Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Cơng Sơn PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Cơng Sơn PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thành Long Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy - người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức q báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn q thầy tổ Giải Tích, khoa Tốn – Tin trường ðại học Sư Phạm ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu ñồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao đổi góp ý động viên tác giả suốt q trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Bùi Công Sơn MỤC LỤC Trang Lời cám ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương : CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu khơng gian hàm 1.2 Các công cụ thường sử dụng Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10 2.3 Sự tồn nghiệm 25 Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32 Chương : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 48 Chương : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 64 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ðẦU Các toán phi tuyến xuất khoa học ña dạng, nguồn ñề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn muốn sử dụng cơng cụ giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn này, chúng tơi xét tốn giá trị biên ban đầu sau u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, (0.1) u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.2) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), (0.3) λ, h , h1 số không âm cho trước; u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước thỏa mãn số ñiều kiện mà ta sau Trong [5], Ficken Fleishman ñã chứng minh tồn tại, nghiệm phương trình u xx − u tt − 2α1u t − α u = εu + b , với ε > bé (0.4) Rabinowitz [14] ñã chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình u xx − u tt + 2α1u t = f (x, t,u x ,u t ), (0.5) ñó ε tham số bé f hàm tuần hoàn theo thời gian Trong [2], Caughey Ellison ñã hợp xấp xỉ trường hợp trước ñây ñể bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ ñiển cho lớp hệ ñộng lực phi tuyến liên tục Trong [3], Alain Phạm ñã nghiên cứu tồn tại, dáng ñiệu tiệm cận ε → nghiệm yếu tốn (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet u(0,t) = u(1,t) = 0, (0.6) số hạng phương trình (0.1) cho µ(t) ≡ 1, λ = 0, f = εf1 (t,u), f1 ∈ C1 ([0, ∞) ×ℝ ) (0.7) Bằng tổng quát hóa [3], Alain Phạm Long [4] xét tốn (0.1), (0.3), (0.6) với µ(t) ≡ số hạng phi tuyến có dạng f = εf1 (t,u,u t ) (0.8) Trong [7,8], Long Alain Phạm ñã nghiên cứu tốn (0.1), (0.3) với µ(t) ≡ , số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u,u t ) (0.9) Trong [7], tác giả xét với điều kiện biên hỗn hợp khơng u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), u(1, t) = 0, (0.10) h > số dương cho trước [8] với ñiều kiện biên tổng quát t u x (0, t) = hu(0, t) + g(t) − ∫ k(t − s)u(0,s)ds, u(1, t) = (0.11) Trong [9], Long Diễm nghiên cứu tốn (0.1), (0.3) với ñiều kiện biên hỗn hợp u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.12) h0, h1 số không âm cho trước với h0 + h1 > số hạng phi tuyến vế phải có dạng f = f (x, t,u,u x ,u t ) + εf1 (x, t, u,u x ,u t ) (0.13) Trong trường hợp f ∈ C ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ),f1 ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ) tác giả thu ñược khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε ñến cấp hai theo ε, với ε ñủ nhỏ Trong [12], Nguyễn Thành Long Lê Thị Phương Ngọc ñã nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tồn hội tụ dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận toán:       u tt − B u r u rr + u r  = f (u, r), < r < 1, < t < T,    r       lim+ ru(r, t) < ∞,u r (1, t) + hu(1, t) = 0, r →0     2   u(r,0) = u (r), u t (r,0) = u1 (r), u r = ∫ r u r (r, t) dr,     { ( ) B, f, u0, u1 hàm cho trước, h > số Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm địa phương tốn (0.1) – (0.3) Chứng minh ñược dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với ñánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Chúng tơi nghiên cứu tồn hội tụ dãy lặp cấp hai {u m } nghiệm yếu u tốn (0.1) – (0.3) thỏa đánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ , (0.14) C, ρ số dương < ρ < Tiếp theo, khảo sát tốn nhiễu sau theo tham số bé ε :  u tt − µ ε (t)u xx + λuɺ t = Fε (x, t,u), < x < 1, < t < T,    u x (0, t) − h 0u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )    ɺ = u1 (x), u(x,0) = u (x), u(x,0)      Fε (x, t,u) = f (x, t,u) + εf1 (x, t,u), µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), ñó số h0, h1, λ cố ñịnh hàm số u0, u1, µ, µ1 , f , f1 cố định thỏa giả thiết thích hợp Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε, tức ta xấp xỉ nghiệm u ña thức theo ε N u(x, t) = ∑ U i (x, t)ε i , (0.15) i=0 theo nghĩa cần phải hàm Ui (x, t), i = 0,1, , N thiết lập ñánh giá: N ∂u ε ∂ Ui − ∑ εi ∂t ∂t i=0 N + u ε − ∑ εi Ui ∞ L (0,T;L ) i=0 ≤ CT ε ∞ N +1 , (0.16) L (0,T;H ) với tham số ε ñủ bé, số CT ñộc lập với tham số ε Luận văn trình bày theo chương sau ñây: Phần mở ñầu: tổng quan tốn khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: nhằm giới thiệu số kết chuẩn bị, kí hiệu không gian hàm thông dụng, số kết phép nhúng compact Chương 2: nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn (0.1) – (0.3) Chương 3: chúng tơi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai hội tụ Chương 4: chúng tơi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε Chương 5: chúng tơi xét tốn cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tốn Tiếp theo phần kết luận luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu khơng gian hàm Chúng ta bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng ñể cho tiện lợi, ta kí hiệu: Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T), T > 0, Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m = W m,2 , W m,p (Ω) = W m,p , , chuẩn tích vơ hướng L2 Ta kí hiệu X chuẩn khơng gian Banach X Ta kí hiệu Lp (0,T;X), ≤ p ≤ ∞ không gian Banach hàm u : (0,T) → X ño ñược cho T p p  u Lp (0,T;X) =  ∫ u(t) Xdt  < +∞, (1 ≤ p < ∞),   u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) X , (p = ∞) 0 T > cho, với ε, ε ≤ 1, tốn ( Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1 (M,T) thỏa mãn ñánh giá tiệm cận ñến cấp N + (4.51), đó, hàm u0 , u1 , , u N nghiệm toán (P0 ), (Q1 ), , (Q N ), theo thứ tự 64 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương này, xét ví dụ cụ thể khai triển tiệm cận cho toán ứng với f = 0, f1 = u , N = Gọi u ε ,u ,u1 ,u ,u nghiệm tốn sau   uɺɺ − µ ε (t)∆u + λuɺ = εu , < x < 1, < t < T,    ∇u(0, t) − h 0u(0, t) = ∇u(1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )   ɺ = u1 (x), u(x,0) = u (x), u(x,0)      µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), uɺɺ − µ(t)∆u + λuɺ = 0, < x < 1, < t < T,    (P0 )  ∇u(0, t) − h u(0, t) = ∇u(1, t) + h1u(1, t) = 0,   ɺ = u1 (x),   u(x,0) = u (x), u(x,0)   uɺɺ1 − µ(t)∆u1 + λuɺ = µ1 (t)∆u + u 02 , < x < 1, < t < T,   (Q1 )  ∇u1 (0, t) − h u1 (0, t) = ∇u1 (1, t) + h1u1 (1, t) = 0,   ɺ   u1 (x,0) = 0, u1 (x,0) = 0, ɶ ], < x < 1, < t < T,   uɺɺ i − µ(t)∆u i + λuɺ i = F[u i i    (Qi ) ∇u i (0, t) − h u i (0, t) = ∇u i (1, t) + h1u i (1, t) = 0, , i = 2,   ɺ   u i (x,0) = 0, u i (x,0) = 0, ɶ ], i = 2, tính tốn tường minh sau hàm F[u i i ɶ [u ] = µ (t)∆u + 2u u , F 2 1 ɶ [u ] = µ (t)∆u + 2u u + u F 3 2 Khi ñó v = u ε − ∑ ε i u i ≡ u ε − h nghiệm yếu tốn i=0 65  ɺɺv − µ ε (t)∆v + λvɺ = ε(v + h) − εh + E ε (x, t), < x < 1, < t < T,     ∇v(0, t) − h v(0, t) = ∇v(1, t) + h1v(1, t) = 0,   ɺ = 0, v(x,0) = v(x,0)      µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), ɶ ] + µ (t)∑ ε i∆u E ε (x, t) = εh − ∑ ε F[u i i i−1 i i=1 i=1 Bằng cách ñánh giá tương tự bổ ñề 4.2 ta thu ñược Eε L∞ (0,T;L2 ) ɶε ≤K Tiếp theo cách xây dựng dãy hàm {v m } ñược xác ñịnh (4.38) thực ñánh giá tương tự cho dãy hàm {v m } Khi ta có định lý sau ðịnh lý 5.1 Cho N = Giả sử (B1), (B2), (B3) (B5) định lý 4.2 Khi tồn số M > T > cho, với ε, ε ≤ 1, toán (Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1 (M,T) thỏa mãn ñánh giá tiệm cận ñến cấp theo nghĩa uɺ ε − ∑ ε i uɺ i i=0 L∞ (0,T;L2 ) + u ε − ∑ εi u i i=0 ≤ CT ε , L∞ (0,T;H1 ) CT số phụ thuộc vào C0 , µ, µ , µ1 , M, T hàm u , u1 , , u N nghiệm toán (P0 ), (Q1 ), (Q ), (Q3 ), theo thứ tự 66 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng sử dụng số cơng cụ Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ thuật ñánh giá tiên nghiệm, phương pháp compact yếu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính, phương pháp khai triển tiệm cận,…để khảo sát phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp Phương pháp giúp chứng minh ñược tồn nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm trường hợp tổng quát theo tham số nhiễu ε, mà thân cịn thiết lập nghiệm xấp xỉ tuyến tính hóa thuật tốn giải tích số thích hợp Chúng tơi sử dụng ngun lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Nội dung luận văn tập trung chương 2, 3, Trong luận văn này, nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), λ, h , h1 số không âm cho trước, u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước Ở chương 2, chúng tơi nghiên cứu thuật giải lặp đơn Chúng tơi thu kết tồn dãy lặp {u m }, tồn nghiệm phương pháp nói với f ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞)×ℝ) Ở chương 3, chúng tơi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai Chúng tơi thu kết tồn dãy lặp cấp hai {u m } thỏa ñánh giá u m − u ≤ C u m−1 − u , với u nghiệm yếu toán (2.1) – (2.3) 67 Chúng tơi thu kết hội tụ cấp hai dãy lặp {u m } nghiệm yếu u toán (2.1) – (2.3) thỏa ñánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ , với C, ρ số dương < ρ < Ở chương 4, µ (t), f (x, t,u) thay µ(t) + εµ1 (t), f (x, t,u) +εf1 (x, t, u) chúng tơi thu nghiệm tương ứng u ε có khai triển tiệm cận cấp theo ε (với ε ñủ nhỏ) theo nghĩa uε − u0 L∞ (0,T;H1 ) + uɺ ε − uɺ L∞ (0,T;L2 ) ≤C ε Nếu f ∈ C N+1 ([0,1]×[0, ∞)× ℝ ), f1 ∈ C N ([0,1]×[0, ∞)× ℝ ) chúng tơi thu khai triển tiệm cận cấp N + theo tham số ε theo nghĩa N uɺ ε − ∑ ε uɺ i i= N i ∞ L (0,T;L ) + u ε − ∑ εiu i i=0 ≤ CT ε ∞ N +1 L (0,T;H ) Chương phần minh họa ví dụ cụ thể cho phần khai triển tiệm cận chương 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 Caughey T., Ellison J (1975), Existence uniqueness and stability of solution of a class of nonlinear differential, J Math Anal Appl 51 (1975) – 32 Alain Phạm Ngọc ðịnh (1983), Sur un problèmes hyperbolique faiblement nonlinéaire en dimension, Demonstratio Math 16 (1983) 269 -289 Alain Phạm Ngọc ðịnh, Nguyễn Thành Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math 19 (1986), 45 – 63 Ficken F., Fleishman B (1957), Initial value problem and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Communs Pure Appl Math 10 (1957) 331 – 356 J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non–linéaires, Dunod; Gauthier–Villars, Paris, 1969 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh (1992), On the quasilinear wave equation: u tt −△u + f (t,u t ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (7) (1992) 613 – 623 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (8) (1995) 1261 – 1279 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation u tt − u xx = f (x, t,u,u x ,u t ) associated with the homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (1997) 1217–1230 mixed 69 10 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh, Trần Ngọc Diễm (2003), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003), 683-695 11 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2) (2005) 365–386 12 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365–392 13 Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods (accepted for publication) 14 Rabinowitz P.H (1967), Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Communs Pure Appl Math 20 (1967) 145 – 205 15 R.E Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat Monograph 01, 1994 ... compact ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp Trong luận... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Cơng Sơn PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN... Alain Phạm ñã nghiên cứu tốn (0.1), (0.3) với µ(t) ≡ , số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u,u t ) (0.9) Trong [7], tác giả xét với điều kiện biên hỗn hợp khơng u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), u(1,