MỘT số TÍNH CHẤT của đồ THỊ HAI PHẦN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN tiếp Chứng minh định lý: 2 Giả sử W là cặp ghép lớn nhất và C là tập tựa nhỏ nhất... MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN tiếp Chứng minh định lý:

Trang 3

5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)

Chứng minh định lý:

2) Giả sử W là cặp ghép lớn nhất và C là tập tựa nhỏ nhất

Trang 7

Vì W là cặp ghép lớn nhất, nên (a, b) phải kề với

cạnh nào đó trong W: a  B hoặc b  h(B)

Trang 8

1) Trường hợp: a  B Suy ra: a  B1

Tồn tại đường đan (X) = < w 1 u 1 w 2 u 2 w q u q > dẫn

đỉnh a tới một đỉnh d nào đó nằm ngoài tập B.

Trang 9

trong B2 tới đỉnh d nằm ngoài B

Vậy thì: d’  B1 Suy ra mâu thuẫn

Trang 10

Vì k là số phần tử của tập đỉnh tựa nhỏ nhất nên

k  |C| = |W| Định lý được chứng minh 

Trang 11

 Ký hiệu d 0 = max { |B| - |F(B)|  B  V 1 }

Vì   V 1 và || - |F()| = 0 - 0 = 0 nên d 0 luôn là một số không âm

Định lý 5.3: Số phần tử của tập tựa bé nhất của đồ thị

hai phần G = (V 1 , V 2 , F) là |V 1 | - d 0

Trang 14

| V 1 | - d 0

Trang 15

BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp)

Giả thiết:

- Mỗi nhân viên đảm nhận được k nhiệm vụ

- Mỗi nhiệm vụ có đúng k nhân viên có thể đảm

nhận

Kết luận: Luôn có thể phân công công việc thích hợp

Trang 16

Ký hiệu: V 1 - tập nhân viên, |V 1 | = n

V 2 - tập nhiệm vụ, |V 2 | = m.

Xây dựng độ thị hai phần G = (V 1 ,V 2 , F) :

x i  F(y j )  x i đảm nhận được nhiệm vụ y j

Từ giả thiết, mỗi đỉnh kề với k cạnh, do đó số cạnh kề

với F(B)  số cạnh kề với B

- Số cạnh kề với B là k.| B |

- Số cạnh kề với F(B) là k.| F(B) |.

Trang 17

Số cạnh kề với F(B)  số cạnh kề với B nên

|B|  |F(B)| , suy ra d 0 = 0

Theo Hệ quả 5.4, lực lượng của cặp ghép lớn nhất là

|V 1 | - d 0 = |V 1 | Do đó, có thể phân công n nhân viên

đảm nhân n nhiệm vụ.

Thay đổi vai trò giữa V 1 và V 2 , suy ra lực lượng của

cặp ghép lớn nhất bằng |V 2 |, nên |V 1 | = |V 2|

Trang 18

- bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn n ;

luôn có đồ thị riêng hai phần G” = (V 1 , V 2 , E”) trong đó: | V 1 | = |V 2 | = | E”| = n và

E’’ là cặp ghép lớn nhất của G.

Trang 19

5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp)

Xây dựng đồ thị riêng hai phần G” = (V 1 , V 2 , E”):

Lấy dần vào E’’ các cạnh của G: các đỉnh trên các

cạnh này khác nhau đôi một cho đến khi bất kỳ cạnh

nào còn lại cũng kề với một cạnh trong E”.

Giả sử | E” | = k

1) Nếu k = n, định lý được chứng minh.

Trang 20

2) Nếu k < n thì |V |  2k +2.

Giả sử E” = {(a 1 , a 2 ), (a 3 , a 4 ), , (a 2k-1 , a 2k)}

Khi đó có ít nhất hai đỉnh a 2k+1 , a 2k+2 không nằm trên

cạnh nào thuộc E”.

Theo cách chọn tập E’’ thì a 2k+1 , a 2k+2 chỉ kề với các

đỉnh trên E” và kề với ít nhất n đỉnh trong E”.

Trang 21

Trong E” đánh dấu các đỉnh kề với a 2k+1 và a2k+2: ít

nhất có một đỉnh a i được đánh dấu 2 lần

Giả sử a j là đỉnh kề với a i trong E”, loại (a i , a j) ra

khỏi E” , thêm vào (a i , a 2k+1 ) và (a j , a 2k+2)

Số cạnh trong E” tăng thêm 1.

Tiếp tục như vậy, sau một số bước, | E”| = n, và ta xây dựng được đồ thị riêng hai phần G” 

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	109 KB