Một số tính chất của độ đo xác suất

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa toán o O o nguyễn thị hơng Ngành học: cử nhân khoa học Khoá luận tốt nghiệp : vinh - 2005 trờng đại học vinh khoa toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành học : Cử nhân khoa học Toán Chuyên ngành : Xác suất thống kê và Toán ứng dụng Ngời hớng dẫn khoa học : PGS.Ts. Nguyễn Văn Quảng Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Hơng Lớp 41 E Toán 2 Vinh 5/2005 Mục lục Trang Lời nói đầu 3 Phần I : các kiến thức chuẩn bị 4 Phần II : một số tính chất của 11 các biến cố Phần III : một số tính chất của 17 xác suất Phần IV : một số tính chất của 24 các biến cố độc lập và - độc lập Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 3 Lời nói đầu độ đo xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác suất . Mục đích của đề tài nêu lên một số tính chất của độ đo xác suất . Khóa luận đợc chia làm 4 phần : Phần I : Trình bày những kiến thức cơ sở ,cần thiết cho việc trình bày các phần sau. Phần II : Trình bày một số tính chất của các biến cố và một số vận dụng chứng minh các bài toán có liên quan. Phần III : Trình bày một số tính chất của xác suất và hệ thống các mệnh đề . Phần IV : Trình bày một số tính chất của các biến cố và - độc lập. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh với sự hớng dẫn nhiệt tình và chu đáo của Thầy giáo,PGS. Tiến sĩ : Nguyễn Văn Quảng và những góp ý của các thầy giáo thuộc tổ điều khiển cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa . ác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hớng dẫn,các thầ giáo trongtổ XSTK và toán ứng dụng cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa toán,gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Do thời gian và khả năng có hạn của tác giả, khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót mong đợc sự góp ý và sự thông cảm của ngời đọc . Vinh, tháng 5 năm 2005 Tác giả 4 Phần I : Các kiến thức chuẩn bị 1.Đại số 1.1Định nghĩa. Giả sử , P( ) là tập hợp gồm tất cả các tập con của . Lớp A P() đợc gọi là một đại số nếu : a - A b - A A A = \ A A c - A, B A A B A , A B A Nhận xét : Vì A B = BA , A B = BA nên trong c - chỉ cần đòi hỏi một trong hai điều kiện hoặc A B A hoặc A B A 1.2 Ví dụ: Giả sử , P( ) là tập hợp tất cả các tập con của . Khi đó rõ ràng A = { , ỉ } là một đại số . Chứng minh: . A . = A . = A Vậy A = { , } là một đại số . 2. - Đại số . 2.1 Định nghĩa.Lớp F P( ) đợc gọi là - đại số nếu nó là một đại số. Tức là thoả mãn : a - A b- A A suy ra A = \ A A c A, B A suy ra A B A và A B A Và d - A n F, n =1,2, suy ra n n A = 1 F, n n A = 1 F Nhận xét: -Tơng tự nh c- ở d- chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức còn lại cũng thoả mãn. Ví dụ nh : (A) F n n A = 1 F thì cũng có n n A = 1 = n n A = 1 F 5 -Điều kiện c- có thể suy ra từ điều kiện d- 2.2 Ví dụ: Giả sử ={0,1,2}.Khi đó - đại số chứa các tập A = {0,1} , B = {1,2} là P( ). Chứng minh: Thật vậy.Rõ ràng P ( ) là - đại số.Ngợc lại nếu F là - đại số thì = F {0} = A\B F {1} = A B F Suy ra F = P( ) Vậy F là một - đại số. 3.Không gian đo và lớp đơn điệu. 3.1 Không gian đo Cặp ( , F) trong đó bất kỳ còn F là - đại số các tập con của đợc gọi là không gian đo. 3.2.Lớp đơn điệu Lớp A P( ) khác đợc gọi là lớp đơn điệu nếu : a) A n A ; A n A n +1 , n = ,1 Suy ra i i A = 1 A b) A n A ; A n A n +1 , n = ,1 Suy ra i i A = 1 A 3.3 Tính chất a) Định lý1. Giả sử A là một đại số. Khi đó A là - đại số nếu và chỉ nếu A là lớp đơn điệu. Chứng minh: Điều kiện cần thoả mãn . Vì theo định nghĩa của lớp đơn điệu ta thấy: Nếu A là - đại số thì A là lớp đơn điệu . Điều kiện đủ : 6 Giả sử A là lớp đơn điệu . Khi đó nếu (A n ) A thì A - đại số. B n = i n i A = 1 A , B n B n +1 , n=1,2,Từ đó do A là lớp đơn điệu n n A = 1 = lim B n A nên A là - đại số . Từ những kết luận này ta viết : . B= lim B n nếu (B n ) tăng và B = n B n . B= lim B n nếu (B n ) giảm và B = n B n b) Định lý 2. Giả sử A là đại số .Khi đó - đại số sinh bởi A trùng với lớp đơn điệu sinh bởi A. Chứng minh: Ký hiệu ( A) là - đại số sinh bởi A Vì ( A) cũng là lớp đơn điệu m( A) ( A) Để chứng minh ( A) m( A) ta cần chứng tỏ m( A) là đại số . Thật vậy , theo định lý 1, m( A) là - đại số. Ký hiệu = {B : B và B m( A)} Rõ ràng A m( A) Từ đó nếu ta chứng minh rằng là lớp đơn điệu thì m( A) . Giả sử (B n ) là dãy tăng (C n ) là dãy giảm tuỳ ý. Khi đó : B n , n B ,C n , n C m( A).Do m( A) là lớp đơn điệu nên: B= n lim B n , n B lim = lim n B m( A) C = n lim C n , n C lim =lim n C m( A) B,C .Điều đó cũng đồng nghĩa với là lớp đơn điệu . Với A m( A) xét lớp con A = {B : B và AB m( A)} Từ đẳng thức n lim AB n = A n lim B n suy ra A là lớp đơn điệu . Nhng với B A ta có B A m( A) .Vì vậy A = m( A) Từ đó và hệ thức : A B B A .Suy ra A B A A và B m( A) hay A B với mọi B m( A) nghĩa là m( A) đóng đối với phép giao nên m( A) là đại số . . 4. Độ đo xác suất . 7 4.1 Định nghĩa 1. Giả sử A P ( ) là một đại số nào đó.Hàm tập hợp P( . ) xác định trên A đợc gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính ( Hay cộng tính hữu hạn ) nếu: P 1 ) P(A) 0 , A A P 2 ) P( ) =1 P 3 ) P(A B) = P(A) + P(B) nếu A,B A và A B = ỉ 4.2 Định nghĩa 2. Hàm tập hợp P xác định trên đại số A đợc gọi là độ đo xác suất - cộng tính nếu : P 1 ) P(A) 0 , A A P 2 ) P( ) =1 P 3 ) Nếu A i A , i = 1,2,,n , A i A j = , ij, i i A = 1 A thì P( i i A = 1 ) = = 1 )( i i AP 4.3. Định lý 3.Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A. Khi đó bốn điều kiện sau là tơng đơng : a) P là cộng tính đếm đợc ( - cộng tính) b) P liên tục trên , tức là nếu A n A ,n=1,2,là dãy không giảm (A n A n +1 ) và n lim A n = n n A = 1 A thì P ( n n A = 1 ) = n lim P(A n ) c) P liên tục dới, tức là nếu A n A ,n=1,2, là dãy giảm (A n A n +1 ) n lim A n = n n A = 1 thì : P ( n n A = 1 ) = n lim P(A n ) d) P liên tục tại không,tức là nếu A n A , A n A n +1 ,n=1,2,và n n A = 1 = thì n lim P(A n ) = 0 Chứng minh: a)b) Giả sử dãy (A n ) A là dãy không giảm n n A = 1 A Đặt A o = , B i = A i \A i -1 A .Khi đó : A n = i n n B = 1 ; i i A = 1 = i i B = 1 P(A n ) = = n i i BP 1 )( ; P( i i A = 1 ) = P( i i B = 1 ) = = n i i BP 1 )( = n lim P(A n ) . b) c) Giả sử (A n ) A là dãy giảm n n A = 1 A 8 Khi đó, ( n A ) là dãy tăng .Theo b) P( i i A = 1 ) = 1 P( i i A = 1 ) = 1 P( = 1i i A ) = 1- limP( n A ) = n lim [ 1 - P( n A )] = n lim P(A n ) c) d) Thật vậy, giả sử (A n ) A là dãy giảm n n A = 1 A n lim A n = n n A = 1 A suy ra : P( n i A = 1 ) = n lim P(A n ) P( n i A = 1 ) = P( ỉ ) =0 = n lim P(A n ) Vậy n lim P(A n ) = 0. d) a) (A n ) A là dãy đôi một không giao nhau và n n A = 1 F .Khi đó : C n = i ni A += 1 = i i A = 1 \ i n i A = 1 F và C n C n+ 1 , n n C = 1 = ỉ Do P hữu hạn cộng tính P( i i A = 1 ) = P( i n i A = 1 ) + P(C n ) = = n i i AP 1 )( + P(C n ) Cho n , P(C n ) 0 Suy ra P( i i A = 1 ) = = n i i AP 1 )( . <4.3> 4.4. Hệ thức đề Kolmogrov Giả sử : a) là tập hợp tuỳ ý gồm các phần tử ; b) F là - đại số các tập con của ; c) P là độ đo xác suất - cộng tính (Hay nói gọn là xác suất trên F ). Khi đó bộ ba (, F, P) gọi là không gian xác suất . Tập đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp . tập A F đợc gọi là biến cố , P(A) là xác suất của biến cố A, P đợc gọi là xác suất trên F. 4.5. Định lý Carathéodory. Giả sử là một tập hợp nào đó , A là đại số các tập con của .Giả sử 0 là một độ đo xác định trên A ( Nghĩa là 0 là một hàm tập hợp không âm, - cộng tính trên A )và - hữu hạn( nghĩa là 9 tồn tại dãy (A n ) A sao cho n n A = 1 = và 0 (A n )<,n=1,2,).Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo xác định trên (A) .Sao cho: (A) = 0 (A) , A A. Phần 2 : Một số tính chất của các biến cố II.1. Mệnh đề 1. Nếu AB =CD thì AC = CD (AB=(A\B) (B\A)) Chứng minh: 10 . Phần II : một số tính chất của 11 các biến cố Phần III : một số tính chất của 17 xác suất Phần IV : một số tính chất của 24 các biến cố độc lập và - độc lập. nói đầu độ đo xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác suất . Mục đích của đề tài nêu lên một số tính chất của độ đo xác suất