Phương trình monge ampère phức và giả thuyết calabi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Phi Khánh PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ GIẢ THUYẾT CALABI Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ĐÌNH LÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 Mục lục Mục lục Lời mở đầu .1 CHƯƠNG Đa tạp Kähler 1.1 Đa tạp Kähler .3 1.2 Giải tích đa tạp 29 Chương Giả thuyết Calabi 44 2.1 Giả thuyết Calabi 44 2.2 Metric Kähler - Einstein 45 2.3 Phương pháp liên tục 48 Chương Đánh giá  2,α .54 3.1 Đánh giá  54 3.2 Đánh giá  .59 3.3 Đánh giá  ,α 63 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo .73 Lời mở đầu Những năm gần lý thuyết phương trình Monge-Ampère phức có nhiều  ứng dụng quan trọng Hình học Kahler nói riêng Hình học vi phân nói chung  Một vấn đề trọng tâm Hình học Kahler, lĩnh vực thu hút quan tâm lớn cộng đồng toán học, tồn  metric "chính tắc", cụ thể metric Kahler -Einstein Sự tồn kéo theo ràng buộc tôpô lớp Chern thứ đa tạp: tồn metric  Einstein với độ cong Ricci xác định dương (âm) đòi hỏi lớp Chern thứ Kahler phải xác định dương (âm) Điều bắt nguồn từ nhận xét đơn giản dạng Ricci  metric Kahler đại diện lớp Chern thứ Calabi [8] đoán điều ngược lại đúng, tức là: cho trước Ω đại diện lớp Chern thứ  nhất, tồn metric Kahler ω cho dạng Ricci ω Ω Calabi [8] đưa tốn hình học túy tốn giải phương trình Monge- Ampère phức, phương trình vi phân elliptic phi tuyến bậc hai Để giải phương trình này, Calabi đề xuất phương pháp liên tục, thiết lập số đánh giá tiền nghiệm quan trọng, làm tảng cho nghiên cứu sau Lúc đánh giá  toán mở thú vị thu hút nhiều nhà toán học tham gia Trường hợp metric  -Einstein với độ cong Ricci âm giải trọn vẹn Aubin, đánh giá  Kahler trường hợp hệ trực tiếp nguyên lý cực đại Đến cuối năm 70 giả thuyết Calabi giải trọn vẹn S.T Yau [23], mở kỷ nguyên cho nghiên cứu phương trình Monge- Ampère phức Trong luận văn này, tác giả trình bày lời giải giả thuyết Calabi hướng tiếp cận nhất, đơn giản nhiều so với chứng minh Yau Cụ thể hơn, đánh giá  sử dụng phương pháp lặp Moser đánh giá bậc cao trình bày dựa theo phương pháp Y.T Siu [19] Luận văn gồm ba chương, chương đầu trang bị kiến thức cần  thiết đa tạp Kahler phương trình vi phân bậc hai tuyến tính elliptic Chương trình bày giả thuyết Calabi phương pháp liên tục để giải phương trình MongeAmpère, qua rút gọn tốn đánh giá tiền nghiệm  2,α trình bày Chương Luận văn hoàn thành hướng dẫn Tiến Sĩ Nguyễn Đình Lân Qua thời gian làm việc với thầy Lân, tác giả khơng học nhiều kiến thức tốn học đại mà học tác phong làm việc nghiêm túc, khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đền thầy Lân Bên cạnh đó, tác giả học nhiều qua buổi thảo luận với Lữ Hoàng Chinh Xin chân thành cảm ơn Tác giả xin chân thành cám ơn quý thầy trực tiếp giảng dạy lớp Hình học Tơpơ khóa 24 q thầy Tổ Hình học, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Tác giả đặc biệt  cám ơn thầy Nguyễn Văn Đông dạy tác giả mơn hình học Kahler, kiến thức giúp ích cho tác giả nhiều trình nghiên cứu Cám ơn quý bạn bè lớp Hình học Tơpơ khóa 24 chia với tác giả nhiều kiến thức, kinh nghiệm học tập hai năm học trường Chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ chức hành Sau đại học, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn  CHƯƠNG Đa tạp Kahler  1.1 Đa tạp Kahler  Trong chương này, kiến thức hình học Kahler nhắc lại Tài liệu tham khảo cho chương sách Griffiths-Harris [15], Tian [21], Székelyhidi [20] giảng Błocki toán Calabi-Yau [6] 1.1.1 Đa tạp Riemann Định nghĩa ví dụ Một đa tạp tôpô M không gian tơpơ Hausdorff, liên thơng, có sở đếm được, đồng phôi địa phương với  n , nghĩa với x ∈ M tồn lân cận U x đồng phôi φU : U → B, với B tập mở  n Số tự nhiên n xác định gọi số chiều M Mỗi ánh xạ φU gọi toạ độ địa phương M Một atlas M họ (Uα ,φα )α∈I cho (Uα )α∈I phủ mở M (Uα ,φα ) toạ độ địa phương M Nếu Uαβ= Uα ∩ U β ≠ ∅ ánh xạ φαβ := φα α φβ−1 gọi phép chuyển toạ độ từ (Uαβ ,φβ ) sang (Uαβ ,φα ) Một atlas gọi trơn (lớp  ∞ ) phép chuyển toạ độ ánh xạ trơn Một đa tạp trơn đa tạp tôpô mà tồn atlas trơn Một hàm f : M →  gọi trơn M f  fU−1 trơn φ (U ) với toạ độ địa phương (U ,φ ) Một ánh xạ f : M → N hai đa tạp trơn gọi trơn ff  f U−1 ánh xạ trơn, với lân cận địa phương U ⊂ M ,V ⊂ N V Định nghĩa 1.1 (Không gian tiếp xúc) Cho M đa tạp khả vi Ta ký hiệu  ∞ ( M ) tập hàm giá trị thực khả vi M Một vectơ tiếp xúc M p, ký hiệu X p , ánh xạ (mà ta gọi đạo hàm) X p :  ∞ ( M ) →  tha ã X p ( f + g= ) λ Xp ( f ) + µ Xp ( g), = X p ( fg ) g ( p ) X p ( f ) + f ( p ) X p ( g ) với λ , µ ∈ , f , g ∈  ∞ ( M ) • Tập hợp vectơ tiếp xúc p gọi không gian tiếp xúc M p, ký hiệu Tp M Xét tọa độ địa phương (U , x ) quanh p ∈ M Các đạo hàm riêng e j :=∂ ∂x j , j = 1,, n, định nghĩa ej ( f ) = ∂ ( f  x −1 ) ∂x j , tạo thành sở không gian vector Tp M , theo Tp M có số chiều n Ví dụ 1.2 Xem  n đa tạp n chiều  n+1 , xác định {x ∈  n +1 } x12 +  + xn2 = Một hàm trơn  n mở rộng  n+1 Ta đồng vector = v f (= x) ( v ,, v ) ∈  n +1 n với đạo hàm theo hướng v Hàm số x − hàm trơn  n+1 đồng  n Ta kiểm tra v ∈ Tx  n v ( f ) = 0, nghĩa n +1 ∑v x i =1 i i = Phân thớ tiếp xúc M , ký hiệu TM hợp rời rạc TM := p∈M Tp M Ta xây dựng cấu trúc trơn TM , theo TM đa tạp trơn có số chiều 2n Một trường vector ξ M thiết diện trơn phân thớ tiếp xúc TM , nghĩa ánh xạ trơn ξ : M → TM cho ξ ( p ) ∈ Tp M với p ∈ M Ta ký hiệu χ ( M ) tập trường vector M Định nghĩa 1.3 Cho M đa tạp trơn số chiều m Một metric Riemann g M trường tenxơ g : χ (M ) ⊗ χ (M ) → ∞ (M ) cho với p ∈ M ánh xạ g p : Tp M ⊗ Tp M →  tích vơ hướng không gian tiếp xúc Tp M Cặp ( M , g ) gọi đa tạp Riemann Ví dụ 1.4 Giả sử (U , x ) tọa độ địa phương M với hàm tọa độ x1 ,, x m Khi lân cận U thành phần g  ∂ ∂ gij =  i , j  ∂x ∂x    = g ∑ g dx i, j i ij ⊗ dx j Tích vơ hướng khơng gian vectơ  m cho u, v m m = ∑ uk vk k =1 ( xác định metric Riemann  m Đa tạp Riemann E m =  m , , m ) gọi không gian Euclid m chiều Trường hợp thành phần trường tenxơ g gij = δ ij Liên thông Levi-Civita Trên không gian vectơ thực m chiều  m ta có tốn tử vi phân ∂ : χ ( m ) × χ ( m ) → χ ( m ) biến cặp trường vectơ X ,Y  m thành trường vector ∂ X Y (gọi đạo hàm Y theo hướng X ) xác định ( ) Y x + tX ( x ) − Y ( x ) ∂ XY ( x ) = lim t →0 t Mệnh đề 1.5 Cho không gian vectơ thực m chiều  m trang bị metric Euclid chuẩn , X ,Y , Z ∈ χ (  n ) trường vectơ Khi • ∂ X Y − ∂ Y X =  X ,Y  , • ∂X Y,Z ( ) =∂ Y , Z X + Y ,∂ X Z Trên  n vector tiếp xúc p ∈  n dịch chuyển song song đến q ≠ p Để thực điều tương tự đa tạp trơn ta cần khái niệm liên thông Định nghĩa 1.6 Cho M đa tạp trơn Một liên thơng tuyến tính M ánh xạ ∇ : χ ( M ) × χ ( M ) → χ ( M ) thoả mãn điều kiện sau • ∇ X ( λY + µ Z ) = λ∇ X Y + X Z ã X (= fv ) X ( f ) v + f ∇ X v • ∇ ( fX + gY ) v = f ∇ X v + g∇Y v với λ , µ ∈ , X ,Y , Z ∈ χ ( M ) f , g ∈  ∞ ( M ) Một trường vector ξ ∈ χ ( M ) gọi song song liên thông ∇ ∇ X ξ = 0, ∀X ∈ χ ( M ) Cho M đa tạp trơn ∇ liên thơng tuyến tính M Khi ánh xạ T : χ (M )× χ (M ) → χ (M ) xác định T ( X ,Y ) = ∇ X Y − ∇Y X −  X ,Y  với X ,Y ∈ χ ( M ) xác định trường tenxơ gọi độ xoắn ∇ Một liên thông ∇ gọi không xoắn độ xoắn T tương ứng 0, nghĩa  X ,Y  = ∇ X Y − ∇Y X , ∀X ,Y ∈ χ ( M ) Định nghĩa 1.7 Giả sử M đa tạp Riemann với metric Riemann g ∇ liên thơng tuyến tính M Liên thơng ∇ gọi tương thích với g ∇g =0, nghĩa với trường vectơ khả vi X ,Y , Z ∈ χ ( M ) , ta có: ( ) X g (Y , Z ) = g ( ∇ XY , Z ) + g (Y ,∇ X Z ) Định lí 1.8 Cho ( M , g ) đa tạp Riemann với metric Riemann g Khi tồn liên thơng tuyến tính ∇ M cho ∇ khơng xoắn tương thích với g Liên thông ∇ xác định thông qua Z ) X ( g(Y , Z )) + Y ( g( Z , X )) − Z ( g( X , Y )) + g(∇ X Y ,= g Z ,  X ,Y  + g Y ,  Z , X  − g X , Y , Z  ( ) ( ) ( Liên thông ∇ gọi liên thông Levi-Civita ( M , g ) ) Nhận xét liên thông Levi-Civita đối tượng nội ( M , g ) phụ thuộc vào cấu trúc khả vi đa tạp metric Riemann Độ cong Ricci Cho M đa tạp Riemann với metric g liên thông Levi-Civita ∇ Với trường vectơ X ,Y , Z ∈ χ ( M ) đặt R( X ,Y )Z := (∇ X ∇Y − ∇Y ∇ X − ∇  X ,Y  )Z   Khi R : χ ( M )⊗3 → χ ( M ) trường tenxơ Ánh xạ gọi tenxơ độ cong ( M , g ) Tensor Riemann R ( 4,0 ) -tenxơ xác định ( ) R ( X ,Y , Z ,W ) = g R ( X ,Y ) Z ,W Nó thỏa mối liên hệ sau: = R ( fX ,Y ) Z R = X ,Y )( fZ ) fR ( X ,Y ) Z ( X , fY ) Z R (= R ( X ,Y ) Z = − R ( Y , X ) Z  R ( X ,Y , Z ,W ) = − R ( X ,Y ,W , Z ) R ( Z ,W , X ,Y ) = R ( X ,Y , Z ,W ) Đồng thức Bianchi : R ( X ,Y ) Z + R ( Z , X ) Y + R ( Y , Z ) X = Định nghĩa 1.9 Cho ( M , g ) đa tạp Riemann i) Tốn tử Ricci r : χ ( M ) → χ ( M ) định nghĩa m r ( X ) = ∑ R( X , ei )ei i =1 ii) Độ cong Ricci Ric : c ( M )⊗2 → C ∞ ( M ) định nghĩa m ( Ric ( X ,Y ) = ∑ g R ( X , ei ) ei ,Y i =1 ) {e1 ,…, em } khung trực giao phân thớ tiếp xúc 1.1.2 Tích phân đa tạp Dạng vi phân Cho M n đa tạp khả vi Với điểm p ∈ M , không gian đối tiếp xúc không gian đối ngẫu Tp M (Tp M )* = { f tuyến tính Tp M → } Không gian Λk ( Tp M ) gồm dạng k -tuyến tính thay phiên không gian tiếp xúc * Tp M Phân thớ Ω k ( M ) hợp rời rạc Ω k ( M ) := p∈M Λk (Tp M )* $ Một k -dạng ω M thiết diện phân thớ Ω k ( M ), tức ánh xạ ω : M → Ωk (M ) cho ω ( p) ∈ Λk (Tp M )* Trong hệ tọa độ địa phương (U , x ) xung quanh p ∈ M , dạng ω viết ω ( p) = ∑ ωI ( p)dx I , (1.1) |I | = k đây, I = {i1 < < ik } dx I = dxi ∧  ∧ dxi k Nếu tất hệ số ωi trơn ω gọi k -dạng vi phân Cho ω k -dạng vi phân M , mà lân cận địa phương (U , x ) có biểu diễn (1.1) Vi phân ngồi ω ( k + 1) -dạng vi phân M mà (U , x ) viết = dω n ∂ωI ∑ ∑ ∂x =j = |I | k dx j ∧ dx I j Tích phân n -dạng vi phân Cho ω n -dạng vi phân U , với U tập mở  n Khi ω viết dạng 60 n −1  λ  n ≤ λ ≤  λ   λ −1  ∑ ∏  ∑  ∏ i  n i i  i i  i i   i  Bất đẳng thức bên trái theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Giả sử ∏ i λi = chứng minh vế phải Ta có  λ −1  ∑ i   i  n −1 λn ≥ ∑ λi ≥ λ1−1  λn−−11 = n i  Kết thứ hai mà cần sử dụng bất đẳng thức sau bắt nguồn từ Aubin [3] [23] Phiên đơn giản trình bày thuộc [19, Trang 9899]  Bổ đề 3.7 (Bất đẳng thức Yau) Cho ω , ω ′ hai dạng Kahler đa tạp  compact n chiều M Giả sử − B < chặn độ cong song thiết Kahler diện chỉnh hình ω Khi ∆ω′ log ( Trωω ′ ) ≥ − Trω Ric (ω ′ ) Trωω ′ − BTrω′ω Chứng minh Vì bất đẳng thức theo điểm nên ta chọn hệ tọa độ chỉnh hình chuẩn tắc ( z j ) $ (z_{j}) $ điểm p ∈ M cho ω = −1∑ k ,l ωkl dzk ∧ dzl −1∑ k ,l ωkl′ dzk ∧ dzl thỏa ω ′ = ( ) ωkl = δ kl − ∑ Rijkl zi zj + O z i, j ( ) = ωkl′ lkδ kl + O z lân cận p Ở Rijkl hệ số tensor độ cong ω p, λ1 ≤  ≤ λn giá trị riêng ω ′ theo ω p Nhận xét ma trận (ω kl ) , ma trận nghịch đảo (ωkl ) , thỏa mãn ( ) ω kl = δ kl + ∑ Rijkl zi zj + O z i, j (3.4) 61 Để kiểm tra điều ta tính đạo hàm riêng cấp hai g kl p thông qua công thức g kp gkq = δ pq Nhắc lại độ cong tenxơ ω ′ hệ tọa độ địa phương ( z ) biểu diễn theo g sau j ′ = −∂ i ∂ j ωkl′ + ∑ ω ′pq ∂ iωkq′ ∂ j ω ′pl Rijkl p ,q Từ ta có, p, ′ = −∂ i ∂ jωkl′ + ∑ l p−1∂ iωkp′ ∂ j ω ′pl Rijkl (3.5) p Đặt u := Trωω ′ lưu ý ∆ω′ log u = u −1∆ω′u − u −2 Trω′ ( du ∧ d c u ) Tại điểm p ta có ∆= u ω′ ∑λ i ,k ∂ i ∂ i (ω kk ωkk′ ) −1 i Trω′ ( du ∧ d c u )= ∑l i ,k ,l ∂ iωkk′ ∂ i ωll′ −1 i Từ (3.4) ta có ′ ∂ i ∂ i (ω kk ω = λk Riikk + ∂ i ∂ i ωkk′ kk ) Từ suy p ta có   −1 = ∆ω′ log u u −1  ∑ lll R + ∑ i−1∂ i ∂iωkk′  − u −2  ∑ li−1∂ iωkk′ ∂ i ωll′  i k iikk ik  ik   i ,k ,l  (3.6) Mặt khác, theo giả thiết độ cong song thiết diện chỉnh hình ω ta có Riikk ≥ − B với i, k , ∑λ ik  λk Riikk ≥ − B  ∑ λi−1   ∑ λk  = − BTrω′ (ω ) u −1 i Mặt khác, từ (3.5) ta có  i  i  (3.7) 62 ∑λ i ,k Lưu ý ∑ i ,k −1 i ′ + ∑ λi−1λ p−1 ∂ iωkp′ ∂ i ∂ i ωkk′ = −∑ λi−1 Riikk i ,k i ,k , p ′ = Trω Ric (ω ′ ) , λi−1 Riikk ∑ ll i ,k , p −1 −1 i p 2 −1 −1 ∂ iωkp′ ≥ ∑ ll ∂ iωkp′ ≥ u −1 ∑ li−1∂ iωkk′ ∂ iωll′ i k i ,k , p i ,k ,l theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Kết hợp với (3.6) (3.7) ta có bất đẳng thức cần chứng minh Chứng minh Định lý 3.5 Trong chứng minh này, ký hiệu ngắn gọn mà không gây hiểu lầm, ta dùng C để số phụ thuộc vào tham số cố định toán (tức M ,ω , n, B, chặn f , chặn dd c f ) Đặt ωϕ =: ω + dd cϕ xét hàm H định nghĩa ( ) = H log Trωωϕ − Aϕ , với A > số dương chọn sau Theo Bất đẳng thức Yau ta có ( ) ∆ω log Trωωϕ ≥ − ϕ ( ) − BTr ω Trω Ric ωϕ Trωωϕ ωϕ Sử dụng dd c f ≥ −Cω (giả thiết), Ric (ω ) ≤ −Cω (do M compact) cơng thức tính độ cong Ricci (1.11) ta có  ωϕn  Ric ωϕ = Ric (ω ) − dd log  n = Ric (ω ) − dd c f ≤ Cω ω    ( ) c Bằng kỹ thuật sơ cấp ta chứng minh ( Trα β ) ( Trβ α ) ≥ n2 với (1,1) dạng dương α , β Từ ta có ( ) ∆ω log Trωωϕ ≥ − ( B + C ) Trω ω ϕ ϕ Hơn ta có ∆ω ϕ =n − Trω ω Do chọn A = B + C + ta ϕ ϕ ∆ω H ≥ Trω ω − An ϕ ϕ 63 Do H ∈  ( M ,  ) M compact nên H đạt giá trị lớn điểm x0 ∈ M Kể từ lúc này, tất phép tính thực x0 Theo nguyên lý cực đại ta có dd c H ≤ 0, ≥ ∆ω H ≥ Trω ω − An ϕ ϕ Áp dụng Bổ đề 3.6 ta  ωϕn  Trωωϕ ≤ n  n  Trω ω ω    ( ϕ ) n −1 ≤ A n−1n n eC Theo đánh giá  ta biết osc (ϕ ) ≤ C Nếu x điểm M ta có H ( x ) ≤ H ( x0 ) , ∆ϕ (= x ) Trωωϕ ( x ) − n = e ( ) ( ) −n H x + Aϕ x ≤e ( ) ( ) −n log( Tr ω ( x ) )− Aϕ ( x )+ Aϕ ( x ) = e −n AC n −1 n C ≤ e A n e − n H x + Aϕ x ω ϕ 0  3.3 Đánh giá  2,α Như trình bày mục 2.3, để thiết lập đánh giá tiền nghiệm bậc cao hơn, ta cần đánh giá  2,α áp dụng lý thuyết Schauder địa phương Thực ra, chứng minh Aubin [2] Yau [23] tác giả thiết lập trực tiếp đánh giá  mà không thông qua đánh giá  2,α Trong khoảng thời gian đó, lý thuyết phương trình elliptic tổng quát Evans [12,13] đời, cho phép ta thiết lập đánh giá  2,α miễn ta có đánh giá  Lý thuyết Evans, sau đơn giản hóa Trudinger [22] phát biểu cho phương trình elliptic thực Đương nhiên, phương trình Monge-Ampère phức viết lại dạng thực mục 2.3 muốn áp dụng lý thuyết Evans ta phải chặn đạo hàm riêng cấp hai thực D 2ϕ , đây, sau có đánh giá  ta chặn đạo hàm riêng phức uij Tuy nhiên hồn tồn bắt chước chứng minh Evans 64 cho trường hợp phức Điều thực Siu [19] ý tưởng viết phương trình Monge- Ampère dạng divergence Nội dung phần đánh giá  2,α sau Định lý 3.8 Cho u ∈  ( Ω ) hàm đa điều hòa mạnh cho ( ) det uij = f > Khi với Ω′  Ω tồn α ∈ ( 0,1) phụ thuộc vào n chặn cho u C ,1 ( Ω ) , supΩ ∆u, f C ,1 ( Ω ) , infΩ f tồn C > phụ thuộc vào kiện vừa nêu với d ( Ω′,Ω ) cho u  ,α ( Ω′ ) ≤ C Ta ký hiệu  tập ma trận hermit cấp n × n  + tập ma trận hermit xác định dương Bổ đề 3.9 Nếu A ∈  + { } inf Tr ( AB ) B ∈ = + ,det (= B) n ( det ( A )= ) 1n Chứng minh Khơng tính tổng quát ta giả sử A ma trận đường chéo Với U ∈  + ta ln chéo hóa U Do theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (cho giá trị riêng U ) ta có Tr (U ) ≥ n ( det U ) 1n Cho A, B ∈  + với det ( B ) = Ta tìm C ∈  + cho C = B Lưu ý toán tử vết Tr giao hoán, nghĩa Tr (UV ) = Tr (VU ) với ma trận vng U ,V Từ ta có Tr ( AB ) = Tr ( AC ) = Tr ( CAC ) ≥ n det ( CAC )  1n = n det ( A )  1n Như ta chứng minh det ( A )    1n { } ≤ inf Tr ( AB ) B ∈ = + ,det ( B ) = n Để có dấu ta xét ma trận chéo B với 65 ( Bii = det ( A ) ) 1− n ∏A j ≠i jj  Với B ∈  + hàm A  Tr ( AB ) hàm tuyến tính Từ Bổ đề 6.2 ta suy hàm A  ( det A ) hàm lõm  + Do hàm A  logdet A hàm 1n lõm  + , theo ma trận đạo hàm cấp hai logdet nửa xác định âm Nói cách khác ta có Bổ đề 3.10 Với = a (a )∈ = + pq và= ξ (ξ ) ∈ = kl ta có aiq a pj ξij ξ pq ≥ 0, với ( a pq ) ma trận nghịch đảo chuyển vị ( a pq ) Chứng minh Hàm f ( t ) xác định  0, ∞ )  t  f ( t ) = logdet ( a + tξ ) hàm lõm Do đạo hàm cấp hai f t thỏa ∂ f ∂t ≤ Ta viết a ( t )= a + tξ Ta tính ij ∂f = a ( t ) ξij ∂t Bây ta xem a pq hàm theo biến akl Vì ( a pq ) ma trận nghịch đảo chuyển vị ( a pq ) nên ta có a pq a pl = δ ql Ở δ ql số Kronecker, δ ql = q ≠ l δ ql = q = l Lấy đạo hàm biểu thức theo biến aij ta ∂a pq a pl + aiq δ lj = ∂aij Lưu ý ta sử dụng ký hiệu Einstein viết tổng ∂a mq = − aiq a mj ∂aij ∑ Nhân hai vế với a ml ta 66 Từ biểu thức đạo hàm bậc f ta lấy đạo hàm theo t thêm lần ∂ f ∂a pq ∂aij ( t ) = ξ pq = −aiq ( t ) a pj ( t ) ξ pqξij ∂t ∂aij ∂t Cho t = ta có điều phải chứng minh  Với < λ < Λ < +∞ ta ký hiệu S ( λ , Λ ) tập ma trận vng hermit cấp n có giá trị riêng thuộc λ , Λ  Ma trận U sinh vector ξ ∈  n xác định Uij = ξiξ j , ký hiệu ξ ⊗ ξ Chúng ta dùng kết sau Đại số tuyến tính Bổ đề 3.11 Cho < λ < Λ < +∞ Tồn hữu hạn vector đơn vị ξ1 ,ξ N ∈  n hai số thực dương λ * , Λ* phụ thuộc vào λ , Λ n cho A ∈ S ( λ , Λ ) viết dạng = A N ∑β ξ j =1 j j ⊗ξj, với β j ∈ λ * , Λ*  , ∀j Các vector đơn vị ξ j chọn cho (ξ j ) chứa sở trực chuẩn cho trước  n Chứng minh Tập  không gian vector trường số thực với số chiều (thực) n2 Bằng cách chéo hóa ma trận hermit ta thấy U ∈  viết dạng = U N ∑β ξ j =1 j j ⊗ξj, với β j ∈  giá trị riêng ξ j ∈  n vector riêng đơn vị U Với = ξ (ξ ,ξ ) ∈  n n ta xét tập hợp N = U (ξ ) ∑j=1 β jξ j ⊗ ξ j < β j < 2Λ    67 Mỗi U (ξ ) tập mở  theo lập luận ta có S ( λ 2, Λ ) ⊂  U (ξ ) = ξ ∈ n , ξ1 = ξn = Nói cách khác, U (ξ ) tạo thành phủ mở S ( λ 2, Λ ) Do S ( λ 2, Λ ) compact  nên ta trích phủ hữu hạn, tức tồn vector đơn vị ξ1 ,ξ N ∈  n cho N  S ( λ 2, Λ ) ⊂ ∑ β jξ j ⊗ ξ j ≤ β j < 2Λ   j =1  Ta bổ sung thêm sở trực chuẩn  n vào vector đơn vị (ξ j ) Với A ∈ S ( λ , Λ ) ta có A− λ N ∑ξ 2N j =1 j ⊗ ξ j ∈ S ( λ 2, Λ ) , từ ta có điều phải chứng minh Lưu ý định nghĩa U (ξ ) , cách thay λ ′ < λ 2Λ Λ′ > Λ ta chọn λ * , Λ* hai số dương cho λ * < λ N Λ* > Λ  Bây có đầy đủ cơng cụ để chứng minh Định lý 3.8 Chứng minh Định lý 3.8 Cố định vector đơn vị ξ ∈  n Lấy đạo hàm hai lần theo hướng ξ ,ξ biểu thức ( ) logdet = uij log = f g ta uij uξξ ij = ( log f )ξξ + uil ukj uξij uξ kl ≥ ( log f )ξξ Thật vậy, ta viết đạo hàm theo hướng ∂ ∂ξ ∂ ∂ ∂ = −i , ∂ξ ∂ζ ∂η (3.8) 68 với ∂ ∂ζ , ∂ ∂η đạo hàm thực ta áp dụng Bổ đề 3.10 để thấy uil u kj uξ ij uξ kl ≥ 0, điều giải thích ta có (3.8) Ta áp dụng [14,Chapter 8] vào hàm uξξ thỏa bất phương trình (3.8) Muốn làm ta cần viết (3.8) dạng divergence Đặt aij = fuij Với i cố định ta có (a ) ij j =f ( uij u kl − uil u kj ) uklj =0 Như (3.8) viết lại (a u ) ij ξξ i j fξ = fξξ − ≥ fξξ − C1 f (3.9) Ta viết = fxx ∂2 f = c ∑ ij ∂xi ∂x j i, j ∑ cij i, j ∂f j ∂xi Ta áp dụng kết chương [14] cho toán tử vi phân bậc = D j ∑ i cij ∂ ∂xi , toán tử elliptic L : L ( v ) = ∑ ( aij vi ) j i, j Nếu ta viết L dạng thực L (v) = ∑ (A 2n pq p ,q =1 ) vp , q với A pq ma trận xác định Bổ đề 2.11 Như L toán tử elliptic mạnh (theo nghĩa thực) Ta viết lại (3.9) dạng L ( v ) ≥ D j f j − C1 (3.10) Cố định r > cho Br := B ( z0 ,4r ) ∈ Ω′ Từ (3.12) ta áp dụng [14,Theorem.18] để có bất đẳng thức Harnack yếu B ( z0 ,4r )  Ω′  Ω  r −2 n ∫B  sup uξξ − uξξ  B r 4r    uξξ − sup uξξ + r   ≤ C2  sup B   B  4r r (3.11) 69 Đặt U = (Uij ) Với x , y ∈ B4 r ta có ( ) aij ( y ) uij ( x ) = f ( y ) Tr U ( y ) U ( x ) −1 ( Nói riêng ta có aij ( y ) uij ( y ) = nf ( y ) Mặt khác det f ( y ) U ( y ) 1n −1 ) = nên Bổ đề 3.9 cho ta = aij ( y ) uij ( x ) f ( y ) 1−1 n ( ) Tr f ( y ) U ( y ) U ( x ) ≥ nf ( y ) 1n −1 1−1 n f (x) 1n Vì với x , y ∈ Ω′ ta có ) ( aij ( y ) uij ( y ) − uij ( x ) ≤ nf ( y ) − nf ( y ) 1−1 n = nf ( y ) 1−1 n ≤ C3 x − y , với C3 phụ thuộc vào supΩ f f n C ,1 ( Ω ) ( f (y) 1n f (x) 1n − f (x) 1n ) ( 3.12 ) Bây kết hợp (3.12) (3.11) Muốn làm ta cần viết đạo hàm riêng bậc hai uij theo uξξ Đây lúc mà ta cần dùng đến Bổ đề 3.11 Các giá trị riêng aij nằm đoạn λ , Λ  với < λ < Λ Theo Bổ đề 3.11 ta tìm vector đơn vị ξ1 ,ξ N cho = aij ( x ) N ⊗ , ∑ β ( x ) xx j =1 j j j với λ * ≤ β j ( x ) ≤ Λ* với x ∈ Ω′ Ta chọn ξ j cho vector chứa vector trục tọa độ trực chuẩn  n Từ ta viết (3.12) dạng ∑ β ( y ) (u ( y ) − u ( x )) ≤ C N xxxx j j j j j j =1 x − y , x , y ∈ Ω′ Đặt = M k ,r : sup uξ ξ = uξ ξ = ; mk ,r : inf ; η (r ) B Br k k r k k N ∑( M k =1 k ,r − mk ,r ) Do (ξ j ) chứa vector trục tọa độ nên ta chứng minh (3.13) 70 η ( r ) ≤ C4 r α , ta có ∆u  α ( Ω′ ) (3.14) ≤ C Nếu làm đến ta áp dụng Định lý 6.1 để  (6.7) ta cần chứng minh kết thúc chứng minh Để thiết lập đánh giá Holder η ( r ) ≤ bη ( 4r ) + r , ∀r ∈ ( 0, r0 ) , (3.15) với b ∈ ( 0,1) r0 > cố định Cố định k , áp dụng (3.11) cho ξ1 ,ξ k −1 ,ξ k +1 ,ξ N cộng tất lại, ta ( ) ( ) r −2 n ∫B ∑ M j ,4 r − uξ ξ ≤ C2 η ( 4r ) − η ( r ) + r j≠k r j j (3.16) Áp dụng (3.13) cho x ∈ B4r , y ∈ Br ta ( ) ( β k ( y ) uxxxxxxxx ( y ) − u ( x ) ≤ C3 x − y + ∑ β j ( y ) u ( x ) − u ( y ) k k k k ( j≠k j j j ) ≤ C5r + Λ* ∑ M j ,4 r − uxx ( y ) j≠k j j Vì với y ∈ Br ta có uξ ξ ( y ) − mk ,4 r ≤ k k ( ) 1  C5r + Λ* ∑ M j ,4 r − uξ ξ ( y )  *  λ  j≠k  j j Lấy tích phân Br áp dụng (3.16) ta ( ) ( ) r −2 n ∫B ∑ uξ ξ − mk ,4 r ≤ C6 η ( 4r ) − η ( r ) + r j≠k r k k Lấy tổng theo k ta N ( ) ( ) r −2 n ∫B ∑ uξ ξ − mk ,4 r ≤ N C6 η ( 4r ) − η ( r ) + r r k =1 k k Áp dụng (3.11) cho ξ1 ,ξ N cộng tất lại, ta N ( ) ( ) r −2 n ∫B ∑ mk ,4 r − uξ ξ ≤ C2 η ( 4r ) − η ( r ) + r r k =1 k k j ) 71 ( ) Cộng hai đánh giá ta η ( r ) ≤ C7 η ( 4r ) − η ( r ) + r , từ ta có (3.15) kết thúc chứng minh  72 Kết luận Như luận văn trình bày đầy đủ, chi tiết chứng minh tồn nghiệm phương tr ình Monge-Ampère phức đa tạp Kahler compact Đánh giá  trình bày Chương 3.1.1 làm mạnh nhiều nhờ vào phương pháp đa vị Ko łodziej [17] Đánh giá  chương 3.2 có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu phương trình Monge-Ampère đa tạp khơng trơn (xem[18], [5], [10]) Cuối cố gắng việc trình bày nội dung việc soạn thảo sai sót khơng thể tránh khỏi, tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn độc để luận văn tốt hoàn thiện 73 Tài liệu tham khảo Robert A Adams, John J F Fournier (2003), Sobolev spaces Second edition Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), 140 Elsevier/Academic Press, Amsterdam, xiv+305 pp Thierry Aubin (1970), Métriques Riemanniennes et courbure J Diff Geom , 383–424 Thierry Aubin (1978), Équation du type Monge-Ampốre sur les variộtộs Kahlộriennes compactes,ă Bull Sci Math 102 , 63–95 Thierry Aubin (1998), Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry Springer Monographs in Mathematics , 398 pp Robert J Berman, Sébastien Boucksom, Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj, Ahmed Zeriahi, Kahler-Einstein metrics and the Kă ahler-Ricci flow on log Fanoă varieties Preprint arXiv:1111.7158 Zbigniew B ocki (2012), The Calabi-Yau theorem Complex Monge-Ampère equations and geodesics in the space of Kahler metricsă , 201227, Lecture Notes in Math., 2038, Springer, Heidelberg Robert L Bryant, S.-S Chern’s study of almost-complex structures on the sixsphere arXiv:1405.3405 Eugenio Calabi (1955), On Kahler manifolds with vanishing canonical class.ă Algebraic Geometry and Topology, A Symposium in Honor of Lefschetz Princeton Univ.Press , 78–89 Jean-Pierre Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry Available on Demailly’s webpage.61 10 Eleonora Di Nezza, Chinh H Lu, Complex Monge–Ampère equations on quasiprojective varieties Journal fur die reine und angewandte Mathematikă 11 Simon K Donaldson, Lecture notes for TCC course Geometric Analysis 74 Available on Donaldson’s webpage 12 Lawrence Craig Evans (1982), Classical solutions of fully nonlinear, convex, second order elliptic equations Comm Pure Appl Math 25 , 333–363 13 Lawrence Craig Evans (1983), Classical solutions of the Hamilton–Jacobi– Bellman equation for uniformly elliptic operators 275 , 245–255 14 David Gilbarg, Neil Sidney Trudinger (1998, 2001), Elliptic partial differential equations of second order Classics in Mathematics Springer-Verlag, Berlin 15 Phillip Griffiths, Joseph Harris (1978), Principles of algebraic geometry Pure and Applied Mathematics Wiley-Interscience, New York 16 Emmanuel Hebey (1996), Sobolev spaces on Riemannian manifolds Lecture Notes in Mathematics, 1635 Springer-Verlag, Berlin, x+116 pp 17 S ławomir Ko łodziej (1998), The complex Monge-Ampère equation, Acta Math 180 69–117 18 Mihai Păun (2008), Regularity properties of the degenerate Monge-Ampốre equations on compact Kahler manifolds.ă Chin Ann Math Ser B 29 , no 6, 623–630 19 Yum-Tong Siu (1987), Lectures on Hermitian-Einstein metrics for stable bundles and Kahler-Einstein metricsă Birkhauser Verlag.ă 20 Gỏbor Szộkelyhidi (2014), An introduction to extremal Kahler metrics.ă Graduate Studies in Mathematics, 152 American Mathematical Society, Providence, RI, xvi+192 pp 21 Gang Tian (2000), Canonical metrics in Kahler geometry.ă Lectures in Mathematics ETH Zurich Birkhă auser Springer Verlag, Basel.ă 22 Neil Sidney Trudinger (1983), Fully nonlinear, uniformly elliptic equations under natural structure conditions Trans Amer Math Soc 278 , 751–769 23 Shing-Tung Yau (1978), On the Ricci curvature of a compact Kahler manifoldă and the complex Monge-Ampère equation I Comm Pure Appl Math 31 , no 3, 339–411 ... Calabi [8] đưa tốn hình học túy tốn giải phương trình Monge- Ampère phức, phương trình vi phân elliptic phi tuyến bậc hai Để giải phương trình này, Calabi đề xuất phương pháp liên tục, thiết lập... trình Monge- Ampère phức Trong luận văn này, tác giả trình bày lời giải giả thuyết Calabi hướng tiếp cận nhất, đơn giản nhiều so với chứng minh Yau Cụ thể hơn, đánh giá  sử dụng phương pháp lặp... tuyến tính elliptic Chương trình bày giả thuyết Calabi phương pháp liên tục để giải phương trình MongeAmpère, qua rút gọn tốn đánh giá tiền nghiệm  2,α trình bày Chương Luận văn hoàn thành hướng