Cho I là iđêan cạnh của một đồ thị Γ. Bằng cách sử dụng khái niệm đồ thị có trọng đỉnh và các kết quả trước đó của H.M. Lam và N.V. Trung (Transactions of the American Mathematical Society, 2018) về (It : m) It tác giả đã đưa ra một số tính chất của đồ thị có trọng Γa ứng với đơn thức xa của hiệu (It : m2) (It : m).
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp 3-10 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2019-0001 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ CĨ TRỌNG ỨNG VỚI ĐƠN THỨC THUỘC (I t : m2 ) \ (I t : m) Hà Thị Thu Hiền Khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại thương, Hà Nội Tóm tắt Cho I iđêan cạnh đồ thị Γ Bằng cách sử dụng khái niệm đồ thị có trọng đỉnh kết trước H.M Lam N.V Trung (Transactions of the American Mathematical Society, 2018) (I t : m) \ I t tác giả đưa số tính chất đồ thị có trọng Γa ứng với đơn thức xa hiệu (I t : m2 ) \ (I t : m) Từ khóa: Đồ thị có trọng, số ghép cặp, liên thông Mở đầu Cho vành R M R- môđun, ρ iđêan R, đặt Γρ (M ) = ∪n∈N (0 :M ρn ) Γρ (M ) mơđun M gọi môđun xoắn Lấy giải nội xạ M , giả sử d−1 d0 d1 di−1 di di+1 I ∗ : −−→ I −→ I −→ · · · −−−→ I i −→ I i+1 −−−→ · · · Từ giải nội xạ ta có phức Γρ (d−1 ) Γρ (d0 ) Γρ (d1 ) Γρ (di−1 ) Γρ (di ) Γρ (di+1 ) −−−−−→ Γρ (I ) −−−−→ Γρ (I ) −−−−→ · · · −−−−−→ Γρ (I i ) −−−−→ Γρ (I i+1 ) −−−−−→ · · · đồng cấu Γρ (di ) xác định Γρ (di ) : Γρ (I i ) → Γρ (I i+1 ) p → di (p) Môđun Ker(Γρ (di ))/ Im(Γρ (di−1 )) không phụ thuộc vào lựa chọn giải nội xạ I ∗ M gọi môđun đối đồng điều địa phương thứ i M ứng với iđêan ρ, ký hiệu Hρi (M ) Các vấn đề chi tiết đối đồng điều địa phương độc giả xem [1] Cho R := k[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường k J, m iđêan nhất, iđêan cực đại R Khi [2], N Terai N.V Trung đưa kết sau: Mệnh đề 1.1 [2, Lemma 15.2] Cho J := ∪s∈N (J : ms ) iđêan bão hịa J Khi Hm0 (R/J) = J /J Hà Thị Thu Hiền Như để biết triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương Hm0 (R/J) R/J ứng với m ta cần biết iđêan bão hòa J Hơn ta biết J ⊆ J, ta cần xem xét hiệu J \ J Nếu J iđêan đơn thức J vậy, hiệu J \ J gồm đơn thức Đặc biệt J lũy thừa iđêan đơn thức khơng chứa bình phương I mà phần tử sinh tối tiểu có bậc I tương ứng với số đối tượng tổ hợp nên đơn thức J \ J = I t \ I t có tương ứng Trong trường hợp tác giả muốn xem xét số tính chất đối tượng tổ hợp Từ định nghĩa J ta có I t \ I t = [∪s∈N (I t : ms )] \ I t = ∪s∈N [(I t : ms ) \ I t ] Trong [3], H.M Lam N.V Trung miêu tả tính chất đối tượng tổ hợp ứng với đơn thức thuộc (I t : m) \ I t Trong báo tác giả nghiên cứu vấn đề tương tự trường hợp tiếp theo, (I t : m2 ) \ (I t : m) Đồ thị đồ thị với trọng đỉnh Đồ thị (vô hướng) cặp Γ := (V, E) V tập đỉnh, E tập cạnh, cạnh tập hai phần tử V (để rõ tập đỉnh tập cạnh đồ thị Γ ta viết V (Γ) E(Γ)) Ở ta xét đồ thị mà tập đỉnh có hữu hạn phần tử, ta lấy V = {1, , n} Nếu c = {v1 , v2 } cạnh đồ thị ta nói hai đỉnh v1 , v2 kề cạnh c liên kết với đỉnh v1 , v2 Một cạnh {v1 , v2 } mà v1 ≡ v2 gọi cạnh vòng Một đồ thị đồ thị Γ đồ thị Ω cho V (Ω) ⊆ V (Γ), E(Ω) ⊆ E(Γ) Đồ thị Ω Γ gọi đồ thị cảm sinh hai đỉnh V (Ω) kề Ω chúng kề Γ Đồ thị cảm sinh Ω Γ gọi đồ thị cảm sinh thực V (Ω) V (Γ) Một ghép cặp Γ tập E cho hai cạnh khác tùy ý khơng có đỉnh chung Số cạnh lớn ghép cặp gọi số ghép cặp Γ ký hiệu ν(Γ) Cho số nguyên dương s Một hành trình độ dài s Γ dãy luân phiên đỉnh cạnh P := v0 c0 v1 c1 v2 vs−1 cs−1 vs (vi đỉnh ci cạnh) đồ thị thỏa mãn điều kiện ci liên kết với đỉnh vi , vi+1 với i = 0, , s − Khi ta gọi v0 đỉnh đầu vs đỉnh cuối P Nếu đỉnh hành trình P đơi khác trừ cặp đỉnh đầu cuối P gọi đường dẫn Nếu s ≥ đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối đường dẫn P gọi chu trình Cho M ghép cặp đồ thị Γ Một đường dẫn P với hai đỉnh đầu mút không nằm M , đỉnh lại thuộc M , bắt đầu với cạnh nối đỉnh đầu mút với đỉnh nằm M cạnh xen kẽ cạnh thuộc M không thuộc M gọi đường M -mở rộng Cho trước đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, , n} Nếu ta gán cho đỉnh i V số nguyên dương wi ta gọi cặp Ω := (Γ, w) đồ thị có trọng, w := (w1 , , wn ) Ta gọi Γ đế Ω w véc tơ trọng Hai đỉnh gọi kề Ω chúng kề đồ thị đế Chú ý đồ thị Γ thông thường ln xem đồ thị có trọng cách gán cho đỉnh trọng Một số tính chất đồ thị có trọng ứng với đơn thức thuộc (I t : m2 ) / (I t : m) Một ghép cặp đồ thị có trọng Ω họ M cạnh Ω không thiết khác cho đỉnh Ω có số lần xuất M khơng lớn trọng Tương tự với đồ thị thơng thường, ta có khái niệm số ghép cặp Ω ký hiệu ν(Ω) Khái niệm hành trình đồ thị có trọng xác định ta yêu cầu số lần xuất đỉnh khơng vượt q trọng Cho Ω đồ thị có trọng tập đỉnh V Γ đế Ω Với a ∈ Nn ta ký hiệu Va := {i ∈ V | > 0} Gán cho đỉnh i ∈ Va trọng ta thu đồ thị có trọng tập đỉnh Va với đế đồ thị cảm sinh ΓVa Ta ký hiệu đồ thị Γa Ví dụ: Các hình vẽ cho ta đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4, 5}, đồ thị có trọng Ω = (Γ, w) với w = (1, 1, 3, 1, 2) đồ thị Γa với a = (1, 1, 2, 4, 0) (trọng đỉnh lớn viết bên phải ký hiệu đỉnh đó, trọng khơng viết) Hình Đồ thị đồ thị có trọng Chi tiết đồ thị đồ thị có trọng độc giả xem thêm [4] [5] Một số tính chất tổ hợp Γa Trong [5], H.T.T Hien, H.M Lam N.V Trung đưa đặc trưng tổ hợp để đơn thức nằm lũy thừa I Bổ đề 3.1 [5, Lemma 15.2] Cho a véc tơ có tọa độ khơng âm Khi xa ∈ I t ν(Γa ) ≥ t Trong [3], H.M Lam N.V Trung phân loại đơn thức hiệu (I t : m) \ I t Bổ đề 3.2 [3, Lemma 15.2] Nếu xa ∈ (I t : m) \ I t Γa liên thơng với i ∈ Va ta có xa−ei ∈ I t−1 tồn i ∈ Va cho xa−ei ∈ (I t−1 : m) \ I t−1 Tương tự Bổ đề 3.2 ta phân loại đơn thức hiệu (I t : m2 ) \ (I t : m) Hơn đồ thị có trọng Γa ứng với đơn thức xa hiệu liên thơng ta biết bậc xa số ghép cặp Γa Mệnh đề 3.1 Nếu xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) (I t−1 Hoặc với i ∈ Va ta có xa−ei ∈ (I t−1 : m) tồn i ∈ Va cho xa−ei ∈ : m2 ) \ (I t−1 : m), Nếu trường hợp xảy Γa liên thơng ta có deg xa = 2t − ν(Γa ) = t − Hà Thị Thu Hiền Chứng minh Vì xa ∈ (I t : m2 ) nên xa xu xv ∈ I t với u, v ∈ V Điều có nghĩa ν(Γa+eu +ev ) ≥ t với u, v ∈ V Khi với đỉnh i tùy ý Va , ta có ν(Γa−ei +eu +ev ) ≥ ν(Γa+eu +ev ) − ≥ t − với u, v ∈ V , ta nhận xa−ei ∈ (I t−1 : m2 ) Vì (I t−1 : m2 ) ⊇ (I t−1 : m) nên xa−ei ∈ / (I t−1 : m) với đỉnh i xa−ei ∈ (I t−1 : m2 ) \ (I t−1 : m) Ngược lại với i ∈ Va ta có xa−ei ∈ (I t−1 : m) Vì xa ∈ / (I t : m) nên tồn đỉnh i ∈ V cho xa xi ∈ / I t Đặt xb = xa xi ta nhận xb ∈ (I t : m) \ (I t Ta chứng tỏ xb−ej ∈ I t−1 với j ∈ Vb (∗) Thật vậy, ta thấy điều kiện xa−ej ∈ (I t−1 : m) với j ∈ Va tương đương với điều kiện xa−ej m ⊆ I t−1 với j ∈ Va Từ xb−ej = xa−ej xi ∈ I t−1 với j ∈ Va Nếu i ∈ Va Vb = Va , (∗) Nếu i ∈ / Va Vb = Va ∪ {i} Ta cần chứng tỏ (∗) đỉnh i Vì xa−ei ∈ (I t−1 : m) nên xa = xa−ei xi ∈ I t−1 , xb−ei = xa+ei −ei = xa ∈ I t−1 Ta nhận xb ∈ (I t : m) \ I t xb−ej ∈ I t−1 với j ∈ Vb Hơn nữa, trường hợp này, dễ thấy i kề với đỉnh Va Vì Γa liên thơng nên Γb liên thơng Theo H.M Lam and N.V Trung (2015), deg xb = 2t − ν(Γb ) = t − Do deg xa = 2t − t − = ν(Γb ) − ≤ ν(Γa ) ≤ ν(Γb ) = t − Ở ta chứng tỏ xa ∈ I t−1 , mà điều tương đương với ν(Γa ) ≥ t − Vậy ν(Γa ) = t − Bây ta xem xét cấu trúc Γa Va gồm đỉnh nằm thành phần liên thông khác đồ thị Γ cho Định lí 3.1 Cho vành đa thức A := k[x1 , , xs ], B := k[xs+1 , , xn ], R := k[x1 , , xn ] Cho Γ đồ thị đơn tập đỉnh V := {1, , n}, khơng có đỉnh lập có hai thành phần liên thông với hai tập đỉnh V1 := {1, , s}, V2 := {s + 1, , n} Cho iđean I := I(Γ) I1 , I2 iđean cạnh hai thành phần liên thơng xét vành A, B tương ứng, m, m1 , m2 tương ứng iđean cực đại vành R, A, B Khi xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) xa−ei ∈ (I t−1 : m) với i ∈ Va xa1 ∈ (I1t1 : m1 ) \ I1t1 , xa1 −ei ∈ I1t1 −1 với i ∈ Va1 xa2 ∈ (I2t2 : m22 ) \ (I2t2 : m2 ), xa2 −ej ∈ (I2t2 −1 : m2 ) với j ∈ Va2 , t = t1 + t2 − 1, a1 , a2 véctơ thu từ a cách cho tọa độ ứng với tập đỉnh V2 , V1 Chứng minh Giả sử xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) xa−ei ∈ (I t−1 : m) với i ∈ Va Khi xa−ei ∈ (I t−1 : m) nên xa = xa−ei xi ∈ I t−1 , ν(Γa ) ≥ t − Nếu ν(Γa ) ≥ t ta nhận mâu thuẫn với giả thiết xa ∈ / (I t : m) Vì ν(Γa ) = t − Giả sử ν(Γa1 ) = t1 − 1, ν(Γa2 ) = t2 − 1, Một số tính chất đồ thị có trọng ứng với đơn thức thuộc (I t : m2 ) / (I t : m) ta suy t1 + t2 − = t Vì xa ∈ / (I t : m) nên tồn i ∈ V cho xa xi ∈ / I t Do vai trò thành phần liên thơng nên ta giả sử i ∈ V2 Khi t − = ν(Γa ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 ) ≤ ν(Γa1 ) + ν(Γa2 +ei ) = ν(Γa+ei ) ≤ t − Ta suy ν(Γa2 +ei ) = ν(Γa2 ) = t2 − 1, xa2 xi ∈ / I2t2 Vì xa2 ∈ / (I2t2 : m2 ) Mặt khác, t từ giả thiết xa ∈ (I t : m2 ) ν(Γa1 ) = t1 − ta dễ thấy xa2 ∈ (I22 : m22 ) Ta nhận xa2 ∈ (I2t2 : m22 ) \ (I2t2 : m2 ) Tương tự, ν(Γa1 ) = t1 − nên xa1 ∈ / I1t1 Ta chứng tỏ xa1 xj ∈ I1t1 với j ∈ V1 a Giả sử ngược lại, tồn j ∈ V1 cho x xj ∈ / I1t1 Ta có t1 − = ν(Γa1 ) ≤ ν(Γa1 +ej ) ≤ t1 − 1, ν(Γa1 +ej ) = ν(Γa1 ) = t1 − Ta nhận ν(Γa1 +ej ) + ν(Γa2 +ei ) = t1 − + t2 − = t − Điều có nghĩa xa xi xj ∈ / I t , mâu thuẫn với giả thiết xa ∈ (I t : m2 ) Vậy xa1 ∈ (I1t1 : m1 ) \ I1t1 Chọn i ∈ V2 cố định cho ν(Γa2 +ei ) = ν(Γa2 ) = t2 − kết Từ giả thiết ∈ (I t−1 : m) với i ∈ Va = Va1 ∪ Va2 , ta xét i ∈ Va1 Khi ta có xa−ei xj ∈ I t−1 Điều tương đương với xa−ei ν(Γa−ei +ej ) ≥ t − ⇔ ν(Γa1 −ei ) + ν(Γa2 +ej ) ≥ t − ⇔ ν(Γa1 −ei ) ≥ t1 − Vì xa1 −ei ∈ I1t1 −1 với i ∈ Va1 Lại sử dụng giả thiết xa−ei ∈ (I t−1 : m) với j ∈ Va = Va1 ∪ Va2 , ta chọn j ∈ Va2 ⊆ V2 cố định Khi ta có xa−ej xi ∈ I t−1 với i ∈ V Điều tương đương với ν(Γa1 −ej +ei ) ≥ t − Xét i ∈ V2 ta ν(Γa−ej +ei ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 −ej +ei ) ≥ t − ⇔ ν(Γa2 −ej +ei ) ≥ t2 − Do xa2 −ej ∈ (I2t2 −1 : m2 ) với j ∈ Va2 Ngược lại, giả sử xa1 ∈ (I1t1 : m1 ) \ I1t1 , xa1 −ei ∈ I1t1 −1 với i ∈ Va1 xa2 ∈ (I2t2 : m22 ) \ (I2t2 : m2 ), xa2 −ej ∈ (I2t2 −1 : m2 ) với j ∈ Va2 , t = t1 + t2 − Khơng tổng qt, ta giả sử Γa1 , Γa2 liên thơng Khi từ [3, Lemma] Mệnh đề 3.1, ta có deg xa1 = 2t1 − 1, deg xa2 = 2t2 − ν(Γa1 ) = t1 − 1, ν(Γa2 ) = t2 − Do với đỉnh / I1t2 Điều tương đương với tùy ý i ∈ Va2 ta có (xa2 xi ) ∈ ν(Γa2 +ei ) ≤ t2 − Hà Thị Thu Hiền Vì Γa1 Γa2+ei thuộc hai thành phần liên thông nên ν(Γa+ei ) = ν(Γa1 +a2 +ei ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 +ei ) ≤ t1 − + t2 − = t − Điều chứng tỏ xa ∈ / (I t : m) Mặt khác, ta có ν(Γa ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 ) = t − ν(Γa1 +ei ) = t1 với i ∈ V1 , ν(Γa2 +ei +ej ) = t2 với i, j ∈ V2 Vì với hai đỉnh tùy ý i, j ∈ V , có đỉnh thuộc V1 , giả sử i, ν(Γa+ei +ej ) ≥ ν(Γa1 +ei ) + ν(Γa2 ) = t1 + t2 − = t Nếu i, j ∈ V2 ν(Γa+ei +ej ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 +ei +ej ) = t1 − + t2 = t Điều chứng tỏ xa ∈ (I t : m2 ) Ta nhận xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) Bây ta chứng tỏ xa−ei ∈ (I t−1 : m) với i ∈ Va Nếu i ∈ Va1 từ giả thiết ta có ν(Γa1 −ei ) ≥ t1 − nên ν(Γa−ei ) = ν(Γa1 −ei ) + ν(Γa2 ≥ t1 − + t2 − = t − Nếu i ∈ Va2 từ giả thiết ta có ν(Γa2 −ei +ej ) ≥ t2 − với j ∈ Va2 Ta suy ν(Γa−ei +ej ) = ν(Γa1 ) + ν(Γa2 −ei +ej ) ≥ t1 − + t2 − = t − với j ∈ Va2 Với j ∈ Va1 ν(Γa−ei +ej ) = ν(Γa1 +ej ) + ν(Γa2 −ei ) ≥ t1 + t2 − = t − Vì xa−ei xj ∈ I t−1 với j ∈ Va Để chuẩn bị cho việc chứng minh kết cuối báo ta nhắc lại kết Berge [6] Bổ đề 3.3 [6, Theorem 1.2.1] Cho ghép cặp M đồ thị Γ Khi | M |= ν(Γ) Γ khơng có đường M -mở rộng Đối với đồ thị có trọng, tương tự với khái niệm đường M -mở rộng, [5] tác giả H.T.T Hien, H.M Lam N.V Trung định nghĩa hành trình M -mở rộng Họ chứng tỏ với khái niệm ta có phiên Bổ đề 3.3 dành cho đồ thị có trọng Để cho tiện ta gọi phiên có trọng Cho xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) Từ Mệnh đề 3.1, ta có hai trường hợp đỉnh Va Hơn Mệnh đề 3.1 Định lý 3.1 cho ta tính chất Γa xa−ei ∈ (I t−1 : m) với i ∈ Va Sử dụng Định lý 3.1 Bổ đề 3.3 (phiên có trọng) ta có kết ghép cặp Γa trường hợp lại Định lí 3.2 Cho xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m), Γa liên thông tồn đỉnh i ∈ Va cho xa−ei ∈ (I t−1 : m2 ) \ (I t−1 : m) Khi ν(Γa ) = t − Một số tính chất đồ thị có trọng ứng với đơn thức thuộc (I t : m2 ) / (I t : m) Chứng minh Vì xa ∈ / (I t : m) nên tồn j ∈ V cho xa xj ∈ / I t , ν(Γa ) ≤ ν(Γa+ej ) ≤ t − Bây ta ghép cặp Γa có t − cạnh quy nạp theo số đỉnh giảm Va Nếu Va có đỉnh giảm ta chứng tỏ xa−ei −ej ∈ (I t−2 : m) với j ∈ Va−ei Nếu Γa−ei liên thơng theo Mệnh đề 3.3, deg xa−ei = 2(t − 1)− = 2t − Khi deg xa+2ei = 2t − nên xa x2i ∈ / I t , điều mâu thuẫn với giả thiết xa ∈ (I t : m2 ) Ta suy Γa−ei không liên thông Theo Định lý 3.1, Γa−ei gồm hai phần rời nhau, giả sử Γa1 Γa2 a1 , a2 véctơ nhận từ a − ei cách cho tọa độ ứng với tập đỉnh Va1 , Va2 xa1 ∈ (I1t1 : m1 ) \ I1t1 , xa2 ∈ (I2t2 : m22 ) \ (I2t2 : m2 ), (t1 − 1) + (t2 − 1) − = t − Vì Γa liên thơng nên i đỉnh nối hai phần này, i phải kề với đỉnh Va1 , giả sử j Ta biết ghép cặp cực đại Γa−ei gồm ghép cặp cực đại M1 Γa1 ghép cặp cực đại M2 Γa2 Hơn nữa, ν(Γa1 −ej ) = ν(Γa1 ) nên ta lấy M1 ghép cặp Γa1 −ej Vì M = M1 ∪ M2 có (t1 − 2) + (t2 − 2) = t − cạnh nên M ∪ {{i, j}} ghép cặp Γa có t − cạnh Giả sử Va có hai đỉnh giảm Nếu Va−ei khơng có đỉnh giảm cách lập luận ta có điều tương tự Nếu Va−ei có đỉnh giảm theo giả thiết quy nạp, ta có ν(Γa−ei ) = t − Từ giả thiết xa ∈ (I t : m2 ) ta suy xa x2i ∈ I t Điều tương đương với ν(Γa+2ei ) ≥ t Mặt khác, ν(Γa ) ≤ t − nên ν(Γa+2ei ) ≤ t + Nếu ν(Γa+2ei ) = t + rõ ràng ν(Γa ) = t − Vì ta giả sử ν(Γa+2ei ) = t M ghép cặp Γa+2ei có t cạnh Dễ thấy láng giềng i thuộc Va−ei Nếu số lần xuất đỉnh i M nhiều + cách bỏ cạnh chứa i, ta nhận ghép cặp Γa có t − cạnh Ngược lại, giả sử số lần xuất đỉnh i M + Vì ≥ nên có cạnh M chứa đỉnh i, giả sử j1 , j2 , j3 láng giềng i cạnh Rõ ràng j1 , j2 , j3 ∈ Va−ei Khi từ M ta nhận ghép cặp M ′ = M \ {{i, j1 }, {i, j2 }, {i, j3 }} Γa+2ei có t − cạnh Vì ν(Γa−ei ) = t − nên theo Bổ đề 3.5 (phiên có trọng) tồn hành trình P M ′ -mở rộng chứa đỉnh đầu mút hai ba đỉnh j1 , j2 , j3 , giả sử j1 , j2 Từ P ta nhận ghép cặp Γa−ei có t − cạnh Ghép cặp với cạnh {i, j3 } cho ta ghép cặp Γa có t − cạnh Kết luận Như kết tác giả đưa bậc xác đơn thức xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m) Γa liên thông bất biến tổ hợp quan trọng số ghép cặp Γa hai trường hợp Γa liên thông không liên thông Những hiểu biết cho phép tác giả tiêp tục nghiên cứu sâu Γa với xa ∈ (I t : m2 ) \ (I t : m), tiếp tục với đơn thức hiệu (I t : mq ) \ (I t : mq−1 ) với số tự nhiên q > tùy ý Hà Thị Thu Hiền TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] M Brodmann and R.Y Sharp, 1998, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 60, Cambridge University Press, Cambridge N Terai and N.V Trung, 2014, On the associated primes and the depth of the second power of squarefree monomial ideals, J Pure Appl Algebra 218, 1117–1129 H.M Lam, N.V Trung, 2018, Associated primes of powers of edge ideals and ear decompositions of graphs, Transactions of the American Mathematical Society C Godsil, G Royle, 2001, Algebraic graph theory, Springer–Verlag New York H.T.T Hien, H.M Lam, N.V Trung, 2015, Saturation and associated primes of powers of edge ideals, J Algebra 439, 225–244 L Lovasz, M.D Plummer, 2009, Matching Theory, AMS Chelsea Publishing ABSTRACT Some properties of a weighted graph corresponding to a monomial in (I t : m2 ) \ (I t : m) Ha Thị Thu Hien Basic Sciences, Foreign Trade University, Ha Noi Let I be edge ideal of a graph Γ By using the notion of vertex weighted graph and H.M Lam and N.V Trung’s results on (I t : m)\I t (Transactions of the American Mathematical Society, 2018), the author give some combinatorial properties of a weighted graph Γa corresponding to a monomial xa in (I t : m2 ) \ (I t : m) 10 ... đế Ω w véc tơ trọng Hai đỉnh gọi kề Ω chúng kề đồ thị đế Chú ý đồ thị Γ thông thường xem đồ thị có trọng cách gán cho đỉnh trọng Một số tính chất đồ thị có trọng ứng với đơn thức thuộc (I t :... Γa với a = (1, 1, 2, 4, 0) (trọng đỉnh lớn viết bên phải ký hiệu đỉnh đó, trọng khơng viết) Hình Đồ thị đồ thị có trọng Chi tiết đồ thị đồ thị có trọng độc giả xem thêm [4] [5] Một số tính chất. .. có trọng tập đỉnh Va với đế đồ thị cảm sinh ΓVa Ta ký hiệu đồ thị Γa Ví dụ: Các hình vẽ cho ta đồ thị Γ tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4, 5}, đồ thị có trọng Ω = (Γ, w) với w = (1, 1, 3, 1, 2) đồ thị