Bài tập tích phân và phương trình vi phân

Tích Phân Bất Định –Xác Định.Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ:( )( )23 222223 22222 266 11 65 95 65 96 82 5 1( 3)( 1)4 31( 1)4 5dxx xdxx x xx x dxx xx x dxx xx x x dxx xdxxdxx x x xx x− −+ + +− +− +− +− ++ + ++ +− + + ++−∫∫∫∫∫∫∫( )( )4424 3222102225 6 9( 3) ( 1)3 5121(1)x xx xxxdxxdxdxx xx dxxdxx x−++−+− +++∫∫∫∫∫333318( 1)4dxxxdxx x+−−∫∫ 2 Bài tập 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:( )222231cos2 sin 21 sin3cos 3sin(2 1)sin 3 cos3xxedxex x dxxdxxxdxxx xdx−+++∫∫∫∫∫( )2115 2222 1sinh .cosh52arcsin1xxxdxxdxx xx x dxe dxex xdxx−−−+−∫∫∫∫∫2222322 2211111sincos141xxxdxxedxedxx xxdxxxdxxxdxxdxx xx dx−+−+++−−∫∫∫∫∫∫∫∫23sin1 lnsin 2 xxdxxe xdx−∫∫ 3 Bài 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:22421114x xxxxdxxe e dxadxaxdxx+−−+−∫∫∫∫262221arcsin1arctan 21 4x xa axdxxe e dxxdxxx x dxx−+    −   −−+∫∫∫∫Bài 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:( )2 223arcsinsin cosarctanln5 6lnxxx xdxx x xdxx xdxx xdxx x e dxxdxexdxx+ +∫∫∫∫∫∫∫( )222ln 12 5sinsinsin lncosxxxx x dxx x dxexdxxe xdxx dxxe xdx    + +  − +∫∫∫∫∫∫ 4 Bài 5: Tính các nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:2222222 3 43 64 52 815 2 11dxx xdxx xxdxx xxdxx xxdxx xdxx x+ +−−− +−− −− +−∫∫∫∫∫∫( )2211 2dxx x xdxx x+ −− −∫∫( ) 2224 21 224 3dxx x xx x dxx x dxxdxx x+ +−− −− +∫∫∫∫2222cossin 6sin 121sincos 4cos 1ln1 4ln lnxx xxdxx xe dxe exdxx xxdxx x x

-1- Tích Phân Bất Định –Xác Định Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ: dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( x2 − x − dx x3 + x + 11x + x2 − x + x2 − x + x2 − x + x2 − x + dx dx 2 dx ( x + 3)( x − x + 1) dx )( x − 4x + x + 4x + ) dx x2 + x + ( x − 3)2 ( x + 1)2 3x + ( x + x)2 dx dx ( ) x x3 + ∫( ∫ ∫ x 2dx 10 x − 1) x3 + dx x4 − 2x + x + 5x + x( x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ x4 dx 8( x3 − 1) 4x − x dx dx -2- Bài tập 2: Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến: ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ex e 2x dx −1 cos x + sin x ) dx + sin x cos 3x dx xdx sin(2 x + 1) sin 3 x cos3 xdx x2 11 x − 1) dx dx sinh x.cosh x x − x dx e x dx e2 x − arcsin x + x − x2 dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x2 1− x e2 x x dx dx e +1 dx x x2 − 1+ x dx 1+ x sin x dx cos x x2 + dx x dx x2 − x2 − x dx − ln x x dx esin x sin xdx -3Bài 3: Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến: ∫ ∫ ∫ ∫ x+2 dx x −1 e x x − e dx ax + a2 x dx xdx − x4 ∫ ∫ ∫ ∫ x2 1+ x dx x  x −   e a − e a  dx     arcsin x 1− x dx x − arctan x + x2 dx Bài 4: Tính nguyên hàm phương pháp tích phân phần: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ x arcsin xdx x sin x cos xdx x arctan xdx 2 x ln xdx ) x + x + e x dx x e x dx ln x x3 dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ln  x + x +  dx   x2 − x + ex xdx sin x e x sin xdx sin ( ln x ) dx xe x cos xdx dx -4- Bài 5: Tính nguyên hàm hàm số vô tỷ sau: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( dx x2 + 3x + dx x − x2 3x − x2 − x + 2x − − x − x2 dx dx xdx 5x2 − x + dx x − x2 dx x x2 + x − dx x − 1) x − ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx x + 1) x + x x − x dx − x − x dx xdx x4 − x2 + cos xdx sin x − 6sin x + 12 e x dx + e x + e2 x sin xdx cos x + 4cos x + ln xdx x − 4ln x − ln x -5Bài tập 6: Tính nguyên hàm hàm số vô tỷ sau: x −1 x3dx x dx x +1 x −1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x +1 dx x −1 x+3 x dx 2x + x +1 − x −1 dx x +1 + x −1 xdx x3 (1 − x ) ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ Bài 7: Tính nguyên hàm hàm vô tỷ sau: dx x +1 + ( x + 1)3 dx x+3x x +1 + 2 x + 1) − x + xdx x+2 dx -6- ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ dx x5 x − dx x + 1) x2 + 2x x2 + x + dx x x − x +1 x dx 4− x x x2 + x x4 + ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ x x + 4dx dx x 2dx x2 − x + x5dx − x2 dx x − 3) x − x x6dx + x2 x + k dx Bài 10: Tính nguyên hàm: cos x dx ∫ tan xdx ∫ tan xdx ∫ sin x dx ∫ sin x cos3 x dx dx dx ∫ sin x cos3 x ∫ tan x ∫ sin x ∫ sin x sin x sin 3xdx dx 3sin x + 2cos x dx ∫ + sin x + cos x ∫ 3cos x + 2sin x dx ∫ sin x − 5sin x cos x − sin x + cos x dx dx dx 2 ∫ + sin x − cos x ∫ sinh x cosh x ∫ sinh x cosh x dx dx sinh xdx dx ∫ 2sinh x + 3cosh x ∫ x − ∫ cosh x ∫ sin x cos5 x sin x cos3 x dx ∫ cos2 + dx ∫ sin x sin ( x + 1) Bài 11: Tính tích phân xác định sau: -7- ∫ π ∫ x dx ∫ π (1 + x ) ∫ 15 x dx (1 + x ) x ln e dx ex −1 dx 2cos x + ∫0 ex + sin x cos xdx 2cos x + 3sin x ∫ ∫ x + x dx dx ( x + 1) x +1 + π π 2 sin x sin x ∫π + e x dx − ∫ π ∫ π ∫ 16 x sin x dx cos3 x arctan cos3 x dx sin x Tích Phân Suy Rộng Bài 1: Xét hội tụ tích phân sau: ∫ ∫ ∫ ∫ x − x2 xdx x + x5 + x dx − x4 dx x ( e x − e− x ) − x4 dx ∫1 ln x +∝ dx ∫ −1 +∞ π +∞   sin ∫0  cos x  dx dx ∫0 ln x dx dx ∫ +∝ x2 + x4 + ∫ sin xdx ∫ cos x dx x ∫ x dx (1 − x ) x − 1dx -8Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau: ∫ −∝ +∞ et dt ∫ dx ∫−∝ x + x + +∞ ∫3 ( x + 1)( x − 2) dx +∞ +∞ ∫ ( x − 1)( x + 2)( x + 3) dx +∞ (5 x − 3) dx + x − 1) ∫ ( x − 2)(3x +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ ( x + 1) dx x( x − 1)2 +∞ ∫e (x + 1) 2 ( x) +∞ −2 x dx +∞ ∫e ∫ ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ dx dx x + 1) ∫ cosh ∫ xe dx +1 4x 2x dx 4x + dx ex − dx sinh x xdx 2x dx +∞ +∞ dx + ex ∫ x(ln x+3 dx x( x + x + 1) x + 12 x +∞ x2 dx x6 + 1 +∞ dx x2 + x + ∫ ( x + 3) dx e x + e− x dx -9+∞ ∫x x −1 +∞ ∫x +∞ ( ∫ (x −∞ x2 − 1 x2 + + x +∞ dx ∫x dx ∫ dx x −1 xdx x3 − ∫ − x2 −1 dx (1 + x) x ∫ dx ∫ (4 − x) 2 +∞ dx ) ∫ (2 − ) x − x3 dx x3 dx + x + 1)3 Bài 3: Tìm tất giá trị α để tích phân suy rộng sau hội tụ: +∞ ∫ +∞  e3/ x −  ln 1 +  dx  α   ∫ (2 + x) arctan x α ∫ ∫ (x dx +∞ ∫ dx x + xα +∞ ∫ 1 ∫ x + 2x dx ∫ α π sin x cos xdx ( x3 − 1)α dx x − x +1 β ) + ln(1 + x ) x5α dx dx x α e +x α ∫ ( x + sin x ) x x π ) dx dx +∞ +∞ ∫ α ex − 1 +∞ ∫ ( ln + x ∫ sin dx α x ∫ +∝ α eα x − + x dx cosh x − cos x β xα ( − x ) dx - 10 - Ứng Dụng Tích Phân Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − x Ox y = ln x, Oy, x = e x = y , y = 1, x = y = x , y = 8, x = y = x − x , y = − x x2 , y = + x2 Bài 2: Tính độ dài đường cong: y = x3 , x = y = y = e x , x = xy = 4, x = 1, x = 3, y = x + y = 8, y = x (tính riêng phần) x2 y = x , y = , y = x 2 10 y = e x , y = e − x , x = 1>0 y = x , x = y = ln x, x = 1 y = arcsin e− x , x = x = y − ln y, y = e Bài 3: Tính vật thể cho miền phẳng giới hạn đường sau quanh trục toạ độ tương ứng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy 2 y = x 4 y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy 2 x + y − = Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay quay quanh đường sau quanh trục tương ứng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy ( ) - 11 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.xyy ′ = y + x y 2.xy ′ = xe 1+ x 3.e x +y e2 x tgydx = dy x −1 4.y ′ = x−y 5.( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 6.y ′ cos x + y = 1− sin x 7.y ′( x + y ) = y 8.4 xy ′ + y = −e x x y 9.y ln3 y + y ′ x + = 10.y ′ = e x +y + e x −y 11.( x + x y + y )dx + xy ( x + y )dy = 12.(2 x + y + 1)dx + ( x + 2y − 1)dy = 0, 13.y ′ + xy = arcsin x + x 1− x 14.y = xy ′ + y ′ ln y 15.ydx + ( x + x y )dy = 16.y ′ = 1− xy - 12 - 17.( x ln y − x )y ′ = y 18.y ′x sin y + 2y = xy ′ 19.y ′ = 20 y2 xy + y ′ 2x y arctgx − = y 1+ x 1+ x - 13 - x = − ( y + 2y ).x −1 2 dy dx cos y − sin y − 22.y ′ = → = cos x − sin x + cos y − sin y − cos x − sin x − y y sin(3 ) x x 23.3 y sin(3 y )dx + ( y − xs in(3 y )dy = → y ′ = x x y y sin(3 ) − x x y 1+ x+y x 24.y ′ = → y′ = y x−y 1− x 21.( y + 2y + x )y ′ + x = → x ′ + 25.2 xdx = ( x + y − 2y )dy → 2( xdx + ydy ) = ( x + y )dy → 2d ( x + y ) = ( x + y )dy , dat : u = x + y y y2 26.y ′ − = x −1 x −1 27.y ′ + y = e 28.y ′ − x y ( pt − Bernoulli , α = y = x ln x x ln x 29.(e x sin y + x )dx + (e x cos y + y )dy = 30.2( x + y )y ′ = ( x + y )2 + 1, dat : u = x + y 31.y ′ − y = 3e x y ( pt − Bernoulli , α = 2) 2 32.(1 + x )y ′ + xy = (1+ x ) → y ′ + y 2x 1+ x = (1+ x )3 1+ 2x - 14 - 33.xy ′ = y cosln y y y → y ′ = cosln x x x 34.(2 x y ln y − x )y ′ = y ( pt − Bernoulli − x = x ( y )) 35.y cos xdx + sin xdy = cos xdx (PTVPTP ) 2y 36.e y dx + ( xe y − 2y )dy = → x ′ + x = ey arcsin x = 37.y ′ + x + y = acr sin x → y ′ + y 1+ x 1+ x2 38.y ′ − 2ytgx + y sin2 x = 0( pt − Bernoulli ) y y 39.x y ′ − y − xy = x → y ′ = + + ( )2 x x - 15 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.y ′′ − y ′ + y = x cos x, y r = ax + b )cos x + (cx + d )sin x 2.y ′′ − y ′ + y = ( x + 1)sin x, y r = (ax + bx + c )cos x + (dx + ex + f )sin x 3.y ′′ − y ′ + y = xe x , y r = xe x (ax + b ) 4.y ′′ − y ′ + y = 2e2 x , y r = x 2e2 x a 5.y ′′ + y = cos x + x sin2 x, y r = (ax + b )cos x + (cx + d ) sin 2x 6.y ′′ − y ′ + y = xe3 x + cos x, y r = (ax + b )e3 x , y r = a cos x + b sin x 7.y ′′ + y = tgx,giai bang pp bien thien hang so 8.y ′′ + y = 2sin x sin x(= cosx - cos3x), y r = a cos x + b sin x, y r = x (a cos3 x + b sin3 x ) 9.y ′′ + y ′ + y = 1+ e 2x ,giai bang pp bien thien hang so 10.x y ′′ + xy ′ + y = sin(2ln x ), pt − Euler 11.x y ′′ + xy ′ + y = , pt − Euler x x3 ′′ ′ 12.x y − xy + y = , pt − Euler 13.(4 x − 1)2 y ′′ − 2(4 x − 1)y ′ + y = 0, dat : x − = et 14.x y ′′ − xy ′ + y = cosln x, pt − Euler - 16 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ  dx  = x + y  dt 1. , x ′′ − x ′ + x =  dy  = x + 2y  dt  dx  = x + y  dt 2. , x ′′ − 22 x ′ + 20 x = 6t  dy  = x + y + t  dt  dx  = x + et  dt 3. ,  dy  = y + t  dt  dx x  = −2 + t  dt 4. , t x ′′ + 2tx ′ − x = 0,  dy 2x −1  = x + y + t  dt  dx dy  + = x + y − cos t dt dt 5. , x ′′ − x ′ = 2cos t + sin t  dy  = x + y + sin t  dt - 17 -  dx  = 12 x − y dt 6. ,  dy  = x + 12y  dt  dx  = −5 x − y + et  dt 7.  dy 2t  = x + y + e  dt  dx t + y =  ′′ tx + x ′ + y ′ = 0(1) dt  8. ⇔  , thay − y ′ − tu − pt (1) − vao − pt (2)  dy t y ′ + x = 0(2) +x=0 t  dt ta − duoc − pt − Euler : t x ′′ + tx ′ − x =  dx  = −x + cos t  dt 9.  dy  = −x + sin t  dt  dx  = x + y − 12t dt 10.  dy = x + 6y + t  dt [...]...- 11 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.xyy ′ = y 2 + 2 x 2 y 2.xy ′ = xe 1+ x 2 3.e x +y e2 x tgydx = dy x −1 4.y ′ = 2 x−y 5.( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 0 6.y ′ cos x + y = 1− sin x 7.y ′( x + y 2 ) = y 8.4 xy ′... x ′ + x = ey 1 arcsin x = 37.y ′ 1 + x 2 + y = acr sin x → y ′ + y 1+ x 2 1+ x2 38.y ′ − 2ytgx + y 2 sin2 x = 0( pt − Bernoulli ) y y 39.x 2 y ′ − y 2 − xy = x 2 → y ′ = 1 + + ( )2 x x - 15 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.y ′′ − 5 y ′ + 6 y = x cos x, y r = ax + b )cos x + (cx + d )sin x 2.y ′′ − 5 y ′ + 4 y = ( x 2 + 1)sin x, y r = (ax 2 + bx + c )cos x + (dx 2 + ex + f )sin x 3.y ′′ − 5 y ′ + 6 y... Euler x x3 2 ′′ ′ 12.x y − 3 xy + 4 y = , pt − Euler 2 13.(4 x − 1)2 y ′′ − 2(4 x − 1)y ′ + 8 y = 0, dat : 4 x − 1 = et 14.x 2 y ′′ − xy ′ + y = cosln x, pt − Euler - 16 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ  dx  = 2 x + y  dt 1. , x ′′ − 4 x ′ + 3 x = 0  dy  = x + 2y  dt  dx  = 4 x + 6 y  dt 2. , x ′′ − 22 x ′ + 20 x = 6t  dy  = 2 x + 3 y + t  dt  dx  ... y − = Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay quay quanh đường sau quanh trục tương ứng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy ( ) - 11 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP... dx - 10 - Ứng Dụng Tích Phân Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − x Ox y = ln x, Oy, x = e x = y , y = 1, x = y = x , y = 8, x = y = x − x , y = − x x2 , y = + x2 Bài 2: Tính độ dài... sin x ∫π + e x dx − ∫ π ∫ π ∫ 16 x sin x dx cos3 x arctan cos3 x dx sin x Tích Phân Suy Rộng Bài 1: Xét hội tụ tích phân sau: ∫ ∫ ∫ ∫ x − x2 xdx x + x5 + x dx − x4 dx x ( e x − e− x ) − x4 dx