SẮC số của đồ THỊ

4.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ  Bài toán tô màu đồ thị Hãy tô màu đỉnh đồ thị cho, cho hai đỉnh kề tô hai màu khác  Ta nói rằng, đồ thị G tô k màu tồn hàm m : V → {0, 1, 2, , k-1} cho, hai đỉnh x y kề m(x) ≠ m(y)  Đồ thị G tô màu ⇔ G đỉnh nút 1/55 4.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)  Định nghĩa 4.5: Sắc số đồ thị số màu dùng để tô đỉnh đồ thị  Ta ký hiệu số s sắc số đồ thị G Hiển nhiên s ≤ n , số màu không vượt số đỉnh đồ thị 2/55 4.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Ví dụ 4.3: Tô màu đồ thị sau đây: 2 Đồ thị có sắc số Hình 4.6 Tô màu đỉnh đồ thị 3/55 4.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Nhận xét: - Mỗi cách tô màu m cho đồ thị G ứng với cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao nhau, tập ứng với màu - Ngược lại, cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao cho ta cách tô màu 4/55 SẮC SỐ CỦA CHU TRÌNH Định lý 4.6: Mọi chu trình độ dài lẻ có sắc số Chứng minh: Giả sử chu trình có độ dài 2n+1 Ta chứng minh quy nạp theo số n - n = 1: Chu trình gồm đỉnh, mà hai đỉnh kề Vậy phải dùng màu để tô đỉnh - (n) ⇒ (n+1) : Giả sử α chu trình có độ dài 2(n+1)+1 = 2n+3 với dãy đỉnh là: [x1 , x2 , , x2n+1 , x2n+2 , x2n+3] 5/55 SẮC SỐ CỦA CHU TRÌNH (tiếp) Nối x1 với x2n+1 ta chu trình α’ có độ dài 2n+1 Theo giả thiết quy nạp, chu trình α’ có sắc số Lấy màu x1 tô cho x2n+2, màu x2n+1 tô cho x2n+3 Chu trình α tô màu mà thêm màu Vậy α có sắc số  6/55 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Định lý 4.7: Đồ thị đầy đủ n đỉnh Kn có sắc số n 7/55 4.5 ĐỒ THỊ SẮC  Định lý 4.8 (Konig) Giả sử đồ thị G có cạnh Đồ thị G hai sắc G chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ Chứng minh: Giả sử G đồ thị sắc Theo Định lý 4.6 G có chu trình đơn vô hưóng độ dài lẻ Ngược lại, giả sử G chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ Không tính tổng quát xem G liên thông 8/55 4.5 ĐỒ THỊ SẮC (tiếp) Chọn đỉnh a đồ thị Đặt m(a) = Với x ≠ a , ký hiệu d(x) độ dài đường vô hướng ngắn nối a với x  Đặt m(x) = d(x) mod Ta chứng minh m hàm màu G Dx x m(a) = a Dy y Hình 4.7 Cách xây dựng hàm tô màu 9/55 4.5 ĐỒ THỊ SẮC (tiếp) Giả sử x, y kề Lấy Dx đường vô hướng ngắn nối a với x có độ dài d(x), Dy đường vô hướng ngắn nối a với y có độ dài d(y) Chu trình đơn [Dx , (x, y) , Dy] có độ dài d(x) + d(y) +1 phải số chẵn 10/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) Quá trình tiếp tục Vk-1 Ck-1 \ (B0 ∪ ∪ Bk-2) tập ổn định Vk-1 Sau bổ sung thành nhân Bk-1 ta có: Ck-1 \ (B0 ∪ ∪Bk-2) ⊆ Bk-1 ⊆ Vk-1 Hơn nữa, Ck-1 = (C k-1 ∩ (B0 ∪ ∪ Bk-2 )) ∪ (Ck-1 \ (B0 ∪ ∪ Bk-2 )) ⊆ (B0 ∪ ∪ Bk-2) ∪ Bk-1 = B0 ∪ ∪ Bk-1 17/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) V = C0 ∪ ∪ Ck-1 ⊆ B0 ∪ ∪ Bk-1 Vậy đến nhân Bk-1 ta vét hết đỉnh V Ta dãy: B0, B1, , Bk-1 , Bi nhân Vi Xây dựng hàm Grundy cho đồ thị G: Với x ∈ Bi đặt g(x) = i Hàm g hàm Grundy đồ thị G 1) Nếu x, y kề nằm tập Bi Bi nhân, g(x) ≠ g(y) 18/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) C0 B0 V0 Ci V1 y Bi Vi x Cj Bj Vj Ck-1 Bk-1 Vk-1 2) Giả sử có u < g(x) = j Khi x ∉ Bu 4.8 Cách dựng nhân Vì Bu tậpHình ổn định củaxây Vu nên tồndãy ycác ∈ Bu cho y ∈ F(x) Suy g(y) = u  19/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)  Hệ 4.11: Mọi đồ thị vô hướng đỉnh nút có hàm Grundy giá trị cực đại hàm phải sắc số đồ thị trừ 20/55 4.7 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ  Thuật toán 4.12 Liệt kê đỉnh x1 , x2 , , xn đồ thị theo thứ tự giảm dần bậc: r(x1) ≥ r(x2) ≥ ≥ r(xn) để làm giảm phép kiểm tra bước Tô màu cho đỉnh x1 đỉnh không kề với x1 không kề với đỉnh tô màu 21/55 4.7 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ (tiếp) Lặp lại thủ tục tô màu i+1 giống thủ tục tô màu i tô màu hết đỉnh đồ thị Số màu dùng sắc số đồ thị 22/55 4.7 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ (tiếp) Ví dụ 4.7: Tô màu đồ thị sau 0 1 2 Hình 4.9 Tô màu đồ thị 23/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG Định lý 4.13: Giả sử đồ thị G tô s+1 màu, đồ thị H tô t+1 màu Khi đồ thị tổng G + H tô d+1 màu, đó: d = max { s' ⊕ t'  s' ≤ s , t‘ ≤ t } 24/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Theo Định lý 4.10 đồ thị G có hàm Grundy g ≤ s , đồ thị H có hàm Grundy h ≤ t Ta có z((x,y)) = g(x) ⊕ h(y) hàm Grundy đồ thị tổng G + H Giá trị lớn hàm z d Từ suy kết 25/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Ví dụ: Đồ thị G tô màu, đồ thị H tô màu Đồ thị tổng G + H tô màu 26/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ Định lý 4.14: Nếu đồ thị G có n đỉnh sắc số s số ổn định u đồ thị G không nhỏ n/s Chứng minh: Lập tập đỉnh màu: Ci = { x x tô màu i }, i = 0, , s-1 tập ổn định |Ci | ≤ u n = ∑ |Ci | ≤ s.u Suy ra: u ≥ n/s  27/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ Định lý 4.15: Nếu bậc lớn đỉnh đồ thị G r sắc số đồ thị G ≤ r+1 Chứng minh: Chứng minh quy nạp theo số đỉnh n - n = : Bậc đỉnh sắc số - n = : Bậc đỉnh sắc số bậc đỉnh sắc số 28/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) - (n) ⇒ (n+1) : Giả sử đồ thị G có n đỉnh, đỉnh có bậc cao r Theo giả thiết quy nạp: s(G) ≤ r+1 Đồ thị G’ có n+1 đỉnh xem đồ thị G có n đỉnh thêm đỉnh a số cạnh kề Khi đó: s(G) ≤ s(G') ≤ s(G) +1 Giả sử bậc cao đỉnh G’ r' Hiển nhiên: r ≤ r' Nếu s(G) ≤ r thì: s(G’) ≤ r+1 ≤ r'+1 29/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) Nếu s(G) = r+1 thì: Trường hợp: r < r' ta có: s(G’) ≤ r + + ≤ r‘ + a G’ G Hình 4.10 Cách chọn màu cho đỉnh 30/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) Trường hợp: r = r' đỉnh a nối với không r đỉnh, cần giữ nguyên cách tô màu G đỉnh kề với a tô không qúa r màu thừa màu dành cho đỉnh a, suy ra: s(G’) = s(G) ≤ r +1 = r' +1  31/55 [...]... MÀU ĐỒ THỊ (tiếp) 3 Lặp lại thủ tục tô màu i+1 giống như thủ tục tô màu i cho đến khi tô màu hết các đỉnh của đồ thị Số màu đã dùng chính là sắc số của đồ thị 22/55 4.7 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ (tiếp) Ví dụ 4.7: Tô màu đồ thị sau đây 2 1 0 0 1 1 0 2 2 1 Hình 4.9 Tô màu một đồ thị 23/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG Định lý 4.13: Giả sử đồ thị G tô được bằng s+1 màu, đồ thị H tô được bằng t+1 màu Khi đó đồ. .. đỉnh trong đồ thị G là r thì sắc số của đồ thị G ≤ r+1 Chứng minh: Chứng minh quy nạp theo số đỉnh n - n = 1 : Bậc của đỉnh bằng 0 và sắc số bằng 1 - n = 2 : Bậc của các đỉnh bằng 0 thì sắc số bằng 1 còn bậc của các đỉnh bằng 1 thì sắc số bằng 2 28/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) - (n) ⇒ (n+1) : Giả sử đồ thị G có n đỉnh, các đỉnh có bậc cao nhất là r Theo giả thiết quy nạp: s(G) ≤ r+1 Đồ thị G’ có... thị tổng G + H tô được bằng d+1 màu, trong đó: d = max { s' ⊕ t'  s' ≤ s , t‘ ≤ t } 24/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Theo Định lý 4.10 đồ thị G có hàm Grundy g ≤ s , đồ thị H có hàm Grundy h ≤ t Ta có z((x,y)) = g(x) ⊕ h(y) là hàm Grundy của đồ thị tổng G + H Giá trị lớn nhất của hàm z là d Từ đó suy ra kết quả 25/55 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Ví dụ: Đồ thị G tô được bằng 7 màu, đồ thị. ..4.5 ĐỒ THỊ 2 SẮC (tiếp) Vậy thì d(x) + d(y) là một số lẻ, có nghĩa là d(x) và d(y) khác nhau tính chẵn lẻ Do vậy: m(x) ≠ m(y) Hàm tô màu m có hai giá trị, vậy sắc số ≤ 2 G có ít nhất một cạnh nên sắc số của nó bằng 2  11/55 4.5 ĐỒ THỊ 2 SẮC (tiếp)  Hệ quả 4.9: Tất cả các chu trình độ dài chẵn đều có sắc số bằng 2 12/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY  Định lý 4.10: Đồ thị vô hướng G có sắc số bằng... 5 màu Đồ thị tổng G + H tô được bằng 8 màu 26/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ Định lý 4.14: Nếu đồ thị G có n đỉnh và sắc số s thì số ổn định trong u của đồ thị G sẽ không nhỏ hơn n/s Chứng minh: Lập các tập đỉnh cùng màu: Ci = { x x tô màu i }, i = 0, , s-1 là các tập ổn định trong và |Ci | ≤ u n = ∑ |Ci | ≤ s.u Suy ra: u ≥ n/s  27/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ Định lý 4.15: Nếu bậc lớn nhất của các... định ngoài củaxây Vu nên tồndãy tại ycác ∈ Bu sao cho y ∈ F(x) Suy ra g(y) = u  19/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)  Hệ quả 4.11: Mọi đồ thị vô hướng không có đỉnh nút đều có hàm Grundy và giá trị cực đại của các hàm này phải bằng nhau và bằng sắc số của đồ thị trừ đi 1 20/55 4.7 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ  Thuật toán 4.12 1 Liệt kê các đỉnh x1 , x2 , , xn của đồ thị theo thứ tự giảm dần của bậc:... a) Nếu đồ thị G có hàm Grundy g ≤ s-1 thì chỉ việc chọn g làm hàm tô màu 13/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) b) Ngược lại, giả sử đồ thị G có sắc số là s, nghĩa là tồn tại hàm tô màu m với tập màu là {0, 1, , s-1} Đồ thị G không có đỉnh nút Hàm tô màu m sẽ phân hoạch tập đỉnh V thành các tập ổn định trong không rỗng, không giao nhau: Ci = { x  m(x) = i } , i = 0, 1, … , s-1 14/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM... Bk-1 17/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) V = C0 ∪ ∪ Ck-1 ⊆ B0 ∪ ∪ Bk-1 Vậy đến nhân Bk-1 thì ta đã vét hết các đỉnh của V Ta được dãy: B0, B1, , Bk-1 , trong đó Bi là nhân của Vi Xây dựng hàm Grundy cho đồ thị G: Với x ∈ Bi đặt g(x) = i Hàm g chính là một hàm Grundy của đồ thị G 1) Nếu x, y kề nhau thì không thể cùng nằm trong một tập Bi vì Bi là nhân, cho nên g(x) ≠ g(y) 18/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY... ổn định trong của đồ thị vô hướng luôn có thể bổ sung các đỉnh để thành cực đại, và đó cũng là nhân của đồ thị Xây dựng hai dãy tập con các đỉnh: V0, V1, V2, … và B0, B1, B2, … lần lượt như sau: V0 = V, Vì C0 là tập ổn định trong của V0 nên có thể bổ sung để thành tập B0 là nhân của V0 Hiển nhiên B0 ⊆ V0, V1 = V0 \ B0 15/55 4.6 SẮC SỐ VÀ HÀM GRUNDY (tiếp) Vì C1 \ B0 là tập ổn định trong của V1 nên có... được xem là đồ thị G có n đỉnh và thêm một đỉnh mới a và một số cạnh kề nó Khi đó: s(G) ≤ s(G') ≤ s(G) +1 Giả sử bậc cao nhất của các đỉnh trong G’ là r' Hiển nhiên: r ≤ r' Nếu s(G) ≤ r thì: s(G’) ≤ r+1 ≤ r'+1 29/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) Nếu s(G) = r+1 thì: Trường hợp: r < r' ta có: s(G’) ≤ r + 1 + 1 ≤ r‘ + 1 a G’ G Hình 4.10 Cách chọn màu cho đỉnh mới 30/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ (tiếp) ...4.4 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)  Định nghĩa 4.5: Sắc số đồ thị số màu dùng để tô đỉnh đồ thị  Ta ký hiệu số s sắc số đồ thị G Hiển nhiên s ≤ n , số màu không vượt số đỉnh đồ thị 2/55 4.4 SẮC SỐ CỦA... 4.8 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ TỔNG (tiếp) Ví dụ: Đồ thị G tô màu, đồ thị H tô màu Đồ thị tổng G + H tô màu 26/55 4.9 TÍNH CHẤT CỦA SẮC SỐ Định lý 4.14: Nếu đồ thị G có n đỉnh sắc số s số ổn định u đồ thị. .. màu Vậy α có sắc số  6/55 SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Định lý 4.7: Đồ thị đầy đủ n đỉnh Kn có sắc số n 7/55 4.5 ĐỒ THỊ SẮC  Định lý 4.8 (Konig) Giả sử đồ thị G có cạnh Đồ thị G hai sắc G chu trình