Phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit

Ví dụ 1. Giải các phƣơng trình: a) 3x 5x4  81 ;b) log2 (3x  4)  3. Giải:x2 5x4224 a)3  81  x  5x  4  log3 81  x  5x  4  log3 3  x2  5x  4  4  x2  5x  0  x(x  5)  0   x  0 . x  5Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 5.b) log2 (3x  4)  3. ĐK: 3x  4  0  x  4 .3 log2 (3x  4)  3  l3x  4  23  3x  4  8  3x 12  x  4 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4.

O0O Phƣơng pháp 1: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN a f ( x)  b  f (x)  log ba ; logf (x)a  b  f (x)  ab Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 3x −5x+4 b) log2 (3x − 4) = ; = 81 Giải: x2 −5x+4 2 = 81 ⇔ − 5x + = log3 81 ⇔ − 5x + = log3 x x x=0 2 ⇔ x − 5x + = ⇔ x − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔  x=5 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = a) b) log2 (3x − 4) = ĐK: 3x − > ⇔ x > 3 log2 (3x − 4) = ⇔ l3x − = ⇔ 3x − = ⇔ 3x =12 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Page Phƣơng pháp 2: ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình dạng a f ( x)  ag ( x) -Nếu số a số dương khác a f ( x)  ag ( x)  f (x)  g(x) -Nếu số a thay đổi a f ( x)  a g ( x)   a  (a 1)   f (x)  g(x)   2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình dạng 0  a  logf (x)  log g(x)   f (x)   a a  f (x)  g(x)  Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 3x −5x+4 = b) log2 (3x − 4) = ; 81 Giải: x2 −5x+4 a) = 81 ⇔ x2 −5x+4 =3 ⇔ x − 5x + = x=0 ⇔ x − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔   x= Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) ĐK: 3x − > ⇔ x > log2 (3x − 4) = ⇔ log2 (3x − 4) = log32 ⇔ 3x − 3= ⇔ 3x − = Page ⇔ 3x =12 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Page Ví dụ Giải phƣơng trình: x2 −x+8 1−3x a) = ; b) x+1 x −3 x −3 = 5.2 c) 2.5 ; x−1 x 2 + + = 28 d) 2x −1 3x 3x −1 2x +2 − = − Giải: x2 −x+8 x2 −x+8 1−3x = ⇔ 3 a) 2(1−3x) = ⇔ x − x + = 2(1− 3x)  x = −2 ⇔ x + 5x + = ⇔   x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = - x+1 b) x−1 +2 x−1 ⇔2 x + = 28 ⇔ 2 x−1 =4⇔2 x−1 +2 x−1 + 2.2 x−1 x−1 = 28 ⇔ (2 +1+ 2) = 28 = ⇔ x −1 = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x2 −3 x2 −3 = 5.2 c) 2.5 x −3 ⇔ 2 x −3 x −3   5 =  = ⇔    2 2 ⇔ x − =1 ⇔ x = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = x2 −1 x2 x−1 − 3= − d) x −1 x −1 x2 +2 x −1 x−1 ⇔ − 3.3 x −1 ⇔ 2 + 2 = + 3.3 ⇔2 x −1 ⇔2 x −1 x2 −1 x2 −1 = − 2 x −1 (1+ ) = (1+ 3) x −1 =  ⇔  2 x−1 x2 −1 Page Ví dụ Giải phƣơng 2 trình: x = ⇔ −1    3 = 2    3    3 ⇔ x −1 = ⇔ x = ⇔ x = 3± Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = -3 x =3 Page a) lg x + lg x = lg 4x ; b) log x + log x + log x = log x Giải: b) ĐK: x > lg x + lg x = lg 4x ⇔ lg x + 2lg x = lg ⇔ lg = lg ⇔ ⇔ 2lg x x = lg + lg x ⇔ 2lg = lg x x = x =2⇔   x = −2 Do x > nên nghiệm phương trình x = b) ĐK: x > log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log2 x + log3 2.log2 x + log4 2.log2 x = log5 2.log2 x ⇔ log2 x.(1+ log3 + log4 − log5 2) = ⇔ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ Giải phƣơng trình: x x x+1 x x x+1 a) 12.3 + 3.15 − b) log2 (3x − 4).log2 x = log2 x ; = 20 Giải: a) 12.3 + 3.15 − x x x x x x = 20 ⇔12.3 + 3.3 − 5.5 − 20 = x x x ⇔ 3.3 (4 + ) − 5(5 + 4) = ⇔ (5 + 4)(3.3 − 5) = x Page x  + = ⇔ = ⇔ x = log   ⇔    x 3  3 3.3 − = Page Vậy phương trình cho có nghiệm x = log 5   3  3x − > b) ĐK:  ⇔ x > x > log (3x − 4).log x = log x ⇔ log x [log (3x − 4) −1] = ⇔ log2 x =  log2 (3x − 4) −1 = Do x > ⇔ log2 x =  log2 (3x − 4) = ⇔ x =  3x − = ⇔ x =  x = nên nghiệm phương trình x = Phƣơng pháp 4: LƠGARIT HĨA, MŨ HĨA Ví dụ Giải phƣơng trình: x x2 a) =1 ; b) log2 x +x=2 Giải: a) Lấy lô garit hai vế với số 2, ta log (3 ) = log ⇔ log xx x x2 = ⇔ x.log2 + log2 = 2 + log2 x x = ⇔ x.log + x = ⇔ x(log + x ) = ⇔ ⇔ x =   2 log + x = x = −log   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = −log2 b) ĐK: x>0 Đặt log x = t ⇒ x = ta thu phương trình mũ theo biến t : t t t +2 = (*) Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng phápphƣơng 5: DÙNG ẨN PHỤ Ví dụ Giải 2x trình: 9.2x Giải: Chia vế phương trình cho 22x 22x 2x 9.2x 2x 2 2x 9.2x x 2.22x Đặt t 2xx 2t 9t40 0 ta được: 2x x 0 điều kiện t > Khi phương trình tương đương với : t x22x 2 22x2x 10 t 2 x 2x 2x x 22 x2 x Vậy phương trình có nghiệm x = - 1, x = 2 x x x x Ví dụ Giải phƣơng trình: x x 33 2320 Giải: Nhận xét rằng: Do đặt t điều kiện t > 0, thì: 2 32 3; x x 1 t x t2 Khi phương trình tương đương với: t2 t t3 2t30 t1 t1 x 1x0 t2 t3 t1 t2 t3 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt 3t x t2 3x t9.2x 2x 4.9.2x 2x t t 2x Khi : + Với t + Với t 2x 9.2x0 , điều kiện t > Khi phương trình tương đương với: 2x 2x 32x 3x x2 x x2 x x0 Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt u2x Đặt vu6, 22x 2x 6 , điều kiện u > Khi phương trình thành: u2 u66 điều kiện v v2 u Khi phương trình chuyển thành hệ: u2 v2 v u 6 u 2v + Với u = v ta được: u2 uv uvuv1 u3 u u60 uv0 uv10 2x u3 x log + Với u + v + = ta : u u u 21 u u 2 21 Vậy phương trình có nghiệm x log2 2x log7 x = log3 ( x = log2 + 2) 21 Phƣơng pháp 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải phƣơng trình: 21 21 x 21 log 2 x Giải: ĐK : x > Đặt t = log x ⇒ x = t Khi phương trình trở thành : t = log (7t + 3t 2) ⇔ = + ⇔ 7  t = (*) +    7t  t   3 Vế trái (*) hàm số nghịch biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log7 x = ⇒ x = 49 Vậy phương trình có nghiệm x = 49 x−1 Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: ĐK : 6x − > ⇔ x > = 6log7 (6x − 5) +1 Đặt y −1 = log ( 6x − ) Khi đó, ta có hệ phương trình 7 +1  x −1 = ( y −1)  y −1 = log 7 ⇔ x− 7 y −1 (6x − 5) Xét hàm số f (t ) = 7t + 6t − =6y− x −1 −6y= y −1 − 6x = −5 7 −5 ⇔ = 6x − 7 ⇒7 x−1 5 ; +∞ Mà      +6y ) f ( x) f ( y ) ⇒ x = y Khi đó: x − 6x + = Xét = − − hàm số g(x) = 7x − 6x + g '( x) = 7x ln −6 − Sài Gòn, 10/2013 y−1 f ' ( t ) = 7t 1 ln + > 0,∀t > nên f (t hàm số đồng biến + 6x = g ''( x ) = x −1 ( ln 7)2 > Suy ra, Page 15 g '( x) 5  D= ;+∞ , phương g '( x) = 0có trình     có nghiệm có nhiều nhiều nghiệm Suy ra, phương trình g ( x ) = hai nghiệm hàm số đồng biến Nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Sài Gịn, 10/2013 Page 16 x x Ví dụ Giải phƣơng trình: + = − 7x (*) Giải: Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải (*) hàm số nghịch biến nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà x = nghiệm (*) nên nghiệm (*) Phƣơng pháp 7: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Ví dụ Giải phƣơng trình: 2x +1 =2− x Giải: ĐK : x ≥ x +1 Ta có VT = 2 +1 ≥2 =2 VP = − ≤ − = Suy VT ≥ VP , dấu x xảy x = Vậy x = nghiệm phương trình cho x x+1 Ví dụ Giải phƣơng trình: 1− + x −x =2 +2 Giải: + −x ⇔ − (4x − 2.2x +1) = 2x + −x Ta có 1− 4x + 2x = 2x + ⇔ − (2x −1)2 = 2x + −x Page 17 x VT = − (2 −1) ≤ − = VP = 2x + 2− x ≥ 2x.2 x  2x − = xảy  ⇔x=0 −x x = 2 = Suy VT ≤ VP , dấu Page 18 Vậy x = nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phƣơng trình: ( log3 − x 1 ) = log ( x Giải: ) − 2x + x ≥ x ≥1 x −1 ≥    ĐK : 9 − x −1 > ⇔ 9 > x −1 ⇔ x ( x −1) + > ( x −1) + > 0    Ta có : x 1 ( ) ≤ log = VT = log3 − VP = log (x − 2x + log )= xảy  ( x −1)2 + 4 ≥ log = Suy x−1=   ⇔ x =   ( x − ) = Vậy x = nghiệm phương trình cho Phƣơng pháp 8: PHƢƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN VT ≤ VP , dấu Ví dụ Giải phƣơng trình: 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 Giải: Ta có 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 ⇔ 42 − 2x.4 + 4x−1 −16x = (*) Xét phương trình ẩn t sau t − xt + 4x−1 −16x = (**) Giả sử (*) với giá trị x0 phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4: t − 2x0 t + 4x0 −16x0 = −1 Biệt thức 2x0  4.16x0 x 24 = 65   −1 x = log +  TH2: )2 − ( x0 2x0  4.16x0 t = = Suy TH1: ( ∆ = −2  ⇔ >0 2x0  4.16x0 t = =  x −1 + 2 = 65 (n) −8 = ⇔ )22 + ( =8⇔ x 2 x + 2.4 x   x 1  65 2 =   2x0  4.16x0 ; x0 ) = 4.16 x0 −16  4= x0 −1 ⇔2 x0 − 2.4 x0 ( )2 − = ⇔ 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x0 (pt vơ nghiệm) x0 +8=  1  65  x = log     Phƣơng pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE x x x Ví dụ Giải phƣơng trình: + = + x (1) (l) Giải: Giả sử x0 nghiệm (1), hay ta có: x x x x x x x x + = + ⇔ − = − (*) Xét hàm số x f (t) = ( t + 3) − t đoạn [2; 4] f (t) hàm số liên tục có x0 đạo hàm đoạn [2;4] Áp dụng định lí lagrange có số k ∈( 2;4 ) cho ( f (4) − f (2) f '(k) = = − x0 −4 x0 ) − (5 4−2 x0 −2 x0 ) =0 (do (*)) mà f '(t) = x0 ( t + 3) x0 −1 − − x0t x0 x −1 x −1 = x ( t + ) − t    Suy x − ( k + 3) x0  −k  x0 = x = ⇔ 0 x0 −1 x0 −1 =0⇔ x −1 x −1 −k = =k  0( k + 3) ( k + )   x0 −1 x0 = x −1 x0 = ⇔ x0 =  ⇔0 ⇔ k +3       = x0 −1 =  x =  k  Thay x = 0; x =1 vào (1) ta thấy chúng thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x =1  ... > Khi phương trình tương đương với: 2x 2x 32x 3x x2 x x2 x x0 Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: Đặt u2x Đặt vu6, 22x 2x 6 , điều kiện u > Khi phương trình. .. (*) nên nghiệm (*) ⇒ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng phápphƣơng 5: DÙNG ẨN PHỤ Ví dụ Giải 2x trình: 9.2x Giải: Chia vế phương trình cho 22x 22x 2x 9.2x 2x 2 2x 9.2x x... = ⇔ x =  3x − = ⇔ x =  x = nên nghiệm phương trình x = Phƣơng pháp 4: LƠGARIT HĨA, MŨ HĨA Ví dụ Giải phƣơng trình: x x2 a) =1 ; b) log2 x +x=2 Giải: a) Lấy lô garit hai vế với số 2, ta log