tìm hiểu bước đầu về đa tạp stein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trọng Nguyễn TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐA TẠP STEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trọng Nguyễn TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐA TẠP STEIN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình toán tử vi phân  n 0.2 Tích chập hàm suy rộng 0.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Chương GIỚI THIỆU VỀ ĐA TẠP STEIN 10 1.1 Miền chỉnh hình 10 1.2 Khái niệm đa tạp Stein 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH CAUCAHY – RIEMANN TRONG ĐA TẠP STEIN 20 2.1 Toán tử ∂ không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) 20 2.2 Các định lý tồn xấp xỉ nghiệm phương trình CauchyRiemann đa tạp Stein 29 Chương ĐỊNH LÝ NHÚNG CÁC ĐA TẠP STEIN 43 Chương BAO CHỈNH HÌNH 52 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu đa tạp phức chia thành hai lĩnh vực: lý thuyết hình học lý thuyết hàm Trong lĩnh vực hình học ta quan tâm đến tính chất toàn cục đa tạp phức Trong lĩnh vực lý thuyết hàm việc nghiên cứu liên quan đến tính chất hàm chỉnh hình tập mở  n Hai lớp đa tạp phức bật nhà toán học quan tâm nghiên cứu lớp đa tạp Kahler lớp đa tạp Stein Các đa tạp Stein lớp đa tạp giải tích phức có định nghĩa mô hình hóa dựa tính chất miền chỉnh hình  n Lớp đa tạp mà ngày gọi đa tạp Stein trình bày Stein (1951) Công cụ để nghiên cứu đa tạp Stein lý thuyết bó liên kết Lý thuyết bó liên kết giải tích đa tạp Stein trình bày Cartan (19511952) sau Grauert, Hormander, Oka, MalGrange Hiện đa tạp Stein đối tượng sử dụng rộng rãi Giải tích phức Việc nghiên cứu bó liên kết đòi hỏi nhiều kiến thức Hình học, Đại số Trong khuôn khổ luận văn tìm hiểu bước đầu đa tạp Stein làm sở cho việc nghiên cứu sâu lý thuyết bó liên kết Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương sau Chương giới thiệu khái niệm vài tính chất sơ cấp đa tạp Stein Chương trình bày mở rộng định lý tồn xấp xỉ nghiệm phương trình Cauchy-Riemann  n đến đa tạp Stein Chương trình bày định lý nhúng đa tạp Stein Chương chứng minh đa tạp Stein biểu diễn cụ thể đa tạp đóng  N với chiều đủ lớn Định lý nhúng chương kết Bishop Narasimhan Chương dành trình bày bao chỉnh hình Nội dung chương tìm đa tạp Stein mà mở rộng chỉnh hình cực đại đa tạp cho trước Kết chương thuộc Oka Em chân thành cảm ơn hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông thời gian qua Thầy đưa góp ý chân thành giúp em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn phòng Sau đại học gửi mail hướng dẫn đầy đủ thủ tục giúp em nộp luận văn thời hạn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình toán tử vi phân  n Cho u hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) Ω tập mở  n , đồng  n  2n Ta kí hiệu hệ tọa độ thực x j ,1 ≤ j ≤ 2n , hệ tọa độ phức z= x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n Ta mô tả du tổ hợp j tuyến tính dạng vi phân dz j d z j sau: n ∂u ∂u = du ∑ dz j + ∑ dzj ∂z j =j = j ∂z j n (0.1.1) đó: ∂u  ∂u ∂u  ∂u  ∂u ∂u = −i = +i   ,  ∂z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j  ∂ z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j    Với kí hiệu n ∂u ∂u = ∂ dz u dzj , ∑ ∑ j ∂z j =j = j ∂z j = ∂u n Ta viết (0.1.1) sau: du = ∂u + ∂u Dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân dz j gọi dạng (1,0), dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân d z j gọi dạng (0,1) Vì ∂u (tương ứng ∂u ) thành phần du thuộc loại (1,0) (tương ứng (0,1)) Định nghĩa 0.1.1 Một hàm u ∈ C1 (Ω) gọi giải tích (hoặc chỉnh hình) Ω du thuộc loại (1,0), nghĩa ∂u =0 (phương trình Cauchy Riemann) Tập hợp tất hàm giải tích Ω kí hiệu A(Ω) Toán tử vi phân ∂ ∂ tuyến tính A(Ω) vành Bây lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức v nghĩa u = (u1 , u2 , , uv ) mà thành phần u j hàm giải tích Ω Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω tập mở chứa miền giá trị u, với z ∈ Ω hàm (v  u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω ) ta có v ∂v ∂v + du du j ∑ ∑ j ∂u j =j = j ∂u j = d (v  u ) v Bởi du j thuộc loại (1,0) du j thuộc loại (0,1) Ω nên suy : v v ∂v ∂v , ∂ (v  u ) = du v u du j ∂ =  ( ) ∑ ∑ j j =1 ∂u j j =1 ∂ u j Do v  u giải tích v giải tích Tổng quát, việc phân tích d giống ∂ + ∂ khái niệm hàm giải tích bất biến qua ánh xạ giải tích Cuối ta mở rộng định nghĩa toán tử ∂ ∂ thành dạng vi phân Một dạng vi phân f gọi thuộc loại (p,q) viết dạng f = ∑∑ f = I p= J q I I , J dz ∧ d z J I = (i1 , , i p ) J = ( j1 , , jq ) đa số, nghĩa dãy số nằm n Ở dùng kí hiệu J dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq Mỗi dạng vi phân viết cách tổng dạng loại (p,q): ≤ p, q ≤ n Nếu f thuộc loại (p,q) dạng vi phân df = ∑ df I ,J ∧ dz I ∧ d z J Có thể viết dạng df = ∂f + ∂ f đó: ∂f = ∑ ∂f J I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J dạng thuộc loại (p+1,q) (p,q+1) ∑∂ f I ,J I ,J ∧ dz I ∧ d z J ( ) Vì = d f = ∂ f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f tất số hạng tổng khác nên ta thu được: ∂ = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0, ∂ = Do phương trình ∂u =f (0.1.2) f thuộc loại (p,q+1) có nghiệm u trừ ∂ f = Điều ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (0.1.2) với ẩn hàm u, cách tự nhiên ta phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng thuộc loại (0,1), dạng thuộc loại (0,2),… Nếu u ánh xạ chỉnh hình xác định miền Ω ⊂  n vào v = f ∑f I ,J du I ∧ du J dạng xác định lân cận thuộc miền giá trị u, ta xác định dạng f  u Ω sau = f u ∑f I I , J (u ( z )) du ∧ du J duk duk với k = 1, , v dạng vi phân Ω tương ứng thuộc loại (1,0) (0,1) uk hàm giải tích Do f  u thuộc loại (p,q) f thuộc loại (p,q) d ( f  u ) = (df )  u nên ta thu ( ) ∂( f  u) = ∂f u ( ∂f )  u , ∂ ( f  u ) = Nếu F không gian hàm ta dùng kí hiệu F( p ,q ) không gian dạng thuộc loại (p,q) với hệ số thuộc vào F Định lý 0.1.2 Với tập compact K ⊂ Ω ( Ω tập mở  n ) lân cận mở ω ∈ K , đa số α tồn số Cα cho sup ∂α u ≤ Cα u K L1 (ω ) Hệ 0.1.3 Nếu uk ∈ A(Ω) uk → u compact Ω k → ∞ u ∈ A ( Ω ) 0.2 Tích chập hàm suy rộng Định nghĩa 0.2.1 Ta kí hiệu: χ :  N →  hàm xác định sau:  C x −1 , neáu x ≤ χ ( z) =  e 0 , neáu x >  C số cho ∫ χ ( x)dx = Với ε > ta đặt N x χε ( x) = ε − N χ ( ) ε (0.2.1) hàm χε có tính chất: i) χε ∈ Co∞ ( N ) , suppχε ⊆ B (0, ε ) χε ( x) > với x ∈  N ii) χε hàm phụ thuộc vào x ∫ χε ( x)dx = n Với hàm f ∈ L2 ( N , loc) < ε < d ( x, ∂Ω) đặt fε ( x) =∗ ( f χε )( x) = ∫ f ( y) χε ( x − y)dy yN Phép toán “ ∗ ” gọi tích chập Đồng thời ta nhận xét tích chập có tính chất giao hoán supp u ∗ v ⊂ supp u + supp v Định lý 0.2.2 Cho f ∈ L2 ( N , loc) Khi ta có kết luận sau: 1) fε ∈ C ∞ ( N ) 2) Nếu supp f= K ⊂⊂  N fε ∈ Co∞ ( N ) , supp fε ⊂ Kε ={ x ∈  N | d ( x, K ) ≤ ε } 3) Nếu f ∈ C ( N ) lim fε ( x) = f ( x) K ⊂⊂  N ε →0 L 4) Nếu f ∈ L2 ( N ) fε ∈ L2 ( N ) fε  → f ε → 0+ Bổ đề 0.2.3 Nếu Ω ⊆  n tập mở K ⊂ Ω tập compact, tồn hàm η ∈ Co∞ (Ω) cho ≤ η ≤ η = lân cận K Bổ đề 0.2.4 Cho χ ∈ Co∞ ( N ) với ∫ χε ( x)dx = đặt n x χε ( x) = ε − N χ ( ) , x ∈  n ε Nếu g ∈ L2 ( n ) g ∗ χε ( x) = ∫ g ( y) χε ( x − y)dy = ∫ g ( x − ε y) χ ( y)dy N N yy hàm thuộc lớp C ¥ cho g ∗ χε L2 → ε → Giá g ∗ χε điểm có khoảng cách đến giá g lớn ε giá χ nằm cầu đơn vị 0.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Cho H1, H2 hai không gian Hilbert có tích vô hướng chuẩn tương ứng (.,.)i , i với i ∈1, Cho D không gian trù mật H1 T : D → H , toán tử tuyến tính mà ta giả sử không bị chặn Để thuận tiện ta viết DT thay D miền xác định T Trường hợp ta nói T xác định trù mật H1 Có thể kiểm tra H1 × H không gian Hilbert với tích vô hướng xác '1 , h '2 ) (h1 , h '1 )1 + (h2 , h '2 ) định (h1 , h2 ),(h= Định nghĩa 0.3.1 Toán tử tuyến tính T đóng đồ thị = GT {( x, Tx) : x ∈ DT } ⊆ H1 × H tập hợp đóng Nhận xét T toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H1 vào không gian Hilbert H toán tử liên hợp T * tồn xác định toàn H công thức ( y, Tx) = (T * y, x)1 Trong trường hợp ta xét T : DT → H toán tử tuyến tính không bị chặn, với DT không gian trù mật H1 , việc xác định toán tử liên hợp T * có chút phức tạp Gọi DT * miền xác định toán tử liên hợp T * cần xác định Ta đưa định nghĩa sau 47 r f j' = f j + ∑ a jk g k 1, , N j= hàm quy K , với hệ số thích hơp a jk nhỏ tùy ý Do f ' không thuộc M , nên f không điểm M Như ta chứng minh ( a ) Chứng minh ( b ) tiến hành song song ngoại trừ việc ta áp dụng Bổ đề 3.5 thay Bổ đề 3.4  Phần lại ta thảo luận tồn ánh xạ riêng Chú ý ta có { } ánh xạ riêng f từ Ω vào  N z : z ∈ Ω, f j ( z ) < R, j =1, , N tập compact tương đối Ω với R đa diện giải tích này, tất xác định không N bất đẳng thức, vét kiệt Ω Do trước tiên ta tìm hiểu đa diện giải tích đa tạp Stein Ta gọi tập mở compact tương đối P ⊂ Ω đa diện giải tích cấp N với 1, , N tập P hợp thành phần (liên thông) o f j ∈ A(Ω) , j = tập mở {z : z ∈ Ω, f j ( z ) < 1, j =1, , N }  Bổ đề 3.7 Nếu Ω đa tạp Stein, K tập compact Ω với K = K ω lân cận K tồn đa diện giải tích P với K ⊂ P ⊂⊂ ω Chứng minh: Ta giả sử ω compact tương đối Ω Với z ∈ ∂ω , ta lấy f ∈ A ( Ω ) cho f < K f ( z ) > Theo bổ đề Borel- Lebesgue ta chọn f1 , , f N ∈ A ( Ω ) cho {z : z ∈ Ω, f ( z) < 1, j =1, , N } j chứa K không giao ∂ω Do giao tập với tập ω đa diện giải tích P với yêu cầu cần tìm  Tiếp theo việc giảm cấp đa diện với kỹ thuật Bishop Bổ đề 3.8 Lấy K tập compact P đa diện giải tích có cấp N + Ω cho K ⊂ P Nếu N ≥ 2n tồn đa diện giải tích P ' có cấp N cho K ⊂ P ' ⊂ P Chứng minh: Lấy P hợp thành phần (liên thông) tập hợp 48 < 1, j {z : z ∈ Ω, f ( z) = j } 1, , N + Chọn c0 < c1 < c2 < c3 < cho f j ( z ) < c0 với = j 1, , N + z ∈ K Ta chọn f1' , , f N' +1 với f N +1 = f N' +1 cho  f1' f N'  , ,   f N +1   f N +1 có hạng n { z : z ∈ P, f N +1 ( z ) ≥ c2 } f j' gần với f j để f j' ( z ) < c0 với j = 1, , N ω z ∈ K và= ,j {z : z ∈ P, f ( z) < c= ' j } 1, , N + ⊂⊂ P Thật ra, điều suy từ chứng minh Định lý 3.6 N ≥ 2n ; ta chọn f j' f N +1 fj f N +1 cộng với tổ hợp tuyến tính hàm thích hợp A ( Ω ) với hệ số nhỏ Bây ta xét tập mở = ∆v {z : z ∈ Ω, f ( z) ' j v v − f N +1 ( z )v < c= 1, , N 1, j } v số nguyên dương chọn sau Ta chứng minh hợp Pv' thành phần ∆ , giao với K có tính mong muốn v đủ lớn Trước tiên ta nhận xét z ∈ K dẫn đến f j' ( z )v − f N +1 ( z )v < 2c0v < c1v v đủ lớn Do K ⊂ ∆ v với v đủ lớn Nếu ta chứng minh Pv' ⊂ ω v đủ lớn, ta có khối đa diện giải tích cấp N với tất tính chất cần thiết Nếu Pv' không chứa ω có điểm z ∈ Pv' nằm biên ω với thành phần Pv' giao với K chứa điểm thuộc ω Nếu f N +1 ( z ) < c2 v f j' ( z ) < c2v + c1v < c3v j < N v đủ lớn mà điều mâu thuẫn với giả định z ∈ ∂ω Từ z nằm tập compact = L { z : z ∈ ∂ω , f N +1 ( z ) ≥ c2 } Lấy tập L1 tập compact L nằm mảnh tọa độ với tọa độ z1 , , zn Nếu z ∈ L1 ∩ ∆ v ta có 49 Fj ( z )v − < ( c1 / c2 ) , j = 1, , N , với Fj = v f j' f N +1 , Ta chứng minh điều dẫn đến max f j' ( z + xx )v − f N +1 ( z + )v > c1v z ∈ L1 , ξ < j =1, , N v2 (3.3) với điều kiện v đủ lớn Điều chứng minh không z ∈ L1 thuộc thành phần ∆ v mà giao với K , đó, chứng minh hoàn thành (3.3) kiểm tra Để chứng minh (3.3), ta viết f j' ( z + ξ )v − f N +1 ( z + ξ )v = Fj ( z + ξ )v − f N +1 ( z + ξ ) Từ f N +1 ( z + ξ ) ≥ c2 (1 + O(v −2 ) ) , ta có f N +1 ( z + ξ ) ≥ c2v (1 + O(v −1 ) ) > v v c2v v đủ lớn Bây ta viết   F ( z + ξ ) v  v = Fj ( z + ξ ) − Fj ( z )   j  − 1 + F j ( z ) −   Fj ( z )     v v Theo công thức khai triển Taylor Fj ( z + ξ ) Fj ( z ) + l j (ξ ) + O(v −4 ) = dạng tuyến tính l j không triệt tiêu lúc hàm Fj , j = 1, , N , có hạng n L1 Do max l j (xx ) ≥c 1≤ j ≤ N với c > Ta v  Fj ( z + ξ )  + vl j (ξ ) + O(v −2 ) , cộng tất ước lượng ta có   = ( ) F z j   c  max f j ( z + xxx )v − f N +1 ( z + )v > c2v 2−2  + O(v −2 )  > c1v , < j =1, , N v v  v đủ lớn Các ước lượng theo z z ∈ L1  Bây ta chứng minh kết chương có 50 Định lý 3.9: Nếu Ω đa tạp Stein n chiều tồn phần tử f ∈ A ( Ω ) n +1 xác định ánh xạ riêng quy 1-1 từ Ω vào  n +1 Chứng minh: Theo Định lý 3.6 tồn môt ánh xạ quy, 1-1 g từ Ω vào  n +1 Nếu ta xây dựng f ∈ A(Ω) n +1 cho { z : z ∈ Ω, f ( z ) ≤ k + g ( z ) } ⊂⊂ Ω (3.4) với k , ta suy kết định lý ( Ở ta viết f ( z ) = max j f j ( z ) định nghĩa g ( z ) tương tự) Vì áp dụng Bổ đề 3.4 3.5 ánh xạ qui 1-1 ( f , g ) tồn ma trận a jk hệ số hàng, nhỏ tùy ý,sao cho n +1 f j' ( z ) =+ f j ( z ) ∑ a jk g k j= 1, , 2n + k =1 xác định ánh xạ quy 1-1 f ' vào  n +1 Nếu { z : z ∈ Ω, ∑ k a jk ≤ , ta có f '( z ) ≤ k } ⊂ { z : z ∈ Ω, f ( z ) ≤ k + g ( z ) } ⊂⊂ Ω Vì f ' ánh xạ riêng Để xây dựng f trước tiên ta ý , từ (α ) Định nghĩa 1.2.4, tồn o  = K dãy tập compact K j Ω cho K j K j +1 với j , K j j ∪1∞ K j = Ω Theo Bổ đề 3.7 3.8 ta chọn đa diện giải tích Pj cấp 2n cho K j ⊂ Pj ⊂ K j +1 Đặt M j = sup g Pj Khi điều kiện (3.4) suy từ kết sau đây: f ≥ k + M k +1 Pk +1 \ Pk với k (Vì (3.5) dẫn đến f ≥k+ g Pk +1 \ Pk (3.5) f ≥k+ g ∪∞k ( Pj +1 \ Pj ) = Ω \ Pk ) Ta xây dựng f1 , f , , f n ∈ A ( Ω ) cho max f j ( z ) > k + M k +1 ∂Pk với k 1≤ j ≤ n (3.6) 51 Để thực điều ta nhận xét định nghĩa đa diện giải tích cấp 2n ta có ( ) thể tìm h1k , , h2kn ∈ A ( Ω ) cho max h kj < Pk −1 max h kj = 2n ∂Pk Nếu tập hợp f jk = ( ak h kj ) mk với ak lớn mk số nguyên lớn, ta chọn liên tiếp ak mk cho với k max f k ≤ 2− k Pk −1 , 1≤ j ≤ n max f jk > M k +1 + k + + max 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n 2n ∑f i =1 ∂Pk i j Những điều kiện dẫn đến tổng = fj ∞ = f , j ∑ k j k =1 1, , 2n hội tụ đến hàm A ( Ω ) , ta xây dựng (3.6) Bây đặt {z : z ∈ P \ P , max f ( z) ≤ k + M } H= { z : z ∈ P , max f ( z ) ≤ k + M } G= k k +1 k k k 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n k +1 j j k +1 Từ (3.6) suy tập rời compact A ( Ω ) -bao Gk ∪ H k chứa H k + viết Gk ∪ H k ∪ H k' H k' ⊂ Ω \ Pk +1 (trên thực tế, H k' rỗng điều không quan trọng ) Sử dụng Định lý 2.2.8 để xấp xỉ hàm A ( Ω ) hàm H k ∪ H k' số lớn không đổi Gk , ta thu liên tiếp hàm hk ∈ A ( Ω ) cho hk < 2− k H k , hk ≥ + k + M k +1 + ∑h j [...]... trên một đa tạp con của một hàm giải tích trong toàn bộ đa tạp nhất thiết phải là hàm giải tích Điều kiện ( γ ) được suy ra từ nhận xét vừa trình bày bên trên  Ta sẽ chứng minh trong chương 3 rằng mỗi đa tạp Stein chiều n có thể được nhúng như là một đa tạp con của  2 n +1 Cuối cùng, ta chứng minh rằng Định lý 1.1.10 có thể được mở rộng đối với đa tạp Stein Định lý 1.2.7 Cho Ω là một đa tạp Stein, ... = KerT ⊕ RT * , H 2 = KerT * ⊕ RT (0.3.2) 10 Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ ĐA TẠP STEIN Đa tạp Stein là một lớp các đa tạp phức có định nghĩa được mô hình hóa dựa trên các tính chất của miền chỉnh hình trong  n Mục 1.1 trình bày một số kết quả quan trọng về miền chỉnh hình trong  n Mục 1.2 dành trình bày định nghĩa và các ví dụ về đa tạp Stein 1.1 Miền chỉnh hình Một khái niệm cơ bản trong giải tích phức... TRONG ĐA TẠP STEIN Nội dung chính của chương là mở rộng các định lý về sự tồn tại và xấp xỉ nghiệm đối với phương trình Cauchy-Riemann (phương trình ∂ ) trong  n lên đa tạp Stein Mục 2.1 dành giới thiệu về toán tử ∂ lớp không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) với Ω là đa tạp Stein Mục 2.2 trước tiên trình bày các định lý về sự tồn tại nghiệm (Định lý 2.2.4), về tính chính quy của nghiệm (Định lý 2.2.5), về xấp... ) ≠ f ( z2 ) với f ∈ A ( Ω ) nào đó γ ) Với z ∈ Ω , có thể tìm được n hàm f1 , f 2 , , f n ∈ A ( Ω ) tạo thành một hệ tọa độ tại z Ví dụ Theo định lý 1.1.5, mọi miền chỉnh hình trong  n là một đa tạp Stein Để có các ví dụ khác về đa tạp Stein ta cần một định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.5 Một tập con V của đa tạp phức n chiều Ω được gọi là đa tạp con phức có số chiều là m nếu a) V là tập đóng b) Trong... u là hàm đa điều hòa dưới trong Ω thì = uε ∫ u ( z − εz )ϕ (z )d λ (z ) 15 là hàm đa điều hòa dưới, uε ∈ C ∞ trong đó d ( z , C Ω) > ε , và uε  u khi ε  0 (ta giả sử u ≡ −∞ ) 1.2 Khái niệm đa tạp Stein Trong phần này ta sẽ định nghĩa một đa tạp tôpô n chiều (thực) như là một không gian tôpô Hausdorff Ω mà mọi điểm trong Ω có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong  n Khái niệm về đa tạp giải... đa tạp Stein 2.1 Toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) Trong phần này ta sẽ xây dựng toán tử ∂ trên không gian L2( p ,q ) (Ω, φ ) như là toán tử tuyến tính không bị chặn, đóng và xác định trù mật trên đa tạp Stein Cho Ω là một đa tạp phức n chiều, đếm được ở vô tận Sự phân tích các dạng vi phân thành các dạng loại (p;q) và định nghĩa toán tử δ có thể được mở rộng đến các dạng và hàm trên đa tạp. .. điểm v ∈ V ta luôn tìm được m hàm trong các hàm này tạo thành một hệ tọa độ đối với V tại v Vì Jacobi det ( ∂fi / ∂z j ) ≠ 0 ( i, j = 1, , n ) tại z ( v ) , ta có thể chọn được i1 , i2 , , im thỏa ( ) det ∂fim / ∂zv ≠ 0 1, , m ) ( m, v = Do đó việc hạn chế fi1 , f i2 , , f im đến V tạo thành một hệ tọa độ địa phương tại z 18 Định lý 1.2.6 Đa tạp con của đa tạp Stein là một đa tạp Stein Chứng minh:... f j=1,2, Kj Mọi tập con mở trong một đa tạp phức Ω có một cấu trúc của đa tạp phức nên khái niệm ánh xạ (hàm) giải tích trên một tập con mở cũng được xác định Nhận xét  ⊂  n thì f  k giải tích trong Ω Do đó theo định rằng nếu f là giải tích trong Ω k k nghĩa của đa tạp phức các hàm giải tích tồn tại một cách địa phương Chúng ta sẽ định nghĩa một lớp các đa tạp mà cung cấp cho ta các hàm giải tích... đếm được M được gọi là một đa tạp tôpô nếu tồn tại một số tự nhiên n và với mỗi điểm p ∈ M có một lân cận mở U của p, một ánh xạ x : U →  n mà là đồng phôi lên ảnh x(U) của nó Cặp (U,x) được gọi là một bản đồ (còn được gọi là mảnh tọa độ) trên M, số tự nhiên n được gọi là chiều của M Định nghĩa 1.2.2 Một đa tạp Ω (2n chiều thực) được gọi là đa tạp giải tích phức (hoặc đa tạp phức) n chiều phức nếu... các đa tạp mà cung cấp cho ta các hàm giải tích xác định toàn cục trên 17 đó Theo lý thuyết hàm phức chúng ta sẽ thấy các đa tạp như thế cơ bản giống như các miền chỉnh hình trong  n Định nghĩa 1.2.4 Một đa tạp phức Ω có chiều (phức) là n mà đếm được ở vô tận được gọi là một đa tạp Stein nếu α ) Ω là lồi chỉnh hình , tức là: = K {z ∈ Ω; f (z) ≤ sup f , ∀f ∈ A (Ω)} k là một tập compact của Ω với mọi ... Kahler v lp cỏc a Stein Cỏc a Stein l mt lp cỏc a gii tớch phc cú nh ngha c mụ hỡnh húa da trờn cỏc tớnh cht ca chnh hỡnh n Lp cỏc a m ngy c gi l a Stein c trỡnh by u tiờn bi Stein (1951) Cụng... Hilbert Chng GII THIU V A TP STEIN 10 1.1 Min chnh hỡnh 10 1.2 Khỏi nim a Stein 15 Chng PHNG TRèNH CAUCAHY RIEMANN TRONG A TP STEIN 20 2.1 Toỏn t ... chớnh nghiờn cu v a Stein l lý thuyt bú liờn kt Lý thuyt v bú liờn kt gii tớch trờn cỏc a Stein c trỡnh by bi Cartan (19511952) v sau ú l Grauert, Hormander, Oka, MalGrange Hin a Stein l mt i tng