một số tính chất của độ đo điều hòa trên tập julia đối với ánh xạ tựa đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Kim Tri MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Kim Tri MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán – Tin Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn suốt trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn không tránh khỏi mặt thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày tháng 10 năm 2013 Trần Kim Tri MỤC LỤC trang Mục lục Bảng danh mục hình MỞ ĐẦU T 2T Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức T T 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị T T 1.3 Một số kiến thức lý thuyết ergodic lý thuyết độ đo T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ 14 T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 23 T T 3.1 Về toán tử P lớp G 24 T 2T 2T T 3.2 Sự tồn độ đo bất biến 25 T T 3.3 Một số tính chất mở rộng độ đo điều hòa ω 27 T T 3.4 Các tính chất Ergodic độ đo µ 31 T T 3.5 So sánh với độ đo cực đại 36 T T 3.6 Chiều Hausdorff độ đo điều hòa 39 T T KẾT LUẬN 47 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 T 2T BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH trang Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học………………………………………… 32 Hình 3.3.1.2 Các đường cong Qn ……………………………………………33 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động phát triển mạnh vào cuối kỷ 19 Lĩnh vực sau quan tâm nhiều nhà toán học giới Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, … Lý thuyết phép lặp hàm hữu tỉ f ( z ) mà đóng vai trò quan trọng tập Fatou F ( f ) tập Julia J ( f ) , nghiên cứu Fatou Julia Một quan tâm nhà toán học lĩnh vực hệ động lực phức tìm hiểu độ đo điều hòa tập Julia các ánh xạ tựa đa thức Xét f ánh xạ tựa đa thức mở rộng Luận văn trình bày tồn độ đo bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa tập Julia J ( f ) , đồng thời độ đo điều hòa tương đương với độ đo entropy cực đại f tương đương bảo giác với đa thức Luận văn chứng minh chiều Hausdorff độ đo điều hòa J ( f ) nhỏ trừ tập Julia liên thông Các nội dung luận văn dựa hai báo [3], [11] Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ hữu tỷ Chương 3: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức 1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa thức bậc d ba (U ,V , f ) U ,V tập mở  đẳng cấu với đĩa, với U compact tương đối V f : U → V ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc d Trong luận văn ta xét d ≥ Ở ánh xạ f : U → V hai không gian tô pô ánh xạ riêng tạo ảnh tập compact V compact U Ánh xạ f biến biên U thành biên V , điểm gần ∂U thành điểm gần ∂V Định nghĩa 1.1.1.2 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức, K f , K g liên thông Khi f g gọi tương đương (ký hiệu f  ext g ) tồn tập mở liên thông U1 , U1' , V1 , V1' cho ' −1 (V1 ) V1' đẳng cấu , f −1 (U1 ) U= K f ⊂ U1' ⊂ U1 ⊂ U , K g ⊂ V1' ⊂ V1 ⊂ V = 1, f chỉnh hình ϕ : U1 \ K f → V1 \ K g cho ϕ  f = g  ϕ Định nghĩa 1.1.1.3 Chúng ta cho tương ứng ánh xạ tựa đa thức f : U ' → U bậc d với ánh xạ giải tích thực mở rộng h f : S → S bậc d, sai khác liên hợp phép quay Ta gọi h f ánh xạ f Ánh xạ z  z d ánh xạ f Định nghĩa 1.1.1.4 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức Ta nói f g tương đương tô pô (ký hiệu f  top g ) tồn đồng phôi ϕ từ lân cận K f lên lân cận K g cho ϕ  f = g  ϕ gần K f Nếu ϕ chỉnh hình ta nói f g tương đương bảo giác (ký hiệu f  hol g ) Nếu ϕ tựa bảo giác ta nói f g tương đương tựa bảo giác (ký hiệu f  qc g ) Ta có f  hol g ⇒ f  qc g ⇒ f  top g Định nghĩa 1.1.1.5 Cho f ánh xạ tựa đa thức bậc d Khi f tương đương bảo giác với đa thức f tương đương với z  z d 1.1.2 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ Định nghĩa 1.1.2.1 Một dãy ( f n ) ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) đến không gian metric ( X , d ) gọi hội tụ địa phương X tới ánh xạ f điểm x ∈ X tồn có lân cận x mà f n hội tụ đến f lân cận Định nghĩa 1.1.2.2 Một họ  ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) vào không gian metric ( X , d ) gọi họ chuẩn tắc X dãy vô hạn ánh xạ  chứa dãy hội tụ địa phương X Định lý 1.1.2.3 (Định lý Montel) Cho  họ hàm chỉnh hình miền D ⊂  Giả sử tồn ba điểm phân biệt a, b, c ∈  cho f ( z ) ∉ {a, b, c}, ∀z ∈ D ,  chuẩn tắc D 1.1.3 Tập Fatou, tập Julia, đĩa Siegel Định nghĩa 1.1.3.1 Cho f hàm hữu tỉ Tập Fatou f , ký hiệu F ( f ) tập mở lớn  mà dãy {f } n chuẩn tắc Tập Julia hàm hữu tỉ f , ký hiệu J ( f ) định nghĩa phần bù F ( f ) , tức J ( f ) =  \ F ( f ) Hay nói cách khác tập J ( f ) chứa tất điểm z ∈  ∞ mà dãy {f n ( z )} không chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.3.2 Cho f : S → S tự đồng cấu chỉnh hình, S mặt Riemann U thành phần liên thông tập Fatou F ( f ) Ta nói U đĩa Siegel f quanh điểm zo tồn đồng phôi chỉnh hình φ :U → D với D đĩa mở đơn vị cho cho φ ( f n (φ −1 ( z ))) = e 2π iα z với số α thuộc  \  φ ( zo ) = Định lý 1.1.3.3 Giả sử f hàm hữu tỉ có bậc ≥ , J ( f ) tập vô hạn phần tử 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị 1.2.1 Miền quy Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử D miền thực  ∞ ζ ∈ ∂D Hàm cản ζ hàm điều hòa b xác định D ∩ N , với N lân cận mở ζ , thỏa mãn b < D ∩ N lim b( z ) = z →ζ Một điểm biên mà tồn hàm cản gọi điểm quy Trong trường hợp ngược lại gọi điểm kỳ dị Nếu điểm ζ ∈ ∂D điểm quy, D gọi miền quy 1.2.2 Hàm Green Định nghĩa 1.2.2.1 Cho tập compact  với , D =  \ K Giả sử D miền quy (theo nghĩa Dirichlet), Một hàm Green D ánh xạ g D : D × D → (−∞, ∞] cho với ω ∈ D : (a) g D (., ω ) điều hòa D \ {ω} , bị chặn bên lân cận ,  log z + O(1), (b) g D (ω , ω ) = ∞ z → ω g D ( z , ω ) =  − log z − ω + O(1), ω= ∞ ω≠∞ , (c) g D ( z , ω ) → z → ς , với ς ∈ ∂D gần khắp nơi (nếu viết f= (t ) g (t ) + O(1) t → t0 ta hiểu f (t ) − g (t ) bị chặn với t đủ gần t0 t đủ lớn t0 = ∞ ) Định lý 1.2.2.2 (Công thức Poisson – Jensen) Công thức dùng tài liệu trường hợp quy dùng phát biểu sau : Với U miền  cho ∂U hợp hữu hạn đường cong trơn F hàm số giải tích xác định lân cận cl U Khi với x ∈ U ta có = log F( x ) ∫ ∂U log F( x ) ωU d ( x, dz) − ∑ gU (z, w) w∈U: F (w)= gU hàm số Green U phần tử không F lý tùy theo bội số chúng 1.2.3 Độ đo điều hòa Định nghĩa 1.2.3.1 Cho miền u hàm điều hòa dưới, u ≡/ −∞ tồn toán tử ∆u tuyến tính dương không gian C0∞ ( D) ∆u (φ )= ∫ D u∆φ ∀φ ∈ C0∞ ( D) 34 µ ( X n′ )  c ∑γ G( z′ ) > C d − ∑ G( z ) > ε ⋅ µ ( X n zn′ ∈ n′ n n ) với số ε > Vì µ f – bất biến ta có µ ( X n−1 ) ≥ µ ( X n ) + µ ( X n′ ) > µ ( X n ) + εµ ( X n ) = (1 + ε ) µ ( X n ) Mệnh đề chứng minh  Với x ∈ J ký hiệu đĩa tô pô  chứa x giới hạn đường cong γ n′ Dn ( x) ( )  hệ ( J , µ ) ( xét chương 1) Bổ đề sau liên quan đến mở rộng tự nhiên J , µ ta bỏ qua chứng minh bổ đề Bổ đề 3.4.4 M >0 , Tồn tập F ⊂ J với độ đo dương µ gần tùy ý với n0 = n0 ( F ) > = x ( , x−2 , x−1 , x0 , x1 ) ∈ F 0, ε = ε ( F ) > 0, N = N ( F ) f n : Dn + n0 ( x− n ) → Dn0 ( x0 ) diam Dn + n0 ( x− n ) < e − nε với n ≥ N độ biến dạng f n|Dn + n cho với ánh xạ bậc một, ( x− n ) (nghĩa sup | ( f n )' | ) bị inf | ( f n )' | chặn M  Theo định lý truy hồi Poincaré quỹ đạo hầu hết điểm x ∈ F lọt vào F vô hạn lần Kí hiệu F hình chiếu F lên trục tọa độ thứ Khi với hầu hết điểm x ∈ F ta có diamDn ( x) → { } x ∈ X :  Dn ( x) = {x} Tiếp theo ta định nghĩa E = n 35 Nhận xét E ∈ σ (  X n ) f −1 ( E ) ⊂ E Hơn nữa, µ ( E ) dương Dó theo mệnh đề 3.4.2 , ta có µ ( E ) = Như ta vừa chứng minh kết sau Mệnh đề 3.4.5 Tồn N > để với ω - hầu hết điểm x ∈ J có dãy số dương trù mật nk ≥ N cho f nk ánh xạ đơn diệp từ Dnk + n0 ( x) lên miền có kích cở cố dịnh lớn diam Dnk + n0 −i ( f i ( x)) < e − ( nk −i )ε (với i ≤ n k – N) R R Đặc biệt, diam Dnk + n0 −i ( x) < e − nk ε Suy thành phần liên thông J chứa x điểm Định lý A Tồn độ đo µ độ đo f − bất biến, ergodic tương đương  với G ∈ G với ω Hơn µ = ∆G Chứng minh Từ định lý 3.2.2 ta cần chứng minh µ ergodic Nếu φ µ − đo φ = E (φ | σ ( X n )) đo µ − h.k.n Nếu φ f − bất biến E (φ | σ ( X n )) f − bất biến từ mệnh đề 3.4.2 ta có φ số µ − h.k.n Do µ ergodic  36 3.5 So sánh với độ đo cực đại Trong phần ta chứng minh định lý sau Định lý B Với ánh xạ tựa đa thức độ đo entropy cực đại độ đo điều hòa tương đương f tương đương bảo giác với đa thức Nếu ngược lại chúng kỳ dị với Chứng minh Ta giả thiết f : U → W ánh xạ tựa đa thức Nhắc lại µ = ∆G , G ∈ xác định W Lấy B cầu giao với J cho f|B ánh xạ – Xét hàm điều hòa xác định B : x  G ( f ( x)) , x  d ⋅ G ( x) Bây giờ, ∆((G  f )|B ) độ đo B nên định lý biểu diễn Riesz ta có với φ ∈ C0∞ ( B ) ∆ ((G  f )|B (φ )) = ∫ ∆φ ⋅ (G  f ) d λ = B = ∫ ∫ ∆φ  f −1 ⋅ G ⋅ | ( f −1 )′)|2 d λ f (B) ∆(φ  f −1 ) ⋅ G d λ = ∆G (φ  f −1 ) = µ (φ  f −1 ) f (B) Vì ∆((G  f )|B ) trùng với x  µ (φ  f −1 ) với φ ∈ C0∞ ( B ) với φ ∈ C0 ( B ) Hiển nhiên ta có ∆(d ⋅ G|B ) = d ⋅ µ|B Bây ta giả sử µ trùng với độ đo entropy cực đại Suy µ (φ  f −1 )= d ⋅ µ (φ ) với φ trên, ∆((G  f )|B ) = ∆(d ⋅ G |B ) Từ G  f|B d ⋅ G |B cho độ đo, chúng sai khác hàm điều hòa : G  f|B − d ⋅ G|B = H H điều hòa B Từ G| J = dẫn đến 37 (1) H ≡ B (2) H | J ∩ B = J ∩ B chứa hợp hữu hạn đường cong giải tích thực Trong trường hợp thứ ta có G  f|B= d ⋅ G |B từ G  f|B − d ⋅ G|B điều hòa U \ K f cho ta G  f = d ⋅ G U Bây giờ, lập luận sử dụng [6] ánh xạ f z  z d f đa thức ( sai khác liên hợp phép biến đổi bảo giác) Vì G xác định hình vành khăn W \ U , “kéo ngược ” sau mở rộng đến hàm điều hòa Φ xác định lân cận đĩa đơn vị thoả mãn Φ  g= d ⋅ Φ (g ánh xạ ngoài) Khi Φ cho độ đo bất biến cực đại tương đương với độ độ Lebesgue S Điều với g ( z ) = z d Trường hợp lại xem xét với cầu B cho f|B ánh xạ – 1, J ∩ B chứa họ hữu hạn đường cong giải tích thực Nếu x ∈ J điểm tới hạn , f k ( x) không tới hạn, tồn lân cận B f k ( x) J ∩ B ⊂ {H = 0} (H điều hòa B) Do ta tìm phủ mở J cầu B1 , B2 , , Bn cho J ∩ Bm ⊂ γ  γ ∈ Cm Cm − tập hữu hạn đường cong giải tích thực, γ chứa vô hạn điểm J Do đó, γ i dường cong họ f −1 (γ i ) ∩ Bm ⊂ γ  γ ∈ Cm 38 n Lấy = (V ) U n +1 ⊂ V Bây giờ, V U= f − n (U ) cho V ⊂  Bi Ta có f −1= γ i ∩ γ j  V ≠ ∅ γ j thác triển γ i (nghĩa γ i  γ j đường cong giải tích) (Nói cách khác nghịch ảnh giao điểm hội tụ J Điều chúng tạo thành tập rời rạc) Do đó, J ∩ V chứa tập hữu m hạn đường cong giải tích rời Γ ={γ , γ , , γ m } f −1 (γ i ) ⊂  γ j j =1 Cố định Vi lân cận rời rạc γ i cho phép đối xứng γ i : z  z * xác định Vi Nhận xét f ( z * ) = ( f ( z ))* với z ∈ Vi ∩ f −1 (V j ) (theo Nguyên lý đối xứng) Lấy G= ( z ) G ( z ) + G ( z * ) Khi z ∈ Vi G ( f ( z )) − d ⋅ G (= z ) H ( z * ) + H (= z) H |γ i = Do G  f − d ⋅ G = lân cận J Vì G thỏa mãn P n G = G , mở rộng đến hàm điều hòa xác định W, cách đặt  G(x) = P n G(x) với n đủ lớn Nhận xét với hàm mở rộng đẳng thức G  f − d ⋅ G = Một lần nữa, ta kết luận ánh xạ f z  z d f tương đương bảo giác với đa thức Nhận xét độ đo µ độ đo cực đại độ đo ergodic bất biến f Vì chúng kì dị Vì µ tương đương với ω , độ đo điều hòa cực đại tương đương kì dị  39 3.6 Chiều Hausdorff độ đo điều hòa Trong phần ta trình bày số kết chuẩn bị chứng minh định lý sau Định lý C Nếu K f không liên thông chiều Hausdorff độ đo điều hòa ω nhỏ sup z∈γ n ( x ) G ( z ) =0 Bổ đề 3.6.1 Với điểm x ∈ J ( f ) µ − h.k.n ta có lim log n →∞ n inf z∈γ n ( x )G ( z ) Chứng minh Sử dụng mệnh đề 3.4.5 , ta cố định x thỏa mãn phát biểu mệnh đề 2.4.5 n đủ lớn Lấy nk lớn thỏa nk < n Khi f nk ánh xạ Dnk + n0 ( x) lên Dn0 ( f nk ( x)) với bậc Vì với z ∈ γ nk ( x) G ( z )  ω ( X nk ( x)) , ta có G  ω ( X nk ( x)) γ nk ( x) G  f nk Do đó, theo nguyên lý cực đại, đẳng thức khắp nơi miền giới hạn γ nk ( x) G( z) G ( f nk z ) Lấy z ∈ γ n ( x) w ∈ γ n ( x) , ta có  G ( w) G ( f nk w) Nhưng C − ( n− nk ) < G ( f nk z ) < c − ( n− nk ) với c, C > (xem mệnh đề 3.3.1) Do (−const) Vì n − nk n − nk G( z) < log < const ⋅ n n G ( w) n n − nk → n → ∞ (mệnh đề 3.4.5), nên mệnh đề chứng minh  n Ta bỏ qua chứng minh bổ đề sau Chứng minh xem [12] Bổ đề 3.6.2 Ta có hµ ( f= ) lim − log µ ( X n ( x)) với x h.k.n  n →∞ n 40 Ký hiệu : Ω n ⊂ Ω miền bao quanh tất đường γ n ∈ Γ n , ωΩn độ đo điều hòa (tính ∞) Mệnh đề 3.6.3 Với x ∈ J , ω − h.k.n ta có 1 log sup G ( x)) lim log inf G ( x)) = − hµ lim = n →∞ n n →∞ n z∈γ n z∈γ n log G ( x)dωΩn ( x) n →∞ n ∫ ∂Ω n Hơn lim − hµ = Chứng minh Từ µ ( X n ( x))  ∑ zn ∈γ n ( x ) G ( zn ) , công thức chứng minh bổ đề 3.6.2 cho ta lim log ∑ G ( zn ) − hµ ( f ) = n →∞ n zn ∈γ n ( x ) Ta lại có 1   log ∑ G ( zn ) ≤ log  deg f|γnn ⋅ sup G ( z )  n n z∈γ n zn ∈γ n ( x )   sup G ( z ) 1 z∈γ n = log deg f|γ n + log inf G ( z ) + log n z∈γ n inf G ( z ) n n n z∈γ n Sử dụng log deg f|γnn → (là hệ mệnh đề 3.4.5) bổ đề 3.6.1, ta có n khẳng định Ta có λ , Λ cho Λ − n < G|γ n < λ − n với n, γ n ∈ Γ n (theo mệnh đề 3.3.1) Dẫn đến tất dãy hàm công thức mệnh đề bị chặn Tiếp theo, ta xét độ đo ωn , ωn liên tục tuyệt đối đối vời ω với x∈ Xn = X n (γ n ) ta có ωΩn (γ n ) d ωn ( x) = ω ( X n (γ n )) dω Chú ý mật độ ωn tửng khúc 41 Điều quan trọng mật độ bị chặn Vì ω ( x, X n (γ n )) > C với x ∈ γ n (bổ đề 3.3.2) Do ω (⋅, X n ) > C ⋅ ωΩn (⋅, γ n ) ∂Ω n , khắp Ω n Như công thức thu cho hµ lấy tích phân ωn ( sử dụng lập luận hội tụ chặn) Vì G ( z )dωn ( x) ≥ ∫ log G ( z )dωΩ ( x) ≥ ∫ log ∫ log z∈sup γ ( x) ∂Ω n n inf G ( z )dωn ( x) z∈γ n ( x ) n Ta nhận được: − hµ = lim ∫ log G ( x)dωΩn ( x)  n →∞ n ∂Ω n ∂G diamS n ∂z Hằng số C không phụ thuộc vào việc chọn z0 ∈ γ việc chọn nhánh ánh Bổ đề 3.6.4 Cho z0 ∈ γ Với z ∈ S n = S ( zn ) ta có G ( z ) ≥ C xạ ngược Chứng minh : Nhắc lại S ( zn ) xác định nghịch ảnh S ( z0 ) qua nhánh thích hợp f − n Thật ra, f − n xác định miền rộng mà ta kí hiệu Sˆ ( z0 ) Ta chọn Sˆ ( z0 ) cho cl S ( z0 ) ⊂ Sˆ ( z0 ) Thu hẹp Sˆ ( z0 ) chút ta tìm hình vành khăn xác định quanh nó, mà tất nhánh ngược xác định độ biến dạng f − n bị chặn Sˆ ( z0 ) chặn không phụ thuộc vào z0 Kí hiệu Sˆ ( zn ) = fη− n ( z0 ) (trong fη− n nhánh tương ứng ánh xạ ngược) ta viết: với z ∈ S ( zn ) = G( z) = ∫ G (w)ωSˆ ( z ) ( z, dw) ∂Sˆ ( zn ) n ∫ ∂Sˆ ( z0 ) Lấy đạo hàm theo z công thức ta thấy G ( fη− n w)ωSˆ ( z ) ( f n ( z ), dw) ∂G ước lượng phía ∂z 42 sup G ( w) ⋅ | ( f n )′( z ) | ⋅ const w∈∂Sˆ ( zn ) Nhân tử không lớn C ⋅ G ( z ) với số C Để có điều ta sử dụng bất đẳng thức Harnack không gian mở rộng (một hình vành khăn ) quanh Sˆ ( z0 ) tất nhánh ngược xác định Nhân tử thứ hai sai khác nhân tử Bổ đề chứng diam S ( zn ) minh xong  Sau cần đánh giá số mũ đặc trưng f liên quan đến độ đo µ Đặt χ µ = lim log | ( f n )′( x) | với x h.k.n (giới hạn h.k.n độ đo ergodic) n Bổ đề 3.6.5 χ µ tính công thức n →∞ n n →∞ n χµ = − lim log sup sup diam S n = − lim log inf inf diam S n z0 ∈γ Sn = S ( zn ) ⊂Qn z0 ∈γ= S n S ( zn ) ⊂ Qn Qn hình vành khăn chứa γ n ( z ) Hơn χ µ dương ngặt Chứng minh Lấy n1 (n) số nguyên lớn thỏa mãn phát biểu mệnh đề 3.4.5 không lớn n Khi diamDn1 ( x)  n1 (n) → n → ∞ Hiển nhiên S n ⊂ Dn1 ( x) n (theo mệnh đề 3.4.5 với định nghĩa Dn ) | ( f )′( x) | n1 Đánh giá ngược lại dựa nhận xét với z ∈ S n  ( f n )′( z ) =( f n1 )′( z ) ⋅ ( f n − n1 )′( z ) < const ( f n1 )′( x) ⋅ (sup | f ′ |) n− n1 diam S n 43 Ta kiểm tra χ µ > : Khi tồn giới hạn thiết lập trên, ta kết luận χ µ dương ngặt cách nhận xét χ µ dương ngặt với dãy chọn mệnh đề 3.4.5  Lấy tích phân công thức cho bổ đề 3.6.5 với độ đo ωn (lập luận hội tụ bị chặn áp dụng lần nữa) sử dụng dụng mệnh đề 3.6.3 bổ đề 3.6.4 ta có χ µ − hµ ≥ lim sup n →∞ ∂G log d ωΩ n ( z ) n ∂Ω∫n ∂z Theo công thức Manning [2] HD (ω ) HD (µ ) = = hµ Do đó, HD( µ ) < χµ tương đương với χ µ − hµ > Bây giờ, ta phải tìm đủ nhiều điểm tới hạn G Ω n Khi ta dùng thức Possion – Jensen cho hàm số log Φ Φ ( z ) = ( z − z0 ) ∂G , z0 ∈ K f Nhận xét log Φ mở rộng liên tục đến ∂z Ω cách đặt log Φ (∞) =0 Như điểm kì dị vô tận Hơn ∫ log ∂G dωΩn ( z ) =Φ ∫ log ( z ) dωΩn ( z ) + o(n) ∂z Thật vậy, ta có hiệu ∫ log ∂G dωΩn ( z ) − ∫ log Φ ( z ) dωΩn ( z= ) ∂z Nó đánh giá ∑ ω( X γ n ∈Γ n n ∫ log z − z ∂Ω n d ωΩ n ( z ) (γ n ))sup(− log | z − z0 |) z∈γ n (vì ωΩn (γ n ) < Cω ( X n (γ n )) ) đánh giá ∑ω( X m< n m ( z0 ) − X m+1 ( z0 )) ⋅ sup (− log | z − z0 |) z∈γ m +1 ( z0 ) 44 Ta nhận xét | z − z0 | ≥ c ⋅ L− m với z ∈ γ m+1 ( z0 ) L = sup | f ′ | mệnh đề 3.4.3 ta có ω ( X m ( z0 ) − X m+1 ( z0 )) < e − mδ Theo công thức Poisson – Jensen 1 limsup ∫ log | Φ ( z ) | dωΩn ( z ) = limsup ∑ Gn (c) n n c∈Ωn ∂G ( c ) =0 ∂z Gn hàm Green Ω n Chúng ta kiểm tra tổng với Gn thay G Bổ đề 3.6.6 Có số K > cho ∑ G (c) > K n c∈Ω n ∂G ( c ) =0 ∂z Chứng minh Sử dụng mệnh đề 2.4.4, ta cố định tập F ⊂ J có độ đo µ lớn 3 Lấy Fn hình chiếu lên trục tọa đô thứ - n Khi µ ( Fn ) > với n (do 4 định nghĩa µ ), Fn tổng hình trụ X n = X n (γ n ) với x ∈ Fn f n − n0 : Dn ( x) → Dn0 ( f n − n0 ) ánh xạ bậc (2.4.4 ) R R Ta nói hình trụ X n quy (2.4.4 ) R R Nếu X n hình trụ cố định X m ⊂ X n hình trụ khác µ( X m )  µ ( f n ( X m )) < e − ( m− n )δ µ(X n ) (do mệnh đề 3.4.3 mệnh đề 2.4.1) Nếu X m X n quy lấy k đủ lớn (độc lập với n, m, X m ⊂ X n ) cho m – n > k inf G|γ n ( X n ) > sup G|γ m ( X m ) (vì µ ( X n )  G|γ n , µ ( X m )  G|γ m ) 45 Vì có thành phần liên thông khác K f bao quanh γ n không bị bao quanh γ m , nên có điểm tới hạn c G nằm miền bị bao quanh γ n Hơn G (c) ≥ C ⋅ sup G|γ m  µ ( X m (γ m )) ∑ Do đó, ta đánh giá G (c) chặn số lần không đổi c∈Ω m \ Ω n ∑ Fn ∩ Fm µ ( X m (γ m )) , tổng lấy tất m-hình trụ chứa Fn ∩ Fm Độ đo lớn, µ ( Fn ) > 3 µ ( Fm ) > 4 ∑ G (c) > K ⋅ n với K số Vì ta lấy m – n = k, k cố định nên ta có c∈Ω n  Đề hoàn thành chứng minh, việc lại so sánh tổng nêu với tổng mà G thay Gn Đặt H= ( z ) G ( z ) − Gn + k ( z ) Khi H hàm điều hòa Ω n + k H |∂Ω n+k =G Do với x ∈ ∂Ω n ta có = H ( x) ∫ ∂Ω n + k G ( w)ωΩn + k ( x, dw) ≤ C ⋅ ∑ ω ( X n + k )ωΩn + k ( x, γ n + k ( X n + k )) X n+k với số C Ở đây, ωΩn + k độ đo điều hòa Ω n + k γ n + k ( X n + k ) đường cong xác định hình trụ X n + k Tổng đánh sau  ∑ ∑  X n+k ⊂ X n (theo mệnh đề 3.4.1) Xn    e −δ k ω ( X n )ωΩn + k ( x, γ n + k ( X n + k ))   X n+k ⊂ X n  ω ( X n+ k )ωΩ ( x, γ n+ k ( X n+ k ))  ≤ C ⋅ ∑  n+k  Xn ∑ 46 Nhận xét ωΩn + k ( x, γ n + k ( X n + k )) ≤ C ⋅ ω ( x, X n + k ) (chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức với x ∈ ∂Ω n + k điều suy từ bổ đề 3.3.2) Do tổng không lớn C ⋅ e −δ k ∑ ω ( X n )ωΩ ( x, X n ) Xn Tổng cuối trung bình cộng độ đo hình trụ X n , đánh giá sup ω ( X n ) ≤ C ⋅ e − nδ Xn (theo mệnh đề 3.4.3) Điều cho ta H ( x) ≤ Ce −δ k e −δ n = Ce −δ ( n + k ) Mặt khác, G|γ n > e − nβ với β > δ (theo mệnh đề 3.3.1) Cố định A > β −δ δ Nếu k chọn cho k ≥ An ta lấy n lớn cho H ( z ) < G ( z ) Do Gn + k ( z ) > G ( z ) const Bây ta kiểm tra ∑ Gn (c) > n 2( 1) A + c∈Ω n Thật 1 1 n const Gn (c) > Gn (c) > G (c ) > ⋅ ⋅ const = ∑ ∑ ∑ n c∈Ωn n c∈Ω n  2n c∈Ω n  2n A + 2( A + 1)  A +1    Kết thúc chứng minh định lý C   A +1    47 KẾT LUẬN Quá trình thực đề tài giúp thân có thêm số kiến thức lý thuyết vị phức, động lực phức độ đo Bước đầu làm quen với việc ứng dụng lý thuyết vị phức vào động lực phức, đặc biệt việc nghiên cứu độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức Hướng nghiên cứu đề tài: Mở rộng kết nghiên cứu cho trường hợp hàm nhiều biến có liên quan đến lý thuyết đa vị phức 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Lopes (1986), Equilibrium measures for rational maps, Ergodic Theory Dynamical Systems 6, 414 – 426 Anthony Manning (1984), The dimension of maximal measure for polynomial map, Annals of Mathematics 119 , 425 – 430 A Zdunik (1997), Harmonic measure on the Julia set for polynomial-like maps, Invent math 128, 303 – 327 Ch Pommerenke (1979), Uniformly perfect sets and the Poincaré metric, Arch Math 32,192 – 199 F Przytycki, M Urbanski, A Zdunik (1991), Harmonic, Gibbs and Hausdorff measures on repellers for holomorphic maps II, Studia Math 97 (3), 189– 225 M Lyubich, A Volberg (1995), A comparison of harmonic and balanced measures on Cantor repellors, J of Fourier Analysis and Appl 1, 359 – 379 M Lyubich, J Milnor(1993) , The Fibonacci unimodal map, Journal of AMS M.Tsuji (1959), Potential theory in modern function theory, Maruzen, Tokyo Peter W Jones, Thomas H Wolff (1988), Hausdorff dimension of harmonic T 2T 2T T measure in the plane Acta Math 16, 131 – 144 10 R Mané (1983), On the uniqueness of the maximizing measure for rational maps, Bol Soc Brasil Mat 14, 27 – 43 11 R Mané and L.F Da Rocha (1992), Julia sets are uniformly perfect, Proceedings of the American Mathematical Society , Vol 116, No 1, September 12 Ya B Pesin (1977), Characteristic Lyapunov exponents and smooth ergodic theory, Russian Math Surveys 32, 55 – 114 [...]... 14 Chng 2 O IU HềA TRấN TP JULIA CA NH X HU T Ni dung ca chng ny da vo bi bỏo Julia sets are uniformly perfect ca R.Manộ v L.F Da Rocha Trong chng ny trc ht ta chng minh rng cỏc tp Julia ca mt ỏnh x hu t l tp hon chnh u theo ngha Pommerenke v do ú l tp chớnh quy theo ngha Dirichlet (nh lý 1) S dng kt qu ny ta nhn c cụng thc tớnh entropy mt o iu hũa bt bin trờn cỏc tp Julia T õy ta a ra mt chng minh... hp ny f 1 ( p ) giao vi a Siegel ch cha duy nht p dn n hà p ( f ) = 0 Do ú hà ( f ) = 0 , mõu thun vi gi thit log d = hà ( f ) 23 Chng 3 O IU HềA TRấN TP JULIA CA NH X TA A THC Ni dung chớnh ca chng ny da vo bi bỏo Harmonic measure on the Julia set for polynomial-like maps ca Anna Zdunik [3] Cho U i (i = 1, , n),W l cỏc tp con ca ng cu vi cỏc a, trong ú clU i W ( i = 1, , n ), U i U j = Mt... H cỏc hm n : D l n rn chun = 0 t tc vỡ inf diam = n ( D)c inf diam K n > 0 Do ú lim diam n ( Dn )) = 0 Nhng n ( Dn )) l n n n + 16 mt tp m cha cỏc im ca J ( f ) Do ú theo lý thuyt c in v cỏc tp Julia tn ti cỏc s nguyờn tn > 0 sao cho J ( f ) f tn ( n ( Dn )) Ly 0 < c < diam J ( f ) v ly mn l s nguyờn dng nh nht sao cho f mn ( n ( Dn )) c Vỡ lim( n ( Dn )) = 0 n dn n lim mn = + Hn na vỡ... n ln, ta cú V z :| z | < n v rn diam n (V ) diam n z :|= z | < n diam f mn ( Dn ) c rn Vỡ > 0 tựy ý nờn ta cú iu mõu thun 17 Chỳng ta s ch ra õy mt vi ng dng v tớnh chớnh quy ca tp Julia Nhc li rng, vi tp compact chớnh quy K v 1 im p , o iu hũa à p c nh ngha l o xỏc sut trờn - i s Borel ca K sao cho tớch phõn ng vi à p ca mt hm liờn tc : K c xỏc nh bi d à p = * ( p) trong... mt tp compact 15 K l tp hon chnh u nu v ch nu tn ti > 0 sao cho vi mi a K v r > 0 ta cú ({ z K : d ( z , a) r} r Tớnh cht ny dn n tớnh chớnh quy ca K ( xem [9]) Ta cú kt qu sau: 2.1 nh lý Tp Julia K = J ( f ) ca mt ỏnh x hu t f : l tp hon chnh u Chng minh Gi s phn chng rng cú mt dóy cỏc hỡnh vnh khn An (n = 1, 2 ) tỏch K sao cho lim mod An = + Tớnh cht ny dn n rng vi mi n + n , mt thnh... thc m rng l ỏnh x xỏc nh trờn mt hp U cỏc a U i sao cho f|Ui l mt ỏnh x riờng, chnh hỡnh bc d i lờn R W v d i R =d Xột K = f {z U : f n } ( z) xaực ủũnh vụựi moùi n Kớ hiu l phn bự ca K f trong Tp Julia ca f c nh ngha trờn J = Chỳng ta s kim tra l mt min chớnh quy (mnh 3.1.1) Do ú hm Green G (vi cc vụ tn cú th c m rng (bng cỏch t G = 0 trờn K f ) thnh mt hm iu hũa di v liờn tc trờn \{} Ta ... xạ hữu tỷ Chương 3: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức 1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa. .. Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HỊA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ 14 T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HỊA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 23 T T 3.1 Về tốn tử P lớp G 24 T 2T 2T T 3.2 Sự tồn độ đo bất... trọng tập Fatou F ( f ) tập Julia J ( f ) , nghiên cứu Fatou Julia Một quan tâm nhà tốn học lĩnh vực hệ động lực phức tìm hiểu độ đo điều hòa tập Julia các ánh xạ tựa đa thức Xét f ánh xạ tựa đa thức