(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiên cứu bài toán polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 6 1.1 Khái niệm Polaron

Polaron bán kính lớn

Lớp dáng điệu đầu tiên liên quan đến chuyển động polaron lớn, xuất hiện khi độ rộng dài zj đạt giá trị lớn, với z là số tọa độ Khi độ rộng dài tăng, Hamilton được giải trong không gian vector, thông qua việc biến đổi để tập hợp các tọa độ k 1 j ik R.

Trong đó:  q là vector đơn vị phân cực hoá phonon

Tương tác electron – phonon có dạng thông thường, ngoại trừ yếu tố ma trận ( )

Yếu tố ma trận electron-phonon M(q) chỉ phụ thuộc vào q, do sự phụ thuộc vào k bị bỏ qua (D3 = 0) vì ảnh hưởng của sự nhảy biến điệu của phonon.

Tổng theo vector sóng đối với các hạt chỉ mở rộng qua vùng Brillouin, với nhiều dải được tính toán trong mô hình thực của vật rắn Khi độ rộng dải lớn, hạt sẽ giữ lại chuyển động gần đáy của dải, mà với j âm, đáy của dải xuất hiện ở k = 0 Qua việc khai triển  k xung quanh k = 0, trong tinh thể lập phương ta tìm được  k  zj(1 ( k ) / 6) 2, dẫn đến khối lượng hiệu dụng của hạt là m * với 1/ m  z j  2 / 3 Nếu liên kết Polaron M q có độ lớn, Hamilton này có thể được mô tả bởi lý thuyết liên kết yếu, và những thay đổi trong mô hình liên kết chặt phải tương ứng với sự thay đổi trong độ rộng dải Năng lượng tự trao đổi Polaron theo lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh – Schrodiger bậc nhất cũng cần được xem xét.

Các biểu thức tích phân theo vector sóng trong M q 2 thường rất phức tạp và khó tính toán Điều này chủ yếu do các mẫu số năng lượng chứa các biểu thức bất thuận lợi như k q zJ k q.

     Các kết qủa số đã thu được trong trường hợp một chiều

Polaron bán kính nhỏ

Trong trường hợp giới hạn của Hamilton Polaron nhỏ, hiệu ứng Polaron được xem là nổi bật với độ rộng dải hẹp Bức tranh vật lý này cho thấy sự tương tác giữa electron và lưới tinh thể, dẫn đến sự hình thành của các trạng thái Polaron.

Polaron là một hiện tượng liên quan đến việc định vị một hạt trên ô mạng và sự nhảy giữa các ô mạng không thường xuyên Trong đó, phần liên kết chặt chủ yếu do nhiễu loạn, trong khi phần tương tác giữa phonon và hạt lại mạnh mẽ Để giải Hamiltonian cho các hạt, ta không cần sử dụng các tọa độ tập hợp Bước đầu tiên là áp dụng biến đổi chính tắc để làm chéo hóa hai phần cuối trong Hamiltonian.

Năng lượng tự trao đổi Polaron được xác định bởi các thừa số Xj, xuất phát từ biến đổi chính tắc của các toán tử eCe sj Toán tử số hạt nj giao hoán với S và không bị ảnh hưởng bởi phép biến đổi Tuy nhiên, thành phần liên kết chặt JCj + δCj tạo ra thừa số Xj + δXj Do không thể giải chính xác thành phần đầu tiên, phép biến đổi chính tắc không thể chéo hóa Hamilton này Trạng thái riêng và các mức năng lượng của H% cũng như H được phân tích qua biểu diễn tương tác.

Những thành phần trong thừa số X  j   X j có thể kết hợp được vì chúng giao hoán Cũng giả thiết là M  * q M q j j exp[ iq R j (1 iq ) ( )( q q )] q q

Việc kết hợp hai thừa số giúp đơn giản hóa toán tử, phục vụ cho các toán tử phonon Nhiễu loạn V mô tả hiện tượng nhảy của Polaron từ ô mạng Rj tới ô mạng lân cận Rj+δ, với biên độ của quá trình này được xác định rõ ràng.

Trong quá trình dịch chuyển, các trạng thái ban đầu và cuối cùng của phonon được mô tả bởi i và f Thừa số X j    X j cho phép sự hình thành hoặc huỷ diệt phonon, dẫn đến sự khác biệt về số lượng phonon giữa các trạng thái i và f.

Hiệu ứng Polaron dẫn đến việc giảm độ rộng dải với một hệ số exp(-S τ), trong khi khối lượng hiệu dụng tăng lên tương ứng Trong mô hình Holstein, sự nhảy chéo đóng góp vào phần ảo của hệ thống.

Dáng điệu Polaron lớn xuất hiện khi các chuyển dịch chéo chi phối

Dáng điệu Polaron nhỏ, với nhảy khuyếch tán, xuất hiện khi các dịch chuyển không chéo chi phối (xem [3,9]).

Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể

Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể có thể biểu diễn dưới dạng:

Trong đó H 0 : Hamiltonian tự do, nó bao gồm động năng của electron và năng lượng của các phonon, còn H int = U( r 

Hamiltonian tương tác giữa electron và phonon trong mạng tinh thể được mô tả như tập hợp các dao động tử điều hòa Trong trường hợp này, Hamiltonian tự do H₀ có thể được biểu diễn bằng một phương trình cụ thể.

Trong đó, , là các toán tử sinh và toán tử hủy lượng tử (các phonon) cùng với véctơ sóng ⃗ , sao cho:

[ , ] = (1.18) là tần số dao động mạng là khối lượng hiệu dụng của electron r là toán tử tọa độ của electron là toán tử Laplace

Trong biểu thức Hamiltonian tự do H₀, hạng đầu tiên đại diện cho động năng của electron, trong khi hạng thứ hai phản ánh năng lượng của các lượng tử trường ngoài, cụ thể là các phonon trong mạng tinh thể.

Thành phần Hamiltonian tương tác giữa electron vói trường ngoài U( r 

) – trường của mạng tinh thể trong công thức (1.2) thỏa mãn phương trình cổ điển: r   r  (1.19)

) là mật độ điện tích phụ thuộc vào sự phân cực ⃗ theo phương trình:

Phân tích véctơ phân cực ⃗ theo các sóng phẳng ta có:

Trong đó là toán tử sinh phonon, α ’ là hằng số thực liên quan đến điện mối thẩm thấu của môi trường

Mật độ điện tích sẽ được biểu diễn dưới dạng:

Một cách gần đúng có thể coi chỉ có mode dao động với véc tơ đơn vị phân cực dọc theo ⃗ cho đóng góp đáng kể vào ( r 

), bỏ qua các mode dao động khác Khi đó ta có:

Thay biểu thức (1.21) vào (1.19) ta được Hamiltonian tương tác của hệ electron – phonon :

  (1.22) ở đây α là hằng số không thứ nguyên

Chuyển đến giới hạn thể tích vô cùng lớn và thay thế việc lấy tích phân bằng phép lấy tổng theo công thức sau:

Cuối cùng ta nhận được:

Trong đó: Ak là các thành phần Fourier của mật độ dòng, g là hằng số liên kết

Vậy bài toán dẫn đến việc xác định tính chất của hệ với Hamiltonian

Việc xác định năng lượng trong trường hợp liên kết yếu (g1) lại phức tạp hơn nhiều Một lập luận có thể được sử dụng làm cơ sở cho phương pháp lặp trong trường hợp này, cho phép bỏ qua động năng của các dao động tử trong trường tự do.

Vai trò của trường này tương đương với thế năng cổ điển hiệu dụng Thế năng này có giá trị đáng kể, và các bổ chính liên quan đến nó thuộc về các trường có bản chất lượng tử Chúng ta có thể tính toán các bổ chính này thông qua lý thuyết nhiễu loạn.

Sau đây ta sẽ vận dụng biểu thức Hamiltonian ở (1.26) để giải quyết bài toán POLARON

1 Các tọa độ và xung lượng của trường lượng tử này

Nếu bỏ thành phần cuối trong ngoặc của số hạng thứ ba, từ phương trình chuyển động Heisenberg ta có

Và trong gần đúng bậc nhất

Thành phần cổ điển lớn nhất của các toán tử được xác định từ điều kiện tối thiểu của năng lượng, như đã được N.N Bogoliubov đề cập trong các công trình của ông về vấn đề này.

Vấn đề Polaron không chỉ thú vị mà còn dẫn đến những bài toán vật lý quan trọng Phương pháp giải bài toán Polaron có thể áp dụng cho nhiều bài toán tương tự Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ xem xét bài toán Polaron trong trường hợp liên kết yếu α, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường.

Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thường

Để cho hằng số liên kết yếu α ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường Theo (1.16) Hamiltonian được viết dưới dạng tổng

Toán tử nhiễu loạn bổ sung vào toán tử không nhiễu loạn H0 không phụ thuộc tường minh vào thời gian Hamiltonian của hệ thống tuân theo phương trình Schrodinger dừng.

Trong đó E ( n ) và  (n ) là giá trị năng lượng và trạng thái riêng của hệ ở trạng thái n Để thuận tiện trong mục này ta chọn hệ đơn vị   c  1

1  k ik r  r ik k e b e b      - là Hamiltonian tương tác (1.30)

Các giá trị riêng và các hàm riêng của H O nhận được từ lời giải phương trình:

Hệ các hàm riêng { } tạo thành một tập hợp đủ trực chuẩn theo /1/ Để đơn giản hóa, ta có thể viết H = H O + ε U, trong đó ε là một hằng số vô cùng bé và sẽ được đặt bằng 1 sau khi hoàn thành các phép tính.

Khai triển năng lượng của hệ dưới dạng chuỗi luỹ thừa :

E 0 (n) bao gồm động năng của electron tự do và năng lượng của trường lượng tử phonon

Ta cần xác định năng lượng nhiễu loạn ΔE 0 do tương tác với các dao động mạng Năng lượng này có thể được tính toán theo công thức /1/: và ∑ | |.

Trong đó ∫ ⟨ | | ⟩ - là phần tử ma trận đối ứng của năng lượng nhiễu loạn bổ xung, | m  và | n  - là các trạng thái riêng của H 0

E o (n) là trị riêng H 0 ứng với trạng thái | n 

1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất Để đơn giản ta xét trạng thái | n  không phonon, ký hiệu 0

Ta luôn có : b k 0 0 và b k 0  0b k  0 do đó U nn  0 (1.33)

U tương tác với trạng thái sẽ làm thay đổi số phonon, dẫn đến số hạng chéo U nn = 0 Do đó, chúng ta cần chú ý đến năng lượng của electron chuyển động tự do với xung lượng ⃗ và năng lượng ⃗ Bổ sung năng lượng trong gần đúng này là điều cần thiết.

1.3.2 Tính số hạng nhiễu loạn bậc hai

Xét giản đồ bậc 2 được biểu diễn bằng giản đồ trên (H.1)

Trạng thái đầu có | n  electron với xung lượng P và không có phonon

Trong trạng thái trung gian, electron có xung lượng ⃗ và photon cũng mang xung lượng ⃗ Do đó, năng lượng E O (n) và E O (m) được mô tả bằng các biểu thức tương ứng.

E m ở đây xuất hiện số hạng “1” trong biểu thức để cho E n 0 là năng lượng phonon Trong hệ đơn vị đã được lựa chọn của chúng ta

Xét yếu tố ma trận:

(1.35) Trong đó 0 trong trang thái | n  = | , 0 P r  có nghĩa là không có phonon

Yếu tố ma trận này khác không chỉ khi trong trạng thái | m có một electron với xung lượng P r và phonon

Nếu xung lượng của phonon bằng ⃗ , thì :

 nên xung lượng P r bằng ⃗ ⃗ ) vì chúng ta giả thiết

Thừa số bổ xung 2 xuất hiện là do khi tính spin của electron, nên sẽ có hai trạng thái trung gian với xung lượng ⃗ ⃗ )

1.3.3 Năng lƣợng trạng thái cơ bản và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron

Tổng quát hóa công thức (1.36) cho trường hợp ba chiều và viết tổng dưới dạng tích phân, ta tìm đươc:

Sử dụng đồng nhất thức feynman

1 x b ax dx ab (1.38) Đặt b=k 2 và a=k 2 - 2P.k + 2 có thể viết (1.37) thành k x k

Sử dụng tích phân Feynman a a k k d

 Nếu xung lƣợng P0 thì công thức (1.40) cho

Thực hiện tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn với các số hạng cao hơn

/2/ thì hệ thức (1.41) có dạng:

Năng lượng nhiễu loạn này tương ứng với electron đứng yên( bỏ qua sự giật lùi do tương tác)

 Nếu xung lƣợng P là nhỏ khai triển hàm arcsin

P khi đó (1.40) viết dưới dạng:

Kết hợp năng lượng nhiễu loạn cùng với động năng , thì đối với tổng năng lượng ta thu được

Biểu thức ( 1.44) chỉ ra rằng do tương tác với phonon khối lượng của electron tăng

 1   6  lần Như vậy khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng:

Chúng tôi đã trình bày giải pháp cho bài toán Polaron thông qua lý thuyết nhiễu loạn Tuy nhiên, phương pháp này chỉ cho kết quả rời rạc và việc tính toán các số hạng bổ chính bậc cao trở nên phức tạp.

Phương pháp tích phân phiếm hàm cho phép tìm biểu thức tổng quát của hàm Green, thuận tiện vượt khỏi khuôn mẫu của lý thuyết nhiễu loạn.

Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất Khối lượng hiệu dụng của Polaron 30

Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không

Trong chương 1, ta đã thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm (2.28):

Chúng ta tiến hành nghiên cứu các quá trình khi trạng thái đầu và trạng thái cuối không chứa các lượng tử t Do đó, cần xác định giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không.

Thực hiện phép thay thế biến số vào biểu thức (3.1)

Biểu diễn hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm giúp thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green, nhưng việc thực hiện các tích phân này gặp nhiều khó khăn Để tính toán các tích phân trong biểu thức (3.3), chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đơn giản nhất liên quan đến phép xấp xỉ quỹ đạo thẳng.

A Đặt 0trong biểu thức tích phân phiếm hàm (3.3)

Phép gần đúng này tương ứng với việc loại bỏ sự ”giật lùi” của hạt trong tương tác với trường Kết quả tìm được:

    k k s k kP s s i ds ds A g exp ( ) exp 1 2

 và thực hiện tích phân, ta thu được:

 , (3.5) ở đây P   n k là xác suất Poison

    k ! n k k n n n e n P k k k     , 2 ~ 2 2 k k k g A n   , (3.6) và tổng trong (3.5) được tiến hành theo tất cả số lấp đầy

Như vậy, phép xấp xỉ này đưa đến biểu thức dưới đây cho phổ năng lượng của hệ

 , (3.7) trong đó n k là các số nguyên dương

B Để tính giá trị trung bình chân không cho hàm green theo biểu thức (2.1.3), ta áp dụng gần đúng eikonal

Sử dụng công thức (2.17), tích phân trong (3.11) được thực hiện :

Khi đó, áp dụng gần đúng eikonal (3.8) và kết quả (3.12), ta nhận được biểu thức cho giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không:

Kết quả cơ bản trong gần đúng A được giữ nguyên sau khi thay thế k k k   kP k 

Do đó, trong trường hợp này ta có biểu thức cho năng lượng:

Khác với trường hợp A, trong biểu thức của tần số hiệu dụng (3.14) có thêm số hạng 2

Phép gần đúng này yêu cầu xem xét sự giật lùi của hạt khi tương tác với Trường lượng Tử, tuy nhiên, các hiệu ứng tương thích từ hai lần tương tác, cùng với bức xạ hoặc hấp thụ với các xung lượng k_i và k_j (i≠j) không được tính đến Các hiệu ứng này có thể được bổ sung hợp lý bằng cách tính các điều chỉnh cho phép gần đúng A và B.

Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron …

Sử dụng các kết quả đã tính toán, chúng ta sẽ xác định năng lượng của mức cơ bản trong mô hình Polaron Lưu ý rằng sự tồn tại của trường tuần hoàn từ mạng ion được xem xét thông qua phương pháp khối lượng hiệu dụng, với việc chuyển đổi từ me sang μ Theo công thức (1.8), ta có gA k.

 , trong đó, e là điện tích, V là thể tích của hệ,  k là tần số dao động của mạng ion, c k là các hàng số không thứ nguyên nào đó

Ta có biểu thức cho phổ năng lượng trong phép gần đúng B theo công thức (3.15):

 , với  k được xác định theo công thức (3.14):

 Đối với trạng thái cơ bản, n k = 0 nên biểu thức cho năng lượng là:

Dưới đây ta sẽ xét phương án đơn giản của Polaron mà trong đó các đại lượng k k , c

 được coi là không phụ thuộc vào k

Chuyển đến giới hạn thể tích vô cùng lớn và thay thế việc lấy tổng bằng phép lấy tích phân theo công thức sau:

Sử dụng công thức sau:

(3.18) Ở đây ta đã đổi biến k   P   1  x 

Xác định các thông số không thứ nguyên (trong hệ đơn vị   1)

Sử dụng các ký hiệu này và sử dụng tích phân Feynman

∫ √ Biểu thức cho năng lượng trạng thái cơ bản của hệ trở thành:

E   (3.20) trong đó hàm số f() được xác định bằng tích phân f()=  1       

1 x arch dx (3.21) Ở vùng  nhỏ, đại lượng f() là hàm chẵn  và được đặc trưng bằng phép khai triển: f()=1+

1 2 +  1, trạng thái của hệ có độ rộng khác không, cho thấy thời gian sống hữu hạn Hơn nữa, tỷ lệ một nửa độ rộng trạng thái và năng lượng với giá trị lớn của xung lượng có độ lớn bậc.

Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng

Để đánh giá độ chính xác của các phép gần đúng đã được đề cập, chúng ta xem xét gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng của hệ, dựa trên các hiệu ứng tương tác giữa các hạt và trường lượng tử.

Kể đến sự đóng góp của sự tương quan có thể tiến hành theo công thức gần đúng :

Trong đó số hạng thứ nhất ở vế phải tương ứng với phép gần đúng cơ bản B Giả sử

Ap dụng gần đúng eikonal(3.8):

Sử dụng biểu thức (2.17), tích phân theo v được thực hiện ,ta có

Thực hiện tích phân lần lượt theo s 1 và s 2 ta nhận được

Sử dụng kết quả (3.32) vào ta có:

Khai triển bình phương tổng và chỉ giữ lại số hạng bậc nhất ta có

Thành phần được tách ra cho đóng góp vào năng lượng trạng thái cơ bản của hệ

  (3.35) Tham số  được xác định từ phương trình

Nói chung tương ứng với một phần xung lượng toàn phần của hệ mà chúng mang trường lượng tử

Dễ dàng chứng minh: Sử dụng định nghĩa tích phân toàn phần của trường k k n

 và nhớ rằng trong phép gần đúng B số trung bình của các lượng tử n k được xác định bởi công thức n k 

Rõ ràng điều kiện áp dụng các phép gần đúng A và B ở đây là 