng theo j , ta được 2 2 1 d // 1 d / // um ( t ) + μ ( t ) umx ( t ) + μ / ( t ) umx ( t ) , umx ( t ) 2 dt 2 dt 2 d // / // // + λ1 μ ( t ) um (1,... 2 L2 ( QT ) + ∫ X m ( s ) ds 0 t ⎛ 1 ( 3) 1 (2 3 ⎞ 1 (4 X m ( t ) + NT ) ∫ X m ( s ) ds, NT ( ε ) + NT ) ( ε ) + 2ε ⎜1 + ⎟ 2 2 2 ⎝ μ0 ⎠ 0 ( ( trong đó NT ) ( ε ) là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, μ , F , u0 , u1 , K , λ , ε và NT 3 4) là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, μ , F , u0 , u1 , K , λ cụ thể như sau ( NT3) ( ε ) = C2 + 2C3 + ( 4) NT = 4 + 2 μ0 μ ⎛1 ⎞ MT ⎜ + T ⎟ μ ε μ ⎝ ⎠ 1 + MT μ / 2 2εμ0 2 / L∞... M T = 2 ⎢1 + 4ε T + μ0 ⎣ ⎦ ⎩ (2.41) m 0 trong đó Áp dụng bổ đề Gronwall ta thu được từ (2.40) rằng ( ( ( S m ( t ) ≤ M T ) exp tM T 1 2) )≤M T ∀t ∈ [ 0, T ] , (2.42) ( ( với M T , M T ) , M T ) là các hằng số không phụ thuộc vào m mà chỉ phụ thuộc vào 1 2 22 T và K 0 , μ , F , g , k Đánh giá tiên nghiệm 2 Lấy đạo hàm (2.9) theo biến thời gian, ta có /// / // um , w j + μ ( t ) umx ( t ) , w jx + μ... ( s )ds ∫ ( t ) dt dt s 0⎝0 0 ⎠ dt T (1.14) T = ∫ u / ( s ) ϕ ( s ) ds = u / , ϕ 0 Vậy: dH du = = u / trong D / ( 0, T ; X ) dt dt Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng u = H + C theo nghóa phân bố với C là hằng số Thật vậy, giả sử v = H − u Từ kết quả ở bước 1, ta có v / = 0 theo nghóa phân bố Ta sẽ chứng minh rằng v = C theo nghóa phân bố: Ta có v / = 0 tương đương với T ∫ v ( s )ϕ ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D... ( 0 ) umx ( 0 ) + K um ( 0 ) 2 2 // = um ( 0 ) + μ ( 0 ) u1mx 2 2 + K u1m 2 2 2 ≤ ⎡ μ ( 0 ) u0 mxx + K u0 m + λ u1m + F ( 0 ) ⎤ + μ ( 0 ) u1mx + K u1m ⎣ ⎦ 1 ≤ C2 , ∀m, 2 2 2 (2.50) trong đó C 2 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào μ ( 0 ) , K , λ , u0 , u1 , F ( 0 ) Bây giờ ta sẽ lần lượt đánh giá các số hạng J i , i = 1,5 ở vế phải của (2.46) Đánh giá số hạng J1 Từ giả thiết ( A3 ) và (2.47), ta suy... 0) + K 2 = u1m + μ ( 0 ) u0 mx 2 2 u m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u0 m ( 0 ) + u 0 m 2 2 (2.18) Suy ra S m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u 0 m ( 0 ) + u0 m 2 1 ≤ C1 , với mọi m, 2 (2.19) trong đó C1 là một hằng số không phụ thuộc vào m mà chỉ phụ thuộc vào μ ( 0 ) , g ( 0 ) , K 0 , K , u0 , u1 Ta sẽ lần lượt đánh giá các số hạng I i , i = 1,8 ở vế phải của (2.16) như sau: Bằng cách dùng bổ đề 1.1 và bất . tT ω += << (0.7) () () / 01 0,0,PPP P== (0.8) trong đó 001 0, 0, ,KPP ω >≥ là các hằng số cho trước. Từ () 0.7 và () 0.8 ta biểu diễn ( ) Pt theo () 001 ,,,, 0, tt KPPu t ω và sau. () ( ) 1 1, 1, 0, xt ut ut λ += (0.3) () ( ) ( ) ( ) 01 ,0 , ,0 , t ux ux ux ux== (0.4) trong đó () ,, tt f uu Ku u λ =+ (0.5) và μ , 01 ,,uuF là những hàm cho trước thỏa các điều kiện mà. HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC