Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh – 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Lê Nguyễn Kim Hằng PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH ĐÀN HỒI NHỚT Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Long TP Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt khóa học việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy Thầy Nguyễn Công Tâm đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm trường Đại Học Khoa học –Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập làm việc Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thủ tục hành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Toán - Khoa Khoa học, trường Đại học Nông Lâm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi mặt để yên tâm học tập làm việc Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn thân thương đến gia đình -chỗ dựa tinh thần sống sau này, tạo điều kiện tốt giúp hoàn thành luận văn anh Nguyễn Hữu Thái – người giúp đỡ nhiều việc in ấn tài liệu sửa chữa luận văn Vì kiến thức thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tp.HCM, ngày 20 tháng 11 năm 2006 Lê Nguyễn Kim Hằng MỞ ĐẦU Trong luận văn này, khảo sát toán utt − μ (t )u xx + f ( u , ut ) = F ( x, t ) , < x < 1, < t < T , (0.1) u x ( 0, t ) = P ( t ) , (0.2) u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, (0.3) u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , (0.4) f ( u , ut ) = Ku + λ ut , (0.5) μ , u0 , u1 , F hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau, K , λ , λ1 số không âm cho trước Hàm chưa biết u ( x, t ) giá trò biên chưa biết P ( t ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (0.6) với K số cho trước, g , k hàm cho trước Trong trường hợp này, toán ( 0.1) − ( 0.5 ) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa chòu tác dụng lực cản nhớt Một toán khác loại toán thành lập từ toán (0.1) – (0.4), hàm chưa biết u ( x, t ) giá trò biên chưa biết P ( t ) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường P // ( t ) + ω P ( t ) = K utt ( 0, t ) , < t < T , (0.7) P ( ) = P0 , P / ( ) = P1 , (0.8) ω > 0, K ≥ 0, P0 , P1 số cho trước Từ ( 0.7 ) ( 0.8 ) ta biểu diễn P ( t ) theo ω , K , P0 , P1 , utt ( 0, t ) sau tích phân phần, ta t P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − K 0ω ∫ sin (ω ( t − s ) ) u ( 0, s )ds, (0.9) g (t ) = ( P0 − K u0 ( ) ) cos ωt + ( P1 − K u1 ( ) ) sin ωt ω (0.10) Chú ý công thức (0.9) xác đònh P ( t ) dạng (0.6) với k ( t ) = K 0ω sin ωt (0.11) Bằng cách khử ẩn hàm P ( t ) , ta thay điều kiện biên (0.2) t u x ( 0, t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds (0.12) Khi đó, đưa toán ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.9 ) − ( 0.11) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12) Trước đây, tác giả Nguyễn Thúc An Nguyễn Đình Triều [1] nghiên cứu trường hợp riêng toán ( 0.1) , ( 0.2 ) , ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) u (1, t ) = với μ ( t ) = 1, u0 = u1 = P0 = f ( u , ut ) = Ku + λ ut , K , λ số không âm cho trước Bài toán mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng [1] Như vậy, toán nghiên cứu luận văn tương tự với toán xét [1] Trong [2], Đặng Đình Áng Alain Phạm Ngọc Đònh thiết lập đònh lý tồn nghiệm toàn cục cho toán giá trò biên ban đầu (0.1), (0.2), (0.4) u (1, t ) = với μ ( t ) = 1, u0 , u1 , P hàm cho trước F ( x, t ) = 0, f ( u , ut ) = ut α −1 ut , ( < α < 1) (0.13) Bằng tổng quát hóa [2], Long Alain Phạm [6, 7], Long Thuyết [9], Long Dũng [10], Long, Tâm Trúc [11] xét toán (0.1), (0.4) liên kết với điều kiện biên x = không x = có dạng t u x ( 0, t ) = g ( t ) + H ( u ( 0, t ) ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds , u (1, t ) = 0 (0.14) Các tác giả nêu xét [6] với μ ( t ) ≡ 1, k ≡ 0, H ( s ) = K s, K > 0; [6,11] với μ ( t ) ≡ 1, H ( s ) = K s, K > Liên quan đến toán (0.1) – (0.6), ta xét toán nhiễu theo ba tham số bé ( ε1 , K , λ ) ∈ với ≤ ε1 ≤ ε1* , ≤ K ≤ K * , ≤ λ ≤ λ * (trong + ε1* , K * , λ * số dương cố đònh) (P ε1 , K ,λ ) ⎧ ⎪u − μ (t ) + ε μ t u = − Ku − λ u + F x, t , < x < 1, < t < T , ( ) 1 ( ) ) xx t ⎪ tt ( ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x ⎨u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , t ⎪ ⎪ P ( t ) = g ( t ) + K u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds ⎪⎩ Ta giả sử K ≥ 0, λ1 > hai số thực cố đònh hàm ( u0 , u1 , μ , μ1 , F , g , k ) ( ε1 , K , λ ) ∈ ( u, P ) + cho trước cố đònh thỏa giả thiết cho với cho trước, toán ( 0.1) − ( 0.6 ) có nghiệm yếu phụ thuộc vào ba tham số ( ε1 , K , λ ) u = uε1 , K ,λ , P = Pε1 , K ,λ Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán (P ε1 , K , λ ) theo ba tham số bé (ε , K , λ ) , tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo ba biến ( ε1 , K , λ ) u ( x, t ) ≈ P (t ) ≈ ∑ γ γ γ1 + + ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ + ∑ γ γ γ1 + + ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ + Uˆ γ1γ 2γ ( x, t ) ε1γ1 K γ λ γ , Pˆγ1γ 2γ ( t ) ε1γ1 K γ λ γ , theo nghóa cần phải hàm Uˆ γ1γ 2γ ( x, t ) , Pˆγ 1γ 2γ ( t ) , γ + γ + γ ≤ N , γ1, γ , γ ∈ + thiết lập đánh giá ∑ u− γ +γ +γ ≤ N , γ ,γ ,γ 3∈ ∑γ γ P− γ +γ +γ ≤ N , , ,γ 3∈ Uˆ γ 1γ 2γ ε1γ K γ λ γ + ≤ CN ( ε12 + K + λ N +1 , * Pˆγ 1γ 2γ ε1γ1 K γ λ γ + ) ( ε12 + K + λ ≤ CN ) N +1 , ** theo chuẩn i * , i ** không gian hàm thích hợp với tham số ( ε1 , K , λ ) đủ bé, số CN , CN độc lập với tham số ( ε1 , K , λ ) Các kết liên quan đến toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [12], Long, Út, Trúc [13], Long, Giai [14], Long, Trường [15] Trong luận văn này, tác giả mở rộng kết [12] với trường hợp K1 = , tác giả Long, Alain Phạm, Diễm xét toán (2.1)(2.6) với hàm μ ≡ thu khai triển tiệm cận nghiệm toán ( P ) theo hai tham số bé ( K , λ ) K ,λ (P ) K ,λ ⎧ ⎪utt − u xx = − Ku − λ ut + F ( x, t ) , < x < 1, < t < T , ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x ⎨u x (1, t ) + K1u (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , t ⎪ = + − P t g t K u 0, t ( ) ( ) ( ) ⎪⎩ ∫0 k ( t − s ) u ( 0, s ) ds Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, trình bày số kết chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toàn cục toán (0.1) – (0.6) Chứng minh dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu tính compact 5 Chương 3, chứng minh nghiệm yếu ( u , P ) toán ( 0.1) − ( 0.6 ) ổn đònh hàm ( μ, F , g, k ) số ( K , K , λ , λ1 ) Chương 4, nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu ( ) toán nhiễu Pε1 , K ,λ theo ba tham số bé ε1 , K , λ Chương 5, xét toán cụ thể minh họa cho phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ tiệm cận theo tham số Sau phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nhìn chung, kết trình bày chương – nới rộng nhỏ kết [12] đóng góp khiêm tốn tác giả 6 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt ký hiệu Ω = ( 0,1) , QT = Ω × ( 0, T ) , T > 0, u ( t ) , u / ( t ) = ut ( t ) , u // ( t ) = utt ( t ) , u x ( t ) = ∇u ( t ) , u xx ( t ) = Δu ( t ) để u ( x, t ) , ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u x t x t , , , , x , t , ( ) ( ) ( ) ( x, t ) ∂t ∂x ∂t ∂x bỏ qua đònh nghóa không gian hàm thông dụng: C m ( Ω ) , Lp ( Ω ) , H m ( Ω ) , W m , p ( Ω ) Có thể xem [3] Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau Lp ( Ω ) = Lp , H m ( Ω ) = H m = W m ,2 , W m , p ( Ω ) = W m , p Ta đònh nghóa L2 không gian Hilbert tích vô hướng u, v = ∫ u ( x ) v ( x ) dx, u , v ∈ L2 (1.1) Kí hiệu i để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghóa u , u , u ∈ L2 (1.2) H = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 } , (1.3) u = Và đònh nghóa không gian Hilbert tích vô hướng u , v = u , v + u x , vx , u , v ∈ H Kí hiệu i H1 (1.4) để chuẩn sinh tích vô hướng (1.4), nghóa v H1 ( = v, v = v + v x ) 1/ , v ∈ H (1.5) Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1 Phép nhúng H 1 C ( Ω ) compact v ( ) C0 Ω ≤ v Chứng minh bổ đề (1.1) không khó khăn H1 ∀v ∈ H (1.6) Bổ đề 1.2 Đồng L2 với ( L2 ) (đối ngẫu L2 ) Khi ta có / H 1 L2 ≡ ( L2 ) ( H ) , / / với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh Trước hết ta chứng minh L2 nhúng ( H ) / Vì H 1 L2 , với w ∈ L2 , ánh xạ Tw : H → v Tw ( v ) = w, v = ∫ w ( x ) v ( x ) dx (1.7) tuyến tính liên tục H , tức Tw ∈ ( H ) / Ta xét ánh xạ T : L2 → ( H ) / (1.8) T ( w ) = Tw w Khi đó, ta có Tw , v ( H ) , H = w, v , ∀v ∈ H , ∀w ∈ L / (1.9) Ta chứng minh toán tử T thỏa tính chất sau: (i) T : L2 → ( H ) đơn ánh, / (ii) Tw ( H ) ≤ w ∀w ∈ L , / (iii) T ( L2 ) = {Tw : w ∈ L2 } trù mật ( H ) / Chứng minh (i): Ta dễ dàng T tuyến tính Nếu Tw = 0, w, v = Tw , v ( H ) , H = 0, ∀v ∈ H / Do H trù mật L2 , nên ta có w, v = 0, ∀v ∈ L2 Do w = Vậy T đơn ánh, nghóa T phép nhúng từ L2 vào ( H ) / Chứng minh (ii): Ta có, với w ∈ L2 , Tw ( H ) = v∈Hsup , v Tw , v = / ≤ H1 =1 sup v∈H , v ≤ H1 w, v =1 w v =1 H1 w v sup v∈H , v sup v∈H , v =1 H1 H1 = w Chứng minh (iii): Ta chứng minh phiếm hàm L tuyến tính liên tục ( H ) / triệt tiêu T ( L2 ) triệt tiêu ( H ) / Xem L ∈ ( H ) , với // L, Tw ( H ) ,( H ) = ∀Tw ∈ T ( L ) Ta chứng minh // / L = Thật vậy, H phản xạ, tức ( H ) = H , theo nghóa // ∀L ∈ ( H ) , ∃v ∈ H : L, z // ( ) ( ) H1 // , H1 / = z, v , ∀z ∈ ( H ) / ( ) / H ,H (1.10) Lấy z = Tw ∈ ( H ) , ta có / = L, Tw ( H ) ,( H ) = Tw , v ( H ) , H = w, v , ∀w ∈ L // / / Suy v = Theo (1.10) ta có L, z = z, v ( H ) ,( H ) // / = 0, ∀z ∈ ( H ) / ( H ) ,H / Vậy L triệt tiêu ( H ) / Chú thích 1.1 Từ bổ đề 1.2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng i, i L2 để cặp tích đối ngẫu H ( H ) / Chuẩn L2 ký hiệu i Ta ký hiệu i X để chuẩn không gian Banach X gọi X / không gian đối ngẫu X 1.2 Về không gian hàm Lp ( 0, T ; X ) , ≤ p ≤ ∞ 1.2.1 Giới thiệu không gian hàm Lp ( 0, T ; X ) , ≤ p ≤ ∞ Cho X không gian Banach thực chuẩn i X Ta kí hiệu Lp ( 0, T ; X ) , ≤ p ≤ ∞ không gian lớp tương đương chứa hàm u :( 0, T ) → X đo được, cho T ∫ u (t ) p X dt < ∞ , với ≤ p < ∞, ∃M > : u ( t ) X ≤ M , a.e., t ∈ ( 0, T ) , với p = ∞ Ta trang bò cho Lp ( 0, T ; X ) , ≤ p ≤ ∞ chuẩn sau u Lp ( 0,T ; X ) ⎛T = ⎜ ∫ u (t ) ⎝0 1/ p p X ⎞ dt ⎟ ⎠ , với ≤ p < ∞, u L∞ ( 0,T ; X ) = esssup u ( t ) 0 0, ( A4 ) k , g ∈ H ( 0, T ) , ∀T > 0, ( A5 ) K , λ , K ≥ 0, λ1 > Đònh lí 2.1 Giả sử giả thiết ( A1 ) − ( A5 ) thỏa Khi đó, với T > 0, toán (2.1) – (2.6) tồn nghiệm yếu u cho: ⎧u ∈ L∞ ( 0, T ; H ) , ut ∈ L∞ ( 0, T ; H ) , utt ∈ L∞ ( 0, T ; L2 ) , ⎪⎪ 1,∞ ⎨u ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , ⎪ 1,∞ ⎪⎩ P ∈ W ( 0, T ) (2.7) Nhận xét 2.1 (i) Qua đònh lí trên, ta suy từ (2.7) toán (2.1) – (2.6) có 15 nghiệm yếu ( u , P ) mà thành phần u thỏa ⎧u ∈ C ( 0, T ; H ) ∩ C1 ( 0, T ; L2 ) ∩ L∞ ( 0, T ; H ) , ⎪ ⎪ ∞ ∞ ⎨ ut ∈ L ( 0, T ; H ) , utt ∈ L ( 0, T ; L ) , ⎪ 1,∞ ⎪⎩u ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u (1,i ) ∈ H ( 0, T ) (ii) Mặt khác, từ (2.7) ta nhận thấy u , u x , ut , u xx , u xt , utt thuộc không gian L∞ ( 0, T ; L2 ) ⊂ L2 ( QT ) Do u ∈ H ( QT ) ∩ C ( 0, T ; H ) ∩ C1 ( 0, T ; L2 ) ∩ L∞ ( 0, T ; H ) Từ ( u0 , u1 ) ∈ H ( Ω ) × H ( Ω ) thành phần u nghiệm yếu ( u, P ) thuộc vào không gian hàm H ( QT ) Và nghiệm phần ( ) giống với nghiệm cổ điển thuộc C QT , kiện đầu ( u0 , u1 ) không cần thiết thuộc C ( Ω ) × C1 ( Ω ) Chứng minh: Phần chứng minh đònh lí 2.1 gồm bước Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu nghiệm không gian hàm thích hợp nhờ số phép nhúng compact Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } sở đếm H Ta tìm nghiệm xấp xỉ dạng: m um ( t ) = ∑ cmj ( t ) w j , (2.8) j =1 hàm hệ số cmj ( t ) thỏa mãn hệ phương trình vi tích phân sau um// , w j + μ ( t ) umx ( t ) , w jx + λ1 μ ( t ) um/ (1, t ) w j (1) + μ ( t ) Pm ( t ) w j ( ) + Kum ( t ) + λ um/ ( t ) , w j = F ( t ) , w j , ≤ j ≤ m, um ( ) = u0 m , um/ ( ) = u1m , (2.10) t Pm ( t ) = g ( t ) + K um ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) um ( 0, s )ds, (2.9) (2.11) 16 m um ( ) = uom = ∑ α mj w j → u0 , (2.12) j =1 m um/ ( ) = u1m = ∑ β mj w j → u1 (2.13) j =1 Từ giả thiết đònh lí 2.1, ta dễ thấy với m ∈ * , tồn nghiệm um ( t ) có dạng (2.8) thỏa ( 2.9 ) − ( 2.11) hầu khắp nơi [ 0, Tm ] với Tm thỏa < Tm ≤ T Các đánh giá tiên nghiệm bước cho phép ta lấy số Tm = T với m Bước 2: ™ Đánh giá tiên nghiệm / Thay ( 2.11) vào ( 2.9 ) nhân phương trình thứ j ( 2.9 ) với cmj (t ) , sau lấy tổng theo j , ta 2 2 d / d d um ( t ) + μ ( t ) umx ( t ) + λ1 μ ( t ) um/ (1, t ) + K um ( t ) dt dt dt d (2.14) + λ um/ ( t ) + K μ ( t ) um2 ( 0, t ) + μ ( t ) g ( t ) um/ ( 0, t ) dt t − μ ( t ) um/ ( 0, t ) ∫ k ( t − s ) um ( 0, s ) ds = F ( t ) , um/ ( t ) Ta viết lại (2.14) sau ( d / d μ ( t ) umx ( t ) um ( t ) + dt dt ) + 2λ μ (t ) u + 2λ um/ ( t ) + K = μ ( t ) umx ( t ) + K μ ( t ) u / + 2μ ( t ) u / t / m m / m (1, t ) +K d um ( t ) dt d μ ( t ) um2 ( 0, t ) ) ( dt ( 0, t ) − 2μ ( t ) g ( t ) u ( 0, t ) ( 0, t ) ∫ k ( t − s ) um ( 0, s ) ds + 2 (2.15) / m F ( t ) , um/ ( t ) Tích phân phần theo biến thời gian từ đến t , nhờ giả thiết ( A2 ) − ( A4 ) , ta có: 17 S m ( t ) = Sm ( ) + 2μ ( ) g ( ) u0 m ( ) − 2μ ( t ) g ( t ) um ( 0, t ) t t + 2∫ ⎡⎣ μ ( s ) g ( s ) ⎤⎦ um ( 0, s ) ds + ∫ μ / ( s ) umx ( s ) ds / t + K0 ∫ μ ( s ) u / t m ( 0, s ) ds + 2μ ( t ) um ( 0, t ) ∫ k ( t − s )um ( 0, s ) ds (2.16) t − 2k ( ) ∫ μ ( s ) um2 ( 0, s ) ds t s 0 − 2∫ um ( 0, s ) ds ∫ t ∂ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦um ( 0,τ ) dτ + 2∫ F ( s ) , um' ( s ) ds ∂s ≡ S m ( ) + μ ( ) g ( ) u0 m ( ) + ∑ I i , i =1 Sm ( t ) = u / m (t ) t + μ ( t ) umx ( t ) + 2λ1 ∫ μ ( s ) um/ (1, s ) ds 2 (2.17) t + K μ ( t ) um2 ( 0, t ) + K um ( t ) + 2λ ∫ um/ ( s ) ds 2 Sử dụng giả thiết ( A1 ) , ( A3 ) − ( A5 ) (2.12), (2.13), ta thu S m ( ) + μ ( ) g ( ) u m ( ) + u0 m + K0 μ ( 0) u 0m ( 0) + K = u1m + μ ( ) u0 mx 2 u m ( ) + μ ( ) g ( ) u0 m ( ) + u m 2 (2.18) Suy S m ( ) + μ ( ) g ( ) u m ( ) + u0 m ≤ C1 , với m, (2.19) C1 số không phụ thuộc vào m mà phụ thuộc vào μ ( ) , g ( ) , K , K , u0 , u1 Ta đánh giá số hạng I i , i = 1,8 vế phải (2.16) sau: Bằng cách dùng bổ đề 1.1 bất đẳng thức Cauchy-Swcharz với bất đẳng thức 2ab ≤ ε a + b ε ta ∀a, b ∈ , ∀ε > 0, (2.20) [...]... Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra được các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian hàm thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là một cơ sở đếm được của H 2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng: m um ( t ) = ∑ cmj ( t ) w j , (2.8) j =1 trong đó các hàm hệ số cmj ( t ) thỏa mãn hệ phương trình vi tích phân... (2.5) với K , λ , λ1 là các hằng số không âm cho trước; μ , u0 , u1 , F là những hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u ( x, t ) và giá trò biên chưa biết P ( t ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (2.6) 0 trong đó K 0 là hằng số cho trước và g , k là các hàm cho trước Trước hết, ta thành lập các... trên [ 0, Tm ] với Tm nào đó thỏa 0 < Tm ≤ T Các đánh giá tiên nghiệm ở bước 2 dưới đây cho phép ta lấy hằng số Tm = T với mọi m Bước 2: ™ Đánh giá tiên nghiệm 1 / Thay ( 2.11) vào ( 2.9 ) và nhân phương trình thứ j của ( 2.9 ) với cmj (t ) , sau đó lấy tổng theo j , ta được 2 2 2 2 1 d / 1 d 1 d um ( t ) + μ ( t ) umx ( t ) + λ1 μ ( t ) um/ (1, t ) + K um ( t ) 2 dt 2 dt 2 dt 2 1 d (2.14) + λ um/