Một số tính chất của độ đo điều hòa trên tập julia đối với ánh xạ tựa đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Kim Tri MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Kim Tri MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA ĐỐI VỚI ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán – Tin Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn TS Nguyễn Văn Đông Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn suốt trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn không tránh khỏi mặt thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành quý thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày tháng 10 năm 2013 Trần Kim Tri MỤC LỤC trang Mục lục Bảng danh mục hình MỞ ĐẦU T 2T Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức T T 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị T T 1.3 Một số kiến thức lý thuyết ergodic lý thuyết độ đo T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ 14 T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 23 T T 3.1 Về toán tử P lớp G 24 T 2T 2T T 3.2 Sự tồn độ đo bất biến 25 T T 3.3 Một số tính chất mở rộng độ đo điều hòa ω 27 T T 3.4 Các tính chất Ergodic độ đo µ 31 T T 3.5 So sánh với độ đo cực đại 36 T T 3.6 Chiều Hausdorff độ đo điều hòa 39 T T KẾT LUẬN 47 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 T 2T BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH trang Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học………………………………………… 32 Hình 3.3.1.2 Các đường cong Qn ……………………………………………33 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động phát triển mạnh vào cuối kỷ 19 Lĩnh vực sau quan tâm nhiều nhà toán học giới Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, … Lý thuyết phép lặp hàm hữu tỉ f ( z ) mà đóng vai trò quan trọng tập Fatou F ( f ) tập Julia J ( f ) , nghiên cứu Fatou Julia Một quan tâm nhà toán học lĩnh vực hệ động lực phức tìm hiểu độ đo điều hòa tập Julia các ánh xạ tựa đa thức Xét f ánh xạ tựa đa thức mở rộng Luận văn trình bày tồn độ đo bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa tập Julia J ( f ) , đồng thời độ đo điều hòa tương đương với độ đo entropy cực đại f tương đương bảo giác với đa thức Luận văn chứng minh chiều Hausdorff độ đo điều hòa J ( f ) nhỏ trừ tập Julia liên thông Các nội dung luận văn dựa hai báo [3], [11] Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ hữu tỷ Chương 3: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức 1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa thức bậc d ba (U ,V , f ) U ,V tập mở  đẳng cấu với đĩa, với U compact tương đối V f : U → V ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc d Trong luận văn ta xét d ≥ Ở ánh xạ f : U → V hai không gian tô pô ánh xạ riêng tạo ảnh tập compact V compact U Ánh xạ f biến biên U thành biên V , điểm gần ∂U thành điểm gần ∂V Định nghĩa 1.1.1.2 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức, K f , K g liên thông Khi f g gọi tương đương (ký hiệu f  ext g ) tồn tập mở liên thông U1 , U1' , V1 , V1' cho ' −1 (V1 ) V1' đẳng cấu , f −1 (U1 ) U= K f ⊂ U1' ⊂ U1 ⊂ U , K g ⊂ V1' ⊂ V1 ⊂ V = 1, f chỉnh hình ϕ : U1 \ K f → V1 \ K g cho ϕ  f = g  ϕ Định nghĩa 1.1.1.3 Chúng ta cho tương ứng ánh xạ tựa đa thức f : U ' → U bậc d với ánh xạ giải tích thực mở rộng h f : S → S bậc d, sai khác liên hợp phép quay Ta gọi h f ánh xạ f Ánh xạ z  z d ánh xạ f Định nghĩa 1.1.1.4 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức 4 Ta nói f g tương đương tô pô (ký hiệu f  top g ) tồn đồng phôi ϕ từ lân cận K f lên lân cận K g cho ϕ  f = g  ϕ gần K f Nếu ϕ chỉnh hình ta nói f g tương đương bảo giác (ký hiệu f  hol g ) Nếu ϕ tựa bảo giác ta nói f g tương đương tựa bảo giác (ký hiệu f  qc g ) Ta có f  hol g ⇒ f  qc g ⇒ f  top g Định nghĩa 1.1.1.5 Cho f ánh xạ tựa đa thức bậc d Khi f tương đương bảo giác với đa thức f tương đương với z  z d 1.1.2 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ Định nghĩa 1.1.2.1 Một dãy ( f n ) ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) đến không gian metric ( X , d ) gọi hội tụ địa phương X tới ánh xạ f điểm x ∈ X tồn có lân cận x mà f n hội tụ đến f lân cận Định nghĩa 1.1.2.2 Một họ  ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) vào không gian metric ( X , d ) gọi họ chuẩn tắc X dãy vô hạn ánh xạ  chứa dãy hội tụ địa phương X Định lý 1.1.2.3 (Định lý Montel) Cho  họ hàm chỉnh hình miền D ⊂  Giả sử tồn ba điểm phân biệt a, b, c ∈  cho f ( z ) ∉ {a, b, c}, ∀z ∈ D ,  chuẩn tắc D 1.1.3 Tập Fatou, tập Julia, đĩa Siegel 5 Định nghĩa 1.1.3.1 Cho f hàm hữu tỉ Tập Fatou f , ký hiệu F ( f ) tập mở lớn  mà dãy {f } n chuẩn tắc Tập Julia hàm hữu tỉ f , ký hiệu J ( f ) định nghĩa phần bù F ( f ) , tức J ( f ) =  \ F ( f ) Hay nói cách khác tập J ( f ) chứa tất điểm z ∈  ∞ mà dãy {f n ( z )} không chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.3.2 Cho f : S → S tự đồng cấu chỉnh hình, S mặt Riemann U thành phần liên thông tập Fatou F ( f ) Ta nói U đĩa Siegel f quanh điểm zo tồn đồng phôi chỉnh hình φ :U → D với D đĩa mở đơn vị cho cho φ ( f n (φ −1 ( z ))) = e 2π iα z với số α thuộc  \  φ ( zo ) = Định lý 1.1.3.3 Giả sử f hàm hữu tỉ có bậc ≥ , J ( f ) tập vô hạn phần tử 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị 1.2.1 Miền quy Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử D miền thực  ∞ ζ ∈ ∂D Hàm cản ζ hàm điều hòa b xác định D ∩ N , với N lân cận mở ζ , thỏa mãn b < D ∩ N lim b( z ) = z →ζ Một điểm biên mà tồn hàm cản gọi điểm quy Trong trường hợp ngược lại gọi điểm kỳ dị Nếu điểm ζ ∈ ∂D điểm quy, D gọi miền quy 1.2.2 Hàm Green Định nghĩa 1.2.2.1 Cho tập compact  với , D =  \ K Giả sử D miền quy (theo nghĩa Dirichlet), Một hàm Green D ánh xạ g D : D × D → (−∞, ∞] cho với ω ∈ D : (a) g D (., ω ) điều hòa D \ {ω} , bị chặn bên lân cận ,  log z + O(1), (b) g D (ω , ω ) = ∞ z → ω g D ( z , ω ) =  − log z − ω + O(1), ω= ∞ ω≠∞ , (c) g D ( z , ω ) → z → ς , với ς ∈ ∂D gần khắp nơi (nếu viết f= (t ) g (t ) + O(1) t → t0 ta hiểu f (t ) − g (t ) bị chặn với t đủ gần t0 t đủ lớn t0 = ∞ ) Định lý 1.2.2.2 (Công thức Poisson – Jensen) Công thức dùng tài liệu trường hợp quy dùng phát biểu sau : Với U miền  cho ∂U hợp hữu hạn đường cong trơn F hàm số giải tích xác định lân cận cl U Khi với x ∈ U ta có = log F( x ) ∫ ∂U log F( x ) ωU d ( x, dz) − ∑ gU (z, w) w∈U: F (w)= gU hàm số Green U phần tử không F lý tùy theo bội số chúng 1.2.3 Độ đo điều hòa Định nghĩa 1.2.3.1 Cho miền u hàm điều hòa dưới, u ≡/ −∞ tồn toán tử ∆u tuyến tính dương không gian C0∞ ( D) ∆u (φ )= ∫ D u∆φ ∀φ ∈ C0∞ ( D) Đối với miền quy D độ đo điều hòa K = ∂D (tính y ) định nghĩa sau ωD ( y, v) = ∆g y (v) = ∆g D (v, y ) = ∫ g D (v, y)∆v D Một định nghĩa khác đưa sau: Nếu φ hàm liên tục xác định ∂D (do tính quy) φ có mở rộng điêu hòa φ miền D Ta đặt ωD ( z ,φ ) = φ ( z ) Định lý 1.2.3.2 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới) Cho miền D ⊂  u ∈ SH ( D) Khi a Nếu u nhận giá trị cực đại toàn cục D u = const ; b Nếu limsup u ( z ) ≤ ∀ζ ∈ ∂D u ≤ D z →ζ Tính điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác Định lý 1.2.3.4 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa) Cho D tập mở khác rỗng  h hàm điều hòa D i) Nếu h đạt giá trị cực đại điểm D h hàm D ii) Nếu h liên tục D h ≤ δ D h ≤ D  ( Bao đóng biên D định lý lấy  ) Định lý 1.2.3.5 (Bất đẳng thức Harnack) Lấy h hàm số điều hòa dương xác định dĩa B (0,1) với tâm bán kính Với r < , có số Cr (không phục thuộc vào h ) cho với x, y ∈ B(0, r ) (đĩa với bán kính r), ta có h( x ) < Cr h( y ) 1.3 Một số kiến thức lý thuyết ergodic lý thuyết độ đo 1.3.1 Ergodic Định nghĩa 1.3.1.1 Ta gọi ( X ,  , m) không gian xác suất X tập hợp,  σ − đại số tập X độ đo ( X ,  ) có m( X ) = Định nghĩa 1.3.1.2 Cho ( X , 1 , m1 ) ( X ,  , m2 ) không gian xác suất a) Một phép biến đổi T : X → X gọi đo T −1 ( ) ⊂ 1 b) Một phép biến đổi T : X → X gọi bảo toàn độ đo T đo ( m1 (T −1 ( B2 ) = m2 ( B2 ) với B2 ∈  Định nghĩa 1.3.1.3 Cho ( X ,  , m) không gian xác suất Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : X → X gọi ergodic phần tử B  thỏa T −1 ( B) = B m( B ) = (hay m( B ) = ) Định lý 1.3.1.4 Nếu T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất ( X ,  , m) phát biểu sau tương đương: i) T ergodic ii) phần tử mà m( B) = Chỉ phần tử B ∈ với m(T −1 ( B)∆B) = hay m( B) = (Ở ta sử dụng ký hiệu A= ∆B ( A \ B ) ∪ ( B \ A) ∞ iii) Với A∈  mà m( A) > ta có m( T − n A) = n =1 iv) Với A, B ∈  mà m( A) > , m( B) > ta có m( B ∩ T − n ( A)) > Định lý 1.3.1.5 Nếu T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất ( X ,  , m) phát biểu sau tương đương: i) T ergodic ii) Nếu f đo f  T= ( x) f ( x) ∀x ∈ X f hàm h.k.n iii) Nếu f đo f  T ( x) = f ( x) h.k.n f hàm h.k.n iv) Nếu f ∈ L2 (m) f  T= ( x) f ( x) ∀x ∈ X f hàm h.k.n v) Nếu f ∈ L2 (m) f  T ( x) = f ( x) h.k.n f hàm h.k.n Định lý 1.3.1.6 (Định lý truy hồi PoinCaré) Cho T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất ( X ,  , m) Giả sử E ∈  cho m( E ) > Khi tồn F ⊂ E với m( F ) = m( E ) cho với x ∈ F tồn dãy n1 < n2 < n3  số tự nhiên với T ni ( x) ∈ F với i 1.3.2 Entropy, mở rộng tự nhiên 1.3.2.1 Entropy Định nghĩa 1.3.2.1.1 Nếu α phủ mở X , gọi N (α ) số lượng phần tử phủ hữu hạn nhỏ α Ta định nghĩa entropy α : H (α ) = log N (α ) Giả sử α , β phủ mở X , nối chúng (kí hiệu α ∨ β ) phủ mở xác định : α ∨ β = { A ∩ B : A ∈ α , B ∈ β } Giả sử α phủ mở X T : X → X liên tục T −1α phủ mở X chứa tập hợp dạng T −1 A , với A ∈α Ta ký hiệu : T − iα =α ∨ T −1α ∨  ∨ T − ( n −1)α n −1 i =0 V Định lý 1.3.2.1.2 Giả sử α phủ mở X T : X → X liên tục, tồn giới hạn lim n →∞ H n (V ) T − iα n −1 i =0 10 Định nghĩa 1.3.2.1.3 Nếu T : X → X liên tục, entropy tô pô T định nghĩa là: htop (T ) = sup h(T , α ) với α chạy tập phủ mở X α Cho ( X , d ) không gian metric compact T : X → X liên tục Ký hiệu  ( X ) σ − đại số tập Borel X M ( X , T ) không gian độ đo xác suất bảo toàn T , không gian đo ( X ,  ( X )) Định nghĩa 1.3.2.1.4 Ánh xạ entropy phép biến đổi liên tục T : X → X ánh xạ µ  hµ (T ) xác định M ( X , T ) nhận giá trị [0, ∞] Định lý 1.3.2.1.5 (Nguyên lý biến phân) Cho T : X → X ánh xạ liên tục không gian metric compact X= htop (T ) sup{hµ (T ) | µ ∈ M ( X , T )} Định nghĩa 1.3.2.1.6 Cho T : X → X phép biến đổi liên tục không gian metric compact X Một độ đo µ ∈ M ( X , T ) gọi độ đo entropy cực đại T hµ (T ) = htop (T ) Ta ký hiệu M max ( X , T ) tập hợp tất độ đo với entropy cực đại T Định nghĩa 1.3.2.1.7 Một phép biến đổi liên tục T : X → X không gian metric compact gọi có độ đo với entropy cực đại M max ( X , T ) chứa xác phần tử Cho K không gian mê-tric f : K → K ánh xạ liên tục Độ đo Borel xác suất µ f − bất biến f* µ = µ , tức với tập đo A , ta có µ ( f −1 ( A)) = µ ( A) Lấy K không gian compact f : K → K liên tục độ đo xác suất Borel µ f − bất biến Ký hiệu entropy mê tric entropy tôpô hµ ( f ) htop ( f ) Nếu f :  →  ánh xạ hữu tỷ với bậc d ≥ htop ( f ) = log d 11 độ đo entropy cực đại thỏa mãn m( f ( E ))= d ⋅ m( E ) với tập Borel cho f|E đơn ánh Trong trường hợp ánh xạ tựa đa thức tổng quát tồn độ đo cực đại ( f liên hợp tôpô với đa thức) 1.3.2.2 Mở rộng tự nhiên Với tự đồng cấu ( K , f , µ ) với µ f − bất biến, ta định nghĩa đẳng cấu  ) sau: K  , f , µ  không gian quỹ đạo (K  = K ( x , x , , x , x , ) : f ( x ) {= −n − n +1 o i xi +1} ,  xác định : Độ đo µ  (K  ∩ ( K × A × A ×  × A × K × ))= µ ( A ∩ f −1 ( A ) ∩ f −2 ( A ) ∩  ∩ f − n −1 ( A )) µ n n 2  phép nâng trái Khi π : K →K  → K phép chiếu lên tọa Ánh xạ f : K  bất biến Nếu µ ergodic độ thứ f  π = π  f Nếu µ bất biến µ µ ergodic 1.3.3 Định lý biểu diễn Riesz, định lý Radon-Nykodym Định nghĩa 1.3.3.1 Một độ đo Borel µ không gian tô pô X gọi độ đo Radon µ ( K ) < ∞ với tập compact K X Cho không gian tô pô X , ký hiệu Cc ( X ) không gian vector hàm liên tục φ : X →  có giá compact Mỗi độ đo Radon µ X cảm sinh phiếm hàm tuyến tính f Cc ( X ) xác định = f (φ ) ∫ φd µ , φ ∈ C ( X ) c X 12 Toán tử tuyến tính gọi dương f (φ ) ≥ với φ ≥ Định lý sau khẳng định cho chiều ngược lại toán tử tuyến tính dương, gọi định lý Riesz Định lý 1.3.3.2 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho X không gian metric có vét cạn compact Nếu f toán tử tuyến tính dương Cc ( X ) , tồn độ đo Radon µ X cho = f (φ ) ∫ φd µ , φ ∈ C ( X ) c X X gọi có vét cạn compact theo nghĩa tồn dãy tập compact ( K n ) n≥1 cho với n ∈   n K n = X Ta đồng phiếm hàm tuyến tính liên tục f với độ đo µ gọi độ đo Khi ta viết = µ (φ ) ∫ φd µ , φ ∈ C ( X ) c X Định nghĩa 1.3.3.3 Cho ( X ,  ) không gian đo giả sử µ , m hai độ đo xác suất ( X ,  ) Ta nói µ liên tục tuyệt đối m , ký hiệu µ  m , µ ( B) = m( B) = Ta nói µ , m tương đương µ  m m  µ Hai độ đo xác suất µ , m ( X ,  ) gọi kỳ dị với nhau, ký hiệu µ ⊥ m tồn B ∈  cho µ ( B ) = m( X \ B ) = Định lý 1.3.3.4 (Định lý Phân tích Lebesgue) Cho µ , m hai độ đo xác suất ( X ,  ) Tồn p ∈ [0,1] độ đo xác suất µ1 , µ cho µ= pµ1 + (1 − p ) µ2 µ1  m, µ2 ⊥ m Số p µ1 , µ xác định Định lý 1.3.3.5 (Định lý Radon-Nykodym) Cho µ , m hai độ đo xác suất không gian đo ( X ,  ) Khi µ  m tồn f ∈ L1 (m) , với f ≥ ∫ fdm = cho µ ( B ) = ∫ fdm với B ∈  Hàm f h.k.n B 13 Hàm f gọi đạo hàm Radon- Nikodym µ m , ký hiệu dµ dm Cho ( X ,  , m) không gian đo ℭ σ - đại số ℬ Ta định nghĩa toán tử E (⋅ C ) : L1 ( X ,  , m) → L1 ( X , C , m) sau: Nếu f ∈ L1 ( X ,  , m) nhận giá trị thực không âm µ f (C ) = fdm (với a = ∫ fdm ) xác định độ đo xác suất, X a ∫C µ f , ( X , C, m) µ f  m Theo định lý Radon-Nikodym tồn hàm E ( f C ) cho E ( f C ) ≥ ∫ C )dm E ( f C= ∫ C fdm ∀C ∈ C Hơn nữa, E ( f C ) h.k.n Tương tự f hàm giá trị phức ta sử dụng phần thực phần ảo để định nghĩa E ( f C ) tuyến tính Do f ∈ L1 ( X ,  , m) E ( f C ) hàm ℭ- đo với ∫ C E ( f C= )dm ∫ C fdm ∀C ∈ C 1.3.4 Chiều Hausdorff Trong Toán học chiều Hausdorff khái quát khái niệm chiều không gian vectơ Cho X không gian mê-tric Nếu S ⊂ X d ∈ [0, +∞) ta định nghĩa CHd ( S ) := inf{∑ ri d : có phủ S cầu với bán kính ri > 0} i Quy ước inf ∅ = ∞ { } Chiều Haussdorff X định nghĩa dim H ( X ) = inf d ≥ : CHd = Chiều Hausdorff độ đo HD(ω ) cận HD( A) tất tập A độ đo đủ 14 Chương ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ Nội dung chương dựa vào báo “ Julia sets are uniformly perfect” R.Mané L.F Da Rocha Trong chương trước hết ta chứng minh tập Julia ánh xạ hữu tỷ tập hoàn chỉnh theo nghĩa Pommerenke tập quy theo nghĩa Dirichlet (định lý 1) Sử dụng kết ta nhận công thức tính entropy độ đo điều hòa bất biến tập Julia Từ ta đưa chứng minh Lopes chiều đảo định lý Brolin Cho  mặt cầu Riemann Ta có số khái niệm sau : i) Ta nói tập A ⊂  hình vành khăn tồn biểu diễn bảo { } giác z ∈  : r < z < lên A với số r ∈ (0,1) Số log gọi modun r A Ký hiệu modA ∅ K giao với hai thành ii) Cho K ⊂  , ta nói A tách K K ∩ A = phần liên thông phần bù Ac A iii) Một tập K ⊂  gọi tập hoàn chỉnh chứa nhiều phần tử tồn m > cho hình vành khăn A tách K có mod A ≤ m Đặc biệt tập liên thông tập hoàn chỉnh không hình vành khăn tách chúng Một tập hoàn chỉnh tập quy (theo nghĩa Dirichlet) Trong [4] Pommerenke chứng minh tính chất mạnh hơn, là: Cho d (.,.) mêtric cầu  , γ ( S ) dung lượng loga tập compact S Khi tập compact 15 K ⊂  tập hoàn chỉnh tồn δ > cho với a ∈ K r > ta có γ ({ z ∈ K : d ( z , a) ≤ r} ≥ δ r Tính chất dẫn đến tính quy K ( xem [9]) Ta có kết sau: 2.1 Định lý Tập Julia K = J ( f ) ánh xạ hữu tỷ f :  →  tập hoàn chỉnh Chứng minh Giả sử phản chứng có dãy hình vành khăn An (n = 1, ) tách K cho lim mod An = +∞ Tính chất dẫn đến với n →+∞ n , thành phần liên thông K n Anc =  \ An chọn cho lim diamK n = n →∞ Kí hiệu K n′ thành phần liên thông khác Anc Khi inf diamK n′ > n >0 không ta lấy dãy {K } với lim diamK n′ j = điểm ' nj j →∞ p′j ∈ K n′ j ∩ J ( f ) , p j ∈ K n j ∩ J ( f ) hội tụ p′ p J ( f ) Khi từ f ) {p} ∪ {p′} , lim = diamK n′ j lim = diamK n j J ( f ) ⊂ K n j ∪ K n′ j , ∀j dẫn đến J ( = j →∞ n →∞ mà điều Kí hiệu D =∈ { z  :| z |< 1} ϕn : D → An ∪ K n biểu diễn bảo giác với mod( An ) Do lim diam ϕ n−1 ( K n )) = ϕn (0) ∈ K n Khi mod( D − ϕn−1 ( K n )) = n →+∞ lim mod( An ) = ∞ Lấy > rn > ρ n > 2diam( K n ) thỏa lim rn = , lim n →+∞ n →+∞ n →+∞ Dn' =∈ { z  :| z |< ρ n } Họ hàm ϕn : D →  ρn rn chuẩn = Đặt tắc inf diam = ϕn ( D)c inf diam K n′ > Do lim diam ϕn ( Dn′ )) = Nhưng ϕ n ( Dn′ )) n n n →+∞ 16 tập mở chứa điểm J ( f ) Do theo lý thuyết cổ điển tập Julia tồn số nguyên tn > cho J ( f ) ⊂ f tn (ϕ n ( Dn′ )) Lấy < c < diam J ( f ) lấy mn số nguyên dương nhỏ cho f mn (ϕ n ( Dn′ )) ≥ c Vì lim(ϕ n ( Dn′ )) = n →∞ dẫn đến lim mn = +∞ Hơn n →+∞ diam f mn −1 (ϕ n ( Dn′ )) < c dẫn đến f mn (ϕ n ( Dn′ )) < Lc L số Lipschitz f Cho S tập gồm bốn điểm J ( f ) Lấy c đủ nhỏ để tập có bán kính nhỏ Lc không chứa hai điểm chúng Khi f mn (ϕ n ( Dn′ )) chứa ba điểm S Định nghĩa ψ n : D →  ψ n ( z ) = f mn ϕ n (rn z ) Ta chứng minh họ {ψ n } chuẩn tắc Chỉ cần chứng minh với n , ψ n ( D ) chứa ba điểm (có thể phụ thuộc vào n ) S Nếu diam ϕ n−1 ( K n ) < ρn ρn 2rn < | z | < ρn < | rn z | < rn dẫn đến rn z ∉ ϕ n−1 ( K n ) ϕ n (rn z )) ∉ K n Khi ϕ n (rn z )) ∉ J ( f ) = K n J ( f ) ∩ ϕ n ( D) Do ψ n ( z ) = f mn ϕ n (rn z ) ∉ f mn ( J ( f )) = J ( f ) Do ψ n ( z ) ∉ S ρn 2rn < | z | < Mặt khác | z | ≤ ρn 2rn dẫn đến | rn z | ≤ ρn < ρ n = ψ n ( z ) f mn ϕn (rn z ) ∈ f mn ϕ n ( Dn′ ) chứa ba điểm S Điều chứng minh tính chuẩn tắc họ {ψ n } Do với ε > cho trước, tồn lân cận V  ρ  cho diamψ n ( z ) ≤ ε , ∀n Nhưng với n đủ lớn, ta có V ⊃  z :| z | < n  rn    ρ  ε ≥ diamψ n (V ) ≥ diamψ n  z :|= z | < n  diam f mnϕ ( Dn′ ) ≥ c  rn  Vì ε > tùy ý nên ta có điều mâu thuẫn  [...]... của X được định nghĩa là dim H ( X ) = inf d ≥ 0 : CHd = 0 Chiều Hausdorff của một độ đo HD(ω ) là một cận dưới đúng của HD( A) trên tất cả các tập A của độ đo đủ 14 Chương 2 ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ Nội dung của chương này dựa vào bài báo “ Julia sets are uniformly perfect” của R.Mané và L.F Da Rocha Trong chương này trước hết ta chứng minh rằng các tập Julia của một ánh xạ. .. là tập hoàn chỉnh đều theo nghĩa Pommerenke và do đó là tập chính quy theo nghĩa Dirichlet (định lý 1) Sử dụng kết quả này ta nhận được công thức tính entropy một độ đo điều hòa bất biến trên các tập Julia Từ đây ta đưa ra một chứng minh của Lopes đối với chiều đảo của định lý Brolin Cho  là một mặt cầu Riemann Ta có một số khái niệm sau : i) Ta nói rằng tập A ⊂  là một hình vành khăn nếu tồn tại một. .. , T ) là tập hợp tất cả các độ đo với entropy cực đại của T Định nghĩa 1.3.2.1.7 Một phép biến đổi liên tục T : X → X của không gian metric compact được gọi là có một độ đo duy nhất với entropy cực đại nếu M max ( X , T ) chỉ chứa chính xác một phần tử Cho K là một không gian mê-tric và f : K → K là ánh xạ liên tục Độ đo Borel xác suất µ là f − bất biến nếu f* µ = µ , tức là với mọi tập đo được A... đại toàn cục trên D thì u = const ; b Nếu limsup u ( z ) ≤ 0 ∀ζ ∈ ∂D thì u ≤ 0 trên D z →ζ Tính điều hòa dưới bất biến qua ánh xạ bảo giác Định lý 1.2.3.4 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa) Cho D là tập con mở khác rỗng của  và h là hàm điều hòa trên D i) Nếu h đạt giá trị cực đại tại điểm nào đó trên D thì h là hàm hằng trên D ii) Nếu h liên tục trên D và h ≤ 0 trên δ D thì h ≤ 0 trên D  (... Lấy K là một không gian compact và f : K → K liên tục và độ đo xác suất Borel µ là f − bất biến Ký hiệu entropy mê tric và entropy tôpô lần lượt là hµ ( f ) và htop ( f ) Nếu f :  →  là một ánh xạ hữu tỷ với bậc d ≥ 2 thì htop ( f ) = log d và một 11 độ đo duy nhất của entropy cực đại thỏa mãn m( f ( E ))= d ⋅ m( E ) với mỗi tập Borel sao cho f|E là đơn ánh Trong trường hợp các ánh xạ tựa đa thức tổng... Bao đóng và biên của D trong định lý này được lấy trong  ) Định lý 1.2.3.5 (Bất đẳng thức Harnack) Lấy h là một hàm số điều hòa dương xác định trên dĩa B (0,1) với tâm 0 và bán kính là 1 Với mọi r < 1 , có hằng số Cr (không phục thuộc vào h ) sao cho với mọi x, y ∈ B(0, r ) (đĩa với bán kính r), ta có h( x ) < Cr h( y ) 8 1.3 Một số kiến thức về lý thuyết ergodic và lý thuyết độ đo 1.3.1 Ergodic Định... pô của T được định nghĩa là: htop (T ) = sup h(T , α ) với α chạy trên tập các phủ mở của X α Cho ( X , d ) là không gian metric compact và T : X → X liên tục Ký hiệu bởi  ( X ) là σ − đại số các tập con Borel của X và M ( X , T ) là không gian các độ đo xác suất bảo toàn bởi T , trên không gian đo được ( X ,  ( X )) Định nghĩa 1.3.2.1.4 Ánh xạ entropy của một phép biến đổi liên tục T : X → X là ánh. ..7 Đối với các miền chính quy D độ đo điều hòa trên K = ∂D (tính tại y ) có thể được định nghĩa như sau ωD ( y, v) = ∆g y (v) = ∆g D (v, y ) = ∫ g D (v, y)∆v D Một định nghĩa khác được đưa ra như sau: Nếu φ là một hàm liên tục xác định trên ∂D thì (do tính chính quy) φ có một mở rộng điêu hòa φ trên miền D Ta đặt ωD ( z ,φ ) = φ ( z ) Định lý 1.2.3.2 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới)... K : d ( z , a) ≤ r} ≥ δ r Tính chất này dẫn đến tính chính quy của K ( xem [9]) Ta có kết quả sau: 2.1 Định lý Tập Julia K = J ( f ) của một ánh xạ hữu tỷ f :  →  là tập hoàn chỉnh đều Chứng minh Giả sử phản chứng rằng có một dãy các hình vành khăn An (n = 1, 2 ) tách K sao cho lim mod An = +∞ Tính chất này dẫn đến rằng với mỗi n →+∞ n , một thành phần liên thông K n của Anc =  \ An có thể được... suất trong đó X là một tập hợp,  là σ − đại số các tập con của X là một độ đo trên ( X ,  ) có m( X ) = 1 Định nghĩa 1.3.1.2 Cho ( X 1 , 1 , m1 ) và ( X 2 ,  2 , m2 ) là các không gian xác suất a) Một phép biến đổi T : X 1 → X 2 được gọi là đo được nếu T −1 ( 2 ) ⊂ 1 b) Một phép biến đổi T : X 1 → X 2 được gọi là bảo toàn độ đo nếu T đo được và nếu ( m1 (T −1 ( B2 ) = m2 ( B2 ) với mọi B2 ∈  2