Độ đo Monge-Ampére trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampére phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình Tác giả Tạ Quang Sỹ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Mai Châu, tỉnh Hoà Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Tạ Quang Sỹ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình MongeAmpère phức 27 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét phương trình Monge-Ampère phức (dd cu)n , độ đo Radon không âm (dd c )n toán tử Monge-Ampère phức Ta biết đặt khối lượng tập đa cực, nghiệm phương trình (dd cu)n nói chung không [13] Vì câu hỏi tồn nghiệm phương trình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều người Kết thuộc Lempert L [10] (1983) đạt trường hợp giá độ đo cho điểm đơn Lempert xét nghiệm với giá trị biên giải tích thực với kỳ dị logarit gần với giá độ đo Tiếp đó, Celic H I., Poletsky E A [7] (1997) nghiên cứu phương trình Monge-Ampère với độ đo Dirac A Zeriahi [13] (1997) chứng minh phương trình MongeAmpère phức giải giá trị biên liên tục Xing Y [12] (1999) tổng quát kết Zeriahi A trường hợp giá trị biên cho đồng Xing xét độ đo xác định tổng tổ hợp tuyến tính số đếm độ đo Dirac với giá compact độ đo Monge-Ampère qui biết Chúng ta xét lớp , lớp lớn hàm đa điều hoà không âm xác định miền siêu lồi Monge-Ampère phức xác định tốt lớp , mà toán tử Cegrell phát triển nghiên cứu công trình tảng [4] [5] Chúng ta chứng minh lớp lượng phương trình Monge-Ampère phức có nghiệm lớp độ đo kỳ dị rộng so với Zeriahi A Xing Y Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình Monge-Ampère phức" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère lớp lượng với phần kỳ dị lớn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Nghiên cứu số tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère - Nghiên cứu xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình MongeAmpère Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 40 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge- Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông n b u(a , hàm này, ta viết u u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hoà với b) điều hoà trùng :a thành phần tập hợp tập hợp mở X 1.1.2 Định nghĩa Cho a , b ( ) ( kí hiệu Trong trường hợp ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: 1.1.3 Mệnh đề Nếu u, v u ( ) u v hầu khắp nơi , v 1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) sup lim sup u(y ) y y , n n 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E gọi đa cực với điểm a E có lân cận V a hàm u E V z V : u(z ) (V ) cho 1.1.6 Hệ Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không 1.1.7 Định lý Cho (i) Họ u, v ( ) nón lồi, tức u u ( ) , (ii) Nếu v uj ( ) u lim u j j tập compact , u số không âm ( ) dãy giảm, j , u j (iii) Nếu u : , Khi ( ) liên thông (iv) Giả sử u n tập mở ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.8 Hệ Cho n tập mở khác rỗng Nếu u y , công thức xác định hàm đa điều hoà tập mở thực ( ), lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong \ y u(y ) với 1.1.9 Định lý Cho n tập mở (i) Cho u, v hàm đa điều hoà v lồi, v (u / v) đa điều hoà (ii) Cho u ( ), v Nếu : ( ), v : Nếu lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v : 0, 0, Định 1.1.10 F ( ), u z lý , v (u / v) Cho , v lồi (0) tập Nếu ( ) mở n : v(z ) tập đóng  v ( ) Nếu u ( \ F ) bị u(z ) (z lim sup u(y ) (z chặn trên, hàm u xác định u (z ) y z y F \ F) F) đa điều hoà Nếu u đa điều hoà bị chặn u đa điều hoà Nếu liên thông, n 1.1.11 Định nghĩa Một miền bị chặn tồn hàm đa điều hòa liên tục c z : (z ) c : ( \F , \ F liên thông gọi miền siêu lồi , 0) cho với c 26 Khi H kj H kj đạt cực đại , độ đo j Xét độ đo hàm đặc trưng j j độ đo Borel với giá compact xác định j tập đa cực j ( j ) j Với j j ( ) , j )n u j ,k j ( j j H kj (dd c ( lý so sánh ta có u j ,k triệt tiêu tất ( j j ) cho Hơn nữa, từ Định lý 4.1 [6] suy tồn hàm , H kj ) cho (dd cu j ,k )n (dd cu j ,k )n j , Do theo Bổ đề 5.14 [5] suy tồn hàm xác định (dd c xác định j u j ,k j j j Từ Hệ 2.2.2 suy H kj (2.8) j H kj ))n H kj đạt cực đại j dãy giảm Cho k j j Theo nguyên đặt u j k lim u j ,k (2.8) cho ta Hj tức u j uj ( j,H j ) j j , (dd c H )n suy ( j , H j ) Từ giả thiết (dd cu j )n j j theo Hệ 2.2.2 suy u j j H j dãy tăng suy (dd cu j )n (dd cH )n H j j từ việc xây dựng (dd cu j )n j Từ u j j dãy giảm H uj H j (2.9) 27 Như vậy, hàm u j ( , H ) thoả mãn (dd cu)n lim u j độ đo không âm xác định Chú ý Cho tập đa cực ( )d cho triệt tiêu ( ), tồn hàm cho Khi từ [6] suy tồn hàm xác định cho (dd cu)n 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phƣơng trình MongeAmpère phức 2.3.1 Bổ đề Cho u, uk , v , , k dd cu2 T dd cu T Đặt Chứng minh Lấy (1 Từ dd c 1, với u v Đặt dd cun Khi u j 1,2, , n dd c j T (1 ) (1 (1 ) u )u max((1 j j tập mở v j dd cv T v )u T dd cv T j/ )dd cu j, v ) Khi , ta có T v j/ dd cu T Cho j u dd cu T Cho ta ta điều phải chứng minh Chú ý a) Với j 1, 2, , n , lấy u j , v j A dd cu1 với tập Borel đa cực A dd cun u j A dd cv1 v j từ Bổ đề 2.3.1 suy dd cvn 28 giả sử (dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Nếu u b) Lấy u j , v j v từ Bổ đề 2.3.1 suy (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực 2.3.2 Định nghĩa Lấy u hàm nửa liên tục bị chặn Khi ta định nghĩa ur sup 1/n ( ): u Từ Định nghĩa 2.3.2 suy số tính chất sau: với u (1) Nếu u, v (2) Nếu u (3) Nếu u 1 , v , ur ur 1/n L ( ) vr u Từ đó, theo [3] ta có ur hàm nửa liên tục bị chặn với , u , supp(dd cur ) (4) Nếu u ur (5) Nếu supp supp compact j , j dãy tăng hàm nửa liên tục bị chặn hội tụ điểm đến hàm nửa liên tục bị chặn giảm hội tụ điểm đến ur j 2.3.3 Bổ đề Cho u j , u dãy K tập đa cực compact (dd cuK )n j K (dd cu)n , Khi 29 u G định nghĩa 2.3.2 uK sup u G :K G * , , G mở Chứng minh Chọn dãy giảm G j u j cho K ,G j j G j Khi dãy tăng hội tụ đến uk tập đa cực, j Gj (dd cuK )n j (dd cu Mặt khác, uK K K Ta có u Gj Gj )n K u G j Từ ta có Gj (dd cu)n , (dd cuK )n K (dd cu )n u nên theo Bổ đề 2.3.1 ta có (dd cuK )n K (dd cu)n (dd cuK )n 2.3.4 Bổ đề Cho u1, , un A dd cu1 K (dd cu)n A (dd cun )n Khi dd cun A với tập Borel đa cực A 1/n (dd cu1 )n 1/n Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử A tập đa cực compact u1, , un với j Gj dd u1G k dãy giảm tập mở A Theo Hệ 5.6 [3] ta có c Với Giả sử G j c j dd unG n ta có ukG j c j n (dd u1G ) j 1/n c n (dd unG ) j uk G j supp(dd cukG )n j Gj 1/n G1 , từ 30 1/n c Gj c dd u1 Cho j c dd un G1 n (dd u1G ) 1/n j c G1 n (dd unG ) j theo Bổ đề 2.3.3 ta 1/n c A dd u1 c c dd un G1 n (dd u1A ) 1/n c G1 n (dd unA ) Từ suy điều phải chứng minh Bây với u ta viết m hàm đơn giản f u j j Ej (dd cu)n định nghĩa S lớp u , 0, E j đôi rời j độ đo cho f có giá compact triệt tiêu tập u Ta ký hiệu T tập hợp tất hàm thuộc S mà E j compact 2.3.5 Định nghĩa Cho u ug inf(sup u : f Từ Định nghĩa 2.3.5 suy u nữa, g ug (sup u : f ug , đo Ta định nghĩa g1 g2 u g1 g u Hơn ,g hàm nửa liên tục bị chặn })* S Khi ug Chứng minh Trước tiên giả sử m k u T 2.3.6 Bổ đề Cho u g hàm hàm nửa liên tục bị chặn })* , f T f g g k Ak g (dd cu g )n T Khi ug g(dd cu)n Lấy 31 xét uk u k Ak m B B k (dd cuk )n Từ đó, B k Khi với m ta có u1 ug um uk , Ak , từ Bổ đề 2.3.1 suy B (dd cu g )n B (dd c (u1 Ak từ Bổ đề 2.3.3 suy um ))n , B (dd cuk )n k k B m (dd cu)n theo Bổ đề 2.3.4 ta có k B (dd cu)n B (dd c (u1 um ))n Từ ta có k B (dd cuk )n B với tập Borel B Bây giả sử g Ak , k B (dd cu )n , k m m Như (dd cu g )n k m S , nghĩa g j j Ej , j g(dd cu)n 0, E j đôi rời đo cho g có giá compact triệt tiêu tập u Với E j ,1 cho m chọn dãy tăng K jp j m p p f0 (dd cu g )n g , f0 j Khi p m K jp hội tụ đến T f0 chứng minh ta có T g p p g j p p tập compact E j E j hầu khắp nơi T Hơn nữa, f0 Từ u p f0 p u g p , T với Theo phần thứ 32 f (dd cu p )n f0 p (dd cu)n (dd cu Theo Định lý 2.2.6 suy lim u f0 lim u g 2.3.7 Định lý Cho u T với f p lim u (dd cu)n g p p Vậy ta có g(dd cu)n hàm u (dd cu g )n đo được, triệt tiêu g(dd cu)n g , theo Bổ đề 2.3.6 ta có S (dd cu min( f , g j ) Từ Định lý 2.2.6 suy u j g S dãy tăng hội tụ điểm đến g , j Chứng minh Lấy g j , g j Nếu f f Khi u g tập hợp u )n f (dd cu g )n p p p u , từ u g p p ug g min( f ,g j ) n min( f ,g j ) ) min(f , g j )(dd cu)n dãy giảm hội tụ điểm đến u f , Như vậy, u f u g j lim u (dd cu g )n gj với f g từ Định nghĩa 2.3.5 suy g(dd cu)n 2.3.8 Hệ Cho u tiêu tậphợp u uf T với f f,g Nếu f hai hàm u đo được, triệt g hầu khắp nơi n , ug Chứng minh Lấy u u f , ug , uf (dd cu f )n giả sử f , g S Khi theo Bổ đề 2.3.6 ta có u max( f ,g ) f (dd cu)n max(f , g )(dd cu)n (dd cu max(f ,g ))n 33 Từ đó, theo Định lý 2.2.6 ta có u f ug u max( f ,g ) Suy u f u max( f ,g ) Tương tự, ta nhận ug Đôi với trường hợp tổng quát lấy f,g hai hàm Theo giả thiết f nơi u j f u j g dãy f , g với j đo triệt tiêu tập hợp u u g hầu khắp nơi n n suy j f j g hầu khắp theo phần thứ chứng minh ta nhận Cho j ta điều phải chứng minh , 1, 2.3.9 Bổ đề Cho độ đo không âm xác định thoả mãn điều kiện sau: (1) triệt tiêu tập đa cực (2) Tồn tập đa cực A (3) ( Khi ) ( ( ) cho )( ( , ) ) ( \ A) , với với Chứng minh Vì A tập đa cực ( ), j 0, C ( ) C ( ) bị chặn nên tồn hàm cho A Lấy C ( ) đặt max( , / j ) Khi ta có ( Cho j j ) ta nhận ( j )( ( ) ) ( )( ) 34 Nhưng triệt tiêu tập đa cực chứa u fu mang tập hợp , nên ta có ( Cho u , ) ( ) với , theo Định lý 5.11 [5] tồn hàm L1lov (dd c u )n , fu cho (dd cu )n fu (dd c độ đo không âm cho tồn tập đa cực A 2.3.10 Bổ đề Cho u, v v suy v u , ( \ A) fu (dd c u u )n u v ( n Vì j v )(dd cv n c j ( )( dd ) j n v u v j n c j ( )( dd ) j )n (dd cv)n (2.10) j Cn (dd cv)n j Từ Bổ đề 2.3.9 bất đẳng thức (2.10) suy ( ) Theo giả u , từ Bổ đề 2.2.3 suy )(dd cu)n ( v u cho (dd c )n triệt Khi cần chứng minh u Theo Bổ đề 2.3.1, không tính tổng quát, giả sử Chứng minh Lấy v v )n u Nếu tồn hàm tiêu tập đa cực u u, v, u cho Trong Bổ đề 2.3.10 ta sử dụng ký hiệu thiết u C ( ) u ( ) v , với nên ta có 35 ( Theo cách tương tự ta nhận Từ Bổ đề 3.1 [5] suy u v 2.3.11 Bổ đề Cho H ) ( u ) v , với ( ) , (dd cv )n mang tập đa cực (1) Nếu v )(dd cv)n ( u với sup C ( ) , min(v, H ) ( ): , (dd c )n (2) Giả sử (H ) triệt tiêu tập đa cực, (H ), (dd cv )n mang tập đa cực v ( )((dd c )n (dd cv)n ) Nếu u hàm xác định u sup ((dd c )n , v) u (H ) (dd cu)n với C ( ) ((dd c )n , v) , : : (dd c )n (dd c )n (dd c )n & v (dd cv)n Chứng minh (1) Vì min(v, H ) hàm nửa liên tục âm nên ta có u ( ) H u v H Hơn nữa, u Theo Định lý 2.1.5 ta chọn dãy giảm v j , v j đến v j (dd c j )n (dd cv j )n , (H ), v (H ) C ( ) hội tụ điểm dùng Định lý 2.2.7 để giải phương trình j (H ), j Xét 36 uj Khi u j sup u j min(v j , H ) ( ): (H ) , theo Bổ đề 2.2.3 ta có )(dd cu j )n ( ( )(dd c j )n Hệ 2.2.4 suy )(dd cu)n ( )(dd cv)n với ( suy (dd cu )n mang u theo Bổ đề 2.3.10 suy (dd cu)n ( ), u ((dd c )n , v) (dd cu)n nên ta có u u ( H nên (dd c )n Chú ý cho mang tập đa cực Vì ( vj , vj v Định lý 5.11 [5] suy (dd cu)n tập đa cực (dd cv)n u , v hàm nửa liên tục âm độ đo dương xác định Vì v (dd cv)n Như (1) chứng minh (2) Dùng Bổ đề Choquet [6] ta có u u C( ) v Từ u , triệt tiêu tất v) ((dd c )n , v) (H ) Theo Bổ đề 2.3.10 ta có (dd c )n Mệnh đề 2.1.6 suy tồn dãy giảm (H ) hội tụ điểm đến v j )((dd c )n (dd cv j )n ) Ta có với C ( ), nên theo ý cuối mục 2.2 Định lý 2.2.7 tồn hàm j (H ) cho (dd c j )n (dd c )n (dd cv j )n Theo Hệ 2.2.2 ta 37 có ((dd c )n , v j ) Do đặt u j j u j sup ((dd c )n , v j ) : dãy giảm hội tụ điểm đến u j Hơn nữa, từ Bổ đề 2.2.3 suy ( )(dd cu j )n Cho j )(dd c ( ( Từ )(dd cu)n )n )( ( )((dd c )n (1) ( ,f (dd cv j )n ) L1loc ((dd c )n ), f H Nói riêng, , mang tập đa cực mang v tồn (dd c )n f (dd c )n cho (dd c )n , tồn hàm với cho (dd c )n ,v (dd c )n nên với ) Vì (dd c )n Do (2) Nếu tồn hàm Nếu )((dd c )n ) độ đo không âm Khi độ đo không âm E, )((dd c )n ( C ( ) ta có 2.3.12 Định lý Giả sử (3) )n , Hệ 2.2.4 cho ta ( ,v j f (dd c )n (dd cv )n , hàm ( ) tồn u , u (dd c )n , với , H (H ) Chứng minh (1) Đây Định lý 5.11 [5] u với H với (dd cu)n 38 (2) Sử dụng Định lý Radon-Nikodym phân tích phần (1) ta f (dd c )n (dd c )n , hàm Borel Với j định (dd c )n min( , j )(dd c )n Từ đó, j , lấy dd c ( j j j n độ đo xác n ) theo định lý Kolodziej (xem [9]) tồn hàm xác định (dd c j )n j Khi j Theo nguyên lý so sánh ta có lim (dd c )n j cho (dd cv )n hàm v (dd c )n j j j cho dãy giảm f (dd c )n Theo Định lý 2.3.7 tồn v Như vậy, ta có f (dd c )n (dd cv )n (3) Tương tự (1) (2) ta chọn dãy tăng hàm đơn giản g j , supp g j j hội tụ đến g Theo Định lý 2.3.7 ta có u gj , (dd c j gj n Hơn nữa, uj sup ((dd c j )n , min( Suy u j j g j (dd c )n [ ) gj gj ] dãy giảm hội tụ điểm đến Từ (dd c g ((dd c j )n , min( : : (dd c j )n , H )) g n , (dd c )n Đặt ) gj g , H )) , (dd c )n & min( gj ,H) dãy giảm hội tụ đến hàm đa điều hoà u đó, Theo Bổ đề 2.3.11 ta có u j (dd cu j )n Hơn nữa, ta có H uj (dd c H Cho j (H ) với )n j (dd c gj n ) ta có điều phải chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère - Các kết nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng (Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.4 Bổ đề 2.2.5) Các kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực trình bày Định lý 2.3.7 Bổ đề 2.3.11 Áp dụng kết đạt để giải phương Kết trình bày Định lý 2.3.12 Cụ trình Monge-Ampère thể là: Cho độ đo không âm Khi (1) ,f L1loc ((dd c )n ), f độ đo không âm E, với cho (dd c )n ,v mang v (3) Nếu tồn hàm H Nói riêng, , mang tập đa cực (2) Nếu tồn hàm ,v f (dd c )n cho (dd c )n , tồn hàm f (dd c )n (dd cv )n , (dd c )n , với với ( ) tồn u , u , (H ) H u H với (dd cu)n 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT: [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH: [2] Ahag P Czyz R H H Pham (2009), “Monge-Ampère measure on pluripola sets”, J Math Pures Appl (9) 92, No.6, 613-627 [3] Blocki Z (2006), "The domain of definition of the complex MongeAmpère operator", Amer J Math (128), pp.519-530 [4] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math, (180), pp.187-217 [5] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge-Ampère operator", Ann Inst Fourier (Grenoble) (54), pp.159-179 [6] Cegrell U (2008), "A general Dirichlet problem for the complex MongeAmpère operator", Ann Polon Math (94), No.2, pp.131-147 [7] Celik.H.I & Poletsky E A (1997), "Fundamental solutions of the complex Monge-Ampère equation", Ann Polon Math (67), pp.103-110 [8] Klimek M (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [9] Kolodziej S (1995), "The range of the complex Monge-Ampère operator II", Indiana Univ Math J (44), pp.765-782 [10] Lempert L (1983), "Solving the degenerate complex Monge-Ampère equation with one concentrated singularity", Math Ann (263), pp.515-532 [11] Nguyen V.K & Pham H H (2009), "Comparison principle for the complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Amer Math Soc (361), pp.5539-5554 [12] Xing Y (1999), "Complex Monge-Ampère equations with a countable number of singular points", Indiana Univ Math J (48), pp.749-765 [13] Zeriahi A (1997), Pluricomplex Green functions and the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator, Michigan Math J (44), pp.579-596 [...]... j Từ đó u j j và do là dãy giảm và H uj H trên j (2.9) 27 Như vậy, hàm u j ( , H ) thoả mãn (dd cu)n lim u j là độ đo không âm xác định trên Chú ý Cho tập con đa cực của ( )d trên sao cho nó triệt tiêu trên các ( ), và tồn tại hàm 0 sao cho Khi đó từ [6] suy ra tồn tại một hàm xác định duy nhất sao cho (dd cu)n 2.3 Độ đo Monge-Ampère trên các tập đa cực và phƣơng trình MongeAmpère phức 2.3.1 Bổ... 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại n 1.2.1 Định nghĩa Cho Trường hợp n ( ) nếu với mọi tập mở, và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G , compact tương đối G (G) và v ( ) Ta nói u là hàm và viết u đa điều hòa dưới cực đại trên v là tập mở và u u trên G thì v u trên G ( ) trùng với tập các hàm điều hòa trên 1 thì tập Một số tính chất tương đương của tính cực đại : n 1.2.2 Mệnh đề Giả sử là tập mở và u (... định như trong Định nghĩa 2.1.3, tức là H kj j ( ): H k trên 26 Khi đó H kj và H kj đạt cực đại trên , trong đó trên độ đo j Xét độ đo là hàm đặc trưng đối với j j là độ đo Borel với giá compact xác định trên j cả các tập đa cực trong và j ( j ) j Với mỗi j trong j ( ) , j )n u j ,k j ( j trên j H kj (dd c ( lý so sánh ta có u j ,k triệt tiêu trên tất ( j j ) sao cho Hơn nữa, từ Định lý 4.1 trong... và với mỗi v trên G (v ) u là hàm cực đại Ta có một số kết quả sau về tính chất của các hàm đa điều hòa dưới cực đại 7 1.2.3 Mệnh đề Giả sử n là một miền trong (i) Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong bằng hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đai trong (ii) Nếu u ( ) thì với mọi G Chứng minh (i) Giả sử {u j } trên tồn tại một dãy giảm các hàm ( ) và u j Lấy G (ii) Do G u j trên. .. G và do đó v u trên Giả sử u là tập mở, compact tương đối trong Giả sử v là hàm nửa liên tục trên G và v Khi đó v hội tụ giảm tới u trên G đa điều hòa dưới cực đại trong không đồng nhất hoặc (G) , v u trên G u j trên G nên có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục v j trên một lân cận của G giảm tới u Đặt u j uG , f j G Khi đó {u j } là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục trên G và. .. thì u là nón lồi và là tập hợp các hàm trong là dãy cơ bản Khi đó j 0 , khi đó từ Định nghĩa 2.1.3 suy ra u u j 1 , thì theo [5] 0 và theo [3] suy ra u đạt cực đại trên u Hơn nữa, nếu u j j 1 Định nghĩa 2.1.3 suy ra u j (lim u j )* là đa điều hoà dưới trên , vì u và j ta có u j 1 ( ): tăng do đó tồn tại lim u j hầu khắp nơi trên u là dãy tăng các tập j là dãy cơ bản và u j )n là tập compact tương... tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên n dd cu C0 Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên um thì tồn tại dãy dd cum u và n m C m 1 hội tụ yếu tới độ đo Radon dd cum lim um n d , tức là: trên C0 Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy um (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampère của u sao cho như trên, ta ký hiệu:... -dòng n q 1, n trên q tập n mở 1 -dạng lớp C dd cT dd c C 0, n và với hệ số trong D( ) thì T d cT d d cT Vậy dd cT , là q 1,n q 1 dd cT dd c Giả sử T là dòng dương có bậc dc dc T T , dd c T q, q T 0 trên tập mở (1.1) n và q u ( ) Lloc các độ đo phức trên Khi đó T J ,K Vậy từ u TJK ( ) i dzJ 2 Lloc dz K với TJK là nên u là hàm khả q tích đối với các TJK Do đó uT J ,K uTJK với hệ số độ đo Ta đưa ra... C0 V , 0 V G là tập compact Lấy 1 trên K Khi đó 1 và K G Giả sử K j 1 trên K Khi đó lim sup j j K 14 K Từ đó c) Viết E IntE E Mặt khác lim sup lim inf lim sup E j j Vậy E lim 0 trên dương, đóng trên j j Lebesgue ta có và u ( ) Lloc 1, n 1 -dòng udd cv T vdd cu T 0 thì udd cv T T và ddcv T là các độ đo Borel dương max u, udd cv T u dd cv T E vdd cu T và u tăng tới 0 khi hòa dưới trên E 0 Giả... Giả sử là tập mở và u ( ) Khi đó các khẳng định sau là tương đương : (i) Với mọi tập mở, compact tương đối G nếu lim sup(u(z ) v(z )) và mọi hàm v G thì u 0 với mọi (G) , v trên G z (ii) Nếu v u v ( ) và với trên (iii) Nếu v \ K thì u 0 tồn tại tập compact K v trên ( ), G là tập mở, compact tương đối trong trên G thì u (iv) Nếu v sao cho và u v v trên G ( ), G là tập mở, compact tương đối trong G ... Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương. .. 16 Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 2.1 Một vài định nghĩa kết Trong chương ta giả sử miền siêu lồi bị chặn 2.1.1 Định nghĩa Ta nói hàm đa điều hoà... j độ đo không âm xác định Chú ý Cho tập đa cực ( )d cho triệt tiêu ( ), tồn hàm cho Khi từ [6] suy tồn hàm xác định cho (dd cu)n 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phƣơng trình MongeAmpère phức