TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 LỜI CAM ĐOAN Học viên xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng học viên Luận văn hoàn thành cá nhân hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông Các tài liệu tham khảo, định lí, bổ đề kết trích dẫn, sử dụng luận văn nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng TP Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng năm 2014 Học viên thực Lê Nhật Nguyên Footer Page of 185 Header Page of 185 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép tính vi phân đa tạp khả vi 1.2 Dòng đa tạp khả vi 1.3 Phép tính vi phân phức 1.4 Hàm đa điều hòa 15 1.5 Đa tạp Stein 17 1.6 Đa tạp Hecmit đa tạp Kahler 19 1.7 Một số kết dung lượng tương đối hàm cực trị tương đối 20 1.8 Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere miền giả lồi ngặt 24 Chương DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE TRÊN ĐA TẠP PHỨC 27 2.1 Dòng dương đóng 27 2.2 Toán tử Monge-Ampere 33 Chương PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER 43 3.1 Mở đầu 44 3.2 Nguyên lý so sánh 47  3.3 Ước lượng L 49 3.4 Sự ổn định nghiệm 55 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Footer Page of 185 Header Page of 185 MỞ ĐẦU Một nhánh giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại lý thuyết đa vị Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước Các kết đặc sắc E.Berford B.A.Taylor năm 1982 việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, tìm nghiệm đa điều hòa toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức đưa khái niệm dung lượng tập Borel tập mở  n Có thể xem công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa vị Trong năm gần toán Dirichlet phương trình Monge-Ampere phức: ( dd u ) c n = d µ , u = ϕ biên giải với lớp rộng rãi độ đo khác Việc đưa điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục mô tả độ đo để phương trình có nghiệm thuộc lớp rộng hàm đa điều hòa quan tâm nhà toán học giới Phương trình Monge-Ampere nghiên cứu gắn với hình học đa tạp Kahler Ở nghiệm phương trình sinh mê tric Kahler với độ cong Ricci cho trước Vào năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere đa tạp compact Kahler với liệu trơn suy biến, chứng minh đoán lừng danh Calabi Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục với phương pháp đánh giá tiên nghiệm đạo hàm nghiệm Theo cách tương tự phương trình nghiên cứu miền giả lồi ngặt Caffarelli Kohn, Nirenberg Spruck Khi việc tồn nghiệm, Aubin, G.Tian tính quy nghiệm với giả thiết phù hợp Năm 1998, S.Kolodziej khái quát định lý Yau với liệu không trơn, suy biến Đặc biệt, ông tồn nghiệm phương trình Monge-Ampere đa tạp Kahler compact với vế phải thuộc lớp Lp , p > Footer Page of 185 Header Page of 185 Với mong muốn tìm hiểu số kết lý thuyết đa vị phương trình Monge – Ampere phức đa tạp Kahler compact nên chọn nội dung “Tìm hiểu bước đầu phương trình Monge-Ampere phức đa tạp compact Kahler” làm đề tài luận văn Nội dung luận văn trình bày tồn tại, tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampere phức đa tạp Kahler compact cách áp dụng phương pháp lý thuyết đa vị Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Chương trình bày dòng dương đóng toán tử Monge – Ampere đa tạp phức Chương trình bày phương trình Monge- Ampere phức đa tạp compact Kahler Phương pháp nghiên cứu luận văn chủ yếu tổng hợp, so sánh, tham khảo tài liệu, trình bày lại kết Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình chu đáo động viên nhiều suốt trình học tập trình hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn tất thầy nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên ngành toán động viên giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp trình hoàn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo góp ý thầy cô bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Footer Page of 185 Header Page of 185 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép tính vi phân đa tạp khả vi 1.1.1 Đa tạp khả vi Cho m   và k ∈  ∪ {∞} Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm liên tục là C k Một đa tạp khả vi m chiều thực thu ộc lớp C k không gian tôpô X Hausdorff, khả ly, nghĩa là có sở đếm được, trang bị atlas lớp C k với giá trị  m Một atlas lớp C k m chiều X họ A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn: i) U α tập mở khác rỗng X với α ∈ A ii) ϕα :U α → Vα đồng phôi từ U α lên tập mở Vα  m với α ∈ A iii)   AU   X iv) φβα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) vi phôi lớp C k với = α,β ∈ A + (U α , ϕα ) gọi đồ địa phương + U α gọi miền tọa độ hay mảnh tọa độ đồ địa phương + Các thành phần ϕα ( x ) = ( x1α , x2α , , xnα ) gọi hệ tọa độ địa phương U α xác định ϕα +     1 gọi phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch) Ta có mối liên hệ xα = φαβ ( x β ) Nếu k = ∞ ta nói X đa tạp trơn m chiều Nếu Ω tập mở X s ∈  ∪ {∞} , ≤ s ≤ k ta ký hiệu C s (,  ) tập hợp hàm thuộc lớp C s Ω , nghĩa f  1 thuộc lớp C s ϕα (U α  Ω ) Footer Page of 185 Header Page of 185 Nếu Ω không tập mở X C s (,  ) tập hợp hàm có mở rộng thuộc lớp C s lân cận Ω , + Một vec-tơ tiếp xúc ξ điểm a ∈ X định nghĩa toán tử vi phân tác động lên hàm, có dạng: m f   f    j j 1 f (a) x j với f  C1 (,  ) hệ tọa độ địa phương ( x1 , , xm ) tập mở Ω chứa a Khi ta viết m ξ = ∑ξ j j =1  ∂ ∂ Với a ∈ Ω  ∂x j  ∂x j  sở không gian tiếp xúc không  1≤ j ≤ m gian X a, ký hiệu TX ,a Vi phân hàm f a dạng tuyến tính không gian TX ,a định nghĩa bởi: df a (ξ = ) ξ f= m ∑ξ j =1 j ∂f (a ) , ∀ξ ∈ TX ,a ∂x j ∂f dx j Như (dx1 , , dxm ) j =1 ∂x j m Đặc biệt dx j (ξ ) = ξ j nên ta viết df = ∑  ∂  ∂x j sở đối ngẫu   không gian đối tiếp xúc TX* ,a Các hợp TX   TX , x  x X 1≤ j ≤ m TX*   TX* , x gọi phân thớ tiếp xúc phân thớ đối tiếp xúc X x X Ta nói ξ trường vec-tơ thuộc lớp C s Ω ánh xạ m x   ( x)  TX , x cho ξ ( x) = ∑ ξ j ( x) j =1 ∂ có hệ số thuộc lớp C s ∂x j 1.1.2 Các dạng vi phân đa tạp khả vi Một dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt p- dạng X ánh xạ X lấy giá trị u ( x) ∈ Λ pTX* , x Trong tập mở tọa độ Ω ⊂ X, p-dạng vi phân viết là: u ( x) = ∑ uI ( x)dxI I =p Footer Page of 185 Header Page of 185 I = (i1 , , i p ) đa số với thành phần số nguyên i1 < < i p dxI =: dxi1 ∧ ∧ dxi p Ký hiệu I số thành phần I, đọc độ dài I Với số nguyên p = 0,1, , m s ∈  ∪ {∞} , s ≤ k , ta ký hiệu C s ( X , Λ pTX* ) không gian p-dạng vi phân thuộc lớp C s , nghĩa với hệ số uI thuộc lớp C s Các phép toán dạng vi phân định nghĩa cách tự nhiên Tích Nếu u ( x) = ∑ uI ( x)dxI p-dạng vi phân v( x) = ∑ vJ ( x)dxJ J =q I =p q-dạng vi phân, tích u v dạng p+q xác định bởi: u  v( x)   uI ( x)vJ ( x)dxI  dxJ I  p , J q Đạo hàm Đạo hàm p- dạng vi phân thuộc lớp C s toán tử vi phân: d : C s ( X ,  pTX* )  C s1 ( X ,  p1TX* ) xác định hệ tọa độ địa phương bởi: du  uI dxk  dxI I  p ,1k m xk  (1.1) Thuận lợi công thức (1.1) không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ Hai tính chất đạo hàm là: d (u ∧ v)= du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv d2 = Một dạng u gọi đóng du = gọi khớp viết u = dv với v dạng Kéo ngược Nếu F : X → X ' ánh xạ khả vi từ đa tạp X đến đa tạp X’, dim X ' = m ' v( y ) = ∑ vJ ( y )dy J p dạng vi phân X’, kéo ngược  F * v p- dạng vi phân X nhận cách thay y = F ( x) vào v, nghĩa là: = F * v( x) Footer Page of 185 ∑ v ( F ( x))dF I i1 ∧ ∧ dFi p Header Page 10 of 185 Nếu ta có ánh xạ thứ hai G : X ' → X '' w dạng vi phân X’’ F *(G * w) nhận thay= ( y ), y F ( x) đó: z G= F *(G * w)  (G  f )* w Hơn ta có d ( F * v) = F *(dv) Điều dẫn đến kéo ngược F* đóng v đóng khớp v khớp Tích phân dạng vi phân Một đa tạp X gọi định hướng tồn atlas (Uα , ϕα ) cho φαβ bảo tồn hướng, nghĩa có định thức Jacobi dương Giả sử X định hướng.= Nếu u ( x) f ( x1 , , xm )dx1 ∧ ∧ dxm dạng liên tục với bậc cực đại m = dim X , với giá compact tập mở tọa độ Ω , ta đặt:  = ∫u X ∫ f ( x1 , , xm )dx1 ∧ ∧ dxm m Qua phép đổi biến, kết độc lập với việc chọn tọa độ nên xét tọa độ tương ứng với định hướng cho Khi u dạng tùy ý với giá compact, định nghĩa ∫u mở rộng phép phân hoạch đơn vị tương ứng với tập X mở tọa độ phủ suppu Cho F : X → X ' vi phôi đa tạp có định hướng v dạng thể tích X’ Công thức đổi biến: ∫ F *v = ± ∫ v X X' phụ thuộc vào F có bảo toàn hướng hay không Cho K tập compact X với biên khả vi liên tục khúc Với giả thiết hiểu với a ∈ ∂K có tọa độ ( x1 , x2 , , xm ) lân cận V a , tâm a , cho: K ∩ V = { x ∈ V : x1 ≤ 0, , xl ≤ 0} với số l l ≥ Khi ∂K ∩ V hợp siêu mặt trơn với biên khả vi liên tục khúc: ∂K ∩= V Footer Page 10 of 185 U 1≤ j ≤l {x ∈V : x ≤ 0, ,= x j 0, , xl ≤ 0} Header Page 51 of 185 47 ( dd u ) ∧ ( dd v ) k c c = lim ( dd cu j ) ∧ ( dd c v j ) n−k k n−k j →∞ ≥ lim g j dV = gdV j →∞ Trong trường hợp tổng quát ta lấy dãy tăng g j  g với g j ∈ L2 ( B ) lặp lại chứng minh cách sử dụng Định lý 1.8.6 để giải toán Dirichlet thích hợp Bây hội tụ dãy xấp xỉ không đều, dãy giảm dựa vào nguyên lý so sánh Vì định lí hội tụ áp dụng trường hợp  3.2 Nguyên lý so sánh Bây ta chứng minh nguyên lý so sánh cho toán tử Monge-Ampere đa tạp compact Kahler Định lý Nếu ϕ  ω -đa điều hòa M với Ω= {ϕ < ψ } ta có: ∫ ωψ ≤ ∫ ωϕ n Ω n Ω Chứng minh Đầu tiên giả sử ϕ , ψ biên Ω trơn Đặt: ϕt = max (ϕ + t ,ψ ) , t > Khi gần với  ta có ϕt= ϕ + t Định nghĩa dòng (đóng): n ∑  k  ( dd ϕ ) n Tt = k =1 c k −1 t   ∧ ω n−k đặt T  limt 0 Tt Do Định lý Stokes: ϕ ∫ ω= ∫ dd ϕ n Ω c t t ∧ Tt + = ωn Ω = ∫dϕ c ∂Ω t ∧ Tt + ∫ ω n Ω ∫ d ϕ ∧ T + ∫ ω= ∫ ωϕ c n ∂Ω Ω n Ω Vì ϕt ↓ ψ Ω t → ta áp dụng định lý hội tụ: ωϕn → ωϕn Ω t Do hàm thử  Ω mà ≤ χ ≤ ta    Vì thế: Footer Page 51 of 185 n   lim  nt  lim inf  nt t 0  t 0  Header Page 52 of 185 48   n   lim inf  nt   n , t 0   ta hoàn thành chứng minh với trường hợp hàm trơn Bây giả sử   liên tục chúng thỏa mãn giả thiết bổ sung: dd cϕ ≥ (δ − 1) ω , dd cψ ≥ (δ − 1) ω (3.3) với δ > Sau đó, áp dụng Bổ đề 3.1.1, ta tìm hai dãy hàm ω -đa điều hòa ϕ j ψ j hội tụ đến ϕ ψ Cho tập compact K ⊂ Ω ta tìm t > số nguyên dương j0 cho K ⊂ Ω ( t , = j) {ϕ j < ψ j − t} ⊂ Ω với j > j0 biên Ω ( t , j ) trơn (sử dụng định lý Sard) (Định lý Sard: Cho f :  n   m hàm thuộc lớp C k với k  max{n  m  1,1} X tập điểm tới hạn f ( tập điểm x Î  n ma trận Jacobi m f có hạng nhỏ m ) Khi ảnh f ( X ) có độ đo Lebesgue  Tổng quát kết cho ánh xạ đa tạp khả vi M , N có chiều m, n Tập điểm tới hạn hàm f : N  M thuộc lớp C k bao gồm điểm vi phân df : TN  TM có hạng nhỏ m Nếu k ≥ max{n − m + 1,1} ảnh f ( X ) (như tập tập có độ đo 0) Áp dụng phần đâu tiên chứng minh định lý hội tụ ta được: ∫ ωψ ≤ lim inf ∫ n j →∞ K Ω( t , j ) ωψn ≤ lim inf j j →∞ ∫ Ω( t , j ) ωϕn ≤ ∫ ωϕn j Ω Vét cạn Ω tập compact ta bất đẳng thức mong muốn trường hợp Việc lại thoát khỏi giả thiết bổ sung Chú ý với t ∈ ( 0,1) cố định hàm ω - đa điều hòa  ,  hàm t t thỏa (3.3) với   Cố định tập compact K ⊂ Ω= {ϕ < ψ } xét   t ∈ ( 0,1) sau: δ K ⊂ Ω (δ , t= ) ϕ < ψ −  t  Do chứng minh định lý hội tụ ta có: ∫ ωψ ≤ liminf ∫δ n K Footer Page 52 of 185 t →1 Ω( , t ) ωtnψ ≤ liminf t →1 ∫δ Ω( , t ) ωtnϕ ≤ ∫ ωϕn Ω Header Page 53 of 185 49 Một lần để hoàn thành chứng minh ta cần xét dãy vét cạn tập compact    3.3 Ước lượng L Xét họ hàm: F ( A, h ) = { f ∈ L1 ( M ) : f ≥ 0, ∫ f ω n = 1, ∫ f ω n ≤ F ( capω ( E ) ) với tập Borel M E ⊂ M } F ( x ) = E Ax , với A  hàm chấp nhận h :  + → [1, ∞ ) h ( x −1/n ) Mục đích ta chứng minh tồn nghiệm liên tục phương trình (3.1) với f ∈ F ( A, h ) Đầu tiên ta chứng minh số giả thiết bổ sung: Bổ đề 3.3.1 Cho ϕ ψ hàm  -đa điều hòa M với    C {ϕ − S < ψ } khác rỗng Giả sử với số dương A hàm chấp nhận h thỏa mãn bất đẳng thức sau: Ax ∫ ωϕ ≤ F ( capω ( K ) ) , với F ( x ) = h ( x −1/n ) , A  n (3.4) K với tập compact tùy ý K Khi với D  ta có: D ≤ κ ( a ( S + D )) , đó: a ( s ) := capω (U ( s ) ) , U ( s ) := {ϕ − s < ψ } ,  ∞ −1 −1/ n  κ (s) = c ( n ) A (1 + C )  ∫ x h ( x ) dx + h −1/ n ( s −1/ n )   s −1/ n  1/ n Chứng minh Với s ∈ [ S , S + D ] , đặt: b(s) = ∫ U (s) ωϕn Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức: t n a ( s ) ≤ b ( s + t + Ct ) với t  1,  t  Thật vậy, lấy ρ ∈ PSH (ω ) với 1    đặt: Footer Page 53 of 185 S  Ds C 1 (3.5) Header Page 54 of 185 50 V ( s ) := {ϕ − s − t − Ct < t ρ + (1 − t )ψ } Ta kiểm tra U ( s ) ⊂ V ( s ) ⊂ U ( s + t + Ct ) Bây ta áp dụng nguyên lý so sánh (định lý 3.2) thu được: ∫ tn U (s) ≤ ωρn ≤ ∫ ( tω + (1 − t ) ω ) V (s) ∫ ωϕ ≤ ∫ ρ n V (s) U ( s + t + Ct ) n ψ ωϕn= b ( s + t + Ct ) Lấy cận ρ ta (3.5) Tiếp theo ta định nghĩa dãy tăng s0 , s1 , , sN , đặt s0 : S   s j : sup  s : a ( s ) ≤ lim + da ( t )  = t → s j −1   với j  1, 2, , N , d số cố định cho  d  Khi dãy tăng a ( s j ) ≥ da ( s j − ) (3.6) Nhận xét a ( s j −1 ) < da ( s j − ) định nghĩa s j −1 với s > s j −1 tùy ý ta có a ( s ) ≥ da ( s j − ) Đặc biệt, điều cho s j Số nguyên N chọn số lớn thỏa mãn sN  S  D Khi đó: a ( S + D ) ≤ lim+ da ( t ) t → sN (Ngược lại ta có sN 1  S  D ) Từ bất đẳng thức cuối cùng, giả thiết (3.5) dẫn đến với t ∈ ( sN , S + D ) ta có: ( −1/ n  S + D −t  −1   a ( t ) ≤ b ( S + D ) ≤ Aa ( S + D ) h  a ( S + D )   1+ C  n ( ≤ Ada ( t ) h −1  a ( S + D )  −1/ n ) ) Do đó: S + D − sN ≤ ( Ad ) 1/ n ( (1 + C )h −1/ n  a ( S + D )  −1/ n ) (3.7) Bây ta ước lượng sN  S Xét hai số S  s '  s  S  D cho a ( s ) ≤ da ( s ') đặt t : ss' Khi theo giả thiết (3.5) ta có: 1 C Footer Page 54 of 185 Header Page 55 of 185 51 ( a ( s ') ≤ t − n b ( s ) ≤ At − n a ( s ) h −1  a ( s )  −1/ n ) ≤ Adt −n ( a ( s ') h −1  a ( s )  −1/ n ) Do đó: t ≤ ( Ad ) 1/ n h1 ( x ) :=  h ( x −1/ n )  −1/ n h1 ( a ( s ) ) , Cho s  sj 1 s' → s +j ta được: ( ) t j := s j +1 − s j ≤ (1 + C ) ( Ad ) h1 a ( s j +1 ) 1/ n x Sử dụng bất đẳng thức này, (3.6) tính tăng hàm h= h −1/ n ( d − x / n ) ta ( x ) : h= (d ) có ước lượng sau: N −1 ∑ t j ≤ (1 + C ) ( Ad ) 1/ n N −1 ∑ h ( log a ( s ) ) =j 0=j ≤ (1 + C ) ( Ad ) 1/ n ≤ 2(1 + C ) ( Ad ) j +1 d  N −1 logd a( s j+2 )   ∑ ∫ h2 ( x ) dx + 2h2 ( log d a ( sN ) )   j =0 logd a( s j )    1/ n  logd a( S + D )   ∫ h2 ( x ) dx + h2 ( log d a ( S + D ) )   logd a( S )  Đổi biến y  d  x / n suy ra: log d a ( S + D ) ∫ log d a ( S ) h2 ( x ) dx = log d a ( S + D ) ∫ log d a ( S ) n = ln d h ( d − x/ n )    a ( S )  −1/ n dx −1/ n ∫  a ( S + D )  −1 ( h ( y ) )1/ n y  dy   −1/ n Cuối ta có: sN − S ≤ ( Ad ) 1/ n  n (1 + C )   ln d   2n 1/ n sN − S ≤ ( Ad ) (1 + C )   ln d  Từ (3.7) (3.8) ta có: Footer Page 55 of 185  a ( S )  ∫ −1/ n  a ( S + D )  ∞ ∫  a ( S + D )   yh1/ n ( y )   −1/ n  yh1/ n ( y )  −1/ n −1 −1 ( ) −1/ n  dy +  h a ( S + D )   ( dy +  h a ( S + D )  −1/ n )   −1/ n −1/ n         (3.8) Header Page 56 of 185 52  ∞ −1/ n  −1 1/ n −1/ n 1/ n     D < c(n) ( Ad ) (1 + C )  yh y dy + h a S + D ( ) ( )     a S + D∫  −1/ n     ( )  ( ) Hệ 3.3.2 Họ hàm  -đa điều hòa cho ωϕn ∈ F ( A, h ) max M ϕ = bị chặn Chứng minh Với hàm  -đa điều hòa  ta có   n Vì thế, sử dụng biểu diễn ϕ theo định nghĩa hàm Green M ta có:  max     n  C0 , M M với C0 phụ thuộc vào M Để có L1 ước lượng ta sử dụng Mệnh đề 1.7.2 với (3.2) thu được: capω (U (ϕ , j ) ) ≤ C1 / j , U (ϕ , j )=: {ϕ < − j} , C1 không phụ thuộc  Bây ta áp dụng Bổ đề 3.3.1 với   chọn S cho: κ ( C1 / S ) < kết luận U (ϕ , S + 1) phải rỗng với  tùy ý từ ta có điều phải chứng minh  Bổ đề 3.3.3 Nếu dãy  j bị chặn n  f j  n , với f j  f  2 j1 j ( ϕ := lim sup ϕ j j →∞ ) * thỏa phương trình (3.1) Chứng minh Ta giới thiệu vài hàm phụ trợ: ( lim ↑ ϕ ) , ( lim ↑ F ) * = ϕkl max ϕ j ,= ψk l →∞ k ≤ j ≤l kl * Fkl f j ,= Gk = k ≤ j ≤l l →∞ kl Vì địa phương  biểu diễn dd c v , v hàm đa điều hòa dưới, ta áp dụng Định lý 1.7.8 để có: (ω + dd ϕ ) c kl Do đó, theo định lý hội tụ: Footer Page 56 of 185 n ≥ Fklω n Header Page 57 of 185 53 Gk ω n ≤ lim (ω + dd cϕkl ) =+ (ω dd cψ k ) n n (3.9) l →∞ Chú ý   lim k   k , ta áp dụng định lý hội tụ lần (ω + dd ψ ) c n k Từ giả thiết ta có f − Gk L1 ( M ) ≤ → ωϕn (3.10) , nên Gk  f L1 ( M ) Vì áp dụng (3.9) 2k (3.10) ta được: n  f  n Khi tích phân M hai dòng bất đẳng thức  n cuối ta M n  f  n Định lý 3.3.4 Nếu h chấp nhận 1∈ F ( A, h ) với f ∈ F ( A, h ) tồn nghiệm liên tục (3.1) Hơn nữa, tồn a ( A, h ) > cho nghiệm tùy ý n  f  n , max   , M với f ∈ F ( A, h ) thỏa mãn ϕ ≥ −a ( A, h ) Chứng minh Đầu tiên giả sử f bị chặn Sau ta lấy: f j ∈ C ∞ ( M ) , < f j < N , ∫ f jω n = M f j hội tụ L1 đến f Do 1∈ F ( A, h ) ta có f j ∈ F ( NA, h ) Áp dụng định lý Yau ta tìm nghiệm  - đa điều hòa của: n j  f j  n , max  j  M Theo hệ Bổ đề 3.3.1  j bị chặn đều, cho phép ta sử dụng Bổ đề 3.3.2 kết luận ϕ = ( lim sup ϕ j ) thỏa mãn (3.1) Đối với trường hợp f tổng quát ta * xây dựng f j  t j g j , g j = ( f , j ) t j  chọn cho  M Footer Page 57 of 185 f jn  Header Page 58 of 185 54 Do f ∈ L1 ( M ) ta có lim t j  với j đủ lớn f j ∈ F ( A, h ) Vì nghiệm  j  đa điều hòa của: n j  f j  n , max  j  M bị chặn Một lần nữa, bổ đề 3.3.3 nói ϕ = ( lim sup ϕ j ) thỏa mãn: * n  f  n Cận chuẩn sup nghiệm suy từ hệ bổ đề 3.3.2  Định nghĩa:   n Lψ ( c0 ) = 1, ∫ψ ( f ) ω n ≤ c0   f ∈ L ( M ) : f ≥ 0, ∫ f ω =   Ω M nhắc lại ký hiệu: t ( log (1 + t ) ) h ( log (1 + t ) ) , ψ h (t ) = n với h hàm chấp nhận Định lý 3.3.5 Với hàm chấp nhận tùy ý h , thỏa mãn h ( x ) ≤ (1 + x ) , k > , k c0  tồn A  cho: Lψ h ( c0 ) ⊂ F ( A, h ) Chứng minh Cố định f ∈ Lψ ( c0 ) compact K  M Xét sở Vs , tập K s h số  , N phần mở đầu chương Ta giả sử ∫ Ks f ωn ≤ ∫ fω n Các K1 bất đẳng thức sau thu sử dụng tính chất h , bổ đề 1.7.2 (3.1) ∫ K F ( x ) = N f ω n ≤ ∑ ∫ f ω n ≤ N ∫ f ω n ≤ A0 F ( cap ( K1 , V1 ) ) ≤ AF ( capω ( K ) ) , s =1 K s K1 Ax  h ( x −1/n ) Kết hợp hai kết cuối ta hệ sau Hệ 3.3.6 Với hàm chấp nhận tùy ý h f ∈ Lψ h ( c0 ) ta giải được: n  f  n ,  C    , C phụ thuộc h c0 Footer Page 58 of 185 Header Page 59 of 185 55 3.4 Sự ổn định nghiệm Sự nghiệm (sai khác số) phương trình Monge-Ampere đa tạp compact Kahler chứng minh Calabi trường hợp liệu trơn Kết thỏa với giả thiết liệu thuộc F ( A, h ) Nó suy từ ước lượng ổn định mà ta chứng minh Cố định F ( A, h ) với hàm h chấp nhận Từ Định lý 3.3.4 suy tồn số ký hiệu a ( A, h ) cho với f ∈ F ( A, h ) tùy ý, nghiệm  - đa điều hòa  của: n  f  n , max   , M thỏa mãn ϕ ≥ −a ( A, h ) Ta ký hiệu  A,h hàm  bổ đề 3.3.1 với C = a ( A, h ) Vì vậy:  ∞ −1 −1/ n  κ A, h ( s ) = c ( n ) A (1 + a ( A, h ) )  ∫ x h ( x ) dx + h −1/ n ( s −1/ n )   s −1/ n  1/ n Ta cần ước lượng giống ước lượng Định lý 1.8.4 Bổ đề 3.4.1 Cho ϕ ψ hàm ω - đa điều hòa M với ≤ ϕ ≤ C − cho: n  g  n Khi đó: capω ({ψ + s < ϕ} ) ≤ C n s − n ∫ϕ ψ { + s< gω n } Chứng minh Ký hiệu: E ( s ) = {ψ + s < ϕ} a := capω ( E ( 2s ) )  Lấy ρ ∈ PSH (ω ) với 1    đặt V := ψ <   s s  ρ + 1 −  ϕ − s  Khi đó: C  C  E ( 2s ) ⊂ V ⊂ E ( s ) Theo nguyên lý so sánh với s  C ta có: sn Cn s s   ω ≤ ω + − ρ ρ   ωϕ   ∫ ∫ C  C  E(2 s) V n ≤ ∫ ωψn ≤ V Lấy cận trên ρ ta được: Footer Page 59 of 185 ∫ E( s) gω n n Header Page 60 of 185 56 sn a ≤ ∫ gω n n C E( s) Chứng minh xong. Định lý 3.4.2 Xét hai hàm f g thuộc F ( A, h ) với h hàm chấp nhận 1∈ F ( A, h ) nghiệm tương ứng của: n  f  n , n  g  n , chuẩn hóa bởi: max (ϕ −ψ = ) max (ψ − ϕ ) M 1/ n Đặt = q q= ( n )     M định nghĩa hàm  tăng   bởi: γ (t ) = ( 2a ( A, h ) ) n ( a ( A, h ) + 1) n q − −1 κ A, h ( t ) (trong κ A−1,h ( t ) ký hiệu hàm ngược κ A,h ( t ) ) Khi đó, bất đẳng thức f − g ≤ γ ( t ) t n +3 suy ra: ϕ −ψ ∞ ≤ ( 4a ( A, h ) + ) t với t  t0 ( t0 > ) phụ thuộc vào  Chứng minh Đặt a = a ( A, h ) Ta giả sử rằng: ∫ ( f + g )ω ψ ϕ { < n ≤1 (3.11) } ngược lại, ta đổi vai trò ϕ ψ Do lim γ ( t ) = ta cố định t →0 t0 < ( q − 1) / cho γ ( t0 ) t0n +3 < 1/ Bây ta làm việc với t  t0 cố định Ký hiệu Ek tập hợp {ψ < ϕ − kat} đặt: C0   g n E2 Khi (3.11) giả thiết ta có: Footer Page 60 of 185 Header Page 61 of 185 57 1 ( f + g ) + ( g − f ) ω n ≤ (1 + γ ( t0 ) t0n +3 ) ≤ ∫ E0 ω ∫ g= n E0 (3.12) Định nghĩa hàm ω - đa điều hòa ρ nghiệm của: n  g1 n , max   , M g1 = ( / ) g E0 g1 số c0  nơi khác, với c0 chọn cho ∫ gω n = ( c0  có (3.12) Do: M ∫gω n E ≤ ∫ ( / ) g + 1 ω n E 1∈ F ( a, h ) nghiệm  thuộc F ( A, h ) thế:   a Bằng cách cộng số vào ϕ ψ (không ảnh hưởng đến giả thiết kết luận) ta giả sử rằng: a    Ta có hai bao hàm thức: E2 ⊂ E := {ψ < (1 − t ) ϕ + t ρ − at} ⊂ E0 { } Ký hiệu G tập hợp f < (1 − t ) g Từ Bổ đề 3.1.2 ta biết với k  n bất đẳng thức sau thỏa E0 \ G n n k =0   ωtnρ +(1−t )ϕ = ∑   (1 − t ) t n − k ωϕk ∧ ωρn − k k k ≥ (1 − t ) (1 − t )  1/ n n + qt  gω n ≥ (1 − t ) (1 − t ) + qt  gω n  n n  t  ≥ 1 + t ( q − 1) − t  gω ≥ 1 + ( q − 1)  gω n ,   n n Trong bất đẳng thức cuối suy từ t < t0 < ( q − 1) / Từ giả thiết ta có: t ∫ gω n ≤ ∫ ( g − f ) ω n ≤ γ ( t ) t n +3 G Do đó: Footer Page 61 of 185 G (3.13) Header Page 62 of 185 58 ∫ gω n ≤ γ ( t ) t n +1 (3.14) G Các bất đẳng thức nhận cách áp dụng, theo thứ tự công thức (3.13), nguyên lý so sánh, công thức (3.14):  t  n n n n n +1 1 + ( q − 1)  ∫ gω ≤ ∫ ωt ρ +(1−t )ϕ ≤ ∫ gω ≤ ∫ gω + γ ( t ) t E \G E E E \G (3.15) Từ (3.15) ta có: q −1 gω n ≤ γ ( t ) t n ∫ E \G Vì vậy:  q −1 q −1 n +1 n n − ≤ − C γ t t g ω g ω   ≤ γ (t ) t n () ) ( ∫ ∫   2  E2 G  đó:   n γ (t ) t n C0 ≤  t +  γ (t ) t ≤ q −1  q −1  Ta có từ Bổ đề 3.4.1 ( a + 1) gω n capω ( E4 ) ≤ n ( 2at ) E∫ n Do hai ước lượng cuối ta được: capω ( E4 ) ≤ ( 2ta ) Giả sử E ' = −n ( a + 1) n C0 ≤ ( a + 1) ( 2a ) n −n γ (t ) q −1 {ψ < ϕ − ( 4a + ) t} khác rỗng Theo Bổ đề 3.3.1, ước lượng định nghĩa γ ta có: 2t ≤ κ F ( capω ( E4 ) ) ≤ κ F (( a + 1) ) ( 2a ) n −n γ (t ) = t, q −1 Điều mâu thuẩn Vì E ' rỗng dẫn đến ước lượng mong muốn: max (ψ − = ϕ ) max (ϕ −ψ ) ≤ ( 4a + ) t  Footer Page 62 of 185 Header Page 63 of 185 59 Từ Định lý 3.4.2 ta suy với f ∈ F ( A, h ) với h chấp nhận nghiệm (3.1), chuẩn hóa max ϕ = M Hệ 3.4.3 Nếu ϕ1 ϕ thỏa mãn: ωϕn1 f= ω n ωϕn2 = f ∈ F ( A, h ) , với h hàm chấp nhận đó, ϕ1 − ϕ = const Ví dụ Từ Định lý 3.4.2 ta đưa ước lượng rõ ràng với h ( x ) = x n Khi = ψ h ( t ) t log n (1 + t ) Hàm κ A,h tính κ A,h ( t ) = const ( At ) 1/ n γ ( t ) = Ct n với C phụ thuộc A Vì vậy, Định lý 3.4.2, nghiệm  - đa điều hòa chuẩn hóa phương trình: ωϕn f= ω n , ωψn gω n = với f , g ∈ Lψ h ( c0 ) thỏa mãn: ϕ −ψ với c phụ thuộc vào c0 Footer Page 63 of 185 ∞ ≤c f −g 1/ ( n + 3) , Header Page 64 of 185 60 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: -Trình bày khái niệm tính dương dòng toán tử Monge-Ampere mở rộng đa tạp phức - Trình bày tồn tại, tính ổn định nghiệm phương trình Monge-Ampere phức đa tạp compact Kahler Để tìm hiểu nội dung nêu có tìm hiểu bước đầu lý thuyết đa vị phức, hình học vi phân phức Đề tài tiếp tục nghiên cứu theo hướng sau: + Phương trình Hess đa tạp compact Kahler + Một số áp dụng phương trình Monge-Ampere phức vào toán liên quan đến động lực phức Footer Page 64 of 185 Header Page 65 of 185 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Tiếng Anh Andrei Moroianu (2007), Lectures on Kahler Geometry, Cambridge University Press Demailly J P (2007), Complex analytic and differential geometry, Universite de Grenoble I Institut Fourier, France Gang Tian (2000), Canonical metrics in Kahler Geometry, Birkhauser Verlag Basel-Boston- Berlin Hormander L (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Math Lib, Holland Klimek M (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford Kolodziej (2005), The complex Monge – Ampère Equation and Pluripotential Theory, Memoirs of Amer.Math.Soc, (840) Footer Page 65 of 185 ... trình Monge – Ampere phức đa tạp Kahler compact nên chọn nội dung Tìm hiểu bước đầu phương trình Monge-Ampere phức đa tạp compact Kahler làm đề tài luận văn Nội dung luận văn trình bày tồn tại,... dz d z  đa tạp Kahler  j =1  b) Đa tạp Riemann định hướng chiều đa tạp Kahler c) Đa tạp xạ ảnh phức P n () trang bị mêtric Fubini-Study đa tạp Kahler d) Đa tạp xạ ảnh, nghĩa đa tạp P n ()... TOÁN TỬ MONGE-AMPERE TRÊN ĐA TẠP PHỨC 27 2.1 Dòng dương đóng 27 2.2 Toán tử Monge-Ampere 33 Chương PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER