CHU số và sắc số

CHƯƠNG CHU SỐ VÀ SẮC SỐ 1/55 NỘI DUNG  Chu số  Ý nghĩa chu số  Sắc số  Đồ thị hai sắc  Thuật toán tô màu đồ thị  Sắc số hàm Grundy 2/55 4.1 CHU SỐ CỦA ĐỒ THỊ Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, m cạnh p mảng liên thông Định nghĩa 4.1: Đại lượng: c = m - n + p gọi chu số đồ thị G 3/55 4.1 CHU SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) Xét đồ thị sau đây: Hình 4.1 Đồ thị định hướng không liên thông Đồ thị có n = 7, m = p = Vậy chu số c = - + = 4/55 4.1 CHU SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)  Định lý 4.1: Nếu thêm cạnh vào đồ thị G chu số tăng thêm không thay đổi Chứng minh: Giả sử thêm cạnh (a, b) vào đồ thị G Khi m tăng thêm - Nếu hai đỉnh a, b thuộc mảng liên thông G n, p không đổi, chu số tăng thêm - Nếu hai đỉnh a, b nằm hai mảng liên thông khác G p giảm 1, chu số không đổi 5/55 4.1 CHU SỐ CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)  Hệ 4.2: Chu số đồ thị số nguyên không âm Chứng minh: Thật vậy, đồ thị G xây dựng từ đồ thị G0 gồm n đỉnh cạnh Sau đó, thêm cạnh vào đồ thị G0 để đồ thị G Chu số G0 c = - n + n = Quá trình thêm cạnh không làm giảm chu số Vậy chu số G ≥ chu số G0 = 6/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ  Đánh số cạnh đồ thị G theo thứ tự đó: 1, 2, , m  Với chu trình vô hướng đồ thị G, ta chọn chiều thuận biểu diễn vectơ m chiều (q1, q2, , qm) , với qi = số lần xuất cạnh i chu trình theo chiều thuận - số lần xuất cạnh chu trình theo chiều ngược  Có thể đồng chu trình vô hướng với vectơ biểu diễn 7/55 HỆ CHU TRÌNH ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH  Các chu trình vô hướng t1, t2, , tk gọi độc lập tuyến tính vectơ tương ứng với chúng lập thành hệ độc lập tuyến tính  Hệ chu trình đơn vô hướng T = { t1, t2, , tk } gọi độc lập tuyến tính cực đại T độc lập tuyến tính chu trình vô hướng đồ thị biểu diễn tuyến tính qua chu trình T 8/55 HỆ CHU TRÌNH ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp) Ví dụ 4.1: Đồ thị có cạnh, đánh số hình vẽ Với chu trình vô hướng [e1, e2, e7] ta chọn chiều thuận e1 e2 e7 vectơ tương ứng là: (-1, 1, 0, 0, 0, 0, 1) Hình 4.2 Đánh số cạnh đồ thị 9/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp)  Định lý 4.3: Chu số đồ thị số chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại đồ thị Chứng minh: Quy nạp theo số cạnh m - m = chu số 0, đồ thị chu trình đơn - (m) ⇒ (m+1) : Giả sử đồ thị G’ có n đỉnh, m+1 cạnh, p mảng liên thông Có thể xem G’ xây dựng từ đồ thị G gồm m cạnh bổ sung thêm cạnh e = (a, b) 10/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Đánh số cạnh e cạnh thứ m+1 đồ thị G’ Theo giả thiết quy nạp, chu số đồ thị G c(G) = m -n +p = số chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại G Ký hiệu chu trình là: T = t1, t2, , tc Hiển nhiên, chu trình G’ không chứa e biểu diễn tuyến tính qua hệ chu trình T 11/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Trường hợp 1: Hai đỉnh a, b cạnh e nằm hai mảng liên thông khác G Vì số cạnh tăng số mảng liên thông bị giảm nên chu số G’ chu số G a e b Hình 4.3 Hai mảng liên thông 12/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Mặt khác, chu trình G’ chứa e có tính chất sau đây: số lần e xuất chu trình theo chiều thuận số lần e xuất chu trình theo chiều ngược, cạnh e cầu nối hai mảng liên thông G Do đó, thành phần thứ m+1 vectơ biểu diễn chu trình 0, chu trình biểu diễn qua hệ T Suy hệ T hệ chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại G’ 13/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Trường hợp 2: Hai đỉnh a, b cạnh e thuộc mảng liên thông G Khi chu số c(G’) = c(G) + Chọn đường đơn vô hướng G nối a với b ghép thêm cạnh e ta chu trình đơn vô hướng G’ Ký hiệu t0 Xét hệ T’ = t0 , (T) = t0 , t1 , t2 , , tc gồm c(G) +1 chu trình đơn vô hướng G’ 14/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Hệ T’ độc lập tuyến tính hệ T độc lập tuyến tính t0 biểu diễn qua T, toạ độ thứ m+1 vectơ biểu diễn t0 1, vectơ biểu diễn chu trình T e to t Hình 4.4 Hai chu trình chung cạnh 15/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Giả sử t chu trình G’ chứa e Chọn chiều t cho chu trình tổng t + t0 không chứa e Vậy chu trình tổng t + t0 biểu diễn tuyến tính qua hệ T Do đó, chu trình t biểu diễn tuyến tính qua hệ T Vậy T’ hệ chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại G’  16/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH  Đồ thị có chu số gọi đồ thị phi chu trình  Lớp đồ thị phi chu trình lớp đồ thị đặc biệt hay gặp thực tế ứng dụng 17/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH (tiếp)  Định lý 4.4: Đồ thị định hướng G = (V, E) phi chu trình ⇔ đánh số đỉnh cho cạnh (i, j) đồ thị thoả mãn i < j Chứng minh: a) Nếu đánh số đỉnh hiển nhiên đồ thị chu trình b) Để chứng minh điều ngược lại, ta xây dựng thuật toán sau để đánh số đỉnh đồ thị định hướng phi chu trình 18/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH (tiếp)  Thuật toán dựa tính chất: Trong đồ thị định hướng không rỗng phi chu trình tồn đỉnh mà cạnh vào đỉnh  Thuật toán đánh số đỉnh: 1) Trước hết, thuật toán tính bậc vào cho đỉnh đồ thị 19/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH (tiếp) 2) Những đỉnh có bậc vào đưa vào stack Đánh số cho đỉnh đỉnh stack, loại bỏ đỉnh khỏi stack giảm bậc vào cho đỉnh kề với đỉnh Nếu có đỉnh mà bậc vào giảm hết nạp lên đỉnh stack 3) Tiếp tục trình đánh số tăng dần, loại đỉnh, giảm bậc vào stack trở thành rỗng Và ta đánh số xong tất đỉnh đồ thị 20/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH Thuật toán 4.5 Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK danh sách kề đồ thị phi chu trình G Kết quả: Mảng SO số nguyên với SO[v] số đánh đỉnh v 21/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) Begin for v ∈ V BAC_V[v] := ; { BAC_V[v] chứa bậc vào đỉnh v } for u ∈ V for v ∈ DK[u] inc ( BAC_V[v] ) ; S := ∅ ; for v ∈ V if BAC_V[v] = then push v onto S ; k := ; 22/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) while S ≠ ∅ 10 begin u := top(S) ; pop(S) ; 11 inc (k) ; SO[u] := k ; 12 for v ∈ DK[u] 13 begin dec (BAC_V[v]) ; 14 if BAC_V[v] = then push v onto S 15 end 16 end 17 End Độ phức tạp thuật toán O(m+n) 23/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) Ví dụ 4.2: Áp dụng thuật toán, đánh số đỉnh cho đồ thị phi chu trình sau: Hình 4.5 Các đỉnh đồ thị phi chu trình đánh số 24/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) • Việc đánh số đỉnh đồ thị định hướng phi chu trình có nhiều ứng dụng sơ đồ PERT, phương pháp đường tới hạn CPM 25/55 [...]... nằm trong hai mảng liên thông khác nhau của G Vì số cạnh tăng 1 nhưng số mảng liên thông bị giảm 1 nên chu số của G’ vẫn bằng chu số của G a e b Hình 4.3 Hai mảng liên thông 12/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Mặt khác, mỗi chu trình trong G’ chứa e có tính chất sau đây: số lần e xuất hiện trong chu trình theo chiều thuận bằng số lần e xuất hiện trong chu trình theo chiều ngược, vì cạnh e là cầu nối...4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Đánh số cạnh e là cạnh thứ m+1 của đồ thị G’ Theo giả thiết quy nạp, chu số của đồ thị G là c(G) = m -n +p = số chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại trong G Ký hiệu các chu trình đó là: T = t1, t2, , tc Hiển nhiên, mỗi chu trình trong G’ không chứa e đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ các chu trình T 11/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Trường hợp 1: Hai... không rỗng phi chu trình luôn tồn tại đỉnh mà không có một cạnh nào đi vào đỉnh đó  Thuật toán đánh số đỉnh: 1) Trước hết, thuật toán tính bậc vào cho các đỉnh của đồ thị 19/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH (tiếp) 2) Những đỉnh có bậc vào bằng 0 sẽ được đưa vào stack Đánh số cho đỉnh đang ở đỉnh stack, loại bỏ đỉnh này khỏi stack và giảm bậc vào cho các đỉnh kề với đỉnh này Nếu có đỉnh mà bậc vào đã giảm... chiều của t sao cho chu trình tổng t + t0 không chứa e Vậy thì chu trình tổng t + t0 có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ T Do đó, chu trình t cũng có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ T Vậy T’ là hệ chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại của G’  16/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU TRÌNH  Đồ thị có chu số bằng 0 được gọi là đồ thị phi chu trình  Lớp đồ thị phi chu trình là lớp đồ thị đặc biệt và hay gặp trong thực... , tc gồm c(G) +1 chu trình đơn vô hướng trong G’ 14/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Hệ T’ là độc lập tuyến tính vì hệ T độc lập tuyến tính và t0 không thể biểu diễn được qua T, vì toạ độ thứ m+1 của vectơ biểu diễn t0 bằng 1, còn của các vectơ biểu diễn các chu trình trong T bằng 0 e to t Hình 4.4 Hai chu trình chung một cạnh 15/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Giả sử t là một chu trình nào đó của... đánh số tăng dần, loại đỉnh, giảm bậc vào cho đến khi stack trở thành rỗng Và ta đã đánh số xong tất cả các đỉnh của đồ thị 20/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH Thuật toán 4.5 Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK các danh sách kề của đồ thị phi chu trình G Kết quả: Mảng SO các số nguyên với SO[v] là số đánh trên đỉnh v 21/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) 1 Begin 2 for v ∈ V do BAC_V[v] := 0 ; { BAC_V[v] chứa bậc vào... vectơ biểu diễn chu trình này bằng 0, và chu trình này vẫn có thể biểu diễn qua hệ T Suy ra hệ T cũng chính là hệ chu trình đơn vô hướng độc lập cực đại của G’ 13/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Trường hợp 2: Hai đỉnh a, b của cạnh e thuộc cùng một mảng liên thông của G Khi đó chu số c(G’) = c(G) + 1 Chọn một đường đi đơn vô hướng trong G nối a với b rồi ghép thêm cạnh e ta được một chu trình đơn vô... PHI CHU TRÌNH (tiếp)  Định lý 4.4: Đồ thị định hướng G = (V, E) là phi chu trình ⇔ luôn có thể đánh số các đỉnh sao cho mỗi cạnh (i, j) của đồ thị đều thoả mãn i < j Chứng minh: a) Nếu có thể đánh số các đỉnh như trên thì hiển nhiên đồ thị không có chu trình b) Để chứng minh điều ngược lại, ta xây dựng thuật toán sau đây để đánh số các đỉnh của đồ thị định hướng phi chu trình 18/55 4.3 ĐỒ THỊ PHI CHU. .. ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) 9 while S ≠ ∅ do 10 begin u := top(S) ; pop(S) ; 11 inc (k) ; SO[u] := k ; 12 for v ∈ DK[u] do 13 begin dec (BAC_V[v]) ; 14 if BAC_V[v] = 0 then push v onto S 15 end 16 end 17 End Độ phức tạp của thuật toán là O(m+n) 23/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) Ví dụ 4.2: Áp dụng thuật toán, đánh số các đỉnh cho đồ thị phi chu trình sau: 7 8 9 1 4 2 5 6 3 Hình 4.5 Các đỉnh của đồ thị phi chu. .. (tiếp) Ví dụ 4.2: Áp dụng thuật toán, đánh số các đỉnh cho đồ thị phi chu trình sau: 7 8 9 1 4 2 5 6 3 Hình 4.5 Các đỉnh của đồ thị phi chu trình đã được đánh số 24/55 THUẬT TOÁN ĐÁNH SỐ ĐỈNH (tiếp) • Việc đánh số các đỉnh trên đồ thị định hướng phi chu trình có nhiều ứng dụng trong sơ đồ PERT, phương pháp đường tới hạn CPM 25/55 ... thị G Chu số G0 c = - n + n = Quá trình thêm cạnh không làm giảm chu số Vậy chu số G ≥ chu số G0 = 6/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ  Đánh số cạnh đồ thị G theo thứ tự đó: 1, 2, , m  Với chu trình...NỘI DUNG  Chu số  Ý nghĩa chu số  Sắc số  Đồ thị hai sắc  Thuật toán tô màu đồ thị  Sắc số hàm Grundy 2/55 4.1 CHU SỐ CỦA ĐỒ THỊ Cho đồ thị G = (V, E) có n... nên chu số G’ chu số G a e b Hình 4.3 Hai mảng liên thông 12/55 4.2 Ý NGHĨA CỦA CHU SỐ (tiếp) Mặt khác, chu trình G’ chứa e có tính chất sau đây: số lần e xuất chu trình theo chiều thuận số lần