Một số tính chất nhiệt động lực học của chuỗi Spin một chiều với mô hình Heisenberg

Ngày nay các tích phân phiếm hàm đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý lý thuyết như trong cơ học lượng tử [4], lý thuyết trường lượng tử, cơ học thống kê lượng tử đều có thể được viết trong dạng các tích phân phiếm hàm. Từ lâu, đây đã là một phương pháp hữu dụng và mô tả chính xác các hành vi của hệ spin.

MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUỖI SPIN MỘT CHIỀU VỚI MƠ HÌNH HEISENBERG VÕ QUANG NHẬT NGUYỄN THỊ THU HẰNG - VÕ CÔNG HƯỚNG LÊ THỊ NGỌC THANH - NGÔ THỊ THUẬN Khoa Vật lý GIỚI THIỆU Ngày tích phân phiếm hàm sử dụng nhiều lĩnh vực khác vật lý lý thuyết học lượng tử [4], lý thuyết trường lượng tử [4], học thống kê lượng tử [4] viết dạng tích phân phiếm hàm Từ lâu, phương pháp hữu dụng mơ tả xác hành vi hệ spin [1], [6] Phương pháp tích phân phiếm hàm cho mơ hình spin khối màng mỏng khác phát triển thành cơng cơng trình [2], [6], đáng quan tâm để nghiên cứu hệ chiều MƠ HÌNH LÝ THUYẾT Hình Mơ hình chuỗi spin chiều, với J tích phân trao đổi spin lân cận gần Xét chuỗi spin chiều, với N tổng số spin (xem hình 1) Hệ tọa độ chọn sau: trục Oz song song với chuỗi spin, vng góc với mặt phẳng xOy Vị trí ur spin mạng xác định số j, R j véctơ chiều để vị trí spin j Mơ hình Heisenberg cho hệ spin chiều với Hamiltonian viết sau: r r (1) H = -­‐ gmhext  S zj -­‐  J ( R j -­‐ R j ' )S zj S zj , j, j ' j đây, số hạng (1) Hamiltonian spin không tương tác từ trường ngồi đồng với cường độ hext có hướng dọc theo hướng z; số hạng thứ hai v r r Hamiltonian trao đổi Heisenberg; J ( R j -­‐ R j ' ) tương tác trao đổi spin S j v S j ' ; µ mômen từ nút mạng; g số Lande Biểu diễn Hamiltonia (1) dạng r r r (2) H = -­‐  J (k )S z (k )S z (-­‐ k ) -­‐ g mhext  S zj = H + H int , kr j Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, tháng 12/2013, tr: 59-66 60 với VÕ QUANG NHẬT cs r S z (k ) = N rur r r r ur r ur ∑ S z exp ⎡⎣−ik R j ⎤⎦; J (k ) = ∑ J ( R j − R j ' ) exp ⎡⎣−ik ( R j − R j ' )⎤⎦ j (3) j H = -­‐ gmhext  S zj ; H int = -­‐ j r r r J (k ) S z (k ) S z (-­‐ k )  kr (4) r Trong (4), k (k z ) véctơ sóng thành phần liên quan đến tính đối xứng tịnh tiến chuỗi spin Bởi tính đối xứng tịnh tiến chuỗi spin mà ta ln có S zj = S z Các toán tử thống kê hệ viết biểu diễn tương tác sử dụng ma trận tán xạ s ( b ) , Hamiltonian không tương tác H0 phần tương tác Hint ÏƠ b ¸Ơ r z r r z Ơ $ exp Ô exp(-­‐ b H ) = exp(-­‐ b H )s ( b ) = exp(-­‐ b H )T J ( k ) S ( k , t ) S ( -­‐ k , t )d t ÌÚ Â ˝, r Ô Ô Ô Ô Ô k ,a Ĩ ˛Ơ (5) với Tˆ tốn tử trật tự “thời gian” Hubbard (xem [6]) È1 ˘ Í exp Í Â xi Âij x j ˙˙ = ÍỴ2 i , j ˙˚ b Sử dụng phép biến đổi tích phân Stratonovich – Ê Á Á ’ Á Á Á Ëi ˆ ÏÔ dyi ˜˜ ˜˜ exp Ơ Ì -­‐  yi + Ơ 2p ˜¯ˉ Ơ i Ĩ • Ú -­‐ •  ¸Ô Ô xi Â1/2 ij y j ˝ Ô ˛Ô i, j (6) cho phương trình cuối (5),  ma trận đối xứng, Â1/2 ij yếu tố ma trận ma trận Â1/2 , với (Â1/2 )2 =  , chúng tơi nhận ÏƠ Ô exp(-­‐ b H) = exp(-­‐ b H ) Ú(dj )exp Ì -­‐  j qrzj Ơ qr Ơ Ơ Ĩ r r Ở đây: q = (k , w), = Âr k b ÏÔ Â T Âr  q Sqrz = b -­‐ ¸Ơ Ơ z r Ơµ exp Ì -­‐ q ˝Ơ r Ơ Ơ Ơ Ơq ˛Ơ Ĩ Úe ¸Ơ r ÈJ ( k ) ˘1/2j z S rz Ơ ÍỴ ˙˚ q q ˝Ô (7) Ô ˛Ô (8) w it w rz Sk (t )dt , (9) Ú(dj ) = ’ a a r ,c + • dj dj 0a q Ú 2p r’ Ú p k π -­‐ • -­‐ • +• +• Ú -­‐ • dj a r ,s q p (10) Sử dụng biểu thức (7) chúng tơi nhận biểu diễn tích phân phiếm hàm cho lượng tự MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 61 Ï ¸ Ô Ô z z rÔ r = -­‐ b -­‐ ln Ú(dj ) exp Ô -­‐ j j Ì ˝ Â Ô qr q -­‐ q Ô Ơ Ơ Ơ Ĩ ˛Ơ ÏƠ ¸ Ơ È r ˘1/2 rz rz Ơ Ơ -­‐ b H µ ¥ Sp e T exp Ì Âr ÍJ ( k )˙ j q Sq ˝ Ỵ ˚ Ơ Ơ Ơ Ô Ôq Ó ˛Ô È ˘ r r 1 F = F0 -­‐ ln Ú(dj ) exp ÍÍ-­‐  j z ( q )j z (-­‐ q ) -­‐ Fint [j ]˙˙, b qr ỴÍ ˚˙ N sh( S + / 2) y F0 = − ln Spe− β H0 = − ln , β β sh ( y / ) F = -­‐ b -­‐ lnSp e-­‐ hay: ( với: bH ) (11) (12) a = x, y , z Số hạng thứ hai Fint [j ] (11) phiếm hàm tương tác biểu diễn dạng chuỗi sau ∞ r r r r r r − Fint [ϕ ] = ∑ β 1/2 J 1/2 k1 β 1/2 J 1/2 km ϕ z ( q1 ) ϕ z ( qm ) M z z ( q1, , qm ) ∑ r r m = m ! q , , q ( ) ( ) m (13) r r ˆ z ( qr ) S z ( qr ) với: M z z ( q1, , qm ) = TS m ir (14) , ir biểu thị trung bình tối giản tốn tử spin thành phần theo tập hợp thống kê cân khơng tương tác Các giá trị trung bình rút gọn có dạng sau (xem [6]) r ⎛ ⎞ 1−n /2 r r r z ( n −1) M zν1 ν q , , q = δ ( ω ) N δ k + + k ( yv1 ), ( ) n δ ν1 ν2 δ ν2 ν3 δ νn −1 νn b ⎜ ⎟ ∏ n n n ⎝ n ⎠ (15) ( ) với b ( y ) b( m) ( y ) hàm Brillouin đạo hàm cấp m 1 y b ( y ) = ( S + )cth( S + ) y -­‐ cth 2 2 (16) Tiếp theo sử dụng phép gần Gaussian, lúc phiếm hàm Fint [ϕ ] có dạng đơn giản sau r 1/2 r r r r z r 1/2 z -­‐ Fint [j ]= b J ( q ) J ( q ) d ( w ) d ( w ) d ( k + k ) b'( y ) j ( q  2 )j ( q ) (17) 2! qr ,qr Do 62 VÕ QUANG NHẬT cs ÏƠ r z r ¸Ơ Ơ Ơ z F = F0 -­‐ ln Ú(dj ) exp Ì -­‐  j ( q)j (-­‐ q)˝ r Ô Ô b q Ơ Ơ Ơ Ĩ ˛Ơ r r r r ¥ exp{  b Jˆ 1/2 ( q1 )Jˆ 1/2 ( q )d( w1 )d( w2 )d( k + k ) b'( y ν1 )j 2! qr ,qr r r (18) z z ν '1 ( q1 )j ν '2 ( q )}, với F0 tính theo cơng thức (12) Tính tốn tích phân phiếm hàm biểu diễn (18), chúng tơi nhận biểu diễn cho lượng tự chuỗi spin chiều r N sh( S + / 2) y ˆ A( ˆ k ) (19) F = -­‐ ln + ln det 1 r y b b k sh r ˆ k ) ma trận vuông cấp n Với A( r r r Êb b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) Á 11 12 13 Á r r r Á Á b b '( y2 ) J 21 ( k ) b b '( y2 ) J 22 ( k ) b b '( y2 ) J 23 ( k ) Á r Á r r r ˆ k)= Á Á A( b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) Á 31 32 33 Á Á Á Á Á r r r Á Á b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k ) b b '( y ) J ( k Ë n n1 n n2 n n3 ) r với thành phần ma trận Jˆ (k ) có dạng sau r r ⎧ J (k ), α = α ' = z Jαα ' (k ) = ⎨ ⎩0, α = x, y; α ' = x, y r b b '( y1 ) J1n ( k ) ˆ˜˜ r ˜˜ b b '( y2 ) J 2n ( k ) ˜˜˜ r ˜˜ b b '( y3 ) J 3n ( k ) ˜˜ (20) ˜˜ ˜˜ r ˜˜˜ b b '( y n ) J nn ( k ) ¯ˉ˜ (21) Nội nhiệt dung riêng hệ xác định từ lượng tự (19) ∂( β F ) ∂U (22) U= , C= ∂β ∂T Trong gần trường trung bình (mean field - MF) tích tốn tử spin thay ur tích tốn tử spin S j giá trị trung bình tốn tử spin lân cận ur ur S j = S (hệ đồng nhất) Giả sử tồn tương tác lân cận gần nhất, với Zn số lân cận gần nhất, Jij = J giống cho tất lân cận, lúc ta có mMF ª với: ( Sz (23) = b( yMF ) yMF = β g µ hext + J ( ) S z ) (24) MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 63 TÍNH TỐN SỐ VÀ THẢO LUẬN Để tính tốn số, chúng tơi sử dụng gần trao đổi lân cận gần (n.n), có ur r ur ur tích phân trao đổi n.n J (D ) , ( D = R j -­‐ R j ¢ véctơ mạng spin n.n chuỗi) khác Thành phần Fourier tích phân trao đổi có dạng sau r (25) J (k ) = J cos(k z a) Ma trận (20) trở thành r Êb b '( y ) J (k ) 0 Á Á r Á Á b b '( y ) J ( k ) Á Á r r Á ˆ A(k ) = Á 0 b b '( y ) J ( k ) Á Á Á Á Á Á Á Á 0 Ë ˆ˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜ r ˜˜˜ b b '( y ) J ( k )¯ˉ˜ (26) b Ở τ C = TC / TCb nhiệt độ Curie tương đối TC nhiệt độ Curie mạng spin khối tương ứng; TCb = S (S + 1)Z n J 3kB , Z n số nút lân cận gần Chúng tơi tính tốn số cho điểm Curie cách giải phương trình (27) m ( τC ) = Chúng lựa chọn tham số cho tính tốn số sau: S=1, N=1000 3.1 Khi khơng có trường ngồi (hext = 0) Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ độ từ hóa cho chuỗi spin chiều, N=1000, hext=0, S=1 Hình phụ thuộc nhiệt độ độ từ hóa cho chuỗi spin chiều Từ hình thấy nhiệt độ tăng độ từ hóa giảm tương ứng triệt tiêu điểm ứng với nhiệt độ Curie Có thể giải thích triệt tiêu độ từ hóa hệ nhiệt độ Curie phụ thuộc tính chất từ vào nhiệt độ thơng qua kích thích nhiệt Trong hệ sắt từ, 0K giả sử tất spin tinh thể vật 64 VÕ QUANG NHẬT cs liệu sắt từ định hướng song song Tuy nhiên, nhiệt độ tăng lên thăng giáng nhiệt làm cho spin lệch khỏi vị trí cân truyền dao động tới spin nguyên tử lân cận thông qua tương tác trao đổi chúng, hành vi động lực học tập thể spin tinh thể Khi spin bị lệch khỏi vị trí cân tất nhiên độ từ hóa hệ giảm spin bị hoàn toàn trật tự sắt từ chúng lúc nhiệt độ hệ đạt đến nhiệt độ Curie Từ hình xác định nhiệt độ Curie hệ (cũng xem bảng 1) Bảng 2.1 Nhiệt độ Curie TC(K) hệ 1D (1 chiều), 2D (2 chiều) 3D (khối) tính cho sắt (Fe) Hệ 1D 2D (màng mỏng với bề dày khác nhau) lớp nguyên tử lớp nguyên tử lớp nguyên tử 3D (Khối) Nhiệt độ Curie (TC(K)) 203,39 281,61 709,24 785,25 1043,00 Tài liệu tham khảo [cơng trình này] [2] [7] Bảng nhiệt độ Curie hệ 1D, 2D 3D Từ bảng thấy số chiều giảm nhiệt độ Curie giảm tương ứng Theo lý thuyết trường trung bình, nhiệt độ Curie phụ thuộc vào số lân cận gần Zn, mà số chiều hệ giảm kéo theo Zn giảm, kết hoàn toàn phù hợp với lý thuyết trường trung bình lý thuyết khác [3], [5] Hình Nội chuỗi spin chiều hàm nhiệt độ (ở U tính theo đơn vị J - số tích phân trao đổi), với N=1000, S=1, hext=0 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng chuỗi spin (ở C tính theo đơn vị kB, số Boltzmann), với N=1000, S=1, hext=0 Hình phụ thuộc nhiệt độ nội hệ Khi nhiệt độ tăng, spin dao động nhanh dẫn đến làm tăng nội hệ Sự phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng hệ hình Nhiệt dung riêng hệ tăng theo tăng MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 65 nhiệt độ đạt đến giá trị cực đại điểm Curie, điều hoàn toàn phù hợp với lý thuyết chuyển pha loại hai cơng trình nghiên cứu trước [8], [9], [10] 3.2 Khi có trường ngồi ( hext ≠ ) Hình phụ thuộc vào trường ngồi độ từ hóa hệ Hình Sự phụ thuộc trường ngồi độ từ hóa chuỗi spin, N=1000, T TCb = 0, 15 S=1 Hình Sự phụ thuộc trường ngồi nhiệt dung riêng chuỗi spin, N=1000, T TCb = 0, 15 S=1 Từ hình 5, ta thấy độ từ hóa tăng trường ngồi tăng đạt đến giá trị bão hịa g µhext ≈ Có thể giải thích tượng sau: có trường ngồi, spin định hướng theo hướng trường ngồi, trật tự spin thiết lập, dẫn đến độ từ hóa hệ tăng tương ứng, trường ngồi tăng đến giá trị (hext)bão hịa tất spin hệ xếp song song với song song với hướng trường ngoài, lúc trật tự spin ổn định hồn tồn, độ từ hóa đạt giá trị bão hịa (tiếp tục tăng trường ngồi độ từ hóa giữ nguyên không đổi).Xu hướng ngược lại xảy nhiệt dung riêng (xem hình 6) Nhiệt dung riêng giảm trường tăng đạt đến giá trị bão hịa g µhext ≈ Như vậy, nhiệt dung riêng trật tự spin hệ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, kết hoàn toàn phù hợp với lý thuyết chuyển pha loại hai [10] KẾT LUẬN Phương pháp tích phân phiếm hàm áp dụng cho hệ spin chiều với mơ hình Heisenberg đưa biểu thức lượng tự d, độ từ hóa, nhiệt độ Curie nhiệt dung riêng hệ.Các kết nhiệt độ Curie hệ nhỏ hệ chiều hệ khối Đồng thời, qua đường cong nhiệt dung riêng xác định TC cách xác theo lý thuyết chuyển pha loại hai Các kết nhận phù hợp với kết lý thuyết trước [2], [3], [5], [7], [8], [9], [10] chứng tỏ mức độ xác cao phương pháp tích phân phiếm hàm với mơ 66 VÕ QUANG NHẬT cs hình Heisenberg Bên cạnh đó, kết phụ thuộc từ trường độ từ hóa nhiệt độ Curie đưa ra, kết cho thấy mối liên hệ chặt chẽ độ từ hóa, nhiệt dung riêng trật tự spin hệ Mơ hình cịn phát triển cao cho trường hợp khác như: số tương tác trao đổi nút khác nhau, tính tốn thăng giáng spin để nâng cao độ xác kết quả, mở rộng cho tốn với mơ hình Ising, mơ hình XY TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Li Jialiang, Lei Shuguo (2008) Physics Letters A, 372, pp 4086-4091 Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao (2013) Physica B, 426, pp/ 144–149 Chuang-Chuang Song, Yuan Chen, Ming-WeiLiu (2010) Physica B, 405, pp 439– 445 Kleinert, Hagen (2004)., “Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets”, 4th edition, World Scientific (Singapore) Li Jialiang, Lei Shuguo (2008) Physics Letters A, 372, pp 4086–4091 Vakarchuk I.A and Rudavskii Yu.K (1981) Theoretical and Mathematical Physics, 49, pp.1002 (translated from Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika (1981), Vol 49, No 2, pp 234-247) Charles Kittel (1953) “Introduction to solid state physics”, John Wiley & Sons, Inc, New York, pp 16-17 H.C Fogedby, N Elstner and H.J Mikeska (1988) Journal De Physique, C8, pp 1593 Khusan T Igamberdiev, Shavkat U Yuldashev and Tae Won Kang (2009) Journal of the Korean Physical Society, 55, pp 934-937 Vũ Đình Cự (2001) Lý thuyết chuyển pha loại hai tượng tới hạn, NXB Bưu điện, Hà Nội VÕ QUANG NHẬT, ĐT: 0973 227 385, Email: voquangnhatsp@gmail.com LÊ THỊ NGỌC THANH, ĐT: 0120 276 1107, Email: lethingocthanh.spvl@gmail.com SV lớp lý 4B, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế NGUYỄN THỊ THU HẰNG, ĐT: 0168 550 4634, Email: thuhangnguyenthi93@gmail.com SV lớp lý 3C, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế VÕ CÔNG HƯỚNG, ĐT: 0167 509 1389, Email: pettu.conghuong@gmail.com SV lớp lý 4A, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế NGÔ THỊ THUẬN, ĐT: 0126 665 5577, ray.ntt89@gmail.com SV lớp lý 3A, Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế ... phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng hệ hình Nhiệt dung riêng hệ tăng theo tăng MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 65 nhiệt độ đạt đến giá trị cực đại điểm Curie, điều hoàn toàn phù hợp với lý... ( Sz (23) = b( yMF ) yMF = β g µ hext + J ( ) S z ) (24) MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 63 TÍNH TỐN SỐ VÀ THẢO LUẬN Để tính tốn số, chúng tơi sử dụng gần trao đổi lân cận gần (n.n), có... phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng chuỗi spin (ở C tính theo đơn vị kB, số Boltzmann), với N=1000, S=1, hext=0 Hình phụ thuộc nhiệt độ nội hệ Khi nhiệt độ tăng, spin dao động nhanh dẫn đến làm