MỘT số TÍNH CHẤT của đồ THỊ HAI PHẦN

5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN Giả sử G = (V1, V2, F) đồ thị hai phần n đỉnh Ký hiệu: k số phần tử tập đỉnh tựa bé Định lý 5.2: 1) Số ổn định đồ thị hai phần G n-k 2) Số phần tử cặp ghép lớn G k 1/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý 1) Từ tính chất: C tập đỉnh tựa ⇔ V \ C tập ổn định trong, suy ra: C tập đỉnh tựa nhỏ ⇔ V \ C tập ổn định lớn Số ổn định = |V \ C| = |V| - |C| = n-k 2/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Giả sử W cặp ghép lớn C tập tựa nhỏ Lập ánh xạ t : W → C sau: ∀ e ∈ W, t(e) đỉnh e thuộc C t(e) tồn C tập đỉnh tựa Nếu hai đỉnh e thuộc C , ta lấy hai đỉnh 3/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: Nếu u, v ∈ W u ≠ v t(u) ≠ t(v) hai cạnh u v đỉnh chung Vậy: | W | ≤ | C | = k Chứng minh điều ngược lại: k ≤ | W | 4/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: Ký hiệu: B tập đỉnh W V1 Lập ánh xạ h : B → V2 sau: ∀ a ∈ B , ∃ b ∈ V2 : (a, b) ∈ W ta đặt h(a) = b - h(B) tập đỉnh W V2 - Nếu a, c ∈ B a ≠ c h(a) ≠ h(c) cạnh W chứa a c không kề 5/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: Một đường đồ thị G gọi đường đan có dạng < w1 u1 w2 u2 wq uq > , với w1, w2, , wq ∈ W ; u1, u2, , uq ∉ W Ký hiệu: B1 = { a ∈ B ∃ đường đan từ a đến đỉnh nằm B } Đặt B2 = B \ B1 C = B2 ∪ h(B1) Ta chứng minh rằng, C tập đỉnh tựa đồ thị G 6/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: Phản chứng: Giả sử tập C tập đỉnh tựa đồ thị hai phần G Khi đó, có cạnh (a, b) không tựa vào tập C: a ∉ B2 b ∉ h(B1) Vì W cặp ghép lớn nhất, nên (a, b) phải kề với cạnh W: a ∈ B b ∈ h(B) 7/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 1) Trường hợp: a ∈ B Suy ra: a ∈ B1 Tồn đường đan (X) = < w1 u1 w2 u2 wq uq > dẫn đỉnh a tới đỉnh d nằm tập B - Nếu b ∉ h(B) (a, b) ∉ W Ta loại w1 , w2 , , wq khỏi W thay cạnh (a, b) , u1 , u2 , , uq vào W Khi đó, W cặp ghép số cạnh tăng thêm 1, trái với giả thiết W cặp ghép lớn 8/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: - Nếu b ∈ h(B) b ∈ h(B2) Ký hiệu đỉnh d’ = h-1(b) ∈ B2 Đường đan: < (d’, b) + (b, a) + (X) > dẫn đỉnh d’ B2 tới đỉnh d nằm B Vậy thì: d’ ∈ B1 Suy mâu thuẫn 9/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Trường hợp a ∉ B: Suy b ∈ h(B2) (a, b) không tựa vào tập C Ký hiệu: d’ = h-1(b) ∈ B2 Đường đan < (d’,b) + (b,a) > dẫn đỉnh d’ tới đỉnh a tập B Vậy d ∈ B1 Mâu thuẫn Vậy C tập tựa đồ thị |C| = |W| Vì k số phần tử tập đỉnh tựa nhỏ nên k ≤ |C| = |W| Định lý chứng minh 10/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Ký hiệu d0 = max { |B| - |F(B)|  B ⊆ V1 } Vì ∅ ⊂ V1 |∅| - |F(∅)| = - = nên d0 số không âm  Định lý 5.3: Số phần tử tập tựa bé đồ thị hai phần G = (V1, V2, F) |V1| - d0 11/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý: Giả sử C tập tựa Tách C = C1 ∪ C2 , C1 ⊆ V1 C2 ⊆ V2 Ký hiệu: C1’ = V1 \ C1 Khi đó, F(C1’) ⊆ C2 , ngược lại thì: - a ∈ C1’ mà đỉnh kề y ∉ C - cạnh (a, y) không tựa vào tập C ⇒ mâu thuẫn 12/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: C1 ∪ F(C1’) tập tựa C1 ∪ F(C1’) ⊆ C Do đó, với tập tựa thay tập tựa dạng C1 ∪ F(C1’) với số phần tử không lớn Vậy, số phần tử tập tựa bé là: { | C1 ∪ F(C1’) |  C1 ⊆ V1 } = { | C1 | + | F(C1’) |  C1 ⊆ V1} = | V1| - max { | C1’| - | F(C1’) |  C1’ ⊆ V1} = | V1 | - d0 13/37 SỐ HỤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN Từ Định lý 5.3, ta gọi d0 số hụt đồ thị  Hệ 5.4: a) Số ổn định đồ thị hai phần G | V2| + d0 b) Số phần tử cặp ghép lớn G | V1| - d0 14/37 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp)  Giả thiết: - Mỗi nhân viên đảm nhận k nhiệm vụ - Mỗi nhiệm vụ có k nhân viên đảm nhận  Kết luận: Luôn phân công công việc thích hợp 15/37 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp) Ký hiệu: V1 - tập nhân viên, |V1| = n V2 - tập nhiệm vụ, |V2| = m Xây dựng độ thị hai phần G = (V1,V2, F) : xi ∈ F(yj) ⇔ xi đảm nhận nhiệm vụ yj Từ giả thiết, đỉnh kề với k cạnh, số cạnh kề với F(B) ≥ số cạnh kề với B - Số cạnh kề với B k.| B | - Số cạnh kề với F(B) k.| F(B) | 16/37 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp) Số cạnh kề với F(B) ≥ số cạnh kề với B nên |B| ≤ |F(B)| , suy d0 = Theo Hệ 5.4, lực lượng cặp ghép lớn |V1| - d0 = |V1| Do đó, phân công n nhân viên đảm nhân n nhiệm vụ Thay đổi vai trò V1 V2 , suy lực lượng cặp ghép lớn |V2|, nên |V1| = |V2| Bài toán giải 17/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN Từ đồ thị cho có trích đồ thị riêng hai phần hay không ?  Định lý 5.5: Đồ thị vô hướng G = (V, E) với: - |V| = 2n , - bậc đỉnh không nhỏ n ; có đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”) đó: | V1 | = |V2 | = | E”| = n E’’ cặp ghép lớn G 18/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý: Xây dựng đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”): Lấy dần vào E’’ cạnh G: đỉnh cạnh khác đôi cạnh lại kề với cạnh E” Giả sử | E” | = k 1) Nếu k = n, định lý chứng minh 19/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Nếu k < n |V | ≥ 2k +2 Giả sử E” = {(a1, a2), (a3, a4), , (a2k-1, a2k)} Khi có hai đỉnh a2k+1, a2k+2 không nằm cạnh thuộc E” Theo cách chọn tập E’’ a2k+1, a2k+2 kề với đỉnh E” kề với n đỉnh E” 20/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Trong E” đánh dấu đỉnh kề với a2k+1 a2k+2: có đỉnh đánh dấu lần Giả sử aj đỉnh kề với E”, loại (ai, aj) khỏi E” , thêm vào (ai, a2k+1) (aj, a 2k+2) Số cạnh E” tăng thêm Tiếp tục vậy, sau số bước, | E”| = n, ta xây dựng đồ thị riêng hai phần G” 21/37 VÍ DỤ 5.7 Đồ thị đồ thị riêng hai phần: 6 22/37 [...]...5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Ký hiệu d0 = max { |B| - |F(B)|  B ⊆ V1 } Vì ∅ ⊂ V1 và |∅| - |F(∅)| = 0 - 0 = 0 nên d0 luôn là một số không âm  Định lý 5.3: Số phần tử của tập tựa bé nhất của đồ thị hai phần G = (V1, V2, F) là |V1| - d0 11/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý: Giả sử C là một tập tựa bất kỳ Tách C = C1... lượng của cặp ghép lớn nhất bằng |V2|, nên |V1| = |V2| Bài toán luôn giải được 17/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN Từ một đồ thị đã cho có trích được một đồ thị riêng hai phần hay không ?  Định lý 5.5: Đồ thị vô hướng G = (V, E) với: - |V| = 2n , - bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn n ; luôn có đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”) trong đó: | V1 | = |V2 | = | E”| = n và E’’ là cặp ghép lớn nhất của G 18/37... V1 } = min { | C1 | + | F(C1’) |  C1 ⊆ V1} = | V1| - max { | C1’| - | F(C1’) |  C1’ ⊆ V1} = | V1 | - d0 13/37 SỐ HỤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN Từ Định lý 5.3, ta gọi d0 là số hụt của đồ thị  Hệ quả 5.4: a) Số ổn định trong của đồ thị hai phần G là | V2| + d0 b) Số phần tử của cặp ghép lớn nhất của G là | V1| - d0 14/37 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp)  Giả thiết: - Mỗi nhân viên đảm nhận được k nhiệm... F(C1’) ⊆ C2 , vì nếu ngược lại thì: - a ∈ C1’ mà đỉnh kề của nó y ∉ C - cạnh (a, y) sẽ không tựa vào tập C ⇒ mâu thuẫn 12/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: C1 ∪ F(C1’) là một tập tựa và C1 ∪ F(C1’) ⊆ C Do đó, với mỗi tập tựa có thể thay bằng một tập tựa dạng C1 ∪ F(C1’) với số phần tử không lớn hơn Vậy, số phần tử của tập tựa bé nhất là: min { | C1 ∪ F(C1’) |  C1 ⊆... là cặp ghép lớn nhất của G 18/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định lý: Xây dựng đồ thị riêng hai phần G” = (V1, V2, E”): Lấy dần vào E’’ các cạnh của G: các đỉnh trên các cạnh này khác nhau đôi một cho đến khi bất kỳ cạnh nào còn lại cũng kề với một cạnh trong E” Giả sử | E” | = k 1) Nếu k = n, định lý được chứng minh 19/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Nếu... aj là đỉnh kề với ai trong E”, loại (ai, aj) ra khỏi E” , thêm vào (ai, a2k+1) và (aj, a 2k+2) Số cạnh trong E” tăng thêm 1 Tiếp tục như vậy, sau một số bước, | E”| = n, và ta xây dựng được đồ thị riêng hai phần G” 21/37 VÍ DỤ 5.7 Đồ thị và đồ thị riêng hai phần: 2 1 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 22/37 ... |V2| = m Xây dựng độ thị hai phần G = (V1,V2, F) : xi ∈ F(yj) ⇔ xi đảm nhận được nhiệm vụ yj Từ giả thiết, mỗi đỉnh kề với k cạnh, do đó số cạnh kề với F(B) ≥ số cạnh kề với B - Số cạnh kề với B là k.| B | - Số cạnh kề với F(B) là k.| F(B) | 16/37 BÀI TOÁN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ (tiếp) Số cạnh kề với F(B) ≥ số cạnh kề với B nên |B| ≤ |F(B)| , suy ra d0 = 0 Theo Hệ quả 5.4, lực lượng của cặp ghép lớn nhất... nhất hai đỉnh a2k+1, a2k+2 không nằm trên cạnh nào thuộc E” Theo cách chọn tập E’’ thì a2k+1, a2k+2 chỉ kề với các đỉnh trên E” và kề với ít nhất n đỉnh trong E” 20/37 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN (tiếp) Trong E” đánh dấu các đỉnh kề với a2k+1 và a2k+2: ít nhất có một đỉnh ai được đánh dấu 2 lần Giả sử aj là đỉnh kề với ai trong E”, loại (ai, aj) ra khỏi E” , thêm vào (ai, a2k+1) và (aj, a 2k+2) Số cạnh ... V1 |∅| - |F(∅)| = - = nên d0 số không âm  Định lý 5.3: Số phần tử tập tựa bé đồ thị hai phần G = (V1, V2, F) |V1| - d0 11/37 5.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN (tiếp)  Chứng minh định...  C1’ ⊆ V1} = | V1 | - d0 13/37 SỐ HỤT CỦA ĐỒ THỊ HAI PHẦN Từ Định lý 5.3, ta gọi d0 số hụt đồ thị  Hệ 5.4: a) Số ổn định đồ thị hai phần G | V2| + d0 b) Số phần tử cặp ghép lớn G | V1| - d0... 5.4 ĐỒ THỊ RIÊNG HAI PHẦN Từ đồ thị cho có trích đồ thị riêng hai phần hay không ?  Định lý 5.5: Đồ thị vô hướng G = (V, E) với: - |V| = 2n , - bậc đỉnh không nhỏ n ; có đồ thị riêng hai phần