bài tập về chuỗi số có lời giải chi tiết

Mục lụcLời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii1 CHUỖI SỐ 11.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ . . . . . . 11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Phần dư của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Các phép toán trên các chuỗi hội tụ . . . . . . . . 31.1.5 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ . . . . . . . . 41.2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG . . . . . . . . . . 41.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Dấu hiệu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Dấu hiệu D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Dấu hiệu Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.7 Dấu hiệu Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓDẤU BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Các định lý Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . 161.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . 18iLời mở đầu....iiChương 1CHUỖI SỐBÀI TẬPBài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi1. P∞n=1n3n − 1GiảiĐặt un =n3n − 1Ta có limn→∞un = limn→∞n3n − 1=136= 0⇒ limn→∞un 6= 0 Vậy chuỗi P∞n=1n3n − 1là chuỗi phân kỳ2. P∞n=1 2n − 12n + 1n+1GiảiĐặt un =2n − 12n + 1n+1Ta cólimn→∞√n un = limn→∞ns2n − 12n + 1n+1= limn→∞ns2n − 12n + 1n·2n − 12n + 1= limn→∞2n − 12n + 1·nr2n − 12n + 1= 13. P∞n=11nGiải1Đặt un =1n, un+1 =1(n + 1)Xét limn→∞un+1un= limn→∞n(n + 1) = limn→∞1n + 1= 0 < 1.Vậy theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi P∞n=11nlà chuỗi hội tụ4. P∞n=1sinπ3nGiảiĐặt un = sinπ3nXétlimn→∞un = limn→∞sinπ3n= limn→∞sinπ3nπ3n·π3n= limn→∞π3n⇔ limn→∞13nvì13< 1Vậy chuỗi P∞n=1sinπ3nlà chuỗi hội tụ.5.P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n), x > 0GiảiĐặt un =n(x + 1)(x + 2)...(x + n); un+1 =(n + 1)(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)+) limn→∞un+1un= limn→∞(n + 1)n·(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)= limn→∞n + 1x + n + 1= 1+) limn→∞n·unun+1− 1= limn→∞n·x + n + 1n + 1− 1= limn→∞n·xn + 1=limn→∞nxn + 1= x.Nếu 0 < x < 1 thì chuỗi P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n)là chuỗi phân kỳNếu x > 1 thì chuỗi P∞n=1n(x + 1)(x + 2)...(x + n)hội tụ

Mục lục

Lời mở đầu ii

1 CHUỖI SỐ 1 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Phần dư của chuỗi hội tụ 2

1.1.3 Điều kiện để chuỗi hội tụ 3

1.1.4 Các phép toán trên các chuỗi hội tụ 3

1.1.5 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ 4

1.2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Dấu hiệu so sánh 5

1.2.3 Dấu hiệu tích phân 7

1.2.4 Dấu hiệu Cauchy 9

1.2.5 Dấu hiệu D’Alembert 10

1.2.6 Dấu hiệu Raabe 12

1.2.7 Dấu hiệu Gauss 14

1.3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓ DẤU BẤT KỲ 14

1.3.1 Các định lý Dirichlet và Abel 16

1.3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 18

Lời mở đầu

Chương 1

CHUỖI SỐ

BÀI TẬP Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi

1

∞

P

n=1

n 3n − 1

Giải

Đặt un = n

3n − 1

Ta có lim

n→∞un = lim

n→∞

n 3n − 1 =

1

3 6= 0

⇒ lim

n→∞un 6= 0 Vậy chuỗi

∞

P

n=1

n 3n − 1 là chuỗi phân kỳ 2

∞

P

n=1

 2n − 1

2n + 1

n+1

Giải

Đặt un =  2n − 1

2n + 1

n+1

Ta có

lim

n→∞

n

√

un = lim

n→∞

n

s

 2n − 1 2n + 1

n+1

= lim

n→∞

n

s

 2n − 1 2n + 1

n

· 2n − 1 2n + 1

= lim

n→∞

2n − 1 2n + 1 · r 2n − 1n

2n + 1 = 1 3

∞

P

n=1

1

n!

Giải

Đặt un = 1

n!, un+1 =

1 (n + 1)!

Xét lim

n→∞

un+1

un = limn→∞

n!

(n + 1)! = limn→∞

1

n + 1 = 0 < 1.

Vậy theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi

∞

P

n=1

1 n! là chuỗi hội tụ 4

∞

P

n=1

sin π

3n

Giải

Đặt un = sin π

3n

Xét

lim

n→∞un = lim

n→∞sin π

3n = lim

n→∞

sin π

3n

π

3n

· π

3n = lim

n→∞

π

3n ⇔ lim

n→∞

1

3n

vì 1

3 < 1

Vậy chuỗi

∞

P

n=1

sin π

3n là chuỗi hội tụ

5

∞

P

n=1

n!

(x + 1)(x + 2) (x + n), x > 0

Giải

(x + 1)(x + 2) (x + n); un+1 =

(n + 1)!

(x + 1)(x + 2) (x + n)(x + n + 1)

+) lim

n→∞

un+1

un = limn→∞

(n + 1)!

n! · (x + 1)(x + 2) (x + n)

(x + 1)(x + 2) (x + n)(x + n + 1)

= lim

n→∞

n + 1

x + n + 1 = 1

+) lim

n→∞n·



un

un+1 − 1



= lim

n→∞n· x + n + 1

n + 1 − 1



= lim

n→∞n·

 x

n + 1



=

lim

n→∞

nx

n + 1 = x.

Nếu 0 < x < 1 thì chuỗi

∞

P

n=1

n!

(x + 1)(x + 2) (x + n) là chuỗi phân kỳ Nếu x > 1 thì chuỗi

∞

P

n=1

n!

(x + 1)(x + 2) (x + n) hội tụ 6

+∞

P

n=1

1

√

n + 2n và

+∞

P

n=1

1

2n

Do √ 1

n + 2n> 1

2n, ∀n > 1 nên

+∞

P

n=1

1

√

n + 2n là chuỗi phân kỳ

Vì chuỗi

+∞

P

n=1

1

2n phân kỳ

7

+∞

P

n=1

1

n2

Giải

Từ bất đẳng thức 1

n2 < 1

(n − 1)n ∀n ≥ 2

Suy ra:

+∞

P

n=1

1

n2 là chuỗi hội tụ

8

+∞

P

n=1

sin 1

n Giải

Do lim

n→∞

sin 1

n 1

n

= 1 nên

+∞

P

n=1

sin 1

n phân kỳ.

9

+∞

P

n=1

sin2 1

n. Giải

Từ lim

n→∞

sin2 1 n 1

n2

= 1 ta suy ra

+∞

P

n=1

sin2 1

n là chuỗi hội tụ.

10.)

+∞

P

n=2

1 n.lnn

Giải

Xét hàm số:

f (x) = 1

x.lnx, x ∈ [2, +∞) Hàm f là hàm liên tục, xác định dương [2, +∞) và an = fn, ∀n ≥ 2

f0(x) = −lnx + 1

x2ln2x < 0 ⇒ f (x) giảm trên [2, +∞).

Mặt khác:

+∞

Z

2

dx

x.lnx =

+∞

Z

2

d(lnx) lnx = ln(lnx)

+∞

2

= +∞,tích phân này là phân kỳ

Vậy

+∞

P

n=2

1

n.lnn là phân kỳ.

11

+∞

P

n=2

1 n.lnn.ln2(lnn)

Giải

Xét hàm số:

x.lnx.ln2(lnx), x ∈ [2, +∞) Hàm f là hàm liên tục, xác định dương và là hàm giảm,∀x ≥ 2 ta xét tích phân sau:

+∞

Z

2

dx

x.lnx.ln2(lnx) =

+∞

Z

2

d(ln(lnx))

ln2(lnx) =

1 ln(lnx)

+∞

2

ln(ln2) tích phân

là hội tụ

Suy ra chuỗi

+∞

P

n=2

1 n.lnn.ln2(lnn) hội tụ.

12

∞

P

n=1

nn.sinn2

n Giải

Ta có: an = nn.sinn2

n.

Do đó:

lim

n→∞

n

√

an = lim

n→∞

n

r

nn.sinn2

n = limn→∞n.sin2

n = 2 limn→∞

sin2 n 2 n

= 2 > 1

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

∞

P

n=1



1 − 1 n

n

Giải

Ta có: an =



1 − 1 n

n 2

Do đó:

lim

n→∞

n

√

an = lim

n→∞

n

s



1 − 1 n

n 2

= lim

n→∞



1 − 1 n

n

= e

ln lim

n→∞



1− 1 n

n

= e

lim

n→∞



ln



1− 1 n

n

= e

lim

n→∞



n.ln



1−n1



= en→∞lim −



ln ( 1− 1n)

− 1n



= e−1 = 1

e < 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

∞

P

n=1

(2n)!!

nn

Giải

Ta có: an = (2n)!!

nn an+1 = 2(n + 1)

(n + 1)n+1

an + 1

an

= 2(n + 1!!

(n + 1)n+1 n

n

2n!! =

2nn (n + 1)n = 2

 n

n + 1

n

Do đó lim

n→∞

an+1

an = limn→∞2

 n

n + 1

n

= 2

e < 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

15

+∞

P

n=1

n! x

n

n

với x>0 Giải

Ta có: an = n! x

n

n

, an+1 = (n + 1)!

 x

n + 1

n+1

an+1

an =

x.nn

(n + 1)n

Do đó: lim

n→∞

an+1

an = limn→∞

x.nn (n + 1)n = limn→∞

x



1 + 1 n

n = x

e.

Nếu x

e < 1 hay 0 ≤ x < e thì chuỗi đã cho hội tụ.

Nếu x

e > 1 hay x> e thì chuỗi đã cho phân kỳ.

16 lim

n→+∞

√ n!

(2 +√

1)(2 +√

2) (2 +√

n) Giải

Ta có:

an =

√ n!

(2 +√

1)(2 +√

2) (2 +√

n), an+1 =

p(n + 1)!

(2 +√

1)(2 +√

2) (2 +√

n + 1)

⇒ n·



un

un+1−1



= n

n!

(2 +√

1) (2 +√

n)·(2 +

√ 1) (2 +√

n + 1 p(n + 1)!



= √2n

n + 1

Mà: lim

n→∞

2n

√

n + 1 = ∞ > 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

Bài 2: Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

1

∞

P

n=1

(−1)n(n−1)2  n100

2n



Đặt un = (−1)n(n−1)2

 n100

2n



; |un| = n

100

2n

Ta có dãy {un} là dãy đơn điệu tăng và lim

n→∞un = lim

n→∞

n100

2n → ∞

⇒ chuỗi

∞

P

n=1

(−1)n(n−1)2  n100

2n



là chuỗi phân kỳ

Vậy chuỗi

∞

P

n=1

(−1)n(n−1)2  n100

2n



là chuỗi bán hội tụ

2

∞

P

n=1

(−1)n−1

np+n1

Giải

Đặt un = (−1)

n−1

np+1n

và |un| = 1

np+1n

Ta có |un| = 1

np+n1

np · n1n

Đặt an = 1

np, bn = 1

nn1

+) an = 1

np là chuỗi hội tụ nếu p ≥ 1 và là chuỗi phân kỳ nếu p < 1 +) {bn} = 1

nn1

= √n1

n là dãy đơn điệu giảm vì

f0(n) = (√n

n)0 = √n

n · 1

n · ln n

0

= √n

n 1 − ln n

n2



< 0 khi 1 − ln n < 0 ⇒ n > e

⇒ ∀n > e thì dãy {√n

n} là dãy đơn điệu giảm ⇒ {√n1

n} là dãy đơn

điệu tăng.

+) lim

n→∞

n

√

n = lim

n→∞nn1 = eln limn→∞ n n1

= en→∞lim

1

n ln n

= e0 = 1

⇒ lim

n→∞

1

n

√

n = 1 ⇒ dãy {

1

n

√

n} là dãy bị chặn

Theo dấu hiệu Abel thì

∞

P

n=1

|un| =

∞

P

n=1

1

n p+ 1n hội tụ (p ≥ 1)

Vậy

∞

P

n=1

(−1)n−1

np+n1 là chuỗi hội tụ tuyệt đối

Bài 3: Tính tổng của các chuỗi số sau

1

∞

P

n=1

x2n−1

2n − 1

Giải

Đặt un(x) = x

2n−1

2n − 1 +) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞|(2n − 1)x

2n+1

(2n + 1)x2n−1| = |x2| < 1

⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]

Ta có

S0(x) =

∞

X

n=1

x2n−1 2n − 1

!0

=

∞

X

n=1

x2n−21 + x2 + x4 + + x2n−2 = 1

1 − x2

⇒ S(x) =

x

Z

0

1

1 − t2dt = 1

2

x

Z

0

 1

1 − t +

1

1 + t



dt = 1

2ln

 1 + t

1 − t



|x0

= 1

2ln

1 + x

1 − x Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=1

x2n−1 2n − 1 là

S(x) = 1

2ln

1 + x

1 − x 2

∞

P

n=0

(n + 1)xn

Giải

Đặt un(x) = (n + 1)xn

+) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞ | (n + 2)x

n+1

(n + 1)xn |= lim

n→∞

n + 2

n + 1|x| = |x| < 1

⇒ khoảng hôi tụ là (−1, 1)

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x]

Ta có

Z x

0

S(t)dt =

∞

X

0

Z x 0

(n + 1)tndt =

∞

X

0

 (n + 1)

Z x o

tndt



=

∞

X

0

 (n + 1) t

n+1

n + 1|x0



=

∞

X

0

xn+1

= x + x2 + x3 + x4 + + xn+1 = x(1 + x + x2 + + xn)

1 − x

⇒ S(x) =

x

R

0

S(t)dt

0

=

 x

1 − x



(1 − x)2

Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=0

(n + 1)xn là S(x) = 1

(1 − x)2

3

∞

P

n=1

xn

n

Giải

Đặt un(x) = x

n

n ; un+1(x) =

xn+1

n + 1 +) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞| x

n+1 · n (n + 1) · xn| = lim

n→∞

n

n + 1|x| = |x| < 1

⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]

Ta có

S0(x) =

∞

X

n=1

xn n

!0

=

∞

X

n=1

 xn

n

0

=

∞

X

n=1

xn−1

= 1 + x + x2 + + xn−1 = 1

1 − x

⇒ S(x)

x

R

0

1

1 − t = − ln |1 − t||

x

0 = − ln |1 − x|

Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=1

xn

n là S(x) = − ln |1 − x|.

∞

P

n=0

(−1)n(2n − 1)x2n−2

Giải

Đặt un(x) = (−1)n(2n − 1)x2n−2 ; un+1(x) = (−1)n+1(2n + 1)x2n

+) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞|(−1)

n+1(2n + 1)x2n (−1)n(2n − 1)x2n−2| = lim

n→∞

2n + 1 2n − 1 · 1

x−2 =

x2 < 1

⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)

Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x]

Ta có

x

Z

0

∞

X

n=0

(−1)n(2n − 1)t2n−2dt =

∞

X

n=0

(−1)n(2n − 1) · 1

2n − 1 · t2n−1|x0

=

∞

X

n=0

(−1)nx2n−1 = −x + x3 − x5 + + xn2−1+

= −x(1 + x4 + x8 + + x2n+4) + x3(1 + x4 + x8 + + x2n+4)

= x

3 − x

1 − x4

⇒ S(x) =

x

Z

0

(S(t)dt)0 =  x3 − x

1 − x4

0

= (3x

2 − 1)(1 − x4) + (4x3(x3 − x)

(1 − x4)2

= 4x

6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1

(1 − x4)2

Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=0

(−1)n(2n − 1)x2n−2 là

S(x) = 4x

6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1

(1 − x4)2

5

∞

P

n=1

(−1)n+1x

n

n Giải

Đặt un(x) = (−1)n+1x

n

n , un+1(x) = (−1)

n+2 xn+1

n + 1.

+) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞| (−1)n+2 x

n+1

n + 1 (−1)n+1xn

n

| = lim

n→∞

n

n + 1|x| = |x| < 1

⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)

Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]

Ta có

S0(x) =

∞

X

n=1

(−1)n+1x

n

n

!0

=

∞

X

n=1

 (−1)n+1x

n

n

0

=

∞

X

n=1

(−1)n+1xn−1

= 1 − x + x2 − x3 + + x2n − x2n+1+

= (1 + x2 + x4 + + x2n − x(1 + x2 + + x2n)

= 1 − x

1 − x2

⇒ S(x) =

x

Z

0

1 − t

1 − t2dt =

x

Z

0

1

1 − t2dt

x

Z

0

t

1 − t2dt = 1

2ln

1 + x

1 − x +

1

2|1 − x2|

= ln 1 + x

1 − x · (1 − x2)



= 1

2ln(1 + x)

2 = ln(1 + x)

Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=1

(−1)n+1x

n

n là S(x) = ln(1 + x).

6

∞

P

n=1

x4n−3

4n − 3

Giải

Đặt un(x) = x

4n−3

4n − 3; un+1(x) =

x4n+1 4n + 1

+) lim

n→∞|un+1(x)

un(x) | = lim

n→∞|x

4n+1· (4n − 3)

x4n−3· (4n + 1)| = x

4 < 1

⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]

Ta có

S0(x) =

∞

X

n=1

x4n−3 4n − 3

!0

=

∞

X

n=1

 x4n−3

4n − 3

0

=

∞

X

n=1

x4n−2

= x2 + x6 + x10 + + x4n−2+

= x2(1 + x4 + x8 + + x4n + )

2

1 − x4

⇒ S(x) =

x

Z

0

t2

1 − t4dt =

x

Z

0

1

1 − t2dt

x

Z

0

t

1 − t2dt = 1

2ln

1 + x

1 − x +

1

2|1 − x2|

= ln 1 + x

1 − x · (1 − x2)



= 1

2ln(1 + x)

2 = ln(1 + x)

Vậy tổng của chuỗi

∞

P

n=1

(−1)n+1x

n

n là S(x) = ln(1 + x).

...

np+n1 chuỗi hội tụ tuyệt đối

Bài 3: Tính tổng chuỗi số sau

1

∞

P

n=1

x2n−1

2n −

Giải

Đặt... 1 Vậy chuỗi cho hội tụ

15

+∞

P

n=1

n! x

n

n

với x>0 Giải

Ta có: an...

n=1



1 − 1 n

n

Giải

Ta có: an =



1 − 1 n

n 2

Do