MỘT số TÍNH CHẤT về ĐƯỜNG đi TRÊN đồ THỊ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ tiếp Chứng minh: Giả sử có đường đi ngắn nhất từ a đến b... MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ tiếpChứng minh: - Nếu k-1 ≤ n-1 thì định lý

Trang 1

1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ

Định lý 1.2: Giả sử đồ thị G có n đỉnh Tồn tại

đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên đồ thị G khi và chỉ khi tồn tại đường đi từ a đến b trên đồ thị này với độ dài không quá n-1.

Trang 2

1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)

Chứng minh:

Giả sử có đường đi ngắn nhất từ a đến b

<a = x 1 , x 2 ,…, x k = b> Đường đi này có độ dài k-1

Trang 3

1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)

Chứng minh:

- Nếu k-1 ≤ n-1 thì định lý được chứng minh.

- Ngược lại (nghĩa là k > n), trong dãy đỉnh của

đường đi có ít nhất hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn:

xi = xj Khi đó <a = x1, x2, …, xi, xj+1, …, xk= b> cũng

là đường đi từ a tới b nhưng với độ dài ngắn

hơn Mâu thuẫn với giả thiết đường đi là ngắn nhất

Trang 4

BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ

Bài toán đường đi

Cho đồ thị G và hai đỉnh a, b thuộc G

Có hay không một đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên

đồ thị G ?

Trang 5

BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)

 Thuật toán 1.1

1 Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G

2 Tính tổng các ma trận luỹ thừa:

T = A + A2 + … + An-1

3 Nếu T[a,b] ≥ 1 thì kết luận là có đường đi từ đỉnh

a đến đỉnh b, ngược lại thì kết luận là không có.

Trang 6

 Ma trận tổng T còn được gọi là bao đóng bắc cầu

của ma trận kề A

 Các phần tử của ma trận T có thể rất lớn, hơn nữa

ta chỉ quan tâm đến tính chất khác 0 của các phần

tử này

Trang 7

 Cải tiến thuật toán 1.1

- Có thể xem ma trận kề A như ma trận logic

- Trong phép nhân ma trận ta thay các phép toán số học + , * bằng các phép toán logic OR và AND

- Dùng thuật toán Warshall để tính ma trận bao

đóng bắc cầu logic AS Các phần tử logic của ma trận AS cho biết có hay không đường đi giữa các cặp đỉnh của đồ thị đã cho

Trang 8

Thuật toán 1.2 (Warshall)

Dữ liệu: Ma trận kề logic A của đồ thị G.

Kết quả: Ma trận bao đóng bắc cầu logic AS.

Trang 9

Thuật toán 1.2 (Warshall)

Trang 10

1.7 BẬC CỦA ĐỈNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ

Bậc của đỉnh

Tính liên thông của đồ thị

Đồ thị đầy đủ

Một số tính chất

Trang 12

TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ

 Định nghĩa 1.12

Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông, nếu trên

đồ thị có đường đi vô hướng nối chúng với nhau

Đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ

thị đều liên thông với nhau

Trang 13

TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

 Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ

tương đương Quan hệ đó cho một phân hoạch trên

tập các đỉnh

 Mỗi lớp tương đương của quan hệ này được gọi là

một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của

đồ thị

Trang 15

1 Mỗi mảng liên thông của một đồ thị là một đồ thị con

không rỗng liên thông

2 Hai mảng liên thông khác nhau thì không giao nhau

3 Hai đỉnh ở hai mảng liên thông khác nhau thì không

liên thông với nhau

4 Hợp các mảng liên thông cho ta đồ thị ban đầu

Ký hiệu: p là số mảng liên thông của một đồ thị.

TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)

Trang 16

Ta tính bậc của các đỉnh Mỗi đỉnh thuộc một cạnh

nào đó thì bậc của nó tăng thêm một

Trang 17

BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)

 Hệ quả 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải

là một số chẵn

 Hệ quả 1.2: Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì

hai đỉnh đó phải liên thông với nhau

Trang 18

 Định lý 1.4

Đồ thị G có n đỉnh Nếu bậc của mỗi đỉnh trong G không nhỏ hơn n/2 thì đồ thị G liên thông.

Trang 19

 Chứng minh:

Phản chứng: Giả sử đồ thị G không liên thông

Khi đó, có ít nhất hai đỉnh a và b nằm trong hai

mảng liên thông khác nhau

Vậy thì, n ≤ r(a) + r(b) ≤ n-2

Suy ra điều mâu thuẫn

Trang 20

≤ n p n p

m

Trang 21

Trang 22

Chứng minh:

Cách “dồn” các đỉnh vào mảng G 1 :

Giả sử còn mảng G i mà n1 ≥ n i ≥ 2

Chọn a là một đỉnh của G i sao cho nếu ta bỏ a và

các cạnh kề với nó thì phần còn lại vẫn liên thông

Trang 23

- Xoá bỏ k cạnh nối a với các đỉnh trong G i

Đỉnh a liên thông với đỉnh trong G 1 nên thuộc vào

mảng G

Trang 24

Chứng minh:

Ta được một đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số

mảng liên thông không thay đổi vì mảng G i bớt a và

k cạnh vẫn còn ít nhất một đỉnh, G 1 thêm đỉnh a và k

cạnh mới

Trang 25

Trang 26

m

Trang 27

( 2

) 1 )(

2

m n

n

Trang 28

ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ

 Đồ thị được gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều có

cạnh nối

Ký hiệu Kn là đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh

- Đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị liên thông

- Mỗi đỉnh của Kn đều có bậc n-1

- Hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường

Trang 29

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

1 Đồ thị vô hướng n đỉnh (n ≥ 3), không có đỉnh nút

và bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 2, luôn có chu trình đơn

2 Đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) và bậc của mỗi đỉnh đều

không nhỏ hơn 3 luôn có chu trình đơn độ dài chẵn

Trang 30

MỘT SỐ TÍNH CHẤT (tiếp)

3 Đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) không có đỉnh nút luôn có ít nhất hai đỉnh cùng bậc

4 Nếu đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc

bậc n-1.

5 Trong đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) mà cứ bốn đỉnh tuỳ ý thì có ít nhất một đỉnh kề với ba đỉnh còn lại, thì số

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	139 KB