phương trình sóng phi tuyến với một đầu biên chứa số hạng memory

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng đã dành thời gian để đọc và cho những nhận xét rất có giá trị khoa học đối với luận văn của tôi.. Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

_

Hoàng Quốc Công

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

VỚI MỘT ĐẦU BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2010

LỜI CẢM ƠN

Lúc đầu khi nhận đề tài này, với vốn kiến thức còn hạn hẹp tôi đã gặp phải rất nhiều khó khăn Tuy nhiên, với sự hướng dẫn tận tình và mang tính khoa học của Thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Thành Long, tôi đã dần khắc phục được các khó khăn trên để hoàn thành đề tài này

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, người đã tận tình dìu dắt tôi vượt qua nhiều trở ngại trong suốt thời gian thực hiện đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong và ngoài trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh, những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cũng như tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu của mình cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng đã dành thời gian để đọc và cho những nhận xét rất có giá trị khoa học đối với luận văn của tôi

Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn của mình đến gia đình và các bạn tôi, những người đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này và cho tôi những lời khuyên, lời động viên vô cùng hữu ích

Hoàng Quốc Công

sự kết hợp những đặc điểm quan trọng của hai bài báo đã được công bố trước đây [3] và [4]

Trong [3], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, và Nguyễn Thị Thảo Trúc đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như tính chính quy, tính ổn định và khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán

trong (1.4) Các điều kiện biên (1.2) – (1.3) cũng chính là (1.5) – (1.6) sau khi đã hoán đổi 2 đầu biên x0 và x  , đồng thời làm triệt tiêu các hàm K1, λ1 và g Sự đặc biệt hóa này tưởng chừng 1

sẽ mang lại thuận lợi cho chúng ta khi nghiên cứu (1.1) – (1.3), nhưng thật ra nó lại khiến chúng ta

gặp đôi chút khó khăn hơn trong các ước lượng khi mà điều kiện cực tiểu cho hàm λ1 lúc này không còn là một giá trị dương nữa

Trong [5], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, và Trần Ngọc Diễm đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính chính quy, và khai triển tiệm cận của nghiệm của bài toán sau đây

với 0,h0, ,P P0 1 là các hằng số cho trước

Từ (1.11), nếu ta giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng, ta sẽ có

Nội dung chính của luận văn gồm các chương mục được trình bày theo thứ tự sau:

Chương 1 là phần mở đầu tổng quan về bài toán mà ta sẽ khảo sát trong luận văn, chỉ ra vài kết quả quan trọng đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 2 trình bày một số kết quả chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian Sobolev, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian

Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3)

Chương 4 nghiên cứu tính trơn của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu

Chương 5 nghiên cứu tính ổn định của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu, tức là hàm

, , , ,f k u u0 1u, , , ,f k u u0 1, nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3), là liên tục theo nghĩa mà

ta sẽ chỉ ra khi xem xét vấn đề này

Chương 6 nghiên cứu bài toán nhiễu theo hai tham số bé K,:

2 2

trong đó các tham số , , , ,f k u u0 1 cho trước Cụ thể như sau

a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu u u K, của bài toán  P K, khi K 0

và  0

b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u u K, của bài toán  P K, theo hai tham

số bé K, λ, có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm u K, bởi một đa thức theo hai biến K, λ:

    

ij K

Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

Ta đặt các kí hiệu:   0,1 , 0,Q T   T , T  Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của 0các không gian hàm C m  , , L p  W m p,   Ta có thể xem trong [1]

Để tạo thuận lợi khi trình bày và làm cho luận văn gọn gàng, ta sẽ quy ước một vài kí hiệu vắn tắt như sau:

Ta kí hiệu L p0, ;T X là không gian Banach các hàm thực đo được u: 0, T X sao cho

Bổ đề 2.2 (Bổ đề Gronwall) Giả sử  và u là các hàm liên tục trên [ , ], a b trong đó  xác định

Chương 3

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) – (1.3) với những giả thiết về các dữ kiện đầu vào như sau:

Định lý 3.1. Nếu các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa thì bài toán (1.1) – (1.3) có duy nhất một

nghiệm yếu u với các tính chất

Với các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) có nghiệm u m trên

0,T m tương ứng Các ước lượng sau cho phép ta chọn T m  với mọi m T

Ước lượng tiên nghiệm 1 Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.1) 1 với c mj  t , sau đó cộng

các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được đẳng thức sau

2exp

       2  

2 0

0

p t

p t

p t m p

m p

trong đó hằng số M2 chỉ phụ thuộc vào μ, k, K, u0 và u1

Hơn nữa, từ (3.1) và (1.2), bằng phương pháp tích phân từng phần cho số hạng chưa μ của vế

Qua giới hạn. Từ (3.4), (3.5), (3.16), (3.19), (3.20) và (3.38) ta suy ra các dãy hàm dưới đây bị chặn

trên các không gian hàm L tương ứng Từ đó, ta có thể trích ra một dãy con của dãy  u m vẫn kí hiệu là  u m sao cho

 0,  0, trong 1,  0,

m

Nhờ bổ đề về tính compact của Lions [2], từ (3.38), ta lại rút ra được một dãy con của dãy

 u m vẫn kí hiệu là  u m sao cho

Trong (3.1), ta cho m  Khi đó, dựa vào các kết quả (3.39), (3.40) và (3.42) ta chỉ ra

rằng có hàm u thỏa mãn bài toán

Việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu hoàn tất

Tính duy nhất của nghiệm. Giả sử u1, u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) Khi đó, ta có

Ta cho v u  , sau đó lấy tích phân 2 vế theo biến thời gian từ 0 đến t và áp dụng công thức

tích phân từng phần cho số hạng chứa k, ta có

Theo bổ đề của Gronwall, ta suy ra từ (3.59) rằng Z  , nghĩa là 0 u1 u2

Định lý 3.1 đã được chứng minh xong

Nhận xét 3.1. Từ định lý 3.1, ta nhận thấy nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) thỏa

Nhận xét 3.2. Trong trường hợp 2p q  và K K t ,   t k, k t s , , chúng ta xét bài toán

Bằng những đánh giá và lý luận tương tự với những gì mà ta đã thực hiện trong quá trình chứng minh định lý 3.1, ta có định lý 3.2 dưới đây

Định lý 3.2. Giả sử (GT1 /), (GT2), (GT3/), (GT4), (GT5) và (GT6/ ) được thỏa Khi đó, bài toán

(1.1/) – (1.2/ ) – (1.3) có duy nhất một nghiệm yếu u, và

Với các giả thiết (GT1/) – (GT2) – (GT3/) – (GT4) – (GT5) – (GT6/) được thỏa, hệ phương

trình vi phân (3.1) có nghiệm u m trên 0,T m tương ứng Các ước lượng sau cho phép ta chọn

m

Ước lượng tiên nghiệm 1. Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.61)1 với c mj  t , sau đó cộng

các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được đẳng thức sau

trong đó hằng số M1 chỉ phụ thuộc vào μ, f, K, λ, u0 và u1

Từ (3.102)–(3.101), dựa vào (GT1/) – (GT2) – (GT3/) – (GT4) – (GT5) – (GT6/), ta suy ra

trong đó N T hoàn toàn độc lập với m và chỉ phụ thuộc vào μ, f, K, λ, u0, u1, T

Theo bổ đề Gronwall, ta thu được kết quả sau

Qua giới hạn. Từ (3.64), (3.65), (3.81), (3.84), (3.85) và (3.103) ta suy ra các dãy hàm dưới đây bị

chặn trên các không gian hàm L tương ứng Từ đó, ta có thể trích ra một dãy con của dãy  u m

vẫn kí hiệu là  u m sao cho

Nhờ bổ đề về tính compact của Lions, từ (3.104), ta lại rút ra được một dãy con của dãy  u m

vẫn kí hiệu là  u m sao cho

m

u  mạnh u trong L Q2 T

Trong (3.61), ta cho m  Khi đó, dựa vào các kết quả (3.104) và (3.105) ta suy ra rằng

có hàm u thỏa mãn bài toán

Do đó u L 0, ;T V H2 Việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu hoàn tất

Tính duy nhất của nghiệm Giả sử u1, u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) Khi đó, ta có

Chương 4 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính trơn nghiệm của bài toán (1.1) – (1.3), tương ứng với trường hợp p q  Trong trường hợp này, ta đặt ra các giả thiết mạnh hơn các giả thiết 2

đã được đặt ra trong chương 3 như sau

u có các tính chất như đã nêu trong định lý 3.1 và nhận xét 3.1 Lúc này, bằng cách lấy đạo hàm 2

vế của phương trình (1.1) cũng như điều kiện biên (1.2) theo biến thời gian, đồng thời kết hợp với

điều kiện biên (1.3), ta nghiệm ra rằng u t là một nghiệm của bài toán sau

Theo đó, ta có định lý 4.1 được phát biểu như sau:

Định lý 4.1 Nếu , , , , , ,K  u u f k0 1  thỏa mãn (GT1[1]) – (GT5[1]) Khi đó bài toán (1.1) – (1.3) có

duy nhất một nghiệm u với các tính chất được nêu trong (4.1)

Với mỗi n , ta đặt ra các bộ giả thiết sau 1

biên của bài toán  P[1] theo biến thời gian Sau đó ta sắp xếp lại để có được bài toán  P[2] với các giả thiết (GT1[2]) – (GT5[2]) Theo đó, các dữ kiện đầu vào  [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]

mãn (GT1/), (GT2), (GT3/), (GT4), (GT5), (GT6/) Ta lại áp dụng định lý 3.2 để thấy rằng bài toán

 P[2] có duy nhất một nghiệm Hơn nữa, vì bài toán  P[2] là kết quả có được do ta lấy đạo hàm (một cách hình thức) bài toàn  P[1] nên nghiệm duy nhất đó lại là u tt Cứ như vậy, sau n bước lặp,

ta thu được bài toán  P[ ]n với nghiệm duy nhất là

n n

u t

0 [ 1]

n n

Từ các các kết quả thu được, ta đưa ra định lý dưới đây

Định lý 4.2 Nếu , , , , , ,K  u u f k0 1  thỏa mãn (GT1 [n]) – (GT5[n] ) Khi đó bài toán (1.1) – (1.3) có

duy nhất một nghiệm u với các tính chất như sau

Chương 5 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

Trong chương này, chúng ta giả sử rằng các dữ kiện , , , K  p q cho trước là cố định và thỏa

mãn (GT1) Theo định lý 3.1, bài toán (1.1) – (1.3) có duy nhất một nghiệm yếu là u phụ thuộc vào các dữ kiện đầu vào là μ, f, k, u0 và u1 Trong đó μ, f, k, u0, u1 thỏa mãn các giả thiết được đặt ra từ

đầu là (GT2) – (GT5) Ta ký hiệu nghiệm này là u u , , , ,f k u u0 1 Ta lại ký hiệu J 0 là tập hợp tất cả các bộ , , , ,f k u u0 1 vừa nêu ra ở trên với chú ý rằng: 0 là hằng số dương được nêu ra trong (GT4) Trong chương này, ta cũng giả sử rằng 0 là tham số chung không đổi cho tất cả các

bộ , , , ,f k u u0 1 trong J 0

Định lý 5.1 Giả sử (GT1) – (GT5) xảy ra Khi đó, với mỗi T  , nghiệm của bài toán (1.1) – (1.3) 0

ổn định đối với dữ kiện , , , ,f k u u0 1 theo nghĩa

00

Chứng minh Trước hết, ta đưa ra nhận xét dưới đây

Nhận xét 5.1 Nếu dữ kiện đầu vào , , , ,f k u u0 1 thỏa

1 2

chứng minh của định lý 1 thỏa mãn các bất đẳng thức

với dữ kiện đầu vào , , , ,f k u u0 1 Hơn nữa, nghiệm yếu u của bài toán (1.1)–(1.3) lại là giới hạn trong các không gian hàm thích hợp của dãy u m xác định bởi (3.1) nên bản thân u cũng thỏa mãn các

nhận xét 5.1 Theo đó, các bộ j, , ,f k u u j j 0j, 1j thỏa mãn (5.3) với mọi j, và vì vậy nghiệm yếu tương ứng u j của bài toán (1.1)–(1.3) thỏa

     

2 2

Theo giả thiết (5.1), ta có R j  Do đó, từ (5.25) ta suy ra (5.2) 0

Việc chứng minh định lý 5.1 kết thúc tại đây

Chương 6 BÀI TOÁN NHIỄU THEO HAI THAM SỐ BÉ (K,)

Trong chương này, ta giả sử các dữ kiện đầu vào μ, f, k, u0, u1 là cố định và thỏa mãn các giả

thiết (GT2) – (GT5) Dưới đây, ta sẽ nghiên cứu bài toán nhiễu theo hai tham số bé là K và ,

6.1 cho ta một kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) khi hai tham

số K và  rất gần không, và định lý 6.2 cho phép ta xấp xỉ nghiệm yếu đó bởi một đa thức bậc cao theo hai tham số nhiễu này trong trường hợp 2p q 

Với mỗi K,, ta viết u K, để chỉ nghiệm yếu ứng với hai tham số là K và  của bài toán (1.1) – (1.3) Ta lại viết u để chỉ nghiệm yếu ứng với hai tham số là 0 và 0 của bài toán (1.1) – 0,0

p t

q t

  ,    

0

t K

Ta thấy rằng R K,  khi , 0, K   0  Vậy nên định lý 6.1 đã được chứng minh xong

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi p q  2

Với mỗi K,, ta xét bài toán

Ta viết u K, để chỉ nghiệm yếu ứng với bài toán  P K,

Ta cũng viết u để chỉ nghiệm yếu ứng với bài toán 0,0

khi 0 , 1 khi 0 , 1 khi , 1 , 2

với mọi cặp  ,i j Z2 mà i j N 1

Từ (6.23) và (6.24) ta có được (6.20) – (6.21)

Bổ đề 6.1 đã được chứng minh xong

Định lý 6.2. Giả sử các (GT2) – (GT5) được thỏa Khi đó, với mỗi cặp K,R2 ,

Chứng minh. Trong (6.18)1, ta thay ẩn hàm u bởi nghiệm v của nó, sau đó nhân hai vế với v rồi

lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta nhận được kết quả sau

Chương 7

VÍ DỤ MINH HỌA CÁCH TÌM NGHIỆM TIỆM CẬN

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét một trường hợp đặc biệt của bài toán nhiễu theo hai tham số bé  P K, đã nêu trong chương 6 để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận theo hai tham số này đến cấp 1 và cấp 2 Bài toán cụ thể được phát biểu như sau

Giả sử u0,0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán

trong đó, D1 là hằng số độc lập với hai tham số bé K,

Ta lại tìm các nghiệm yếu u1,1, , u2,0 u0,2 được xác định bởi các bài toán dưới đây

PHẦN KẾT LUẬN

Mô hình bài toán mà chúng tôi khảo sát trong luận văn này là sự phát triển các mô hình về phương trình sóng phi tuyến theo hướng “lai hóa” vài kết quả mà thầy hướng dẫn và các anh chị đã làm trước đó Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu bài toán, chúng tôi lại gặp phải những khó khăn lớn do chính sự “lai hóa” này đem lại, đặc biệt là trong các ước lượng tiên nghiệm Kết quả được trình bày trong chương 5 là 1 kết quả mà theo thầy hướng dẫn là mang tính mới lạ vì trong đó, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của bài toán (1.1) – (1.3) đối với các tham số nhiễu

bao gồm cả hai dữ kiện đầu vào là u0 và u1

Quá trình thực hiện luận văn đã rèn luyện cho tôi khả năng nghiên cứu một cách có khoa học,

có hệ thống và nghiêm túc Những kiến thức thu nhặt được trong giai đoạn hoàn thành luận văn là

vô cùng bổ ích cho tôi trên con đường nghiên cứu còn rất dài ở phía trước

Do kiến thức và thời gian có giới hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong Quý Thầy Cô, Các anh chị và các bạn chỉ bảo và góp ý thêm

Xin trân trọng cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hạm Brezis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Paris, 1983

[2] J.-L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires,

Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969

[3] Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On a shock problem

involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 63 (2) (2005) 198 – 224

[4] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2003), Asymptotic

expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions,

Demonstratio Math 36 (3) (2003) 683 – 695

[5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2005), On a shock

problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (2005) (3) 337 –

358

[6] Nguyen Thanh Long, Nguyen Cong Tam, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On the nonlinear

wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and

asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2) (2005) 365 – 386

[7] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2007), On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave

equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of

solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365 – 392.

[8] Nguyen Thanh Long (2002), On the nonlinear wave equation u tt B t u( ,|| x || )2 u xx 

( , , , , )x t

f x t u u u associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 274

(1) (2002) 102 – 123

[9] Nguyen Thanh Long (2005), Nonlinear Kirchhoff - Carrier wave equation in a unit

membrane with mixed homogeneous boundary conditions, Electron J Differential Equations,

2005 (2005) No 138, 18 pp

[10] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), High-order iterative

schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A:

Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484