Đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm và các ứng dụng của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nơng Thị Thùy Nga ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nơng Thị Thùy Nga ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, người thầy kính u nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn, tơi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu cần thiết để tơi nâng cao trình độ chun mơn, phương pháp làm việc hiệu trình học tập giảng dạy Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin Phịng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Thư viện trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập hồn thành luận văn trường Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÍ HIỆU Chương CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Mối liên hệ hệ bất phương trình vi phân hàm nghiệm tốn biên tuyến tính Chương ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 30 2.1 Giới thiệu toán 30 2.2 Bổ đề bất đẳng thức tích phân vi phân 31 2.3 Đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm 34 Chương ỨNG DỤNG CỦA VIỆC ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 40 3.1 Giới thiệu toán 40 3.2 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.1), (3.3) 42 3.3 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.2), (3.3) 51 3.3.1 Định lý bị chặn nghiệm không mở rộng 51 3.3.2 Định lý bị chặn nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm tổng quát 61 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương trình vi phân hàm xuất từ kỉ XVIII công cụ tốn học cho tốn vật lí hình học Tuy nhiên, cuối kỉ XIX chúng biết đến áp dụng cụ thể chưa có nghiên cứu cách hệ thống chúng Đầu kỉ XX, quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt ứng dụng khí, sinh học kinh tế Ở thời điểm đó, nhà toán học theo hướng nghiên cứu xây dựng nên lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm lý thuyết tồn ngày Vào thập niên 1970, phát kiến lớn việc xây dựng lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm đề xuất tảng cho kết hệ phương trình vi phân đối số chậm Tuy nhiên, cịn nhiều khó khăn việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình vi phân hàm trường hợp tuyến tính Trong năm gần nỗ lực nghiên cứu thành cơng trường hợp số tốn biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt cơng trình tác giả Ivan Kiguradze, Bedrich Puza Zaza Sokhadze, điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải giải lớp rộng toán biên cho phương trình vi phân hàm phát Một phương pháp việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân hàm đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm, hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch kỹ thuật bất đẳng thức đạo hàm Tôi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng 2 Mục đích đề tài Nghiên cứu, đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân lý thuyết toán biên Trên sở đánh giá đó, ta xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được, tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Đối tượng nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày lại kết nghiên cứu Ivan Kiguradze, Bedrich Puza Zaza Sokhadze, cụ thể là: Chương trình bày lại phần kết tài liệu [12], đưa định lý hệ bất phương trình vi phân hàm:  dy ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( y )( t ) − q ( t )  ≤ 0; l ( y ) ≤ c  dt   dz ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( z )( t ) − q ( t )  ≥ 0; l ( z ) ≥ c  dt  dy ( t ) − p0 ( y )( t ) ≤ p ( y )( t ) dt l0 ( y ) ≤ l ( y ) Cùng với toán biên tuyến tính: dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt l ( x) = c 1, , n ) hàm đo Trong đó: I = [a,b], c ∈  n , q ∈ L ( I ,  n ) , σ i : I →  ( i = cho σ i ( t ) ∈ {−1;1= } ( i 1, , n ) ∀t ∈ I , l , l0 : C ( I ,  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, l diag (σ , , σ n ) p tốn tử tuyến tính dương, p, p0 : C ( I ,  n ) → L ( I ,  n ) toán tử tuyến tính bị chặn mạnh Ta đưa mối liên hệ hệ bất phương trình nghiệm tốn biên tuyến tính Chương trình bày kết báo [11], nói việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân lý thuyết toán biên: n σ i u 'i (t ) ≤ pi (t )ui (t ) + ∑ pik (t ) uk k =1 C(I ) + qi (t ) (i = 1, , n) Trong đó, I = [a,b], a, b ∈  , σ i ∈ {−1,1} pi ∈ Lloc ( I ), pik ∈ Lloc ( I ), qi ∈ Lloc ( I ); pi (t ) ≤ 0, pik (t ) ≥ 0, qi (t ) ≥ 0, ∀t ∈ I (i, k =1, , n)  Ta đánh giá nghiệm không âm ( ui )in=1 hệ với ui ∈ C loc ( I ) ∩ C ( I ) Chương trình bày kết báo [11], chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được, tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm phi tuyến: x 'i (t ) + gi (t , x1 (t i1 (t )), , xn (t in (t ))) xi ( t ) = fi (t , x1 (t i1 (t )), , xn (t in (t ))) ( i = 1, , n ) x 'i (t ) + g= fi (t , x1 (t i1 (t )), ,= xn (t in (t ))) ( i 1, , n ) i (t ) xi (t i (t )) x (t ) c (t ), t < a = i Và toán Cauchy:  i x ( a ) = c 0i  i (i = 1, , n) Trong đó, a ∈  + , ci ∈ C (−∞, a), c0i ∈ ; gi :  + ×  n →  + , fi :  + ×  n →  (i = 1, , n) hàm thỏa điều kiện Carathéodory địa phương; g 0i ∈ Lloc ( + ), g 0i ≥ 0, ∀t ∈  + (i = 1, , n) ; ττ 1, , n) hàm đo khoảng hữu hạn cho i , ik :  + → , (i , k = t i (t ) ≤ t ,t ik (t ) ≤ t , ∀t ∈  + 4 Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kết tính chất nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm với điều kiện biên khác Ứng dụng đánh giá tiên nghiệm bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định, tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch Ngồi ra, tìm hiểu tài liệu liên quan đến vấn đề quan tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh nghiên cứu hệ bất phương trình vi phân hàm lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân đối số chậm để ứng dụng vào vật lý, sinh học, kinh tế… Nội dung luận văn Luận văn gồm ba chương: Chương Các định lý hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta đánh giá nghiệm tốn biên tuyến tính thơng qua kết hệ bất phương trình vi phân hàm Chương Đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta xét tính giải bất phương trình n σ i u 'i (t ) ≤ pi (t )ui (t ) + ∑ pik (t ) uk k =1 C(I ) 1, , n) + qi (t ) (i = đánh giá nghiệm Chương Ứng dụng việc đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Ứng dụng việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm MỘT SỐ KÍ HIỆU •  = ( −∞, +∞ ) ;  + = [ 0, +∞ ) 1 i = k kí hiệu Kronecker’s 0 i ≠ k • δ ik =  1 t ∈ I 0 t ∉ I • χI (t ) =  n • x = ( xi )in=1 vectơ cột n chiều, x = ∑ xi i =1 n ; x ≤ y ⇔ y - x ∈ n+ • x, y ∈ yy • 1, , n ) với X = ( xik )i ,k =1 ma trận cấp n × n với phần tử xik ∈  ( i, k = n n chuẩn X = ∑ xik i , k =1 • X −1 ma trận nghịch đảo ma trận X • r(X) bán kính phổ ma trận X • E ma trận đơn vị • Θ ma trận khơng • mes độ đo Lebesgue X ( t ) : t ∈ I } ( ess sup { xik ( t ) : t ∈ I }) • ess sup {= i , k =1 n • C(I) không gian hàm liên tục bị chặn x : I →  với chuẩn { } { } = x C ( I ) sup x ( t ) : t ∈ I = = x • x C max x ( t ) : t ∈ I Nếu n ( xi )i =1 ∈ C ( I ;  n ) x C = ( xi ) n C i =1 • Cloc ( I ) không gian hàm x : I →  liên tục tuyệt đối tập compắc I • L ( I ) không gian hàm x : I →  khả tích Lebesgue • Lloc ( I ) khơng gian hàm x : I →  khả tích Lebesgue tập compắc I Chương CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 1.1 Giới thiệu toán Xét toán biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt (1.1) l ( x) = c (1.2) Đồng thời ta xét hệ bất phương trình vi phân hàm tuyến tính  dy ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( y )( t ) − q ( t )  ≤  dt  (1.3) l ( y) ≤ c (1.4)  dz ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( z )( t ) − q ( t )  ≥  dt  (1.5) l ( z) ≥ c (1.6) 1, , n ) hàm đo Trong đó: I = [a,b], c ∈  n , q ∈ L ( I ,  n ) , σ i : I →  ( i = cho σ i ( t ) ∈ {−1;1= } ( i 1, , n ) ∀t ∈ I , l : C ( I ,  n ) →  n toán tử tuyến tính bị chặn, p : C ( I , n ) → L ( I , n ) tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh Cùng với toán (1.1), (1.2), ta xét toán dx ( t ) = p ( x )( t ) dt (1.1 ) l ( x) = (1.2 ) Định nghĩa 1.1 Tốn tử tuyến tính p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) gọi bị chặn mạnh tồn ma trận hàm khả tích η : I →  + cho p ( x )( t ) ≤ η ( t ) x C , ∀t ∈ I, x ∈ C ( I ;  n ) 58  t  ≤ ∑  ∫ ( gik ( s ) + d ik g 0i ( s ) ) ds  xk   k =1  t ( t )  n n C(I ) + n + ∑ ( ik + δ ik ) ρ1 + ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a ))  ii +  oi = k 1= k n  t  ≤ ∑  ∫ ( gik ( s ) + d ik g 0i ( s ) ) ds  xk   k =1  t ( t )  ( n C(I ) + ) + ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a ))  ii + ρ1 +  oi k =1 Ta có bất đẳng thức sau n xi (t ) ′ ≤ − g 0i (t ) xi (t ) + g 0i (t ) xi (t ) − xi (t (t )) + ∑ gik (t ) xk (t aik (t )) + q0i (t ) i =1 Xảy hầu khắp nơi I Thật vậy: Từ (3.51) ta có χ a (t i ( t ) ) = , suy đẳng thức sau xi′(t ) = ( xi′(t ) + χ a (t i (t )) g0i (t ) xi (t (t )) ) − g0i (t ) xi (t ) + g0i (t ) ( xi (t ) − xi (t (t )) ) xảy hầu khắp nơi I Từ bất đẳng thức (3.57) suy xi (t ) ′ = xi′(t )s i gn xi (t ) = ( xi′(t ) + χ a (t i (t )) g0i (t ) xi (t (t )) ) s i gn xi (t ) − g0i (t ) xi (t )s i gn xi (t ) + + g 0i (t ) ( xi (t ) − xi (t (t )) ) s i gn xi (t ) ≤ xi′(t ) + χ a (t i (t )) g 0i (t ) xi (t (t )) − g 0i (t ) xi (t ) + g 0i (t ) xi (t ) − xi (t (t )) n ≤ − g 0i (t ) xi (t ) + g 0i (t ) xi (t ) − xi (t (t )) + ∑ gik (t ) xk (t aik (t )) + q0i (t ) k =1 Đặt ui (t ) = xi (t ) với t ∈ I ( i = 1, , n ) Từ (3.47), (3.59) (3.63) ta có ui′(t ) = n  t  xi (t ) ′ ≤ − g 0i (t ) xi (t ) + ∑ g 0i (t )  ∫ ( gik ( s ) + d ik g k ( s ) ) ds  xk  t (t )  k =1   ( ) C(I ) +  n  n + g 0i (t )  ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a ))  ii + ρ1 +  oi  + ∑ gik (t ) xk (t aik (t )) + q0i (t ) =  k 1=  k 59 t   ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  gik (t ) + g 0i (t ) ∫ ( gik ( s ) + d ik g k ( s ) ) ds  xk   k =1  t ( t )  n C(I ) + ) (  n  + g 0i (t )  ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a ))  ii + ρ1 +  oi  +  k =1   n  + g 0i (t )  ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a ))  + f 0i (t )  k =1  t n   ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  gik (t ) + g 0i (t ) ∫ ( gik ( s ) + d ik g k ( s ) ) ds  xk   k =1  t ( t )  C(I ) + ) (  n  +  ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ , a )) ( ii + 1) + ρ1 +  oi  g 0i (t ) + f 0i (t )  k =1  n ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  ik g 0i (t ) uk k =1 C(I ) + ) (  n  +  ∑ ( ik + δ ik ) ck C (( −∞ ,a )) ( ii + 1) + ρ1 +  oi  g 0i (t ) + f 0i (t )  k =1  n ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  ik g 0i (t ) uk k =1 C( I )  n  +  ∑ ( ik + δ ik ) ( ρ1 + ρ1 ) +  oi  g 0i (t ) + f 0i (t )  k =1  (do ck n C ( −∞ , a ) ≤ l ; lii + ≤ ρ ≤ ρ1 )  n  +  2∑ ( ik + δ ik ) ρ1 +  oi  g 0i (t ) + f 0i (t ) C(I ) 1=  k  ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  ik g 0i (t ) uk = k  n   k =1  Đặt qi (t )=  2∑ ( ik + δ ik ) ρ1 +  oi  g 0i (t ) + f 0i (t ) ( i = 1, , n ) (3.64) Vậy ( ui )in=1 nghiệm hệ bất phương trình n ui′(t ) ≤ − g 0i (t )ui (t ) + ∑  ik g 0i (t ) uk k =1 t  t   s  t b 0 C(I ) + qi (t ) ( i = 1, , n )  t   s      ik  ∫ exp  − ∫ g 0i ( x)dx  g 0i ( s )ds  ≤  ik Ta có hik (t ) = ∫ exp  −∫ g0i ( x)dx   ik g0i (s)ds = b0  t  exp ∫b  −∫s g0i ( x)dx  qi (s)ds t = hi (t ) 60  t   t   ∑ ui (b0 ) + ∑ max  ∫ exp  − ∫ g 0i ( x)dx  qi ( s )ds : b0 ≤ t ≤ b  Đặt= =i =i b0  s   n n * ( u = ui C(I ) ) n i =1 ( , u0 = ( ui (b0 ) )in=1 , h = hi C(I ) ) n i =1 ( , H = hik C(I ) ) n i =1 Theo chứng minh định lí 2.5 ta có u ≤ Hu + u0 + h ≤ Lu + u0 + h Suy u ≤ ( E − L) −1 (u +h ) Do ta có đánh giá n n u ∑ x= ( ) ∑ i C I =i =i i C(I ) ≤ ( E − L) −1 * (3.65) Mặt khác, theo (3.49), (3.56), (3.61) (3.64) ta có t n  t    + u ( b ) max exp ∫  − ∫ g 0i ( x)dx  qi ( s )ds : b0 ≤ t ≤ b  ≤ ∑ ∑ i =i =i b0  s   n = *  t   t  ≤ ∑ ui (b0 ) + ∑ max  ∫ exp  − ∫ g 0i ( x)dx  g 0i ( s )ds : b0 ≤ t ≤ b  × =i =i b0  s   n n  t   t   n  n ×  2∑ ( ik + δ ik ) ρ1 +  oi  + ∑ max  ∫ exp  − ∫ g 0i ( x)dx  f 0i ( s )ds : b0 ≤ t ≤ b   k =1  i =1 b0  s   n  n  n ≤ nρ1 + ∑  2∑ ( ik + δ ik ) ρ1 +  oi  + ∑  oi =i =  k =i n  n    + + δ ρ ( ) ∑ ∑ ik ik  2∑ ( ik + δ ik ) ρ1 + 2 oi  = =i = i,k  k  ≤ n n  n    + + δ ρ ( ) ∑ ∑ ik ik  ∑ ( ik + δ ik ) ( ρ1 + 2 oi )  = =i = i,k k  ≤ n n  2 ≤ ρ0 ≤ ρ1       l l + d ρ + + d ρ + ρ ⇒ ≤ ρ ( ) ( )(2 )   ∑ ik ik i∑ 1 0i  ik ik ,k = i ,k =  l0i ≤ l  ≤ n n = ∑ ( ik + δ ik ) ρ1 i , k =1 61 Từ đánh giá trên, với (3.55), (3.60) (3.65) suy n ( n ∑ xi C ([a, b]) ≤ ∑ xi C ([a, b0 ]) + xi =i =i n ∑x = C(I ) ) n + ∑ xi i C ([ a , b0 ]) =i =i  −1 ≤  nρ1 + ( E − L )   −1 = n + ( E − L )  C(I ) n ∑ ( i , k =1 n ∑ ( i , k =1 ik ik  + δ ik ) ρ1    + δ ik )  ρ1  = ρ Vậy đánh giá (3.14) thỏa mãn Định lí chứng minh.□ 3.3.2 Định lý bị chặn nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm tổng quát Xét hệ phương trình vi phân: x 'i (t ) + g 0i (t ) xi (t i (t )) ( ) fi t , x1 (t i11 (t ), ,= x1 (t i1m ( t ) ) , , xn (t in1 (t )), , xn (t inm ( t ) ) ( i 1, , n ) (3.66) Trong đó, fi :  + ×  mn →  hàm thỏa điều kiện Carathéodory địa phương, g 0i ∈ Lloc (  + ) hàm không âm, ττ i :  + → , ikj :  + →  hàm đo 1, , = n; j 1, , m ) khoảng hữu hạn cho t i ( t ) ≤ t ,t ikj ( t ) ≤ t; ∀t ∈ = + ( i, k Định lý 3.12 Giả sử tồn số không âm lik hàm không âm gikj ∈ L ([ a, +∞ ) ) , f 0i ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ) cho n m f ( t , x11 , , x1m , , xn1 , , xnm ) ≤ ∑∑ gikj ( t ) xkj + f 0i ( t ) [ a, +∞ ) ×  mn k =j =  m  + g s d g s ( ) ( )   ds ≤ lik g 0i ( t ) [ a, +∞ ) ∑ ikj ik k ∫ =j = j  t ( t )  m ∑ gikj ( t ) + g0i ( t ) t Hơn nữa, điều kiện (3.9), (3.48), (3.49) thỏa mãn Khi đó, nghiệm khơng mở rộng toán (3.66), (3.3) xác định [ a, +∞ ) , bị chặn, thỏa 62 (3.50), ρ số dương phụ thuộc vào g 0i , gikj , lik = = n; j 1, , m ) ( i, k 1, , Định lý chứng minh tương tự định lý 3.11 Hệ 3.13 Giả sử tồn số không âm lik , γ hàm không âm g , gik , fi ∈ Lloc ([ a, +∞ ) ) ( i, k = 1, , n ) thỏa (3.46) [ a, +∞ ) ×  n t − t i ( t ) ≤ γ , t − t ik ( t ) ≤ γ ( i, k = 1, , n ) (3.67) g 0i ( t ) ≥ g ( t ) ( i = 1, , n ) (3.68) t  t   t  sup  ∫ exp  − ∫ g 0i ( x)dx  f0i ( s )ds + ∫ f0i ( s )ds : t ≥ a  < +∞ ( i = 1, , n ) t ( t )   s   (3.69) t  Trong f0i ( t ) exp = =  ∫ g ( s ) ds  f 0i ( t ) ( i 1, , n ) a  (3.70) Các điều kiện (3.9), (3.22), (3.47) thỏa mãn Khi đó, nghiệm khơng mở rộng tốn (3.2), (3.3) xác định [ a, +∞ ) thỏa (3.8) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử lik > ( i, k = 1, , n ) t +g ∫ g ( s ) ds ≤ 1, t ≥ a (3.71) t Do (3.9), tồn η > cho (3.40) thỏa mãn Chọn ε > cho eee ik =(1 + ) exp ( ) + e lik < η ( i, k =1, , n ) (3.72) Từ (3.67), ta có b0 = a + γ > a cho t i ( t ) ≥ t − γ > a, ∀t > a + γ =b0 1, , n ) Suy lim inf t i (t ) > a ( i = t →+∞ Giả sử ( xi )in=1 nghiệm không mở rộng toán (3.2), (3.3) Ta xây dựng hàm ( yi )in=1 : I → y n định 63 t < a  yi ( t )  xi ( t ) =  ( i = 1, , n )  t  − ≥ e g x dx y t t a exp ( ) ( )   i  ∫  a   (3.73) y 'i (t= ) + g 0i (t ) yi (t i ( t ) ) fi (t , yi ( t ) , y1 (t i1 (= t ), , yn (t in (t ))) ( i 1, , n ) (3.74) Xét toán: yi (t ) ci (t ), t < a = (i = 1, , n)   yi (a ) = c0i Trong  t  g 0i ( t ) = exp  e ∫ g ( s ) ds  g 0i ( t )  t (t )     t  fi ( t , x, x1= g ( t ) x + exp  ∫ g ( s ) ds  fi ( t , ζ i1 ( t ) x1 , , ζ in ( t ) xn ) , , xn ) ee  a  (3.75) (3.76) Trong  t aik (t )  exp  −e ∫ g ( s ) ds  ( i, k = 1, , n ) ζ ik ( t ) =   a   (3.77) Theo (3.46), (3.70), (3.76), (3.77) ta có  t  + fi ( t , x, x= x ee g t x , , exp ) ( )  ∫ g ( s ) ds  fi ( t , ζ i1 ( t ) x1 , , ζ in ( t ) xn ) n  a   t  n  t  ≤ ee g ( t ) x + exp  ∫ g ( s ) ds  ∑ gik ( t ) ζ ik ( t ) xk + exp  e ∫ g ( s ) ds  f 0i ( t )  a  k =1  a  n  t   t  ≤ eee g ( t ) x + ∑ exp  ∫ g ( s ) ds  gik ( t ) xk + exp  ∫ g ( s ) ds  f 0i ( t ) k =1  a   a  n ≤ ε g ( t ) x + ∑ g ik ( t ) xk + f0i ( t ) (3.78) k =1 Trong  t  g ik ( t ) = exp  e ∫ g ( s ) ds  gik ( t )  t (t )   aik  Mặc khác, từ (3.68), (3.75) ta có g 0i ( t ) ≥ g 0i ( t ) ≥ g ( t ) (3.79) (3.80) 64 t ( t ) +g t Từ (3.67), (3.71) ta có ∫ t ( t ) ∫ t ( t ) t aik ( t ) +g t ∫ g ( s ) ds ≤ t aik ( t ) g ( s ) ds ≤ ∫ t aik ( t ) g ( s ) ds ≤1 ; g ( s ) ds ≤1 với t ∈ [ a, +∞ ) Vì vậy, từ (3.75), (3.79) ta có g 0i ( t ) ≤ exp ( e ) g 0i ( t ) , g ik ( t ) ≤ exp ( e ) gik ( t ) ; t ≥ a Do đó, với (3.47), (3.72), (3.80) ta có g ik ( t ) + εd ik g ( t ) + g 0i ( t ) t g (s) + ∫ ( g ( s ) + εdd ik t ( t ) ik ik g k ( s ) ) ds t ≤ exp ( eeeeded ) gik ( t ) + g 0i ( t ) + g 0i ( t ) ∫ ( exp ( ) gik ( s ) + ik g0 k ( s ) + exp ( ) ik g0 k ( s ) ) ds t ( t ) ≤ exp ( ee ) gik ( t ) + g 0i ( t ) + g 0i ( t ) t ∫ t (t ) ) ( gik ( s ) + ik g0 k ( s ) ) + exp ( ) ik g0 k ( s ) + exp ( ) gik ( s ) ds exp ( edeedee t ≤ exp ( eeedeed ) gik ( t ) + g 0i ( t ) + g 0i ( t ) ∫ exp ( ) ( gik ( s ) + ik g0 k ( s ) ) + exp ( ) ( ik g0 k ( s ) + gik ( s ) ) ds t ( t ) t ≤ exp ( eeeed ) gik ( t ) + g 0i ( t ) + (1 + ) exp ( ) g 0i ( t ) ∫ ( gik ( s ) + ik g0 k ( s ) ) ds t ( t )  t   g 0i ( t ) + (1 + ) exp ( ) exp  ∫ g ( s ) ds  gik ( t ) ≤ eeee  t (t )    t  t  + (1 + eeed ) exp ( ) exp  ∫ g0 ( s ) ds  g0i ( t ) ∫ ( gik ( s ) + ik g0 k ( s ) ) ds t ( t )  t (t )  t  t    g 0i ( t ) + (1 + ) exp ( ) exp  ∫ g ( s ) ds   gik ( t ) + ∫ ( gik ( s ) + ik g k ( s ) ) ds  ≤ eeeed  t (t )   t ( t )    t  g 0i ( t ) + (1 + ) exp ( ) exp  ∫ g ( s ) ds  lik g 0i ( t ) ≤ eeee  t (t )    ≤ e lik g 0i ( t ) + (1 + ee ) exp ( ) lik g 0i ( t ) lik ≤ ε ik lik g 0i ( t ) 65 ≤ η lik g 0i ( t ) (3.81) Theo định lý 3.12, với nghiệm không mở rộng ( yi )in=1 toán (3.74), (3.25) xác định [ a, +∞ ) bị chặn Dễ thấy ( yi ( t ) )i =1 , t ≥ a xác định (3.73) thỏa mãn toán (3.74), (3.25) n [ a, +∞ ) Mặc khác, nghiệm không mở rộng ( xi )in=1 toán (3.2), (3.3) biểu diễn qua (3.73) nên xác định [ a, +∞ ) Do điều kiện (3.22) ( yi )in=1 bị chặn nên (3.8) thỏa.□ Hệ 3.14 Giả sử tồn số lik ≥ hàm không âm gik ∈ Lloc (  + ) ( i, k = 1, , n ) cho  + × n n , (3.47) thỏa mãn fi ( t , x1 , , xn ) ≤ ∑ gik ( t ) xk 1, , n ) ( i, k = (3.82) k =1 inf t i (t ) > ( i = 1, , n ) điều kiện (3.9) thỏa mãn Hơn lim t →+∞ Khi đó, nghiệm tầm thường hệ (3.2) ổn định Việc chứng minh hệ tương tự chứng minh hệ 3.8, trường hợp ta áp dụng định lý 3.11 Hệ 3.15 Giả sử tồn số lik ≥ hàm không âm gik ∈ Lloc (  + ) ( i, k = 1, , n ) cho  + × n (3.47), (3.67), (3.82) thỏa mãn Hơn nữa, (3.9) = = (3.35) thỏa mãn, g ( t ) {g0i ( t ) : t 1, , n} Khi đó, nghiệm tầm thường hệ (3.2) ổn định tiệm cận Theo hệ 3.14, nghiệm tầm thường hệ (3.2) ổn định Theo hệ 3.13, nghiệm không mở rộng toán (3.2), (3.3) xác định [ a, +∞ ) thỏa (3.8) Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.16 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: 66 = xi′ ( t ) n pik ( t ) xk (t ik ( t ) ) ( i 1, , n ) ∑= (3.83) k =1 Trong đó, pik ∈ Lloc (  + ) ,τ ik :  + →  hàm đo khoảng hữu hạn cho t ik ( t ) ≤ t ( i, k = 1, , n ) t ii ( t ) t ii ( t ) ≥ = t 0i ( t ) = ( i 1, , n ) t ii ( t ) < 0 Giả sử hầu khắp nơi  + ta có pii ( t ) ≤ 0, t ∫ t 0i (t ) ( i = 1, , n ) pii ( s ) ds ≤ lii pik ( t ) + pii ( t ) t ∫ t i (t ) (3.84) pik ( s ) ds ≤ lik pii ( t ) ( i, k = 1, , n; i ≠ k ) (3.85) Trong đó, lik ( i, k = 1, , n ) số không âm thỏa (3.9) inf t ii (t ) > ( i = 1, , n ) Hơn nữa, lim t →+∞ Khi đó, hệ (3.83) ổn định Chứng minh Từ (3.83) suy xi′ ( t ) − pii ( t ) xi (t ii= (t )) n )) (i ∑ p ( t ) x (t ( t= k =1 k ≠i ik k ik 1, , n ) Đặt  p ( t ) i ≠ k gik ( t )  ik = i = k 0 g oi ( t ) = pii ( t ) = − pii ( t ) ( t ∈  + ; i, k = 1, ,n ) hầu khắp nơi  + ( i = 1, , n ) n 1, , n ) fi ( t , x1 , , xn ) = ∑ pik ( t ) xk với ( t , x1 , , xn ) ∈  + ×  n ( i, k = k =1 k ≠i Khi đó, hệ phương trình trở thành ( ) xi′ ( t ) + g= fi t , x1 (t i1 ( t ) ) , ,= xn (t in ( t ) ) ( i 1, , n ) i ( t ) xi (t ii ( t ) ) (3.83’) 67 Trên  + ×  n ta có bất đẳng thức n n fi ( t , x1 , , xn ) ≤ ∑ pik ( t ) xk = ∑ gik ( t ) xk = k 1= k k ≠i Suy điều kiện (3.82) hệ 3.14 thỏa mãn Từ (3.84) ta có t ∫ (0 + d + pii ( t ) t i (t ) ii ) pii ( s ) ds ≤ lii pii ( t ) Suy gii ( t ) + g 0i ( t ) t ∫ ( g (s) + d t i (t ) ii ii g 0i ( s ) ) ds ≤ lii g 0i ( t ) ik g 0i ( s ) ) ds ≤ lik g 0i ( t ) Từ (3.85) suy gik ( t ) + g 0i ( t ) t ∫ ( g (s) + d t 0i (t ) ik Từ đó, điều kiện (3.47) thỏa mãn  + ×  n Theo hệ 3.14, nghiệm tầm thường hệ (3.83’) ổn định hay nghiệm tầm thường hệ (3.83) ổn định Suy hệ (3.83) ổn định đều.□ Ví dụ 3.17 Giả sử hầu khắp nơi  + ta có (3.84), (3.85) thỏa mãn, lik ( i, k = 1, , n ) số không âm thỏa (3.9) Hơn vrai max {t − t ik ( t ) : t ∈  + } < +∞; +∞ ∫ p ( t ) dt = +∞ ( i, k = 1, , n ) = = Trong p ( t ) { pii ( t ) : i 1, , n} Khi đó, hệ (3.83) ổn định tiệm cận Chứng minh Dễ thấy điều kiện (3.82) hệ 3.15 thỏa mãn  + ×  n Từ (3.84), (3.85) suy (3.47) thỏa mãn vrai max {t − t ik : t ∈  + } < +∞ ( i, k = 1, , n ) suy tồn số γ > cho t − t ii ≤ γ ; t − t ik ≤ γ h.k.n  + ( i, k = 1, , n ) 68 Do điều kiện (3.67) thỏa mãn Đặt g ( t ) =p ( t ) ⇒ g ( t ) =min { g 0i ( t ) : i =1, , n} +∞ Do ∫ p ( t ) dt = +∞ +∞ nên ∫ g ( t ) dt = +∞ Điều kiện (3.34) thỏa mãn Theo hệ 3.15, nghiệm tầm thường hệ (3.83’) ổn định tiệm cận hay nghiệm tầm thường hệ (3.83) ổn định Suy hệ (3.83) ổn định tiệm cận □ 69 KẾT LUẬN Luận văn cố gắng trình bày cách hệ thống kết việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm ứng dụng kết để xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nội dung chương chủ yếu trình bày lại kết tài liệu [12], nói mối liên hệ hệ bất phương trình vi phân hàm (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), (1.21), (1.22) nghiệm toán biên tuyến tính (1.1), (1.2) Định lý 1.7 khẳng định tốn (1.14), (1.15) khơng có nghiệm khơng âm khác tầm thường Định lý 1.15 điều kiện để ( p, l ) ∈ M Iσ , ,σ n Chương 2: Trình bày lại kết báo [11] việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm (2.1) Trong định lý 2.5, nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm đánh giá [a, b] Nghiệm hệ đánh giá mở rộng lên trình bày định lý 2.6 định lý 2.7 Chương 3: Nội dung chương trình bày lại kết báo [11] việc xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm Định lý 3.6 hệ 3.7 trình bày đánh giá nghiệm khơng mở rộng tốn (3.1), (3.3) hệ 3.7 có thêm kết nghiệm triệt tiêu vơ Tính ổn định đều, ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường tốn (3.1), (3.3) trình bày hệ 3.8, hệ 3.9, hệ 3.10 Định lý 3.11 trình bày đánh giá nghiệm khơng mở rộng toán (3.2), (3.3) Định lý 3.12 mở rộng định lý 3.11 cách tổng quát Tính ổn định đều, ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường toán (3.2), (3.3) trình bày hệ 3.13, hệ 3.14, 70 hệ 3.15 Trong trình giải vấn đề trên, nhận thấy vấn đề tương tự cho bất phương trình vi phân hàm bậc hai kết cịn hay khơng? Các kết đánh giá chương chương có cịn ứng dụng vào đâu hay khơng? Nếu có điều kiện tơi xem xét giải vấn đề Vì hiểu biết thân cịn hạn hẹp nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý quý Thầy Hội đồng để luận văn hoàn thiện 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO N V Azbelev, V P Maksimov and L F Rakhmatullina, Introduction to the theory of functional equations (Russian) “Nauka”, Moscow, 1991 N V Azbelev, L M Berezanskii, P M Simono and A V Chistyakov, The stability of linear systems with aftereffect IV (Russian) Differential’nye Uravneniya 29(1993), No 2, 196-204; English transl.: Differential Equations 29(1993), No 2, 153-160 N V Azbelev and V V Malygina, On the stability of the trivial solution of non-linear equations with aftereffect (Russian) Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., 1994, No 6, 20-27; English transl.: Russian Math (Iz VUZ) 38(1994), No 6, 18-25 N V Azbelev, V V Malygina and P M Simonov, Stability of functional differential systems with aftereffect (Russian) Permskii gos Univ., Perm, 1994 Sh Gelashvili and I Kiguradze, On multi-point boundary value problems for systems of functional differential and difference equations Mem Differential Equations Math Phys 5(1995), 1-113 J Hale, Theory of functional differential equations Second edition Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1997 I Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Itogi Nauki Tekh., Ser Sovrem Probl Mat., Novejshie Dostizh 30(1987), 3-103; English transt.: J Sov Math 43(1988), No 2, 2259-2339 I Kiguradze, Initial and boundary value problems for systems of ordinary differential equations I (Russian) Metsniereba, Tbilisi, 1997 I Kiguradze and B Puza, Boundary value problems for systems of linear functional differential equations Masaryk University, Brno, 2003 72 10 N N Krasovskii, Certain problems in the theory of stability of motion (Russian) Gosudarstv Izdat Fiz.–Mat Lit., Moscow, 1959 11 Ivan Kiguradze and Zaza Sokhadze, A priori estimates of solutions of systems of functional differential inequalities and some of their applications Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Volume 41, 2007, 43-67 12 Ivan Kiguradze and Bedrich Puza, Boundary value problems for systems of linear functional differential equations 2003, ISBN 80-210-3106-9 ... dụng vi? ??c đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Ứng dụng vi? ??c đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số... Chương Các định lý hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta đánh giá nghiệm tốn biên tuyến tính thơng qua kết hệ bất phương trình vi phân hàm Chương Đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương. .. trình vi phân hàm 34 Chương ỨNG DỤNG CỦA VI? ??C ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 40 3.1 Giới thiệu toán 40 3.2 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân