Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết Nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov trình bày việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm do Popov-Fedotov đề xuất để nghiên cứu phổ magnon trong mô hình Heisenberg lượng tử trên mạng Bravais.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIÊN CỨU PHỔ MAGNON TRONG MƠ HÌNH HEISENBERG LƯỢNG TỬ TRÊN MẠNG BRAVAIS BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM POPOV-FEDOTOV Phạm Thị Thanh Nga Trường Đại học Thủy lợi, email: nga_ptt@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Kích thích (magnon) hệ từ định xứ mơ tả mơ hình Heisenberg lượng tử từ lâu nhà vật lý nghiên cứu nhiều lý thuyết lẫn thực nghiệm kích thích có vai trị vơ quan trọng định đặc trưng vật lý hệ từ vectơ từ hoá, độ từ thẩm, nhiệt độ chuyển pha [1] Phổ lượng magnon thu từ gần bậc hai lý thuyết nhiễu loạn Tuy vậy, tính khơng tắc toán tử spin nên kỹ thuật nhiễu loạn truyền thống lý thuyết trường lượng tử dựa định lý Wick lại áp dụng hệ spin Nhiều phương pháp lý thuyết khác phát triển [2] Tuy nhiên phương pháp gặp phải khó khăn chung tính tốn phải thực kiện ln phải thoả mãn ràng buộc số spin nút phải luôn [2] Để thoả mãn điều kiện thông thường người ta sử dụng phương pháp tham số Lagrange nút tinh thể Bởi số nút tinh thể N ~ 1020-24 nên toán với N tham số Lagrange thực tế giải Thông thường người ta làm gần cách thay ràng buộc định xứ ràng buộc tổng thể, tức mật độ spin lấy trung bình theo tồn nút một, cần tham số Lagrange thay N tham số [1, 2] Trong cơng trình này, chúng tơi sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov đề xuất [3] để nghiên cứu phổ magnon mơ hình Heisenberg lượng tử mạng Bravais Ưu điểm phương pháp Popov- Fedotov điều kiện ràng buộc định xứ spin nút thoả mãn xác Ngồi ra, kết hợp với phương pháp tham số hố Luttinger-Tisza, thu biểu thức tổng quát cho phổ magnon cho hệ momen từ định xứ tất cấu trúc mạng Bravais cách thống PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ta xuất phát từ Hamiltonian Heisenberg mô tả hệ mô men từ định xứ: r r H = å J ij Si S j (1) ij đó: số i, j ký hiệu nút mạng tinh thể tương tác trao đổi ký hiệu Jij Các vectơ spin Si toán tử thoả mãn giao hốn tử mơmen góc Các tính tốn thực tương tự làm cơng trình [4, 5], áp dụng phương pháp sau: 2.1 Phương pháp Luttinger-Tisza xác định trạng thái cổ điển thông qua véc tơ trật tự từ Q [6] Ở trạng thái cổ điển vectơ spin đồng phẳng, đặc trưng tham số vectơ trật tự từ Q tinh thể có cấu trúc mạng Bravais: r rr rr Si = S écos Qri nˆ1 + sin Qri nˆ2 ù ë û ( ) ( ) (2) với nˆ1 , nˆ2 hai vectơ đơn vị trực giao không gian spin, ( nˆl nˆm ) = lm , ( l , m = 1, ) Năng lượng trạng thái cổ điển trở thành: r rr NS r cos Q cl = J Q = NS å J (3) i i r i 255 ( ) ( ) Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 r i vectơ lân cận nút i Vectơ trật tự từ Q tìm từ điều kiện cực tiểu hoá lượng (3) với điều kiện ràng buộc nút, độ dài vectơ spin phải S: êSi ê= (i = 1,…, N) (4) 2.2 Hệ tọa độ định xứ Chuyển từ hệ toạ độ phịng thí nghiệm sang hệ toạ độ định xứ cho trục lượng tử Oz trùng với hướng spin cổ điển r r H = å J ij Si S j = - å J ij Si S j ij ij (5) với thành phần khác khơng tương tác trao đổi có dạng: rr J ijxx = J ijzz = - J ij cos(Q i ) X ij Jijyy = Yij (6) , đó, ký hiệu Xịj, Yij, Wij đưa vào để tiện tính tốn 2.3 Phương pháp tích phân phiếm hàm với ràng buộc xác spin nút [3] Biểu diễn toán tử spin qua toán tử sinh huỷ fermion fi+ , fi+ : Sil = fi+ ( l ) fi , å ma trận Pauli, , = , , số spin Điều kiện ràng buộc spin nút ni = tính xác i Nˆ cách đưa vào toán tử chiếu Pˆ = N e , i với Nˆ = å fi f i toán tử số hạt, tương + i đương với việc đưa vào Hamiltonian ban đầu hóa học ảo: = i Các bước tiếp 2 Green Matsubara trường phụ ma trận nghịch đảo thừa số số hạng bậc hai theo trường phụ biểu thức tổng thống kê [7] KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Hàm Green Matsubara Tổng thống kê hệ spin biểu diễn qua tích phân phiếm hàm theo trường phụ: (7) (0) (2) + Seff đó: Seff = Seff Số hạng bậc khơng có dạng: Seff(0) = zz i0 J -1 j0 + å ln 2cosh i0 å ij i ij ( ) (8) (9) Nguyên lý tác dụng tối thiểu dẫn tới số hạng bậc không, đồng thời cho mối liên hệ độ từ hoá nút mjo trường phụ jo gần trường trung bình l m i0 = - å m j J zzji (10) với m = th 2 j (11) l = - J (Q) (12), J(q) ảnh Fourier Jijzz Số hạng bậc hai theo thăng giáng có dạng: Seff(2) = é -1 å J ij ëê ( ) ij + K 2ij ()ùûú i ( -) j ( )(13) thành phần khác không trong hệ sở cầu , = (+,-,z) ma trận Kij là: m0 -+ K 2+i ( ) = ( K 2i ( )) = i - i , K 2zzi ( ) = - ( - 4m02 ) ,0 (14) Hàm Green Matsubara thăng giáng trường có dạng: r r r G(q,) -( -q,-)(q,) (15) r = ( D-1(q,)) là: viết tổng thống kê Z dạng tích phân phiếm hàm; sau thực biến đổi Hubbard-Stratonovich đưa vào trường phụ boson; tính nhiễu loạn theo trường phụ r D -1( q, ) nghịch đảo ma trận 2.4 Tìm lượng kích thích từ tổng thống kê Phổ magnon suy từ cực ảnh Fourier hàm Green trường phụ Hàm ảnh Fourier Kij hệ sở cầu r r D( q, ) = I + J( q ) Kij ( ) (16) Trong (16) r I ma trận đơn vị 33, cịn J( q ) ảnh Fourier ma trận tương tác trao đổi, K 2 ( ) 256 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Biết hàm Green hạt ta tìm lượng kích thích [7] 3.2 Cơng thức tổng quát cho phổ magnon r Ma trận D ( q, ) có dạng: r D(q,) = r r r r r -W(q)K2zz 1+( X(q) +Y(q))K2-+ ( X(q) -Y(q))K2+ r r -+ r r r 1+( X(q) +Y(q))K2+- -W(q)K2ZZ ( X(q) -Y(q))K2 r r r W(q)K2-+ W(q)K2+1+ X(q)K2zz (17), X(q), Y(q), W(q) ảnh Fourier thành phần tương tác trao đổi (6) Từ r (17) (14) suy ( D -1( q, )) phụ thuộc tần số = +, = - = +, = , tức có sóng ngang, ứng với thăng giáng spin vng góc với hướng trục lượng tử oz- magnon Năng lượng magnon tìm từ det| |=0 (18) sau thực phép quay Wick Từ (18) ta thu biểu thức tổng quát cho r r lượng magnon: E( q ) = lm0( q ) (20) r r X( q ) Y( q ) r )( ) với ( q ) = ( (21) l l Các đại lượng m0 l cho (11) (12) Phổ magnon (20)-(21) áp dụng cho mạng Bravais với tương tác trao đổi bất kỳ, kể cho hệ từ vấp hình học vấp tương tác KẾT LUẬN Nghiên cứu phổ magnon hình thức luận tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov kết hợp với phương pháp tham số hoá trạng thái Luttinger-Tisza cho ta kết sau: Phổ lượng magnon biểu diễn đơn giản cho cấu trúc mạng Bravais với tương tác trao đổi công thức tổng quát, phụ thuộc vào vectơ trật tự từ Q ảnh Fourier hệ số tương tác Từ công thức (20) (21) ta thu lại kết tác giả khác cho trường hợp cụ thể phản sắt từ mạng tam giác, trật tự từ khơng đồng tuyến mạng hình vng với tương tác cạnh tranh [1,2], chọn m0 = 1/2 thay lấy từ phương trình (11) Vì m0 phụ thuộc nhiệt độ theo (11) nên phổ magnon ta thu phụ thuộc nhiệt độ Đây kết phù hợp với suy đoán vật lý Thực vậy, magnon thăng giáng mômen từ quanh trạng thái trật tự từ nên khơng thể tồn trạng thái trật tự từ bị phá vỡ nhiệt độ lớn nhiệt độ chuyển pha, tức (q) = T > Tc, mà Tc lại xác định từ điều kiện m0 = (22) Từ phương trình (11) ta suy m0 ln ln nhỏ ½ nên lượng magnon thu báo cáo nhỏ kết thu phương pháp khác tác giả khác bỏ qua ảnh hưởng nhiệt độ Nhiệt độ chuyển pha thu từ phương trình (11) lớn gấp đôi so với tác giả khác [12] phương pháp Popov-Fedotov xử lý xác điều kiện ràng buộc định xứ phương pháp khác làm gần điều kiện ràng buộc tổng thể nên làm xuất hai trạng thái phi vật lý (chân không trạng thái lấp đầy hai fermion) không gian Hilbert spin Các trạng thái phi vật lý ứng với mômen từ không dẫn tới nhiệt độ chuyển pha giảm hai lần spin thăng giáng lên trạng thái Các kết báo cáo nghiên cứu tiếp để mở rộng cho trường hợp spin S > 1/2 cho trường hợp mạng tinh thể Bravais./ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O A Starykh, Reports on Progress in Physics 78, 052502 (2015) and references therein [2] A Auerbach, “Interacting electrons and quantum magnetism”, Springer Verlag, (1994) [3] V N Popov and S A., Fedotov, Sov Phys JETP 67, 535 (1988) [4] P.T.T.Nga and N.T Thang, Comm in Phys 22 p.33 and Erratum, Comm in Phys 22 p.383 (2012) [5] P.T.T.Nga and N.T Thang, Journal of Physics: Conf Series 865, 012014 (2017) [6] J M Luttinger and L Tisza, Phys Rev 70 954 (1946) [7] P.Coleman, “Introduction to Many-Body Physics”,CambridgeUniversityPress (2015) 257 ... đại lượng m0 l cho (11) (12) Phổ magnon (20)-(21) áp dụng cho mạng Bravais với tương tác trao đổi bất kỳ, kể cho hệ từ vấp hình học vấp tương tác KẾT LUẬN Nghiên cứu phổ magnon hình thức luận tích. .. thức luận tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov kết hợp với phương pháp tham số hoá trạng thái Luttinger-Tisza cho ta kết sau: Phổ lượng magnon biểu diễn đơn giản cho cấu trúc mạng Bravais với tương... hiệu Xịj, Yij, Wij đưa vào để tiện tính tốn 2.3 Phương pháp tích phân phiếm hàm với ràng buộc xác spin nút [3] Biểu diễn toán tử spin qua toán tử sinh huỷ fermion fi+ , fi+ : Sil = fi+ (