1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

tìm hiểu bước đầu về động lực phức của các ánh xạ tựa đa thức

76 260 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 76
Dung lượng 1,19 MB

Nội dung

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thỏi TèM HIU BC U V NG LC PHC CA CC NH X TA A THC LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thỏi TèM HIU BC U V NG LC PHC CA CC NH X TA A THC Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN VN ễNG Thnh ph H Chớ Minh - 2014 LI CM N Li u tiờn, em xin by t lũng bit n sõu sc n TS Nguyn Vn ụng v s hng dn tn tỡnh ca thy Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu, thy ó kiờn nhn ch bo, tr giỳp v ng viờn em rt nhiu S hiu bit sõu sc v khoa hc cng nh kinh nghim ca thy chớnh l tin giỳp em t c nhng thnh tu v kinh nghim quý bỏu Xin trõn trng cm n quý thy cụ thuc khoa Toỏn Tin trng i hc S Phm Tp H Chớ Minh ó truyn t kin thc cho em sut thi gian hc ti trng V cui cựng, li thõn thng nht xin gi n gia ỡnh, ni ó to mi iu kin thun li tỏc gi hc v hon thnh lun ny MC LC Trang ph bỡa Li cm n Mc lc Danh mc cỏc hỡnh v M U Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 nh x gii tớch v ỏnh x bo giỏc 1.2 nh x ta bo giỏc 1.3 Phộp lp 1.4 Tp Fatou v Julia 1.5 Khụng gian ph v phộp nõng 10 1.5.1 Khụng gian ph 10 1.5.2 Vi tớnh cht ca ph 11 1.5.3 Nhúm c bn 11 1.5.4 Phộp nõng 13 1.6 a v cu trỳc hu phc 14 1.6.1 a 14 1.6.2 Cu trỳc hu phc 16 1.7 Mt Riemann 16 1.7.1 Khỏi nim v phõn loi mt Riemann 16 1.7.2 Mờtric Riemann v mờtric Poincare (mờtric Hyperbolic) 17 1.8 nh lý ỏnh x o c Riemann (nh lý Ahlfors Bers) 18 1.9 nh x m rng Hm hyperbolic 22 Chng NH X TA A THC 24 2.1 nh ngha v vớ d v ỏnh x ta a thc 24 2.2 Tp Julia y ca ỏnh x ta a thc v cỏc loi tng ng gia cỏc ỏnh x 27 2.3 nh lý Straightenning 30 2.3.1 Gii thiu nh lý 30 2.3.2 Chng minh nh lý 34 Chng KHễNG GIAN THAM S CA H CC NH X TA A THC 45 3.1 H gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc 46 3.1.1 nh ngha 46 3.1.2 nh x nhỳng tubing 47 3.1.3 Phõn hoch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) th nht 47 3.1.4 Phỏt biu v chng minh cỏc nh lý chớnh 48 3.2 H mt tham s cỏc ỏnh x bc hai 56 3.2.1 nh x chnh hỡnh tụpụ 56 3.2.2 Tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c 59 3.2.3 Trng hp M compact nh lý 60 3.2.4 Mt s kt qu khỏc v mi liờn h gia M v M 63 KT LUN 69 TI LIU THAM KHO 70 DANH MC CC HèNH V Hỡnh 2.1 Ba phn t (U , U Â, f ) to thnh ỏnh x ta a thc 24 Hỡnh 2.2 Hn ch ca ỏnh x bc thnh ỏnh x ta a thc bc 25 Hỡnh 2.3 Hn ch ca f ( z ) = p cos z (bờn trỏi) v Qc3o ( z ) (bờn phi) to thnh ỏnh x ta a thc bc 26 Hỡnh 2.4 Tp Julia y ca Q0 ( z ) = z cú mu trng (bờn trỏi); Tp Julia y ca P- 0.6 ( z ) cú mu trng (bờn phi) 31 Hỡnh 2.5 Tp Julia y R- 0.75 cú mu trng (bờn phi); Tp Julia y Q- ( z ) = z - cú mu trng (bờn trỏi) 32 Hỡnh 2.6 Thnh phn liờn thụng ln nht U tng ng vi Julia y ca f ( z ) = p cos z hn ch lờn U 32 Hỡnh 2.7 Tp Julia y ca Qc0 , vi c0 - 1.76 + 0.01i 33 Hỡnh 2.8 Trỏi: Hỡnh th Douady hay Julia y ca Qc1 ( z ) = z - c1 cú mu trng, vi c1 = - 0.122 + 0.745i Phi: nh phúng to ca Julia y ca Qc0 quanh im ti hn Bn ca th Douady l Julia y ca ỏnh x ta a thc ng vi Qc30 33 Hỡnh 3.1 Tp Mandelbrot 45 Hỡnh 3.2 Minh cho h qu 3.5 61 Hỡnh 3.3 Bn ca Mandelbrot mt phng tham s ca f z cosz 63 M U Tp Mandelbrot l cỏc s phc c cho dóy { Qcn (0)} n b chn, vi Qc = z + c Tp ny cú quan h mt thit vi Julia v c t tờn theo nh toỏn hc Benoit Mandelbrot Tp Mandelbrot, sau ú ó c nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc v hỡnh nh ca nú cú sc hp dn khụng ch lnh vc toỏn hc m cũn lnh vc ngh thut c mnh danh l du võn tay ca Chỳa, hp ny tr thnh mt vớ d tiờu biu cho cu trỳc phc to nờn t nhng quy tc n gin v nú l mt nhng hỡnh fractal ni ting nht Vic nghiờn cu a phng cỏc ỏnh x chnh hỡnh lp lõn cn ca im bt ng c phỏt trin mnh vo cui th k 19 Lnh vc ny sau ú c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii nh Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, Vic nghiờn cu cỏc phộp lp ca hm a thc úng vai trũ quan trng vic tỡm hiu phộp lp cỏc hm phc tng quỏt Khi u vi nghiờn cu ca Sullivan, tớnh kh tớch ca cu trỳc phc o c ó mang n rt nhiu ng dng cho ng lc phc Chỳng ta cú th gp nhng bn ca Mandelbrot nhiu h ng lc gii tớch phc Mt nhng kt qu gii thớch cho tớnh ph dng ca Mandelbrot l lý thuyt ỏnh x ta a thc v h ta Mandelbrot ca Douady v Hubbard Lý thuyt ny ch rng s hiu bit v a thc khụng ch hp dn m cũn giỳp ta hiu bit lp rng hn nhiu cỏc hm m v a phng tng ng vi a thc Lun Tỡm hiu bc u v ng lc phc ca cỏc ỏnh x ta a thc nờu mt s kt qu liờn quan n ỏnh x ta a thc nh Julia v Fatou ca cỏc ỏnh x ta a thc, mi liờn h ca ỏnh x ta a thc vi a thc, c trng ca h ta Mandelbrot v cỏc bn ng phụi ca Mandelbrot Cụng c nghiờn cu ng lc phc c in c s dng bi Fatou v Julia l mờtric Poincare, b Schwarz v nh lý Montel cho h chun tc nh lý n tr húa v nh lý Caratheodory l cụng c chớnh nghiờn cu tụpụ ca Julia v Fatou Ngoi vic nghiờn cu cũn s dng phộp bin hỡnh ta bo giỏc, phng trỡnh Beltrami v nh lý Ahlfors Bers C th, lun gm cỏc phn sau õy: - Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng ny nhc li mt s khỏi nim v nh lý ca h ng lc phc, khụng gian ph v ỏnh x ta bo giỏc - Chng 2: nh x ta a thc Chng ny trỡnh by v khỏi nim ỏnh x ta a thc v mt s vớ d minh Ngoi ra, chng ny cũn gii thiu Julia v Fatou ca ỏnh x ta a thc v mi quan h tng ng, liờn hp gia cỏc ỏnh x Trng tõm ca chng l nh lý Straightening, núi v mi liờn h gia ỏnh x ta a thc v cỏc a thc thc s - Chng 3: Khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc Chng ny trỡnh by mt s kin thc v h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc d Ni dung chớnh ca chng mụ t s ph thuc liờn tc, ph thuc gii tớch ca h ỏnh x ta a thc vo khụng gian tham s Chng ny cng nờu khỏi nim h ta Mandelbrot v tớnh cht ca nú Phn cui ca lun tng kt li cỏc kt qu chớnh ó thu c v ỏnh x ta a thc v danh mc cỏc ti liu tham kho Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 nh x gii tớch v ỏnh x bo giỏc nh ngha 1.1.1: Mt hm f c gi l gii tớch thc trờn mt m D è nu vi mi xo ẻ D ta cú th vit Ơ f ( x) = an ( x - xo ) n n= ú an ẻ v chui hi t v f ( x) vi x thuc mt lõn cn ca xo nh ngha hm gii tớch phc (chnh hỡnh) c phỏt biu tng t bng cỏch thay th t thc bng phc v bi Tp hp cỏc hm chnh hỡnh trờn D c ký hiu l O( D) nh ngha 1.1.2: Cho M l mt a phc Mt A è M c gi l gii tớch (phc) ca M nu A l úng v vi mi x0 ẻ A tn ti mt lõn cn U ca x0 v cỏc hm chnh hỡnh g1 , , g n thuc O(U ) cho A ầ U = { z ẻ U : g1 ( z ) = = g N ( z ) = 0} Nh vy mt gii tớch (phc) c nh ngha mt cỏch a phng l cỏc khụng im chung ca hu hn hm chnh hỡnh nh lý 1.1.3 Cho D l m khỏc rng Mt hm kh vi thc f : D ắắđ l hm chnh hỡnh D nu v ch nu hp ny, ảf (c) = , " c ẻ D Trong trng ảz ảf trựng vi f  ca f D ảz nh lý 1.1.4 (Nguyờn lý phn x Schwarz) Gi s F l mt hm liờn tc trờn na mt phng trờn úng { z ẻ { : Im z 0} , chnh hỡnh trờn na mt phng trờn { z ẻ { : Im z > 0} , nhn giỏ tr thc trờn trc thc Khi ú cụng thc m rng F ( z ) = F ( z ) cho mt thỏc trin gii tớch trờn ton mt phng phc Lu ý, nguyờn lý ny cú th ỏp dng vi cỏc a n v vỡ tn ti ng cu chnh hỡnh gia na mt phng trờn vi a n v nh ngha 1.1.5: Cho G l mt Hm s f : G ắắđ c gi l ỏnh x bo giỏc ti z0 ẻ G nu nú cú cỏc tớnh cht: a) Bo ton gúc v bo ton hng ti z0 b) Cú k > cho lim z đ z0 f ( z ) - f ( z0 ) =k z - z0 f c gi l bo giỏc G nu nú bo giỏc ti mi im G nh ngha 1.1.6: Min G1 gi l tng ng bo giỏc vi G2 nu cú mt ỏnh x f : G1 ắắđ chnh hỡnh 1- v f (G1 ) = G2 nh lý 1.1.7 Nu f chnh hỡnh v f  khỏc trờn G thỡ f bo giỏc trờn G Ngc li, nu f bo giỏc trờn G thỡ f chnh hỡnh v f  khỏc trờn G nh ngha 1.1.8: Cho D l m khỏc rng Hm chnh hỡnh f ẻ O( D) c gi l ỏnh x song chnh hỡnh t D lờn D nu DÂ= : f ( D) v ỏnh x f : D ắắđ DÂcú ỏnh x ngc f - : DÂắắđ D l hm chnh hỡnh D Mt ỏnh x f : D ắắđ c gi l song chnh hỡnh a phng ti c ẻ D nu cú mt lõn cn U ca c D cho ỏnh x hn ch f U : U ắắđ f (U ) l ỏnh x song chnh hỡnh nh lý 1.1.9 Cho f : D ắắđ l mt ỏnh x chnh hỡnh Khi ú f l song chnh 56 Trc ht ta chng minh rng co = c ( l o ) ẻ ảM Cho ( mn ) l mt dóy P hi t n l o Theo b 3.1, ta cú th chn mt dóy ( m*k ) cho P Â: z z + c l tng ng cho c ( m*k ) hi t n mt im c ta bo giỏc vi Po : z z + co c ( mn ) ẻ ảM vỡ PnÂ: z z + c Vi n tựy ý, im cÂ= n n cú mt im tun hon trung hũa ging nh f mn Do ú cÂ= lim c n ẻ ảM ; co = c theo mnh 2.7 Cho ( l n ) l mt dóy bt kỡ cỏc im ca L hi t n l o Theo b 3.1, ta cú th chn c mt dóy ( l *k ) cho c ( l *k ) hi t n mt : z z + c l mt tng ng ta bo giỏc vi P im c tha P o Theo mnh 2.7, c = co Vy ta cú co = lim c ( l *k ) 3.2 H mt tham s cỏc ỏnh x bc hai Ni dung chớnh ca mc ny trỡnh by mt s tớnh cht ca ỏnh x Straightening c : L ắắđ t khụng gian tham s ca h ỏnh x ta a thc bc hai n mt phng phc Ni dung chớnh ca mc l nh lý (phn 3.2.2) ch tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c trờn Mandelbrot M Phn 3.2.3 xem xột nh lý trng hp M = c- ( M ) l compact Phn 3.2.4 trỡnh by mt s iu kin c l ỏnh x ta bo giỏc theo ngha M.S.S v mt s mi liờn h gia M v M 3.2.1 nh x chnh hỡnh tụpụ Trong mc ny chỳng ta xột = ( f l ) l ẻ L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc 2, ú dim L = 1, tc l L l mt mt Riemann Chỳng ta cng nghiờn cu ỏnh x Straightening c : L ắắđ (c xỏc nh bng 57 cỏch s dng mt tubing no ú) v hp M = c- ( M ) Nh li rng, M v hn ch ca c trờn M khụng ph thuc vo vic chn tubing v c núi chung khụng gii tớch Chỳng ta s ch rng c cú cựng tớnh cht tụpụ ging nh ỏnh x gii tớch Ta cng s nờu iu kin c cm sinh mt ng phụi, ụi l ta bo giỏc, t M lờn Mandelbrot M Lu ý Cho X v Y l cỏc mt tụpụ c nh hng v j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc Nu y ẻ Y l im cụ lp th ca j thỡ bc a phng i y ( j ) ca j ti y c nh ngha nh sau: t x = j ( y ) v chn U, V ln lt l lõn cn ca x v y, ng phụi vi a m n v D v tha j (V ) è U v { y} = V j - ( x ) Nu g l mt chu tuyn (loop) V \ { y} vi s vũng quay quanh y l thỡ i y ( j ) l s vũng quay ca j g quanh x Nu j l ỏnh x riờng v X, Y liờn thụng thỡ j cú mt bc, ký hiu deg j Nu j l ỏnh x riờng v X, Y liờn thụng, y ẻ Y cho j (do ú hu hn) thỡ deg j = xẻ j - - ( y ) ri rc ix ( y ) ( y) nh ngha Cho X, Y l cỏc mt nh hng, j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc Cho M l úng X v P = j - ( M ) Ta núi j l chnh hỡnh tụpụ trờn M nu vi mi y ẻ P , y l im cụ lp th ca j v i y ( j ) > Mnh 3.6 Gi s j :Y ắắđ X l chnh hỡnh tụpụ trờn M v P = j - (M ) 58 a) Vi mi p ẻ P , tn ti cỏc lõn cn m, liờn thụng U v V ln lt ca m = j ( p ) v p, lõn cn ny cú bao úng compact, cho j cm sinh mt ỏnh x riờng V ắắđ U bc d = i p j b) Nu d = thỡ j cm sinh mt ng phụi t P ầ V lờn M ầ U Tng quỏt hn, j V ắắđ U l phộp cú th vit di dng p f , ú p :U l ỏnh x riờng chiu ca ph d t ca U b r nhỏnh ti m, v f : V ắắđ U bc nh x f cm sinh mt ng phụi t P ầ V lờn p- ( M U ) Chng minh a) Cho B l lõn cn compact ca p, khụng cha bt kỡ im no ca j - ( m) Vỡ m ẽ j ( ảB ) nờn cú mt lõn cn m U ca m, ng phụi vi a m n v D cho U j ( ảB ) = ặ Gi V l thnh phn liờn thụng ca j - o (U ) cha p Vỡ V è B nờn ỏnh x j :V ắắđ U l ỏnh x riờng Theo phn lu ý phớa trờn, ta cú deg ( j V )= i j p b) p dng iu kin nõng ca lý thuyt v khụng gian ph c bit, chỳng ta bit j * ( p (V \ { p} )) c cha nhúm ca p1 (U \ { m} ) sinh bi d, l nh ngha bc a phng H qu 3.4 Vi cỏc gi thit ca mnh 3.6, cỏc im ca P tha i p ( j ) > to thnh mt úng, ri rc ca P Mnh tip theo cú th xem l nguyờn lý cc i ca ỏnh x chnh hỡnh tụpụ Ta b qua chng minh mnh ny Mnh 3.7 (Nguyờn lý cc i ca ỏnh x chnh hỡnh tụpụ) Cho X, Y l cỏc mt nh hng, Y liờn thụng, khụng compact, 59 j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc, M è X l úng cho j chnh hỡnh tụpụ trờn M t P = j - ( M ) Nu W l thnh phn compact tng i ca Y \ P thỡ j (W ) l thnh phn compact tng i ca X \ M v j cm sinh mt ỏnh x riờng W ắắđ j (W ) cú bc ln hn 3.2.2 Tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c nh lý Cho = ( f l ) l ẻ L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc 2, vi L liờn thụng cú s chiu phc l Khi ú ỏnh x khỏc hng c : L ắắđ xỏc nh bi tubing T ca l ỏnh x chnh hỡnh tụpụ trờn M Chng minh Nu c khỏc hng, c- ( c ) ri rc vi mi c thuc Mandelbrot M, (theo h qu 3.3) Ta cn chng minh il ( c) > 0, " l ẻ M Cho v T ln lt l cỏc m v úng bự ca L cho bi phõn hoch M.S.S Ta cú trng hp o a) l ẻ ; c ẻ M Khi ú c chnh hỡnh trờn mt lõn cn ca l theo nh lý b) l ẻ ; c ẻ ảM Theo mnh 2.7, f l  tng ng ta bo giỏc vi f l l  gn l Theo mnh 2.4, t ú ta cú f l  tng ng lai vi f l Suy c l hng trờn mt lõn cn ca l Vy c l hng c) l ẻ T ; c ẻ ảM Gi D l a L cha l v khụng cha bt kỡ im no ca c- ( c ) t g= ảD; i = il ( c) Theo nh ngha ca T , cú o l ẻ D cho c ( g) cú s vũng quay i quanh cÂ= c ( l Â) v f l  cú mt im tun hon trung hũa, khụng n nh 60 o Khi ú tn ti l ÂÂẻ D cho c ( g) cú s vũng quay i quanh cÂÂ= c ( l ÂÂ) o v l  cú mt im tun hon hỳt, vỡ vy cÂÂẻ M Ta cú i = i m( c) , mẻ D c- ( cÂÂ) ú mi s hng ca tng ln hn vỡ c chnh hỡnh ti m (nh lý 3) v cú ớt nht mt s hng tng ng vi m= l  3.2.3 Trng hp M compact nh lý Gi s cỏc gi thit ca nh lý c tha v M compact Khi ú c : M ắắđ M l ph phõn nhỏnh v vỡ M liờn thụng, c cú bc d , m ta gi l bc tham s ca h , trỏi vi bc ca h bng trng hp ny Nu d= thỡ M rng Nu d= thỡ c hn ch thnh mt ng phụi M ắắđ M Trong trng hp ny, ta núi l ta Mandelbrot Gi wl l im ti hn ca f l Mt iu kin M compact l tn ti A è L cho f l ( wl ) ẻ U l \ U Âl vi l ẻ L \ A Mnh 3.8 Gi s L ng phụi vi D v M compact Cho A è L l mt o ng phụi vi D cho M è A Bc tham s d ca bng s ln f l ( wl ) - wl quay quanh l chy khp ảA Chng minh Cho l o ẻ L l im tha f l o ( wl o ) = wl o Khi ú c ( l o ) = v c chnh hỡnh trờn mt lõn cn ca l o Hn na, bi il o ( c) ca l o nh mt khụng im ca c , bng vi bi ca l f l ( wl ) - wl l o nh l mt khụng im ca 61 Tht vy, tng ng lai j l ca f l vi z z + c ( l ) l hm gii tớch theo ( l , z ) v c( l ) = j vi j ( ) l wl = ; Do ú d= l ( f l ( wl ) ) dj l ( wl ) dz il ( c) l s cỏc khụng im ca l f l ( wl ) - wl m - l ẻ c ( 0) c bi H qu 3.5 Cho A è L l mt úng cỏc tham s ng phụi vi mt a v cha M Gi s wl l im ti hn ca f l v f l ( wl ) ẻ U l \ U Âl vi mi l ẻ L \ A ng thi gi s rng l chy mt vũng theo ảA , f l ( wl ) - wl quay mt vũng quanh (xem hỡnh 3.2) Khi ú ỏnh x C : M ắắđ M l c = C( l ) o l mt ng phụi v nú gii tớch M F ( õy vi mi l ẻ M , f l tng ng lai vi mt a thc nht dng Qc ( z ) = z + c nờn ỏnh x C c nh ngha tt) Hỡnh 3.2 Minh cho h qu 3.5 62 Lu ý Gi thit f l ( wl ) ẻ U l \ U  l vi mi l ẻ L \ A tng ng vi gi thit M compact Nu s vũng f l ( wl ) - wl quay quanh l d > thỡ C l ph phõn nhỏnh bc d Ta a mt vớ d minh cỏc iu kin tho h qu M = M Xột mt phng tham s i vi h bc hai v t L = { c : GM (c) < h} , A = { c : GM (c) < h} , õy GM ký hiu hm Green ca Mandelbrot M Nu c ẻ ảA thỡ c thuc ng ng th ca th v h mt phng ng lc Nh vy, vi mi c ẻ ảA , gi GÂc , Gc ln lt l cỏc ng ng th mt phng ng lc ca Qc vi th v h, h Cỏc m c bao quanh bi GÂc , Gc ln lt l ( )  l h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc cỏc a U  c ,U c v = U c , U c , Qc U  c Nhn xột rng theo cỏch xõy dng, vi mi c ẻ L \ A , giỏ tr ti hn Qc (0) = c nm U c \ U c ng thi c quay mt vũng theo ảA giỏ tr ti hn c quay mt vũng quanh Trong trng hp ny M = M Vớ d Cho f l ( z ) = l cos z v gi s A l mt a c chn thớch hp l - mt phng quanh l = p Ta cú th chn U , U thớch hp, cỏc ỏnh x U , U , f |U to thnh mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc Khi l quay mt vũng theo ảA , im ti hn bt ng ti giỏ tr ti hn quay mt vũng quanh , ú tha cỏc iu kin ca h qu Trong hỡnh 3.3, ta thy bn ca Mandelbrot vi l tõm ca cardioid chớnh ca nú 63 Hỡnh 3.3 Bn ca Mandelbrot mt phng tham s ca f z cosz 3.2.4 Mt s kt qu khỏc v mi liờn h gia M v M t I = [ 0;1] , L l mt Riemann v = ( f s , l : U  đ U s , l )( ) s , l ắắ s, l ẻ I L l h cỏc ỏnh x ta a thc bc Ta gi s iu kin i, ii ca nh ngha mc 3.1.1 tha Ta cng gi s f : A' ắắđ A liờn tc, chnh hỡnh theo ( l , z ) v l ỏnh x riờng Gi s vi mi s ẻ I , h gii tớch s = ( f s , l ) lẻ L l ta Mandelbrot v M s cha mt compact A è L Khi ú ta núi o v kt ni bi mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot Mnh 3.9 Cho = ( f l ) l ẻ L , = ( g l ) l ẻ L l hai h ta Mandelbrot c tham s húa bi cựng mt mt Riemann L Nu v cú th kt ni bng mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot thỡ ng phụi c f , g = c-G1 c : M ắắđ M G l ta bo giỏc theo ngha M.S.S 64 Lu ý rng, cho X è Ơ , mt hm j : X ắắđ Ơ c gi l ta bo giỏc theo ngha Mane Sad Sullivan (M.S.S) nu j l mt phộp nhỳng tụpụ v tha iu kin sup d ( j ( y ), j ( x) ) suplimsup xẻ X tđ yẻ St ( x ) inf d ( j ( y ), j ( x) ) ÊƠ yẻ St ( x ) ú St ( x) = { y ẻ X : d ( y, x) = t } chng minh mnh 3.9 ta s dng l - b sau õy B 3.2 ( l - b ) Cho A è , D l a n v m ca v il : A ắắđ l mt h ton ỏnh ph thuc gii tớch theo l ẻ D (tc hm l il ( z ) gii tớch " z ẻ A ) Gi s io l ỏnh x bao hm t A vo Khi ú mi il cú mt ỏnh x m rng ta bo giỏc il : A ắắđ l phộp nhỳng tụpụ ph thuc gii tớch theo l ẻ D v ỏnh x ( l , z ) ắắđ il ( z ) l liờn tc vi ( l , z ) ẻ D A Chng minh mnh 3.9 Ta ch cn chng minh tớnh cht ny vi gn t hl = g l - f l Nu gn , tn ti R > v L  compact tng i L , cha M , cho vi t ẻ bt kỡ, t < R thỡ h t = ( f l + t hl ) l ẻ hp, l ta Mandelbrot Khi ú ( c-t1 ) tẻ Dr , vi thu hp phự L l h gii tớch phc cỏc phộp nhỳng tụpụ t M vo L Mnh c suy t l - b (chỳ ý rng ta ang xột s l tham s v l l bin) Vớ d Cho L v V m , c hai cha a D , bỏn kớnh bng v ỏnh x 65 L V ắắđ ( l , z ) f l ( z ) = z + l + hl ( z ) l ỏnh x gii tớch phc, hÂl ( 0) = v hl ( z ) Ê 1, " ( l , z ) ẻ L V f l- (U l ) Khi ú f l : U Âắắ t U l = D10 , " l ; U Â= đ U l l ỏnh x ta l l a thc bc vi l Ê v = ( f l : U Âl ắắđ U l ) l ẻ Tht vy, nu l Ê v z = thỡ phng trỡnh D4 l h ta Mandelbrot f l ( z ) 16 - - 1> 10 Vỡ vy f l ( z ) = w cú hai nghim z1 , z2 ẻ D4 nu w < 10 v đ U l l ỏnh x riờng bc hai f l : U Âắắ l Theo nguyờn lý cc i, U Âl l hp tụpụ ca cỏc a v vỡ cú ớt nht mt im ti hn, tc l 0, cụng thc Riemann Hurwitz cho ta U Âằ D v l U Âè D è D10 l Hn na, nu l = thỡ f l ( 0) - 1= v f l ( 0) - - 1= Vỡ vy, f l ( 0) ẽ U Âl v l ẽ M Cui cựng, theo mnh 3.8, ta cú bc tham s l Lu ý i vi mt h nh trờn, ỏnh x c : M ắắđ M l ta bo giỏc theo ngha M.S.S (theo mnh 3.9) Mnh 3.10 Chn e< , gi s cỏc iu kin ca vớ d tha Cho hl ( z ) Ê e vi l < 4; z < Khi ú a) c ( l ) - l Ê e, " l ẻ M b) Nu l , l ẻ M thỡ 66 1 b( e) l 1- l Ê c ( l ) - c ( l ) Ê k+ ( e) l - l k- ( e) b( e) , ú k- ( e) = 82 e 1+ e; k+ ( e) = 82 e 1- e v b( e) = 1- e 1+ e Chng minh t hl = e.hl cho hl ( z ) Ê 1, vi l < 4; z < t Fs , l ( z ) = z + l + s.hl ( z ) Vi mi s ẻ D, s = ( Fs , l ) lẻ D4 l h ta Mandelbrot, v nu c s c xỏc nh bng cỏch s dng s , ỏnh x c-s l ỏnh x nhỳng t M vo D4 Vi mi c ẻ M , ỏnh x gc : D ắắđ D4 s c-s ( c ) l gii tớch vỡ th ca nú l mt gii tớch ca D D4 (theo h qu 3.3) a) Nu s ẻ D , gc ( s ) Ê , c Ê thỡ gc ( s ) - c Ê Vỡ gc ( 0) = c nờn gc ( s ) - c Ê s theo b Schwarz Nu ly s = e, ta cú c- ( c ) - c Ê e b) Nu c1 c2 thỡ ỏnh x gc1 v gc2 cú th ri Bt ng thc mnh cú c b 3.3 B 3.3 Cho u; v : D ắắđ DR l hai hm chnh hỡnh cú th ri Khi ú u (0) - v(0) 2R b( z ) u ( z ) - v( z ) u (0) - v(0) Ê Ê 2R 2R b( z ) 67 ú b( z ) = 1- z 1+ z Chng minh t w= log(u - v) v ta cú th chn mt nhỏnh no ú ca hm logarit 2R Ta lm c iu ny vỡ u - v khụng trit tiờu v D liờn thụng t wo = w( 0) Hm w nhn giỏ tr na trỏi ca mt phng Re ( w) < v ỏnh x w w- wo l mt ng cu t na mt phng ú lờn D Khi ú, ta cú w+ wo Re ( w- wo ) w- wo Ê Ê z w+ wo Re ( w+ wo ) Bt ng thc th nht ỳng vỡ ng mc ca ỏnh x w w- wo l ng w+ wo trũn Bt ng thc th hai ỳng theo b Schwarz T ú ta cú b( z ) Ê Re ( w) Ê Re ( wo ) b( z ) Mnh 3.10 c chng minh đU l )l ẻ Vớ d Cho ( f l : U Âắắ l L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc hai c tham s húa bi mt m ca ng phụi vi D Ta gi s rng U l li vi mi l v cú mt compact A è L cho f l ( wl ) khụng thuc bao li ca U Âl , vi mi l ẻ L \ A iu ny suy M compact Ta gi s bc tham s l d= Mnh 3.11 Vi cỏc iu kin ca vớ d 3, ng phụi c : M ắắđ M l ta bo giỏc theo ngha M.S.S 68 Chng minh Bng phộp i ta affine theo bin l , ta cú th gi s wl = v f lÂÂ( wl ) = 2, " l Tc l f l ( z ) = z + l + O ( z ) Hm c : L ắắđ cú mt khụng im n ti l o ẻ L v ta cú th ng nht L vi mt m ca cho l o = v cÂ( 0) = Khi ú f l ( z) = z2 + l + O( z + l ) v co nh L nu cn thit, ta cú th gi s khong cỏch t U n phn bự ca U b chn di bi s m > khụng ph thuc vo l - v U s , l = s- 2U s l nh t L s = s- L Vi l ẻ L s , t U  s, l = s U  s2 l ngha f s , l : U  đ U s , l nh sau f s , l = s- f s l ( sz ) v f o , l ( z ) = z + l s , l ắắ nh x ( s, l , z ) f s , l ( z ) to thnh mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot kt ni ( f l ) vi z z + l Theo mnh 3.9, ta cú iu phi chng minh 69 KT LUN Mc ớch ca lun l tỡm hiu v ỏnh x ta a thc v khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc h ng lc phc Kt qu chớnh ca lun c trỡnh by chng v chng Chng nờu cỏc vớ d cho thy ỏnh x ta a thc cú th thu c bng cỏch hn ch mt a thc no ú hoc thụng qua phộp lp ca mt hm c thu hp trờn cho trc c bit, nh lý Straightening ch rừ mt ỏnh x ta a thc tng ng lai vi cỏc a thc thc s, sai khỏc mt phộp ly liờn hp bi ỏnh x affine nh lý ny gii thớch ti ta cú th tỡm thy cỏc bn ca Julia ca a thc cỏc mt phng ng lc ca mi loi hm Chng kho sỏt khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc c cho trờn mt a phc nh lý v nh lý cho ta thy s ph thuc liờn tc, ph thuc gii tớch ca h ỏnh x ta a thc vo khụng gian tham s Chng ny cng trỡnh by nh ngha v mt s tớnh cht ca ỏnh x Straightening c nh tớnh chnh hỡnh tụpụ trờn Mandelbrot M, tớnh ta bo giỏc theo ngha M.S.S c bit, M compact, c : M ắắđ M l ph phõn nhỏnh bc d v cú th hn ch thnh mt ng phụi Ngoi ra, chỳng tụi cũn phõn tớch v minh bn ca Mandelbrot mt phng tham s v h ta Mandelbrot Qua lun ny, tỏc gi thc s lm quen vi vic c ti liu v cụng vic nghiờn cu khoa hc mt cỏch nghiờm tỳc, cú h thng Tuy nhiờn, vi s hiu bit cũn hn ch ca bn thõn, tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp, ch bo ca quý Thy Cụ v ngoi Hi ng 70 TI LIU THAM KHO [1] Adrien Douady, John Hamal Hubbard (1985), On the Dynamics of Polynomial-like Mapping, Annales Scientifiques De Lẫ.N.S tome 18, n0 2, 287-343 [2] Alan.F.Beardon (1990), Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag [3] A.Zdunik (1997), Harmonic Measure on the Julia set for Polynomial like Maps, Invent.math, 303 327 [4] Curtis T McMullen, Complex Dynamics and Renormalization [5] John Milnor (2006), Dynamics in one Complex Variable, Princeton and Oxford [6] Lars V Ahlfors, Lectures on Quasiconformal Mappings, Princeton [7] Lennart Carleson, Theodore W.Gamelin (1992), Complex Dynamics, Springer-Verlag [8] Nỳria Fagella (1995), The theory of Polynomial-like Mapping The importance of Quadratic Polynomials, Univ Autũnomial de Barcelona [9] R Mane, P Sad, D Sullivan (1983), On the Dynamics of Rational Maps, Annales Scientifiques De Lẫ.N.S tome 16, n0 2, 193-217 [10] Tan Lei (2000), The Mandelbrot set theme and variations, London Mathematical society lecture note series 274, Cambridge University

Ngày đăng: 02/12/2015, 10:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w