Tìm hiểu bước đầu về đa tạp Stein

Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trọng Nguyễn TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐA TẠP STEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 166 Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trọng Nguyễn TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐA TẠP STEIN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình toán tử vi phân  n 0.2 Tích chập hàm suy rộng 0.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Chương GIỚI THIỆU VỀ ĐA TẠP STEIN 10 1.1 Miền chỉnh hình 10 1.2 Khái niệm đa tạp Stein 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH CAUCAHY – RIEMANN TRONG ĐA TẠP STEIN 20 2.1 Toán tử ∂ không gian L2( p ,q ) (Ω,φ ) 20 2.2 Các định lý tồn xấp xỉ nghiệm phương trình CauchyRiemann đa tạp Stein 29 Chương ĐỊNH LÝ NHÚNG CÁC ĐA TẠP STEIN 43 Chương BAO CHỈNH HÌNH 52 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu đa tạp phức chia thành hai lĩnh vực: lý thuyết hình học lý thuyết hàm Trong lĩnh vực hình học ta quan tâm đến tính chất toàn cục đa tạp phức Trong lĩnh vực lý thuyết hàm việc nghiên cứu liên quan đến tính chất hàm chỉnh hình tập mở  n Hai lớp đa tạp phức bật nhà toán học quan tâm nghiên cứu lớp đa tạp Kahler lớp đa tạp Stein Các đa tạp Stein lớp đa tạp giải tích phức có định nghĩa mô hình hóa dựa tính chất miền chỉnh hình  n Lớp đa tạp mà ngày gọi đa tạp Stein trình bày Stein (1951) Công cụ để nghiên cứu đa tạp Stein lý thuyết bó liên kết Lý thuyết bó liên kết giải tích đa tạp Stein trình bày Cartan (19511952) sau Grauert, Hormander, Oka, MalGrange Hiện đa tạp Stein đối tượng sử dụng rộng rãi Giải tích phức Việc nghiên cứu bó liên kết đòi hỏi nhiều kiến thức Hình học, Đại số Trong khuôn khổ luận văn tìm hiểu bước đầu đa tạp Stein làm sở cho việc nghiên cứu sâu lý thuyết bó liên kết Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương sau Chương giới thiệu khái niệm vài tính chất sơ cấp đa tạp Stein Chương trình bày mở rộng định lý tồn xấp xỉ nghiệm phương trình Cauchy-Riemann  n đến đa tạp Stein Chương trình bày định lý nhúng đa tạp Stein Chương chứng minh đa tạp Stein biểu diễn cụ thể đa tạp đóng  N với chiều đủ lớn Định lý nhúng chương kết Bishop Narasimhan Chương dành trình bày bao chỉnh hình Nội dung chương tìm đa tạp Stein mà mở rộng chỉnh hình cực đại đa tạp cho trước Kết chương thuộc Oka Footer Page of 166 Header Page of 166 Em chân thành cảm ơn hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông thời gian qua Thầy đưa góp ý chân thành giúp em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn phòng Sau đại học gửi mail hướng dẫn đầy đủ thủ tục giúp em nộp luận văn thời hạn Footer Page of 166 Header Page of 166 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình toán tử vi phân  n Cho u hàm giá trị phức thuộc lớp C1 (Ω) Ω tập mở  n , đồng  n  2n Ta kí hiệu hệ tọa độ thực x j ,1 ≤ j ≤ 2n , hệ tọa độ phức z= x2 j −1 + x2 j ,1 ≤ j ≤ n Ta mô tả du tổ hợp j tuyến tính dạng vi phân dz j d z j sau: n ∂u ∂u = du ∑ dz j + ∑ dzj ∂z j =j = j ∂z j n (0.1.1) đó: ∂u  ∂u ∂u  ∂u  ∂u ∂u = −i = +i   ,  ∂z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j  ∂ z j  ∂x2 j −1 ∂x2 j    Với kí hiệu n ∂u ∂u = ∂ dz u dzj , ∑ ∑ j ∂z j =j = j ∂z j = ∂u n Ta viết (0.1.1) sau: du = ∂u + ∂u Dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân dz j gọi dạng (1,0), dạng vi phân mà tổ hợp tuyến tính dạng vi phân d z j gọi dạng (0,1) Vì ∂u (tương ứng ∂u ) thành phần du thuộc loại (1,0) (tương ứng (0,1)) Định nghĩa 0.1.1 Một hàm u ∈ C1 (Ω) gọi giải tích (hoặc chỉnh hình) Ω du thuộc loại (1,0), nghĩa ∂u =0 (phương trình Cauchy Riemann) Tập hợp tất hàm giải tích Ω kí hiệu A(Ω) Toán tử vi phân ∂ ∂ tuyến tính A(Ω) vành Footer Page of 166 Header Page of 166 Bây lấy u ∈ A(Ω) , nhận giá trị phức v nghĩa u = (u1 , u2 , , uv ) mà thành phần u j hàm giải tích Ω Nếu v ∈ C1 (ω ) với ω tập mở chứa miền giá trị u, với z ∈ Ω hàm (v  u )( z ) = v(u ( z )) thuộc lớp C1 (ω ) ta có v ∂v ∂v + du du j ∑ ∑ j ∂u j =j = j ∂u j = d (v  u ) v Bởi du j thuộc loại (1,0) du j thuộc loại (0,1) Ω nên suy : v v ∂v ∂v , ∂ (v  u ) = du v u du j ∂ =  ( ) ∑ ∑ j j =1 ∂u j j =1 ∂ u j Do v  u giải tích v giải tích Tổng quát, việc phân tích d giống ∂ + ∂ khái niệm hàm giải tích bất biến qua ánh xạ giải tích Cuối ta mở rộng định nghĩa toán tử ∂ ∂ thành dạng vi phân Một dạng vi phân f gọi thuộc loại (p,q) viết dạng f = ∑∑ f = I p= J q I I , J dz ∧ d z J I = (i1 , , i p ) J = ( j1 , , jq ) đa số, nghĩa dãy số nằm n Ở dùng kí hiệu J dz I ∧ d z = dzi1 ∧ ∧ dzi p ∧ d z j1 ∧ d z jq Mỗi dạng vi phân viết cách tổng dạng loại (p,q): ≤ p, q ≤ n Nếu f thuộc loại (p,q) dạng vi phân df = ∑ df I ,J ∧ dz I ∧ d z J Có thể viết dạng df = ∂f + ∂ f đó: ∂f = ∑ ∂f J I ,J ∧ dz I ∧ d z , ∂ f = I ,J dạng thuộc loại (p+1,q) (p,q+1) Footer Page of 166 ∑∂ f I ,J I ,J ∧ dz I ∧ d z J Header Page of 166 ( ) Vì = d f = ∂ f + ∂∂ + ∂∂ f + ∂ f tất số hạng tổng khác nên ta thu được: ∂ = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0, ∂ = Do phương trình ∂u =f (0.1.2) f thuộc loại (p,q+1) có nghiệm u trừ ∂ f = Điều ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (0.1.2) với ẩn hàm u, cách tự nhiên ta phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng thuộc loại (0,1), dạng thuộc loại (0,2),… Nếu u ánh xạ chỉnh hình xác định miền Ω ⊂  n vào v = f ∑f I ,J du I ∧ du J dạng xác định lân cận thuộc miền giá trị u, ta xác định dạng f  u Ω sau = f u ∑f I I , J (u ( z )) du ∧ du J duk duk với k = 1, , v dạng vi phân Ω tương ứng thuộc loại (1,0) (0,1) uk hàm giải tích Do f  u thuộc loại (p,q) f thuộc loại (p,q) d ( f  u ) = (df )  u nên ta thu ( ) ∂( f  u) = ∂f u ( ∂f )  u , ∂ ( f  u ) = Nếu F không gian hàm ta dùng kí hiệu F( p ,q ) không gian dạng thuộc loại (p,q) với hệ số thuộc vào F Định lý 0.1.2 Với tập compact K ⊂ Ω ( Ω tập mở  n ) lân cận mở ω ∈ K , đa số α tồn số Cα cho sup ∂α u ≤ Cα u K Footer Page of 166 L1 (ω ) Header Page of 166 Hệ 0.1.3 Nếu uk ∈ A(Ω) uk → u compact Ω k → ∞ u ∈ A ( Ω ) 0.2 Tích chập hàm suy rộng Định nghĩa 0.2.1 Ta kí hiệu: χ :  N →  hàm xác định sau:  C x −1 , neáu x ≤ χ ( z) =  e 0 , neáu x >  C số cho ∫ χ ( x)dx = Với ε > ta đặt N x χε ( x) = ε − N χ ( ) ε (0.2.1) hàm χε có tính chất: i) χε ∈ Co∞ ( N ) , suppχε ⊆ B (0, ε ) χε ( x) > với x ∈  N ii) χε hàm phụ thuộc vào x ∫ χε ( x)dx = n Với hàm f ∈ L2 ( N , loc) < ε < d ( x, ∂Ω) đặt fε ( x) =∗ ( f χε )( x) = ∫ f ( y) χε ( x − y)dy yN Phép toán “ ∗ ” gọi tích chập Đồng thời ta nhận xét tích chập có tính chất giao hoán supp u ∗ v ⊂ supp u + supp v Định lý 0.2.2 Cho f ∈ L2 ( N , loc) Khi ta có kết luận sau: 1) fε ∈ C ∞ ( N ) 2) Nếu supp f= K ⊂⊂  N fε ∈ Co∞ ( N ) , supp fε ⊂ Kε ={ x ∈  N | d ( x, K ) ≤ ε } 3) Nếu f ∈ C ( N ) lim fε ( x) = f ( x) K ⊂⊂  N ε →0 L 4) Nếu f ∈ L2 ( N ) fε ∈ L2 ( N ) fε  → f ε → 0+ Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 Bổ đề 0.2.3 Nếu Ω ⊆  n tập mở K ⊂ Ω tập compact, tồn hàm η ∈ Co∞ (Ω) cho ≤ η ≤ η = lân cận K Bổ đề 0.2.4 Cho χ ∈ Co∞ ( N ) với ∫ χε ( x)dx = đặt n x χε ( x) = ε − N χ ( ) , x ∈  n ε Nếu g ∈ L2 ( n ) g ∗ χε ( x) = ∫ g ( y) χε ( x − y)dy = ∫ g ( x − ε y) χ ( y)dy N N yy hàm thuộc lớp C ¥ cho g ∗ χε L2 → ε → Giá g ∗ χε điểm có khoảng cách đến giá g lớn ε giá χ nằm cầu đơn vị 0.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Cho H1, H2 hai không gian Hilbert có tích vô hướng chuẩn tương ứng (.,.)i , i với i ∈1, Cho D không gian trù mật H1 T : D → H , toán tử tuyến tính mà ta giả sử không bị chặn Để thuận tiện ta viết DT thay D miền xác định T Trường hợp ta nói T xác định trù mật H1 Có thể kiểm tra H1 × H không gian Hilbert với tích vô hướng xác '1 , h '2 ) (h1 , h '1 )1 + (h2 , h '2 ) định (h1 , h2 ),(h= Định nghĩa 0.3.1 Toán tử tuyến tính T đóng đồ thị = GT {( x, Tx) : x ∈ DT } ⊆ H1 × H tập hợp đóng Nhận xét T toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H1 vào không gian Hilbert H toán tử liên hợp T * tồn xác định toàn H công thức ( y, Tx) = (T * y, x)1 Trong trường hợp ta xét T : DT → H toán tử tuyến tính không bị chặn, với DT không gian trù mật H1 , việc xác định toán tử liên hợp T * có chút phức tạp Gọi DT * miền xác định toán tử liên hợp T * cần xác định Ta đưa định nghĩa sau Footer Page 10 of 166 Header Page 50 of 166 47 r f j' = f j + ∑ a jk g k 1, , N j= hàm quy K , với hệ số thích hơp a jk nhỏ tùy ý Do f ' không thuộc M , nên f không điểm M Như ta chứng minh ( a ) Chứng minh ( b ) tiến hành song song ngoại trừ việc ta áp dụng Bổ đề 3.5 thay Bổ đề 3.4  Phần lại ta thảo luận tồn ánh xạ riêng Chú ý ta có { } ánh xạ riêng f từ Ω vào  N z : z ∈ Ω, f j ( z ) < R, j =1, , N tập compact tương đối Ω với R đa diện giải tích này, tất xác định không N bất đẳng thức, vét kiệt Ω Do trước tiên ta tìm hiểu đa diện giải tích đa tạp Stein Ta gọi tập mở compact tương đối P ⊂ Ω đa diện giải tích cấp N với 1, , N tập P hợp thành phần (liên thông) o f j ∈ A(Ω) , j = tập mở {z : z ∈ Ω, f j ( z ) < 1, j =1, , N }  Bổ đề 3.7 Nếu Ω đa tạp Stein, K tập compact Ω với K = K ω lân cận K tồn đa diện giải tích P với K ⊂ P ⊂⊂ ω Chứng minh: Ta giả sử ω compact tương đối Ω Với z ∈ ∂ω , ta lấy f ∈ A ( Ω ) cho f < K f ( z ) > Theo bổ đề Borel- Lebesgue ta chọn f1 , , f N ∈ A ( Ω ) cho {z : z ∈ Ω, f ( z) < 1, j =1, , N } j chứa K không giao ∂ω Do giao tập với tập ω đa diện giải tích P với yêu cầu cần tìm  Tiếp theo việc giảm cấp đa diện với kỹ thuật Bishop Bổ đề 3.8 Lấy K tập compact P đa diện giải tích có cấp N + Ω cho K ⊂ P Nếu N ≥ 2n tồn đa diện giải tích P ' có cấp N cho K ⊂ P ' ⊂ P Chứng minh: Lấy P hợp thành phần (liên thông) tập hợp Footer Page 50 of 166 Header Page 51 of 166 48 < 1, j {z : z ∈ Ω, f ( z) = j } 1, , N + Chọn c0 < c1 < c2 < c3 < cho f j ( z ) < c0 với = j 1, , N + z ∈ K Ta chọn f1' , , f N' +1 với f N +1 = f N' +1 cho  f1' f N'  , ,   f N +1   f N +1 có hạng n { z : z ∈ P, f N +1 ( z ) ≥ c2 } f j' gần với f j để f j' ( z ) < c0 với j = 1, , N ω z ∈ K và= ,j {z : z ∈ P, f ( z) < c= ' j } 1, , N + ⊂⊂ P Thật ra, điều suy từ chứng minh Định lý 3.6 N ≥ 2n ; ta chọn f j' f N +1 fj f N +1 cộng với tổ hợp tuyến tính hàm thích hợp A ( Ω ) với hệ số nhỏ Bây ta xét tập mở = ∆v {z : z ∈ Ω, f ( z) ' j v v − f N +1 ( z )v < c= 1, , N 1, j } v số nguyên dương chọn sau Ta chứng minh hợp Pv' thành phần ∆ , giao với K có tính mong muốn v đủ lớn Trước tiên ta nhận xét z ∈ K dẫn đến f j' ( z )v − f N +1 ( z )v < 2c0v < c1v v đủ lớn Do K ⊂ ∆ v với v đủ lớn Nếu ta chứng minh Pv' ⊂ ω v đủ lớn, ta có khối đa diện giải tích cấp N với tất tính chất cần thiết Nếu Pv' không chứa ω có điểm z ∈ Pv' nằm biên ω với thành phần Pv' giao với K chứa điểm thuộc ω Nếu f N +1 ( z ) < c2 v f j' ( z ) < c2v + c1v < c3v j < N v đủ lớn mà điều mâu thuẫn với giả định z ∈ ∂ω Từ z nằm tập compact = L { z : z ∈ ∂ω , f N +1 ( z ) ≥ c2 } Lấy tập L1 tập compact L nằm mảnh tọa độ với tọa độ z1 , , zn Nếu z ∈ L1 ∩ ∆ v ta có Footer Page 51 of 166 Header Page 52 of 166 49 Fj ( z )v − < ( c1 / c2 ) , j = 1, , N , với Fj = v f j' f N +1 , Ta chứng minh điều dẫn đến max f j' ( z + xx )v − f N +1 ( z + )v > c1v z ∈ L1 , ξ < j =1, , N v2 (3.3) với điều kiện v đủ lớn Điều chứng minh không z ∈ L1 thuộc thành phần ∆ v mà giao với K , đó, chứng minh hoàn thành (3.3) kiểm tra Để chứng minh (3.3), ta viết f j' ( z + ξ )v − f N +1 ( z + ξ )v = Fj ( z + ξ )v − f N +1 ( z + ξ ) Từ f N +1 ( z + ξ ) ≥ c2 (1 + O(v −2 ) ) , ta có f N +1 ( z + ξ ) ≥ c2v (1 + O(v −1 ) ) > v v c2v v đủ lớn Bây ta viết   F ( z + ξ ) v  v = Fj ( z + ξ ) − Fj ( z )   j  − 1 + F j ( z ) −   Fj ( z )     v v Theo công thức khai triển Taylor Fj ( z + ξ ) Fj ( z ) + l j (ξ ) + O(v −4 ) = dạng tuyến tính l j không triệt tiêu lúc hàm Fj , j = 1, , N , có hạng n L1 Do max l j (xx ) ≥c 1≤ j ≤ N với c > Ta v  Fj ( z + ξ )  + vl j (ξ ) + O(v −2 ) , cộng tất ước lượng ta có   = ( ) F z j   c  max f j ( z + xxx )v − f N +1 ( z + )v > c2v 2−2  + O(v −2 )  > c1v , < j =1, , N v v  v đủ lớn Các ước lượng theo z z ∈ L1  Bây ta chứng minh kết chương Footer Page 52 of 166 có Header Page 53 of 166 50 Định lý 3.9: Nếu Ω đa tạp Stein n chiều tồn phần tử f ∈ A ( Ω ) n +1 xác định ánh xạ riêng quy 1-1 từ Ω vào  n +1 Chứng minh: Theo Định lý 3.6 tồn môt ánh xạ quy, 1-1 g từ Ω vào  n +1 Nếu ta xây dựng f ∈ A(Ω) n +1 cho { z : z ∈ Ω, f ( z ) ≤ k + g ( z ) } ⊂⊂ Ω (3.4) với k , ta suy kết định lý ( Ở ta viết f ( z ) = max j f j ( z ) định nghĩa g ( z ) tương tự) Vì áp dụng Bổ đề 3.4 3.5 ánh xạ qui 1-1 ( f , g ) tồn ma trận a jk hệ số hàng, nhỏ tùy ý,sao cho n +1 f j' ( z ) =+ f j ( z ) ∑ a jk g k j= 1, , 2n + k =1 xác định ánh xạ quy 1-1 f ' vào  n +1 Nếu { z : z ∈ Ω, ∑ k a jk ≤ , ta có f '( z ) ≤ k } ⊂ { z : z ∈ Ω, f ( z ) ≤ k + g ( z ) } ⊂⊂ Ω Vì f ' ánh xạ riêng Để xây dựng f trước tiên ta ý , từ (α ) Định nghĩa 1.2.4, tồn o  = K dãy tập compact K j Ω cho K j K j +1 với j , K j j ∪1∞ K j = Ω Theo Bổ đề 3.7 3.8 ta chọn đa diện giải tích Pj cấp 2n cho K j ⊂ Pj ⊂ K j +1 Đặt M j = sup g Pj Khi điều kiện (3.4) suy từ kết sau đây: f ≥ k + M k +1 Pk +1 \ Pk với k (Vì (3.5) dẫn đến f ≥k+ g Pk +1 \ Pk (3.5) f ≥k+ g ∪∞k ( Pj +1 \ Pj ) = Ω \ Pk ) Ta xây dựng f1 , f , , f n ∈ A ( Ω ) cho max f j ( z ) > k + M k +1 ∂Pk với k 1≤ j ≤ n Footer Page 53 of 166 (3.6) Header Page 54 of 166 51 Để thực điều ta nhận xét định nghĩa đa diện giải tích cấp 2n ta có ( ) thể tìm h1k , , h2kn ∈ A ( Ω ) cho max h kj < Pk −1 max h kj = 2n ∂Pk Nếu tập hợp f jk = ( ak h kj ) mk với ak lớn mk số nguyên lớn, ta chọn liên tiếp ak mk cho với k max f k ≤ 2− k Pk −1 , 1≤ j ≤ n max f jk > M k +1 + k + + max 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n 2n ∑f i =1 ∂Pk i j Những điều kiện dẫn đến tổng = fj ∞ = f , j ∑ k j k =1 1, , 2n hội tụ đến hàm A ( Ω ) , ta xây dựng (3.6) Bây đặt {z : z ∈ P \ P , max f ( z) ≤ k + M } H= { z : z ∈ P , max f ( z ) ≤ k + M } G= k k +1 k k k 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n k +1 j j k +1 Từ (3.6) suy tập rời compact A ( Ω ) -bao Gk ∪ H k chứa H k + viết Gk ∪ H k ∪ H k' H k' ⊂ Ω \ Pk +1 (trên thực tế, H k' rỗng điều không quan trọng ) Sử dụng Định lý 2.2.8 để xấp xỉ hàm A ( Ω ) hàm H k ∪ H k' số lớn không đổi Gk , ta thu liên tiếp hàm hk ∈ A ( Ω ) cho hk < 2− k H k , hk ≥ + k + M k +1 + ∑h j