Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập tích phân

các tích phân sau đây (sử dụng tích phân từng phần): a. ;b. ;c. ;d. ;e. ;f. ;g. ;h. ;i. ;j. ;k. ;l. ;m. ;n. ;o. ;p. ;q. ;r. ;s. t. (). Hướng dẫn:Câu a: Tính . Đặt Tính .Vậy .Câu b: . Đặt .Câu c: Tính: . Suy ra: .Vậy suy ra: .Câu d: . Đặt . Câu e: …Đặt Câu f: …Đặt .Đặt

Hướng dẫn giả tập Tích Phân Bài Tính tích phân sau (sử dụng tích phân phần): e π x2 + ln xdx ; x a I = ∫ k I = ln(sin x)dx (*) ; ∫ b I = ∫ ln(1 + x)dx ; π l I = ∫ x sin x cos xdx ; e3   dx ; c I = ∫  − ln x ln x  e π m I = x tan xdx ; ∫ ln x dx ; x2 d I = ∫ n I = ∫ sin x dx ; ln( x + 1) e I = ∫ ; x2 π o e f I = ∫ x ln xdx ; I =∫ π x dx ; sin x e π p I = ∫ x sin2 x dx ; g I = ∫ (ln x) dx ; cos x π h I = ∫ x ln( x − 1)dx ; q I = e x cos xdx ; ∫ π ln(sin x) dx ; i I = ∫ π cos x x r I = ∫ x e dx ; π 2 s I = ∫ ( x + x + 3) cos xdx j I = ∫ cos(ln x)dx ; 1 x2 dx (*) 2 −1 (1 + x ) t I = ∫ Hướng dẫn: e Câu a: I = ∫ e e x +1 ln x ln xdx = ∫ x ln xdx + ∫ dx x x 1  e e du = dx e  u = ln x x ln x xdx  x ln x x  e2 +  x ⇒ I = − = − = Tính I1 = ∫ x ln xdx Đặt    2 ∫1 1 dv = xdx v = x dx   e e e e ln x ln x dx = ∫ ln xd (ln x) = = Tính I = ∫ 2 x Vậy I = I1 + I = e2 + 1 e2 + + = 4 Câu b: I = ∫ ln(1 + x)dx dx  u = ln(1 + x) du = ⇒ I = ( x + ) ln( + x ) − 1+ x Đặt   ∫1 dx = ln − ln − dv = dx v = x + Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân e3 e3 e3 e3  1  dx = ∫ dx − I1 dx = ∫ dx − ∫ Câu c: I = ∫  − ln x  ln x e  ln x e ln x e e ln x −1   e3 dx du = dx u = x dx  ln x ⇒  dx = x ln x Suy ra: I1 = ∫ Tính: I1 = ∫ ln x ln x ln x e dv = dx v = x e e3 e3 e3 1 x Vậy suy ra: I = ∫ dx − I1 = ∫ dx − ln x e ln x e ln x e e e3 e e3 dx ln x e +∫ e3 e3 −x − e3 − ∫ dx = = +e ln x e e ln x ln x dx x2 Câu d: I = ∫ dx  du = u = ln x 2    ln x − ln x dx x + ∫ = (1 − ln 2) Đặt  I = ∫ dx = dx ⇒  x 1x dv = x v = − 1 x x  dx  u = ln( x + 1) du = 2 ln( x + 1) dx ln( x + 1)   x +1 ⇒ ⇒ I = − + = ln Câu e: I = ∫ …Đặt  dx  ∫ x x ( x + 1) x 3 1 dv = x v = −  x  e du = ln xdx e e  u = ln x x ln x  x ⇒ ⇒I= − x ln xdx Câu f: I = ∫ x ln xdx …Đặt  2 ∫1 dv = xdx v = x  dx  e e e e e du1 = x u1 = ln x x ln x x x ln x x2 ⇒ ⇒ ∫ x ln xdx = − ∫ dx = − Đặt  2 2 41 dv1 = xdx v = x 1 1  e e e e e x ln x x ln x x ln x x2 − ∫ x ln xdx = − + = (e − 1) Suy I = 1 2 4 ln x  e e e u = ln x du = ⇒ ⇒ I = x ln x − ln xdx = e − I = (ln x ) dx x Câu g: … Đặt   ∫1 ∫1 ln xdx ∫1 dv = dx v = x  e e u = ln x du = dx e ⇒ ⇒ I = x ln x − ln xdx x Tính ∫ … Đặt   ∫1 dx = 1 dv = dx  v = x e e e Vậy I = x ln x − ∫ ln xdx = e − Câu h: I = ∫ x ln( x − 1)dx Đặt dx  5 5 u = ln( x − 1) du = ( x − 1)dx 2 ⇒ x − ⇒ I = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx  x −1 dv = x 2 v = x −   x2  27 = ( x − 1) ln( x − 1) −  + x  = 24 ln − 2  2 Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân π ln(sin x) dx cos2 x Câu i: I = ∫ π π cos x u = ln(sin x)  π dx cos x tan x  du = dx sin x ⇒ I = tan x ln(sin x) π3 − ∫ Đặt  dx ⇒  sin x π dv = cos x v = tan x π  3  3 π π π  − = tan x ln(sin x) − ∫ dx = ln ln −  −  = ln  −  3 6 π    4 π π 6 Câu j: I = ∫ cos(ln x)dx − sin(ln x)  2 dx u = cos(ln x) du = ⇒ ⇒ I = ∫ cos(ln x) dx = x cos x(ln x ) + ∫ sin(ln x)dx x Đặt  dv = dx 1 v = x cos(ln x )  2 u = sin(ln x) du = ⇒ ⇒ ∫ sin(ln x)dx = x sin x − ∫ cos(ln x)dx x Lại đặt:  dv = dx 1 v = x Vậy I = x cos(ln x) − x sin x − ∫ cos(ln x) dx ⇒ I = x cos(ln x) − x sin x − I 2 2 2 ⇔ I = x cos(ln x) − x sin x ⇔ I = sin(ln 2) + cos(ln 2) − π Câu k: I = ln(sin x)dx (*) ∫ π π cos x  π dx π u = ln(sin x) du = x cos x ⇒ dx = x ln(sin x) − x cot xdx Đặt  sin x ⇒ I = x ln(sin x) 02 − ∫ ∫0 sin x dv = dx v = x π π π 2 π du = dx Đặt u = x ⇒ ⇒ ∫ x cot xdx = x ln(sin x ) 02 − ∫ ln(sin x )dx dv = cot xdx v = ln(sin x) 0 Tính: x cot xdx ∫ π π Vậy: I = x ln(sin x) − x cot xdx ∫ π π π π π 0 = x ln(sin x) − ∫ x cot xdx = x ln(sin x ) − x ln(sin x) + ∫ ln(sin x)dx π Câu l: I = ∫ x sin x cos xdx π du = dx π π u = x x cos3 x cos3 x  ⇒ + dx Đặt  cos x ⇒ ∫ x sin x cos xdx = − ∫0 dv = sin x cos xdx v = −  π π π π x cos3 x x cos3 x  sin x π  =− + ∫ ( cos x + cos x )dx = − +  + sin x  = 12 12  0 Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π 0 π π 0 Câu m: I = x tan xdx = x(tan x + − 1)dx = x(tan x + 1)dx − xdx ∫ ∫ ∫ ∫ π π π 4 π π u=x du = dx d (cos x ) Đặt  4 ⇒ ⇒ ∫ x(tan x + 1)dx = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫ cos x dv = (tan x + 1)dx v = tan x 0 π π = x tan x 04 − ln cos x 04 π π π 0 π π Vậy x tan xdx = x(tan x + 1)dx − xdx = x tan x − ln cos x − x ∫ ∫ ∫ π π π2 = + ln − 32 Câu n: I = ∫ sin x dx x = t = ⇒ Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 2tdt = dx Đổi cận:  Vậy I = ∫ 2t.sin tdt  x = t = 0 u = 2t du = 1 ⇒ ⇒ I = − 2t cos t + 2∫ cos tdt = − 2t cos t + sin t = 2(sin − cos1) Đặt:  dv = sin tdt v = − cos t π Câu o: I = ∫ π x dx sin x π π u = x π π 3 du = dx cos x  ⇒ I = − x cot x π3 + ∫ cot xdx = − x cot x π3 + ∫ dx Đặt  dx ⇒  v = − cot x π π sin x 4 dv = sin x 4 π π π = − x cot x + ∫ π d (sin x ) π (9 − ) = + ln sin x sin x 36 π π = π (9 − ) + ln 36 2 π Câu p: I = x sin x dx ∫ cos x π π π u = x du = dx x 3 dx π cos xdx   ⇒ −∫ = −∫ sin x ⇒I= Đặt  cos x 0 cos x cos π cos x dv = cos x dx v = cos x π π π π cos xdx π d (sin x) π sin x − π 3−2 = −∫ = −∫ = − ln = + ln 2 π − sin x π − sin x π sin x + π 3+2 cos cos cos cos 3 3 π Câu q: I = e x cos xdx ∫ Đặt u = e π π π π du = e dx ⇒ ⇒ ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ e x sin xdx = e − ∫ e x sin xdx dv = cos xdx v = sin xdx 0 x x π π π π x π 2 du = e x dx x x Lại đặt: u = e ⇒ ⇒ ∫ e sin xdx = −e cos x + ∫ e x cos xdx =1 + ∫ e x cos xdx dv = sin xdx v = − cos xdx 0 Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π π π π π π π π Vậy: e x cos xdx = e − e x sin xdx = e − − e x cos xdx ⇒ e x cos xdx = e − ⇒ e x cos xdx = e − ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 1 x x Câu r: I = ∫ x e dx = ∫ x xe dx 0 Đặt t = x ⇒ dt = xdx ⇒ dt = xdx Đổi cận:  x = t = ⇒  x = t = dt 1 t = t.e dt Suy ∫ x xe dx = ∫ t.e 2 ∫0 0 x2 t 1 u = t du = dt t t t t ⇒ ⇒ t e dt = te − e dt = te − et Đặt   ∫ ∫ t t 0 dv = e dt v = e 0 1 = Suy ∫x e x2 dx = π Câu s: I = ∫ ( x + x + 3) cos xdx π π π u = x + x +  du = (2 x + 2)dx ⇒ ⇒ I = ( x + x + ) sin x − ( x + ) sin xdx = − ( x + 1) sin xdx Đặt   ∫ ∫ v = sin x dv = cos xdx   0 π π u = x + du = dx π ⇒ ⇒ ∫ ( x + 1) sin xdx = − ( x + 1) cos x + ∫ cos xdx s Lại đặt  dv = sin x v = − cos x 0 π π = − ( x + 1) cos x + sin x = π + Vậy suy I = −2(π + 2) u = x du = dx 1 −x dx x2   +∫ dx Đặt  xdx ⇒  Câu t: I = ∫ −1 ⇒ I = 2 + x −1 −11 + x −1 (1 + x ) dv = (1 + x ) v = + x  π π  π t=  x =  dx (1 + tan t )dt π  ⇒ ⇒∫ = ∫ = ∫ dt = Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan t )dt Đổi cận  2 1+ x + tan t  x = −1 t = − π π π −1 − −  4  π Vậy I = −1 + Bài Tính tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm hữu tỉ) 2 dx a I = ∫ ; x − 8x + 16 g I = ∫ 1 3dx ; 1+ x dx ; x −x−2 h I = ∫ dx c I = ∫ ; x + x +1 i I = ∫ b I = ∫ 1 d I = ∫ dx ; x(x + 1) dx ; ( x − 2)( x + 1) j I = ∫ dx e I = ∫ ; x + 4x + k I = ∫ dx f I = ∫ ; x (x + 1) l I = ∫ x dx ; x + x2 + 2x + dx ; x + 2x + 5x − dx ; x − 3x + 2 x + 11 dx x + 5x + Hướng dẫn: Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân 2 dx dx 1 =∫ =− = Câu a: I = ∫ 2 x − x + 16 ( x − 4) x−40 1 dx dx x−2 I =∫ =∫ = ln 2 Câu b: x −x−2  x +1  3 x −  −  2 3  1 = ln 4 dx dx dx I =∫ =∫ =∫ 2 x + x +1  1  Câu c: 1  3 x + +     x +  +  2       π t = x = 1 3 ⇒ Đặt x + = tan t ⇒ dx = (tan t + 1)dt Đổi cận:  2  x = t = π  π π π (tan t + 1)dt 3 3 (tan t + ) dt π I = = = dt = Vậy ∫π ∫ ∫ π (tan t + 1) π (tan t + 1) 6 dx Câu d: I = ∫ ( x − 2)( x + 1) A B A( x + 1) + B ( x − 2) ( A + B ) x + A − B = + = = Ta có: ( x − 2)( x + 1) x − x + ( x − 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 1)  A=  A + B =  ⇔ Suy ( A + B) x + A − B = ⇒  A − B =  B = −  5 5 dx dx dx 1 x−2 = ∫ − ∫ = ln x − − ln x + = ln = ln Vậy I = ∫ 3 x − 3 x +1 3 x −1 3 3 ( x − 2)( x + 1) Câu e: I = ∫ dx x + 4x + 1 ( x + 3) − ( x + 1) x2 + x2 + = = = − Ta có: x + x + ( x + 1)( x + 3) ( x + 1)( x + 3) 2( x + 1)( x + 3) 2( x + 1)( x + 3) 1 = − 2 2( x + 1) 2( x + 3)   dx 1 11 11   = − dx = dx − dx Suy ∫ ∫0  2( x2 + 1) 2( x2 + 3)  ∫0 x + ∫0 x + x + 4x + 1 Tính ∫x dx +1 π π  π x = t =  dx (1 + tan t )dt π ⇒ ⇒ Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan t )dt Đổi cận  = = dt =  x = 2  + x + tan t t = 0 ∫ 1 dx Tương tự tính Tính ∫ x +3 Nguyễn Phước Duy 1 ∫0 x + dx ∫x ∫ ∫ dx = π +3 18 Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân dx π π  π  = (9 − ) =  − 2 18  72 x + 4x + 4 4 dx x − − x2 ( x − 1)( x + 1) − x x − ( x − 1)( x + 1) = −∫ dx = − ∫ dx = ∫ dx Câu f: I = ∫ 2 x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) 1 Vậy I = ∫ 4 4 4 4 x2 ( x − 1)( x + 1) dx x −1 d ( x + 1) xdx dx =∫ dx − ∫ dx = ∫ − ∫ dx = ∫ −∫ +∫ 2 x ( x + 1) x +1 x ( x + 1) 1 x +1 x 1 x x 4 d ( x + 1) dx dx  1 =∫ − ∫ + ∫ = ln x + − ln x −  = + ln x +1 x1  1 x x x = t = dx x 3dx dt ⇒ = Đặt t = x ⇒ = x 3dx Đổi cận:  4 ∫ x = t = 16 x ( x + 1) x ( x + 1) dt 16 16 16 16 dt 1  t 32 =1 Vậy I = ∫1 t (t + 1) ∫1 t (t + 1) = ∫1  t − t + dt = ln t + 1 = ln 17 Câu g: I = ∫ 3dx 1+ x Câu h: I = ∫ 3 A Bx + C = = + ⇒ = A( x + x − 1) + ( x + 1)( Bx + C ) 1+ x ( x + 1)( x + x − 1) x + x + x − ⇒ = Ax + Ax − A + Bx + Cx + Bx + C ⇔ = ( A + B ) x + ( A + B + C ) x − A + C A + B = A =   Áp dụng đồng dư thức, suy  A + B + C = ⇔ B = −1 − A + C = C =   Ta có: 1 1 1 3dx −x+2  dx 2−x x−2  = ∫ + +∫ dx = ln x + − ∫ dx dx = ∫ Vậy I = ∫ 1+ x x + x + x −1 x +1 x + x −1 x + x −1 0 0 1 1 ( x + x − 1) 31 dx 31 dx = ln x + − ∫ dx + ∫ = ln x + − ln x + x − + ∫ 2 x + x −1 x + x −1 20 1  3   x −  +      dx ∫ 3 Tính     Đặt x − = tan t ⇒ dx = (tan x + 1)dt   x−  + 2 2     π π  π (tan x + ) dt t = dx 2π  x = = ∫ = dt = ⇒ ∫ Đổi cận:  Suy ∫ π 3     − π (tan x + 1) x = t = − π −   x − +   6      1 3dx 2π π = ln x + − ln x + x − + = ln + Vậy I = ∫ 2 3 0 1+ x 1 Câu i: I =∫ x xdx dx = ∫ 2 x + x +1  1  3   x +  +      Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân  π t = x = 1 3 2 ⇒ Đặt x + = tan t ⇒ 2dx = (tan x + 1)dt Đổi cận:  2  x = t = − π  π π 1 (tan x + 1)dt 3 x xdx π I = dx = = = dt = ∫ ∫ ∫ ∫ Suy π 18 x + x +1     π (tan x + 1)   x +  + 6     2 2 2x + 2x + +1 2x + dx I = dx = dx = dx + Câu j: ∫0 x + x + ∫0 x + x + ∫0 x + x + ∫0 x + x + 2 d ( x + x + 4) dx dx =∫ +∫ = ln x + x + + ∫ 2 x + 2x + 0 ( x + 1) + ( x + 1) + Tính ( 3) = ln + ∫ dx ( x + 1) + ( 3)  π t= x =  ⇒ tan t ⇒ dx = (tan x + 1)dt Đổi cận:  Đặt x + = x =  t = − π  dx ∫ (x + 1) + ( ) 2 Suy ra: ∫ ( x + 1) + ( ) Câu k: ∫x π dx =∫ π π 6 π (tan x + 1)dt 33 3 π π = dt = t = Vậy I = ln + ∫ 3(tan x + 1)dt π π 18 18 4 4 5x − 5x − dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = ln x − − ln x − = − ln + ln ( x − 1)( x − 2) x−2 x −1 − 3x + 3 1 1 2x + dx d ( x + x + 6) dx = Câu l: x + 11 dx = dx + = ∫0 x + x + ∫0 x + x + ∫0 x + x + ∫0 x + 5x + ∫0 x + x + + 1 2x + + 1 1 dx dx dx = ln x + x + +∫ −∫ = ln + ln x + − ln x + = ln ∫0 ( x + 2)( x + 3) x+2 x+3 Bài Tính tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm hữu tỉ) a I = ∫ x2 dx ; − x2 x dx ; ( x + 1) g I = ∫ 3x + dx ; b I = ∫ x−2 x2 dx ; h I = ∫ x − x + 12 1 x dx ; c I = ∫ ( x + 1) i I = ∫ 4x − dx ; x + x2 + x + − x2 dx + x x dx ; d I = ∫ ( x + 1) j I = ∫ x3 I = e ∫0 x + dx ; k I = 1+ ∫ dx f I = ∫ ; x (x + 1) x2 + dx x − x +1 Hướng dẫn: Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân 1 1 1 (2 − x) + (2 + x) x2 − + x2 − 4dx 4dx dx = ∫ dx + ∫ = − ∫ dx + ∫ = −1+ ∫ dx Câu a: I = ∫ 2 4− x 4− x 4− x (2 − x )(2 + x) (2 − x)(2 + x) 0 0 0 = −1 + ∫ 1 1 dx dx dx dx +∫ = −1 − ∫ +∫ = − − ln x − + ln + x = ln − 2−x 2+ x x−2 2+ x 5 5 5 3x + 3( x − 2) + 10 3( x − 2)dx 10dx dx dx = ∫ dx = ∫ +∫ =3∫ dx + 10 ∫ Câu b: I = ∫ x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 3 3 5 3 dx = x + 10 ln x − = 3.5 − 3.3 + 10 ln − 10 ln = + 10 ln x−2 = 3∫ dx + 10∫ x x A B C A( x + 1) + B ( x + 1) + C dx = + + = Ta có: ( x + 1)3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)3 ( x + 1)3 ( x + 1) Câu c: I = ∫ A = A =   ⇒ x = Ax + (2 A + B) x + A + B + C ⇔ 2 A + B = ⇔  B = A + B + C = C = −1   Vậy x 1 = − ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)3 1 1 1  x dx dx d ( x + 1) d ( x + 1)  − 1 dx = − = − = + = Suy I = ∫ 3 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)  x + 2( x + 1)  0 0  π t= x = x3 dx Đặt x = tan t ⇒ dx = (tan t + 1) dt Đổi cận:  ⇒ Câu d: I = ∫  x = t = 0 ( x + 1)  π Vậy I = ∫ π π tan t.(tan t + 1)dt tan t =∫ dt = ∫ 2 (tan t + 1) (tan t + ) 0 π = ∫ sin td (sin t ) = π sin x = 16 π sin t   cos t.   cos t  dt = ∫ sin t cos tdt “Ngoài đặt t = x + ” 1  x3 x  x3   I = dx = x − x + − dx = − + x − ln x + = − ln Câu e:     ∫0 x + ∫0  x +1 3 0 Câu f: I = ∫ 2 2 2 dx ( x5 + − x5 ) ( x + 1) x5 dx x4 = dx = dx − dx = − ∫1 x( x5 + 1) ∫1 x( x + 1) ∫1 x ∫1 x + 1dx x( x + 1) ∫1 x( x + 1) 2 dx d ( x + 1)  1 33  =∫ − ∫ = ln x − ln x +  = ln − ln x x +1 5  1 1 1 1 x 2x + − 1 2x + 1 dx dx dx dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ = ∫ − ∫ 3 3 (2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + 1) ( x + 1) Câu g: I = ∫ 1  d (2 x + 1) d (2 x + 1)  − 1 = ∫ − ∫ =  + = “Ngoài đặt t = x + ” 2 (2 x + 1) (2 x + 1)  x + 2(2 x + 1)  18 2 2 x2 x − 12  16  dx = ∫ 1 + dx − ∫ dx Câu h: I = ∫ dx = ∫ dx + ∫ x − x + 12 x − x + 12  x−4 x−3 1 1 = [ x + 16 ln x − − ln x − ] = + 25 ln − 16 ln Nguyễn Phước Duy Trang Hướng dẫn giả tập Tích Phân Câu i: I = ∫ 4x − dx x + 2x2 + x + 4x − 4x − Ax + B C ( Ax + B )( x + 2) + C ( x + 1) = = + = x + x + x + ( x + 2)( x + 1) x2 + x + ( x + 2)( x + 1) ⇒ x − = ( Ax + B )( x + 2) + C ( x + 1) ⇔ x − = ( A + C ) x + (2 A + B ) x + B + C  A = A + C =  4x − 9x +   = − ⇒ 2 A + B = ⇔  B = Do 2 x + x + x + 5( x + 1) 5( x + 2) 2 B + C = −1   −9  C =  Ta có: 1 1  9x + 4x −  9x + dx dx = ∫ dx = ∫  − dx − ∫ Vậy I = ∫ x + 2x2 + x + 5( x + 1) 5( x + 2)  5( x + 1) 50 x+2 0 1 1 1 d ( x + 1) dx dx 9 dx = ∫ + ∫ − ∫ = ln x + − ln x + + ∫ 10 x + x + x + 10 5 x +1 0 dx Tính ∫ Đặt x = tan t ⇒ dx = (tan x + 1)dt Đổi cận: x +1 π π  π x = t = x = ⇒   t = 4x − 27 π dx (tan x + 1)dt π Vậy I = dx = ln − ln + Suy ∫ = = dt = ∫0 x + ∫0 tan x + ∫0 x + 2x + x + 10 10 1 −1 −1 2 − x2 x x2 I = dx = dx = Câu j: ∫1 + x ∫1 ∫1  2 dx +x x+  −2 x2 x  1  1  Đặt x + = t ⇒ dt = 1 − dx ⇒ −dt =  − 1dx Đổi cận: x  x  x  5 dt Vậy I = ∫ −2 dt = − ∫ 2 t −2 t − ( ) Câu k: I = 1+ ∫ x +1 dx = x − x2 + t− =− ln 2 t+ 1+ ∫ 2 = t = x =  x = ⇒  t=   2− ln 2(3 − 2 ) 1 1 1 1+ 1+    x 1 +  d x −  1 +  2 x  x   x  dx =  dx = ∫ ∫ 1 1   1 1  x2  x2 − +   x −1+   x −  +1 x x     x  x = t = 1   Đặt x − = tan t ⇒ d  x −  = (tan t + 1)dt Đổi cận:  + ⇒  π x x t=  x=   1 1+ π π  d x −  π (tan t + 1)dt π x  = I = = = dt = t Vậy ∫1  2 ∫1 tan t + ∫1  x −  +1 x  Nguyễn Phước Duy Trang 10 Hướng dẫn giả tập Tích Phân Bài Tính tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm vô tỉ) 2 a I = ∫ x x + 3dx ; 16 l I = m I = ∫ x + 1dx (*) ; dx ; + x +1 e I = ∫ dx ; x +1 + x −1 2 o I = 0 ∫ e x − 1dx ; 15 q I = ∫ x + x dx ; e r I = ∫ + ln x dx ; x s I = ∫ x − x +1 1 t I = ∫ j I = ∫ − x dx ; π dx − x dx ; ; dx 9x2 − 2x +1 cos x.dx u I = ∫ k I = ∫ x ; i I = ∫ x − x dx ; x + 12 x + 1 dx ∫ (2 x + 3) ln p I = x dx ; 2x + h I = ∫ − x dx ; − x2 ∫ n I = ∫ (1 − x ) dx ; dx ; x +1 + x −1 f I = ∫ g I = d I = ∫ 1+ x ; dx 1− x 23 c I = ∫ x + x dx ; ∫ dx ; x+9 − x b I = ∫ 2 + cos x ; Hướng dẫn: 2 2 1 1 Câu a: I = ∫ x x + 3dx = ∫ x + 3d ( x + 3) = ∫ ( x + 3) d ( x + 3) = ( x + 3)3 = ( 73 − 43 ) 21 21 3 1 16 Câu b: I = ∫ 16 16 dx ( x + + x )dx ( x + + x )dx =∫ =∫ = x + − x ( x + − x )( x + + x ) 16  1 =  ∫ ( x + 9) d ( x + 9) + ∫ x dx  = 0  27 16 42 23 Câu c: I = ∫ x + x dx = Câu d: I = ∫ 42 [ ( x + 9)3 + x 42 ] 16 = 27 [ 16 16  1 x + dx + x dx  ∫ ∫ 0  ] 253 − 93 + 163 − 03 = 12 42 1 1 + x d (1 + x ) = ∫ (1 + x ) d (1 + x ) = (1 + x ) ∫ 30 30 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: + x +1 = 3111751  x = t =  x = ⇒ t =   3 3 3 2tdt (t + − 1)dt t +1 dt dt   = 2( t − ln t + ) = 21 + ln  = 2∫ = 2∫ dt − ∫ = 2 ∫ dt − ∫  t +1 t +1 t +1 t +1  t + 1 4  2 2 Vậy I = ∫ Câu e: I = ∫ 1 1 1 3   dx ( x + − x )dx 2 2 =∫ = ∫ ( x + 1) dx − ∫ x dx = ( x + 1) + x  =  2 −  3 x +1 + x 0 0 3  Nguyễn Phước Duy Trang 11 Hướng dẫn giả tập Tích Phân 1 dx Tích phân không tồn hàm số f ( x) = không x +1 + x −1 x −1 −1 x + + xác định x = ∈ [−1;1] x = t = 2  x dx ⇒ Câu g: I = ∫0 − x Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận:  x = t = π   Câu f: I = ∫ 2 Vậy: I = x dx ∫ 1− x π π =∫ 2 sin t cos tdt − sin t π π π π 2 π π sin t cos tdt sin t cos tdt =∫ = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt cos t cos t 20 0 =∫ π 1 π = ∫ dt − ∫ cos 2tdt = t − sin 2t = − 20 20 x dx Đặt t = x + ⇒ t = x + 1+ ⇒ tdt = dx Đổi cận: 2x +1 Câu h: I = ∫ Vậy ∫ x dx = 2x + ∫ t = x = x = ⇒   t = (t − 1) tdt 1 t3  2 = ∫ (t − 1)dt =  − t  = t 23 0 x = 1 t = ⇒ Câu i: I = ∫ x − x dx Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ −tdt = xdx Đổi cận:   x = t = 1 1 0 0 2 2 2 Vậy I = ∫ x − x dx = ∫ x x − x dx = ∫ (1 − t )t (−tdt ) = ∫ t (1 − t )dt = ∫ (t − t )dt = Câu j: I = ∫ Vậy ∫  π t= x = ⇒ − x dx Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận:   x = t =  15 π π π π 0 0 π + cos 2t dt − x dx = ∫ − sin t cos tdt = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ π π π π 1 π = ∫ dt + ∫ cos 2tdt = t + sin 2t = 20 20 4  π  x = t = − x dx Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận:  ⇒  x = t =  Câu k: I = ∫ x 2 π π π π 0 0 Vậy I = x − x dx = sin t cos t.2 cos tdt = 4 sin t cos tdt = sin 2ttdt = (1 − cos 4t )dt ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π   = 2t − sin 4t  = π  0 Câu l: I = 2 ∫  π  t = + x Đặt x = cos t ⇒ dx = − sin tdt Đổi cận:  x = ⇒  dx  π  1− x t=  x =  Nguyễn Phước Duy Trang 12 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π + cos t sin t.dt = − ∫ − cos t π Vậy I14 = − ∫ π 2 π π t 4 sin t.dt = − cot t sin t.dt = − cot t sin t.dt ∫ ∫ x π π sin 2 2 cos π π t π 4 t t t sin cos dt = −2 cos dt = − (1 + cos t ).dt = − [ t + sin t ] = π + − = −2 ∫ π ∫ ∫ t 2 π sin π π 2 2 π cos Câu m: I = ∫ x + 1dx (*) Sử dụng tích phân phần xdx xdx  = u = x + u = x + udu = xdx du = u ⇒ ⇒ ⇒ Đặt  x2 + v = x dv = dx dv = dx   v = x  1 1 x.xdx x.xdx x dx 2 I = x + dx = x x + − = − = − Vậy ∫0 ∫0 x + ∫0 x + ∫0 x +  I = − ∫  x + − 0 1 Suy I = + ∫ Tính ∫ ∫ dx x +1 dx x +1 π =∫ 1  dx dx dx = − ∫ x + 1dx + ∫ = 2−I +∫ 2 x +1  x +1 x2 + 0 dx dx ⇒I= + ∫ 2 x2 + x2 + Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan t )dt (1 + tan t )dt tan t + 1 π =∫ π π π π π dt dt 4 4 2 d (sin t ) cos t = cos t = dt = cos tdt = d (sin t ) = 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos t cos t − sin t (1 − sin t )(1 + sin t ) 0 cos t cos t π π π (1 − sin t ) + (1 + sin t ) 14 + sin t 14 − sin t = ∫ d (sin t ) = ∫ d (sin t ) + ∫ d (sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) π π π π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) 1 + sin t = ∫ + ∫ =− ∫ + = ln − sin t + sin t sin t − ∫0 + sin t sin t − π π − ln + sin = ln − − 2 − ln − = ln + 2 = ln π sin − sin − 2 dx I = + = + ln + 2 Vậy ∫ 2 x2 + + sin Câu n: I = ∫ t = x = (1 − x ) dx Đặt x = cos t ⇒ dx = − sin tdt Đổi cận:  ⇒ π t = x =   Nguyễn Phước Duy Trang 13 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π π π 0 0 40 Vậy I = (1 − x )3 dx = (1 − cos x)3 sin tdt = sin t sin tdt = sin tdt = (1 − cos 2t ) dt ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = π π π  1  1 3    1 − cos 2t + cos 2t dt = ∫ 1 − cos 2t + (1 + cos 4t )  dt = ∫  − cos 2t + cos 4t  dt ∫ 0 40 2    π 3  3π =  t − sin 2t + sin 4t  = 2  16 dx ∫ (2 x + 3) Câu o: I = − x + 12 x + Đặt t = x + 12 x + ⇒ t = x + 12 x + ⇒ 2tdt = (8 x + 12)dx ⇒ dt = 2( x + 3)dx  x = Đổi cận:  x =  −1 ⇒ t = 02 Ta có: (2 x + 3) = x + 12 x + = x + 12 x + + = t +  t =  2 ∫ (2 x + 3) Vậy I = − dx x + 12 x + 2 (2 x + 3) dx ∫ (2 x + 3) = − 2 x + 12 x + = 2 ∫ tdt = (t + 4)t 2 ∫ dt t +4 u = t = ⇒ Lại đặt t = tan u ⇒ dt = 2(1 + tan u )du Đổi cận:  u = π t =   Suy ra: π π π dt 2(1 + tan u )du 1 π Vậy I = π = = du = u = 12 t + ∫0 4(tan u + 1) ∫0 12 ∫ ln ∫ Câu p: I = e x − 1dx Đặt t = e x − ⇒ t = e x − ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = ln Suy I = ∫ 1 2tdt 2tdt = Đổi cận: ex t +1 x = t =  x = ln ⇒ t =   t.2dt dt dt = ∫ dt − ∫ = − 2∫ t +1 t +1 t +1 0 0 e x − 1dx = ∫ u = t =  ⇒ Lại đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u )du Đổi cận:  u = π t =  π π Suy ra: 2dt = (1 + tan u2 )du = du = π Vậy I = ∫0 t + ∫0 (1 + tan u ) ∫0 ln ∫ e x − 1dx = − π π = 2− 15 Câu q: I = ∫ x + x dx 8 7 Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = 24 x dx ⇒ x dx = Nguyễn Phước Duy tdt Đổi cận: 12  x = t =  x = ⇒ t =   Trang 14 Hướng dẫn giả tập Tích Phân Vậy I = ∫ x 1 + x dx = ∫ x 15  t −1 t tdt + x x dx = ∫   12 1 8 1  t5 t3  29  −  = = ( t − t ) dt = ∫ 36 36   18 e e (2 + ln x) + ln x d (ln x) = ∫ (2 + ln x) d (ln x) = Câu r: I = ∫ e 3 e = (2 + ln x) = (3 − 2 ) 3 1 1− t2 2dt t − x = x − x + ⇒ x = ⇒I =∫ = ln Đặt 2t + 2t − x − x +1 dx Câu s: I = ∫ dx Câu t: I = ∫ 9x2 − 2x +1 2 2 Đặt t − x = x − x + ⇒ t − 6tx + x = x − x + ⇒ t − = x(6t − 2) ⇒ x = t2 −1 2(3t − 1) 2  x = t = dt −1 ⇒ = ln Đổi cận:  Vậy I = ∫ 3t − x = t = 2 π cos x.dx Câu u: I = ∫ + cos x π π cos x.dx =∫ cos x.dx =∫ + − sin x − sin x x = t = Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận:  π ⇒  x= t =  1 dt dt = Suy ra: I = ∫ ∫ 2 4−t 2 − t2 Lại đặt t = sin u ⇒ dt = cos udu Suy I = ∫ dt = 22 − t π ∫ 2 = π ∫ cos x.dx − sin x u = t =  ⇒ − t = − sin u = cos u Đổi cận:  u = π t =  2 π π π cos udu 1 π = = du = u = ∫ ∫ 2 cos u 2 cos u cos udu Bài Tính tích phân sau: (tích phân hàm lượng giác) π a I = sin xdx ; ∫ π b I = cos 2 xdx ; ∫ π c I = ∫ tan xdx ; π π d I = ∫ tan xdx ; π π e I = ∫ π π f I = ∫ π Nguyễn Phước Duy dx ; sin x dx ; cos x Trang 15 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π g I = ∫ π π π sin x dx ; cos x n I = ∫ π π dx h I = ∫ ; o I = cos xdx ; ∫ cos x π π dx i I = ∫ ; π dx ; sin x cos x p I = sin xdx ; ∫ cos x π x dx ; + cos x q I = cos x cos xdx ; ∫ j I = ∫ π π dx π ; π cos x cos x +   4  r I = cos x(sin x + cos x)dx ; ∫ π s I = sin xdx ; ∫ k I = ∫ π dx π;  π sin x sin x +   6  l I = ∫ π m I = ∫ π π t I = sin x cos xdx ; ∫ π cos 3x dx ; sin x u I = sin x cos xdx ∫ π Câu a: I = sin xdx ∫ π π π Câu b: I = cos 2 xdx = (1 + cos x)dx =  x + sin x  = π ∫ ∫   20 π 2 π 4 sin x dx = − ∫ d (cos x) =− ln cos x Câu c: I = ∫ tan xdx = ∫ π π cos x π cos x π 4 0 π π π = π π π π π π π Câu d: I = ∫ tan xdx = ∫ (tan x + − 1)dx = ∫ (tan x + 1)dx − ∫ dx = tan x − x = 2 π π π π π π π π π π π π π 3 3 π sin x d (cos x ) d (cos x) dx = ∫ dx = − ∫ =∫ = 2 π sin x π sin x π − cos x π − cos x Câu e: I = ∫ Câu f: I = ∫ π cos x d (sin x ) d (sin x) d (sin x) d (sin x) dx = ∫ dx = ∫ =∫ = ∫ − = 2 cos x π sin x − π∫ sin x + π cos x π − sin x π sin x − Nguyễn Phước Duy Trang 16 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π  x=  t = sin x dx ⇒ Câu g: I = ∫ dx Đặt t = tan x ⇒ dt = Đổi cận:  cos x π cos x x = π t =  π π π 3 t5 t3  sin x dx dx 42 − 2 Vậy I = ∫ = ∫ tan x = ∫ t (t + 1)dt =  +  = cos x cos x 15  1 π cos x cos x cos x π 4 π π Câu h: I = dx = ∫ ∫ cos x π π dx dx = ∫ (1 + tan x) = ∫ (1 + tan x)d (tan x) = 2 cos x cos x cos x π dx Câu i: I = ∫ Dùng phương pháp tích phân phần: cos x  π π sin xdx  π u = cos x 3 − du = dx tan x tan x sin xdx ⇒ cos x Vậy I = Đặt  = − − ∫ ∫ dx dv = v = tan x cos x 0 cos x cos x  cos x π π π π π − cos x sin xdx dx dx dx =2 3−∫ dx = − ∫ +∫ =2 3−I +∫ 3 cos x cos x 0 cos x cos x cos x =2 3−∫ π π cos xdx cos xdx sin x − =2 3−I +∫ =2 3−I +∫ = − I − ln 2 sin x + cos x − sin x Vậy I = − I − ln π π 3−2 = − I − ln 3+2 3−2 3−2 3−2 ⇔ I = − ln ⇔ I = − ln 3+2 3+2 3+2 π π x x x dx = ∫ dx = ∫ dx 2 + cos x cos x cos x 0 Câu j: I = ∫ u = x du = dx  Đặt  Vậy dx ⇒  v = tan x dv = cos x π π = x tan x + ∫ π x ∫ cos d (cos x ) = [ x tan x + ln cos x ] cos x π x π π π π dx = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫ = 0 sin x dx cos x π − ln 2dx 2dx 2dx dx = ∫ =∫ = ∫ cos Câu k: I = ∫ π π cos x cos x + π cos x (cos x − sin x ) π cos x − sin x cos x π − tan x   3 3 4  π π = − 2∫ π π d (1 − tan x) = − ln − tan x − tan x Nguyễn Phước Duy π π π = − ln π − 3 = − ln Trang 17 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π dx dx dx =∫ = 2∫ π π π π  sin x + cos x π sin x sin  x + π sin x   sin x sin x cos + cos x sin  6 6 6   π π dx π 3 dx d ( + cot x) sin x = 2∫ = −2 ∫ = − ln + cot x π3 = − ln 3 sin x + sin x cos x + cot x + cot x π π Câu l: I = ∫ π = 2∫ π π π π 4 ( ) π π [ ] cos 3x cos x − cos x cos x(4 cos x − 3) cos x 4(1 − sin x) − dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx Câu m: I = ∫ sin x sin x sin x π sin x π π π π =∫ [4(1 − sin 4 π ] π x) − (1 − sin x) 3d (sin x) d (sin x ) =4 ∫ d (sin x) − ∫ = sin x sin x sin x π π π 4 π π π π dx (sin x + cos x)dx dx dx =∫ =∫ +∫ = [ tan x − cot x ] Câu n: I = ∫ 2 2 sin x cos x π sin x cos x π π sin x π cos x 2 β β π π = β β dx (sin x + cos x) dx sin xdx cos xdx = = + m n m n m n m n ∫ ∫ ∫ sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x α α α α “Note”: I = ∫ π 2 π 2 π Câu o: I = cos xdx = (1 + cos x) dx = (1 + cos x + cos 2 x)dx ∫ ∫ ∫ 4 0 π π 3 1  3  3π = ∫  + cos x + cos x dx =  x + sin x + sin x  = 02 32  8  16 π π π Câu p: I = sin xdx = (1 − cos x) dx =  − cos x + cos x dx ∫ ∫ ∫ 4 02  π 1 3  3π =  x − sin x + sin x  = 32 8  16 π π π π 2 Câu q: I = cos x cos xdx = cos x(1 + cos x)dx = cos xdx + cos x cos xdx ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 = π π π π π 1 1 1 cos xdx + ∫ ( cos x + cos x ) dx = ∫ cos xdx + ∫ cos xdx ∫ cos xdx ∫ 20 202 20 40 40 π 1 2 =  sin x + sin x + sin x  = 24 8 0 π Câu r: I = cos x(sin x + cos x)dx ∫ 4 2 2 2 Ta có sin x + cos x = (cos x + sin x) − sin x cos x = − sin x = − Nguyễn Phước Duy − cos x cos x = + 4 Trang 18 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π 0 π Vậy I = cos x(sin x + cos x)dx = cos x + cos x dx =  cos x + cos x cos x dx ∫ ∫ ∫ π π 4 π   π  π π cos x cos x cos x dx + ∫ dx = ∫ cos xdx + ∫ (cos x + cos x)dx = ∫ cos xdx + ∫ cos xdx 4 40 80 80 80 0 =∫ π 7 2 =  sin x + sin x  = 48 16 0 π π π π  2 Câu s: I = sin xdx = sin x(1 − cos x)dx = − (1 − cos x)d (cos x) = − cos x − cos x  = ∫0 ∫0 ∫0 0  π π π 0 Câu t: I = sin x cos xdx = sin x cos x cos xdx = sin x(1 − sin x) cos xdx ∫ ∫ ∫ π π π 0 = ∫ sin x(1 − sin x) d (sin x) = ∫ sin x(1 − sin x + sin x)d (sin x) = ∫ (sin x − sin x + sin8 x)d (sin x) π  sin x sin x sin x  = −2 +  = 315  0 π π π π 0 Câu u: I = sin x cos xdx = sin x cos x cos xdx = sin x(1 − sin x)d (sin x) = (sin x − sin x)d (sin x) ∫ ∫ ∫ ∫ π  sin x sin x  = −  =  15  Bài Tính tích phân sau: π a A = sin x dx ; ∫ π b B = ∫ π π + cos x dx ; sin x cos x π d D = ∫ π π 2 cos xdx ; (1 − cos x) dx ; cos x + sin x + e E = ∫ π f F = sin xdx ; ∫ cos x + Nguyễn Phước Duy x + cos x dx (*) ; x ∫π − sin g G = − π h H = sin x + cos x + dx ; ∫ dx ; sin x + sin x cos x − cos x c C = ∫ π sin x + cos x + π dx ; (sin x + cos x ) i I = ∫ π j J = ∫ tan xdx ; π π k K = ∫ π dx ; tan x + l L = tan xdx ; ∫ Trang 19 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π n N = cos x − sin x3 dx ∫ m M = ∫ cot xdx ; π (sin x + cos x) Hướng dẫn giải x = t = Câu a: A = sin x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:  π ⇒  Suy ∫0 + cos x x= t =  π π 0 0  t2  sin x sin x 4(1 − t ) 4(1 − t )(1 + t ) A=∫ dx = − ∫ dt = − ∫ dt = − ∫ 4(1 − t )dt = − t −  = + cos x 1+ t 1+ t  1 1  π  x= t =  dx ⇒ Câu b: B = ∫ Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận:  Suy π sin x cos x  π x = t =  π π π π dx cos xdx cos xdx B=∫ =∫ =∫ = 2 π sin x cos x π sin x cos x π sin x (1 − sin x ) = ∫t = ∫ 1− t dt + (1 − t ) 4 (1 + t ) dt + t4 ∫t 4 t dt = (1 − t ) ∫ 3 dt ∫ (1 − t 2 ) = dt ∫t + (1 − t )(1 + t ) dt + t (1 − t ) dt ∫t 2 + 2 ∫ dt = t (1 − t ) dt ∫ (1 − t 2 ) = ∫ ∫ (1 − t ) + t dt t (1 − t ) (1 + t ) dt + t4 dt ∫ (1 − t 2 )  −1 1 t −1  − 26 3( − 2) =  − − ln = − ln  )  3t t t +  27 3+2 dx dx cos x Câu c: C = = ∫0 sin x + sin x cos x − cos x ∫0 tan x + tan x − π 3 dt ∫ (1 − t 3 π  π (vì x ∈ 0 ;  ⇒ cos x > 0)  4 x = t = dx Đặt t = tan x ⇒ dt = Đổi cận:  π ⇒  x= cos x t =  π dx 1 1 dt dt dt dt cos x Vậy C = ∫0 tan x + tan x − = ∫0 t + 2t − = ∫0 t + 2t + − = ∫0 (t + 1) − = ∫0 (t + 1)2 − ( )2 t +1− = ln 2 t +1+ π Câu d: D = ∫ π = 2 ln 2− 2+ cos xdx (1 − cos x) π   x=  x 1 x  t= 2dt  ⇒ Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = Đổi cận:   2  t +1 x = π t =  Nguyễn Phước Duy Trang 20 Hướng dẫn giả tập Tích Phân 1− t2 1− t2 1− t2 − t 2dt dt dt dt 1 1 2 cos xdx (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) + t + t =2∫ =2∫ =2∫ 2 Vậy D = ∫ (1 − cos x) = ∫ 2 2 4t       π 1− t 2t 3 (1 + t ) − (1 − t ) 3 1 −      (1 + t ) 2  2 1+ t2  1+ t    1 + t  π 1 1− t ∫ t dt =  1 1 1 ∫  t − t dt = − 3t + t  3 3 − t (1 + t ) =2∫ dt = 2 (1 + t ) 4t 1 3 12  =  − 0 = 23  π x 1 x  2dt dx Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2  t +1 cos x + sin x + Câu e: I = ∫ π 2dt x = 1 2 t = dx 2dt t +  =∫ =∫ Đổi cận:  π ⇒  Vậy I = ∫ 2t cos x + sin x + 2(1 − t ) t + 2t + x= t = + +3  2 1+ t 1+ t 1 2dt 2dt =∫ =∫ 2 t + 2t + + (t + 1) + π  u= t = 1  ⇒ với tan α = Đặt t + = tan u ⇒ dt = 2(tan u + 1)du Đổi cận:   t = u = α π π π 2dt 4(tan u + 1)du π = = = du = u − α 2 ∫ ∫ α (t + 1) + α 4(tan u + 1) α Vậy I = ∫ π 2 π π π 2 Câu f: I = sin 3xdx = sin x − sin x dx = (3 − sin x) sin xdx = ( −1 + − sin x) sin xdx ∫ ∫ ∫ ∫ cos x + π =∫ cos x + [− + 4(1 − sin x)] sin xdx = − cos x + cos x + 0 cos x + π (1 − cos2 x) sin xdx ∫0 cos x + x = t = Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:  π ⇒  x= t =  π 0 2 Vậy I = − (1 − cos x) sin xdx = (1 − 4t )dt =  4t − + dt =[ 2t − 4t + ln t + ] = −2 + ln ∫ ∫ ∫ cos x + Câu g: I = π ∫π − t +1  t +1 x + cos x dx (*) “ tích phân dạng I = α − sin x π ∫α f ( x)dx , đặt x = −t ” − −π   π x = t = ⇒ Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận:  x = π t = − π   2 − Vậy I = π ∫ π − t + cos− t (−dt ) = − sin − t Nguyễn Phước Duy π π ∫π − t + cos t − x + cos x dt = dx 2 ∫ − sin t π − sin x 2 − − Trang 21 Hướng dẫn giả tập Tích Phân Ta có I = π − = x + cos x dx + x ∫π − sin sin x − ln sin x + −π π = π ∫π − − x + cos x dx = − sin x π cos x ∫π − sin − x dx = π − d (sin x) = x ∫π − sin − π d (sin x) x − 22 ∫ π sin ln π Câu h: I = sin x + cos x + dx ∫ sin x + cos x + sin x + cos x + cos x − sin x C = A+ B + Ta có sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + ⇔ sin x + cos x + = A(4 sin x + cos x + 5) + B(4 cos x − sin x) + C 4 A − B = A =   ⇔ sin x + cos x + = (4 A − 3B ) sin x + (3 A + B ) cos x + A + C ⇔ 3 A + B = ⇔  B = 5 A + C = C =   π π π π π π 2  Vậy I = sin x + cos x + dx = 1 + cos x − sin x + ∫0 sin x + cos x + ∫0  sin x + cos x + sin x + cos x + dx = ∫ dx + ∫ +∫ π dx = + ln sin x + cos x + sin x + cos x + Tính π cos x − sin x d ( sin x + cos x + 5) dx + ∫ dx = x + ∫ sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + π π π π +∫ dx sin x + cos x + ∫ sin x + cos x + dx x = t = x 1 x  2dt Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = Đổi cận:  π ⇒  2  x= t +1 t =  π 2dt 1 1 2 2dt dt dt + t dx = ∫ =∫ =∫ =∫ Vậy ∫ 2t 1− t sin x + cos x + 2t + 8t + t + 4t + (t + 2) 0 + + 1− t2 1+ t2 1 d (t + 2) 1 =∫ =− = (t + 2) t+20 π Vậy suy ra: I = π + ln sin x + cos x + + ∫ π 2 π dx = + ln + sin x + cos x + π dx Chia tử mẫu cho cos x, (sin x + cos x ) Câu i: I = ∫ π π π  π (∀x ∈ 0 ;  ⇒ cos x ≠ 0)  4 π dx dx d (tan x + 2) 1 Ta có I = = = = − ∫0 (sin x + cos x) ∫0 cos x(tan x + 2) ∫0 (tan x + 2) tan x + = Nguyễn Phước Duy Trang 22 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π π π π π π π π π π π π π π 4 2 2 Câu j: I = ∫ tan xdx = ∫ tan x tan xdx = ∫ (tan x + − 1) tan xdx = ∫ (tan x + 1) tan xdx − ∫ tan xdx = ∫ tan x.d (tan x ) − ∫ (tan x + − 1)dx tan x = π π π π 3 tan x − ∫ (tan x + 1)dx + ∫ dx = π π π 4 π dx π dx π π π π − tan x + x π dx π π = π + 12 cos x.dx =∫ =∫ Câu k: I = ∫ tan x + = ∫ sin x sin x + cos x sin x + cos x 0 +1 cos x cos x π sin x.dx sin x + cos x Ta đặt J = ∫ π cos x.dx Ta có: I + J = ∫ sin x + cos x π π π π sin x.dx sin x + cos x.dx π =∫ = ∫ dx = sin x + cos x sin x + cos x 0 +∫ π π Lại có: I − J = cos x − sin x dx = d (sin x + cos x) = ln sin x + cos x = ln ∫ ∫ 0 sin x + cos x Vậy ( I + J ) + ( I − J ) = π sin x + cos x π π π + ln ⇔ I = + ln ⇔ I = + ln 4 π π π 0 Câu l: I = tan xdx = tan x.[(tan x + 1) − 1]dx = tan x(tan x + 1)dx − tan xdx ∫ ∫ ∫ ∫ 0 π π π π π  sin x d (cos x )  tan x dx = ∫ tan x.d (tan x) + ∫ = + ln cos x  = + ln cos x cos x  0 0 = ∫ tan x.d (tan x ) − ∫ π π π π π π π π π 6 2 Câu m: I = ∫ cot xdx = ∫ cot x[(cot x + 1) − 1]dx = ∫ cot x(cot x + 1)dx − ∫ cot xdx π π π π π π π π π = ∫ cot x (cot x + 1)dx − ∫ cot xdx = ∫ cot xd (cot x) − ∫ cos x d (sin x) dx = − ∫ cot xd (cot x) − ∫ sin x sin x π π π  cot x  = − − ln sin x  = − ln  π π π π 2 cos x sin x Câu n: N = cos x − sin x3 dx Đặt N1 = d x N = ∫0 (sin x + cos x) ∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (sin x + cos x)3 d x x =  π t= π  Đặt t = − x ⇒ −dt = dx Đổi cận:  π ⇒  x=  t = Nguyễn Phước Duy Trang 23 Hướng dẫn giả tập Tích Phân π  π  π cos − t  cos − t  cos x 2  2  − dt = ∫ dt 3 Vậy N = ∫ (sin x + cos x) d x = ∫ π  π  π  π  π  0  − t  + cos − t  sin  sin  − t  + cos − t        2    π π π sin t sin x dt = ∫ d x = N1 Suy ra: 3 [ cos t + sin t ] [ cos x + sin x ] 0 =∫ π π π π cos x sin x dx dx + ∫ dx = ∫ = 3 (sin x + cos x) (sin x + cos x) (sin x + cos x) ∫0 0 N1 + N = N1 = ∫ π  π d x −   π4 4  =∫ = tan x −  = Suy N1 = N = π  0 2 cos  x −   4  dx π  cos  x −  4  π π π π cos x sin x Vậy N = cos x − sin x dx = ∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (sin x + cos x)3 dx − ∫0 (sin x + cos x)3 dx =5 N − N1 = Nguyễn Phước Duy Trang 24 [...].. .Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân Bài 4 Tính các tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm vô tỉ) 2 2 a I = ∫ x x + 3dx ; 1 16 l I = 0 2 m I = ∫ x + 1dx (*) ; 0 3 dx ; 2 + x +1 e I = ∫ dx ; x +1 + x 0 1 −1 2 2 o I = 0 0 ∫ e x − 1dx ; 15 8 q I =... = = du = u = ∫ ∫ 2 0 2 cos u 2 0 2 0 6 2 4 cos 2 u 2 cos udu Bài 5 Tính các tích phân sau: (tích phân hàm lượng giác) π 4 a I = sin 2 xdx ; ∫ 0 π 2 b I = cos 2 2 xdx ; ∫ 0 π 4 c I = ∫ tan xdx ; π 3 π 4 2 d I = ∫ tan xdx ; π 3 π 2 e I = ∫ π 3 π 4 f I = ∫ π 3 Nguyễn Phước Duy 1 dx ; sin x 1 dx ; cos x Trang 15 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 3 g I = ∫ π 4 π 4 π 3 2 sin x dx ; cos 6 x n I = ∫ π 4... x + 5 π 4 dx ; 2 (sin x + 2 cos x ) 0 i I = ∫ π 3 4 j J = ∫ tan xdx ; π 4 π 4 k K = ∫ 0 π 4 dx ; tan x + 1 l L = tan 3 xdx ; ∫ 0 Trang 19 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 3 π 2 n N = 5 cos x − 4 sin x3 dx ∫ 3 m M = ∫ cot xdx ; π 6 0 (sin x + cos x) Hướng dẫn giải x = 0 t = 1 Câu a: A = 4 sin x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:  π ⇒  Suy ra ∫0 1 + cos x x= t = 0  2 π 2 3 π 2 0... ∫ 0 1 1 1 1 1 1 3 3 3   dx ( x + 1 − x )dx 2 2 =∫ = ∫ ( x + 1) 2 dx − ∫ x 2 dx = ( x + 1) 2 + x 2  =  2 2 − 2  1 3 x +1 + x 0 0 0 0 3  Nguyễn Phước Duy Trang 11 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân 1 1 dx Tích phân không tồn tại vì hàm số f ( x) = không x +1 + x −1 x −1 −1 x + 1 + xác định tại x = 0 ∈ [−1;1] 2 x = 0 t = 0 2 2  x dx ⇒ Câu g: I = ∫0 1 − x 2 Đặt x = sin t ⇒ dx = cos... Trang 12 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 4 π 4 1 + cos t sin t.dt = − ∫ 1 − cos t π Vậy I14 = − ∫ π 2 2 π π t 4 4 2 sin t.dt = − cot 2 t sin t.dt = − cot t sin t.dt ∫ 2 ∫ x 2 π π 2 sin 2 2 2 2 2 cos 2 π π t π 4 4 t t t 2 sin cos dt = −2 cos 2 dt = − (1 + cos t ).dt = − [ t + sin t ] 4 = π + 1 − 2 = −2 ∫ π ∫ 2 ∫ t 2 2 4 2 π sin π π 2 2 2 2 2 π 4 cos 1 2 Câu m: I = ∫ x + 1dx (*) Sử dụng tích phân. ..  t +1 x + cos x dx (*) “ tích phân dạng I = α 4 − sin 2 x 2 π 2 ∫α f ( x)dx , đặt x = −t ” − −π   π x = 2 t = 2 ⇒ Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận:  x = π t = − π   2 2 − Vậy I = π 2 ∫ π 2 − t + cos− t (−dt ) = 4 − sin 2 − t Nguyễn Phước Duy π 2 π ∫π 2 − t + cos t − x + cos x dt = dx 2 2 ∫ 4 − sin t π 4 − sin x 2 2 − − Trang 21 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân Ta có 2 I = π 2 − = x... 1 dx = + ln + 4 sin x + 3 cos x + 5 2 8 6 π 4 2 dx Chia tử và mẫu cho cos x, 2 0 (sin x + 2 cos x ) Câu i: I = ∫ π 4 π 4 π 4  π (∀x ∈ 0 ;  ⇒ cos x ≠ 0)  4 π 4 dx dx d (tan x + 2) 1 1 Ta có I = = = = − ∫0 (sin x + 2 cos x) 2 ∫0 cos 2 x(tan x + 2) 2 ∫0 (tan x + 2) 2 tan x + 2 0 = 6 Nguyễn Phước Duy Trang 22 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 3 π 3 π 3 π 4 π 4 π 3 π 4 π 3 π 3 π 3 π 4 π 4... cos x − sin x cos x π 1 − tan x   3 3 3 3 4  π 6 π 6 = − 2∫ π 3 π 6 d (1 − tan x) = − 2 ln 1 − tan x 1 − tan x Nguyễn Phước Duy π 6 π 6 π 3 = − 2 ln π 6 − 3 3 = − 2 ln 3 2 Trang 17 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 3 π 3 dx dx dx =∫ = 2∫ π π π π  3 sin x + cos x π sin x sin  x + π sin x   6 sin x sin x cos + cos x sin  6 6 6 6 6   π π dx π 3 3 2 dx d ( 3 + cot x) 2 sin x = 2∫ = −2... cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx ∫ 0 1 2 4 4 2 2 2 2 2 2 Ta có sin x + cos x = (cos x + sin x) − 2 sin x cos x = 1 − sin 2 x = 1 − Nguyễn Phước Duy 1 − cos 4 x 3 cos 4 x = + 4 4 4 Trang 18 Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân π 2 π 2 0 0 π 2 Vậy I = cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx = cos 2 x 3 + cos 4 x dx =  3 cos 2 x + cos 4 x cos 2 x dx ∫ ∫ ∫ π 2 π 2 4 π 2  4 0  4 π 2  4 π 2 π 2 3 cos 2 x cos... π 2 π 2 0 0 0 Câu u: I = sin 2 x cos 3 xdx = sin 2 x cos 2 x cos xdx = sin 2 x(1 − sin 2 x)d (sin x) = (sin 2 x − sin 4 x)d (sin x) ∫ ∫ ∫ ∫ 0 π 2  sin 3 x sin 5 x  2 = −  = 5  0 15  3 Bài 6 Tính các tích phân sau: π 2 3 a A = 4 sin x dx ; ∫ 0 π 3 b B = ∫ π 6 π 4 1 + cos x dx ; sin x cos x 4 π 2 d D = ∫ π 3 π 2 2 cos xdx ; (1 − cos x) 2 dx ; 2 cos x + sin x + 3 0 e E = ∫ π 2 f F = sin 3 xdx ;