TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

Header Page of 185 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thỏi TèM HIU BC U V NG LC PHC CA CC NH X TA A THC LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh - 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phm Th Thỏi TèM HIU BC U V NG LC PHC CA CC NH X TA A THC Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN VN ễNG Thnh ph H Chớ Minh - 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 LI CM N Li u tiờn, em xin by t lũng bit n sõu sc n TS Nguyn Vn ụng v s hng dn tn tỡnh ca thy Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu, thy ó kiờn nhn ch bo, tr giỳp v ng viờn em rt nhiu S hiu bit sõu sc v khoa hc cng nh kinh nghim ca thy chớnh l tin giỳp em t c nhng thnh tu v kinh nghim quý bỏu Xin trõn trng cm n quý thy cụ thuc khoa Toỏn Tin trng i hc S Phm Tp H Chớ Minh ó truyn t kin thc cho em sut thi gian hc ti trng V cui cựng, li thõn thng nht xin gi n gia ỡnh, ni ó to mi iu kin thun li tỏc gi hc v hon thnh lun ny Footer Page of 185 Header Page of 185 MC LC Trang ph bỡa Li cm n Mc lc Danh mc cỏc hỡnh v M U Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 nh x gii tớch v ỏnh x bo giỏc 1.2 nh x ta bo giỏc 1.3 Phộp lp 1.4 Tp Fatou v Julia 1.5 Khụng gian ph v phộp nõng 10 1.5.1 Khụng gian ph 10 1.5.2 Vi tớnh cht ca ph 11 1.5.3 Nhúm c bn 11 1.5.4 Phộp nõng 13 1.6 a v cu trỳc hu phc 14 1.6.1 a 14 1.6.2 Cu trỳc hu phc 16 1.7 Mt Riemann 16 1.7.1 Khỏi nim v phõn loi mt Riemann 16 1.7.2 Mờtric Riemann v mờtric Poincare (mờtric Hyperbolic) 17 1.8 nh lý ỏnh x o c Riemann (nh lý Ahlfors Bers) 18 1.9 nh x m rng Hm hyperbolic 22 Chng NH X TA A THC 24 2.1 nh ngha v vớ d v ỏnh x ta a thc 24 2.2 Tp Julia y ca ỏnh x ta a thc v cỏc loi tng ng gia cỏc Footer Page of 185 Header Page of 185 ỏnh x 27 2.3 nh lý Straightenning 30 2.3.1 Gii thiu nh lý 30 2.3.2 Chng minh nh lý 34 Chng KHễNG GIAN THAM S CA H CC NH X TA A THC 45 3.1 H gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc 46 3.1.1 nh ngha 46 3.1.2 nh x nhỳng tubing 47 3.1.3 Phõn hoch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) th nht 47 3.1.4 Phỏt biu v chng minh cỏc nh lý chớnh 48 3.2 H mt tham s cỏc ỏnh x bc hai 56 3.2.1 nh x chnh hỡnh tụpụ 56 3.2.2 Tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c 59 3.2.3 Trng hp M compact nh lý 60 3.2.4 Mt s kt qu khỏc v mi liờn h gia M v M 63 KT LUN 69 TI LIU THAM KHO 70 Footer Page of 185 Header Page of 185 DANH MC CC HèNH V Hỡnh 2.1 Ba phn t (U , U Â, f ) to thnh ỏnh x ta a thc 24 Hỡnh 2.2 Hn ch ca ỏnh x bc thnh ỏnh x ta a thc bc 25 Hỡnh 2.3 Hn ch ca f ( z ) = p cos z (bờn trỏi) v Qc3o ( z ) (bờn phi) to thnh ỏnh x ta a thc bc 26 Hỡnh 2.4 Tp Julia y ca Q0 ( z ) = z cú mu trng (bờn trỏi); Tp Julia y ca P- 0.6 ( z ) cú mu trng (bờn phi) 31 Hỡnh 2.5 Tp Julia y R- 0.75 cú mu trng (bờn phi); Tp Julia y Q- ( z ) = z - cú mu trng (bờn trỏi) 32 Hỡnh 2.6 Thnh phn liờn thụng ln nht U tng ng vi Julia y ca f ( z ) = p cos z hn ch lờn U 32 Hỡnh 2.7 Tp Julia y ca Qc0 , vi c0 - 1.76 + 0.01i 33 Hỡnh 2.8 Trỏi: Hỡnh th Douady hay Julia y ca Qc1 ( z ) = z - c1 cú mu trng, vi c1 = - 0.122 + 0.745i Phi: nh phúng to ca Julia y ca Qc0 quanh im ti hn Bn ca th Douady l Julia y ca ỏnh x ta a thc ng vi Qc30 33 Hỡnh 3.1 Tp Mandelbrot 45 Hỡnh 3.2 Minh cho h qu 3.5 61 Hỡnh 3.3 Bn ca Mandelbrot mt phng tham s ca f z cosz 63 Footer Page of 185 Header Page of 185 M U Tp Mandelbrot l cỏc s phc c cho dóy { Qcn (0)} n b chn, vi Qc = z + c Tp ny cú quan h mt thit vi Julia v c t tờn theo nh toỏn hc Benoit Mandelbrot Tp Mandelbrot, sau ú ó c nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc v hỡnh nh ca nú cú sc hp dn khụng ch lnh vc toỏn hc m cũn lnh vc ngh thut c mnh danh l du võn tay ca Chỳa, hp ny tr thnh mt vớ d tiờu biu cho cu trỳc phc to nờn t nhng quy tc n gin v nú l mt nhng hỡnh fractal ni ting nht Vic nghiờn cu a phng cỏc ỏnh x chnh hỡnh lp lõn cn ca im bt ng c phỏt trin mnh vo cui th k 19 Lnh vc ny sau ú c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii nh Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, Vic nghiờn cu cỏc phộp lp ca hm a thc úng vai trũ quan trng vic tỡm hiu phộp lp cỏc hm phc tng quỏt Khi u vi nghiờn cu ca Sullivan, tớnh kh tớch ca cu trỳc phc o c ó mang n rt nhiu ng dng cho ng lc phc Chỳng ta cú th gp nhng bn ca Mandelbrot nhiu h ng lc gii tớch phc Mt nhng kt qu gii thớch cho tớnh ph dng ca Mandelbrot l lý thuyt ỏnh x ta a thc v h ta Mandelbrot ca Douady v Hubbard Lý thuyt ny ch rng s hiu bit v a thc khụng ch hp dn m cũn giỳp ta hiu bit lp rng hn nhiu cỏc hm m v a phng tng ng vi a thc Lun Tỡm hiu bc u v ng lc phc ca cỏc ỏnh x ta a thc nờu mt s kt qu liờn quan n ỏnh x ta a thc nh Julia v Fatou ca cỏc ỏnh x ta a thc, mi liờn h ca ỏnh x ta a thc vi a thc, c trng ca h ta Mandelbrot v cỏc bn ng phụi ca Footer Page of 185 Header Page of 185 Mandelbrot Cụng c nghiờn cu ng lc phc c in c s dng bi Fatou v Julia l mờtric Poincare, b Schwarz v nh lý Montel cho h chun tc nh lý n tr húa v nh lý Caratheodory l cụng c chớnh nghiờn cu tụpụ ca Julia v Fatou Ngoi vic nghiờn cu cũn s dng phộp bin hỡnh ta bo giỏc, phng trỡnh Beltrami v nh lý Ahlfors Bers C th, lun gm cỏc phn sau õy: - Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng ny nhc li mt s khỏi nim v nh lý ca h ng lc phc, khụng gian ph v ỏnh x ta bo giỏc - Chng 2: nh x ta a thc Chng ny trỡnh by v khỏi nim ỏnh x ta a thc v mt s vớ d minh Ngoi ra, chng ny cũn gii thiu Julia v Fatou ca ỏnh x ta a thc v mi quan h tng ng, liờn hp gia cỏc ỏnh x Trng tõm ca chng l nh lý Straightening, núi v mi liờn h gia ỏnh x ta a thc v cỏc a thc thc s - Chng 3: Khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc Chng ny trỡnh by mt s kin thc v h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc d Ni dung chớnh ca chng mụ t s ph thuc liờn tc, ph thuc gii tớch ca h ỏnh x ta a thc vo khụng gian tham s Chng ny cng nờu khỏi nim h ta Mandelbrot v tớnh cht ca nú Phn cui ca lun tng kt li cỏc kt qu chớnh ó thu c v ỏnh x ta a thc v danh mc cỏc ti liu tham kho Footer Page of 185 Header Page of 185 Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 nh x gii tớch v ỏnh x bo giỏc nh ngha 1.1.1: Mt hm f c gi l gii tớch thc trờn mt m D è nu vi mi xo ẻ D ta cú th vit Ơ f ( x) = an ( x - xo ) n n= ú an ẻ v chui hi t v f ( x) vi x thuc mt lõn cn ca xo nh ngha hm gii tớch phc (chnh hỡnh) c phỏt biu tng t bng cỏch thay th t thc bng phc v bi Tp hp cỏc hm chnh hỡnh trờn D c ký hiu l O( D) nh ngha 1.1.2: Cho M l mt a phc Mt A è M c gi l gii tớch (phc) ca M nu A l úng v vi mi x0 ẻ A tn ti mt lõn cn U ca x0 v cỏc hm chnh hỡnh g1 , , g n thuc O(U ) cho A ầ U = { z ẻ U : g1 ( z ) = = g N ( z ) = 0} Nh vy mt gii tớch (phc) c nh ngha mt cỏch a phng l cỏc khụng im chung ca hu hn hm chnh hỡnh nh lý 1.1.3 Cho D l m khỏc rng Mt hm kh vi thc f : D ắắđ l hm chnh hỡnh D nu v ch nu hp ny, ảf (c) = , " c ẻ D Trong trng ảz ảf trựng vi f  ca f D ảz nh lý 1.1.4 (Nguyờn lý phn x Schwarz) Gi s F l mt hm liờn tc trờn na mt phng trờn úng Footer Page of 185 Header Page 10 of 185 { z ẻ { : Im z 0} , chnh hỡnh trờn na mt phng trờn { z ẻ { : Im z > 0} , nhn giỏ tr thc trờn trc thc Khi ú cụng thc m rng F ( z ) = F ( z ) cho mt thỏc trin gii tớch trờn ton mt phng phc Lu ý, nguyờn lý ny cú th ỏp dng vi cỏc a n v vỡ tn ti ng cu chnh hỡnh gia na mt phng trờn vi a n v nh ngha 1.1.5: Cho G l mt Hm s f : G ắắđ c gi l ỏnh x bo giỏc ti z0 ẻ G nu nú cú cỏc tớnh cht: a) Bo ton gúc v bo ton hng ti z0 b) Cú k > cho lim z đ z0 f ( z ) - f ( z0 ) =k z - z0 f c gi l bo giỏc G nu nú bo giỏc ti mi im G nh ngha 1.1.6: Min G1 gi l tng ng bo giỏc vi G2 nu cú mt ỏnh x f : G1 ắắđ chnh hỡnh 1- v f (G1 ) = G2 nh lý 1.1.7 Nu f chnh hỡnh v f  khỏc trờn G thỡ f bo giỏc trờn G Ngc li, nu f bo giỏc trờn G thỡ f chnh hỡnh v f  khỏc trờn G nh ngha 1.1.8: Cho D l m khỏc rng Hm chnh hỡnh f ẻ O( D) c gi l ỏnh x song chnh hỡnh t D lờn D nu DÂ= : f ( D) v ỏnh x f : D ắắđ DÂcú ỏnh x ngc f - : DÂắắđ D l hm chnh hỡnh D Mt ỏnh x f : D ắắđ c gi l song chnh hỡnh a phng ti c ẻ D nu cú mt lõn cn U ca c D cho ỏnh x hn ch f U : U ắắđ f (U ) l ỏnh x song chnh hỡnh nh lý 1.1.9 Cho f : D ắắđ l mt ỏnh x chnh hỡnh Khi ú f l song chnh Footer Page 10 of 185 Header Page 62 of 185 56 Trc ht ta chng minh rng co = c ( l o ) ẻ ảM Cho ( mn ) l mt dóy P hi t n l o Theo b 3.1, ta cú th chn mt dóy ( m*k ) cho P Â: z z + c l tng ng cho c ( m*k ) hi t n mt im c ta bo giỏc vi Po : z z + co c ( mn ) ẻ ảM vỡ PnÂ: z z + c Vi n tựy ý, im cÂ= n n cú mt im tun hon trung hũa ging nh f mn Do ú cÂ= lim c n ẻ ảM ; co = c theo mnh 2.7 Cho ( l n ) l mt dóy bt kỡ cỏc im ca L hi t n l o Theo b 3.1, ta cú th chn c mt dóy ( l *k ) cho c ( l *k ) hi t n mt : z z + c l mt tng ng ta bo giỏc vi P im c tha P o Theo mnh 2.7, c = co Vy ta cú co = lim c ( l *k ) 3.2 H mt tham s cỏc ỏnh x bc hai Ni dung chớnh ca mc ny trỡnh by mt s tớnh cht ca ỏnh x Straightening c : L ắắđ t khụng gian tham s ca h ỏnh x ta a thc bc hai n mt phng phc Ni dung chớnh ca mc l nh lý (phn 3.2.2) ch tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c trờn Mandelbrot M Phn 3.2.3 xem xột nh lý trng hp M = c- ( M ) l compact Phn 3.2.4 trỡnh by mt s iu kin c l ỏnh x ta bo giỏc theo ngha M.S.S v mt s mi liờn h gia M v M 3.2.1 nh x chnh hỡnh tụpụ Trong mc ny chỳng ta xột = ( f l ) l ẻ L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc 2, ú dim L = 1, tc l L l mt mt Riemann Chỳng ta cng nghiờn cu ỏnh x Straightening c : L ắắđ (c xỏc nh bng Footer Page 62 of 185 Header Page 63 of 185 57 cỏch s dng mt tubing no ú) v hp M = c- ( M ) Nh li rng, M v hn ch ca c trờn M khụng ph thuc vo vic chn tubing v c núi chung khụng gii tớch Chỳng ta s ch rng c cú cựng tớnh cht tụpụ ging nh ỏnh x gii tớch Ta cng s nờu iu kin c cm sinh mt ng phụi, ụi l ta bo giỏc, t M lờn Mandelbrot M Lu ý Cho X v Y l cỏc mt tụpụ c nh hng v j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc Nu y ẻ Y l im cụ lp th ca j thỡ bc a phng i y ( j ) ca j ti y c nh ngha nh sau: t x = j ( y ) v chn U, V ln lt l lõn cn ca x v y, ng phụi vi a m n v D v tha j (V ) è U v { y} = V j - ( x ) Nu g l mt chu tuyn (loop) V \ { y} vi s vũng quay quanh y l thỡ i y ( j ) l s vũng quay ca j g quanh x Nu j l ỏnh x riờng v X, Y liờn thụng thỡ j cú mt bc, ký hiu deg j Nu j l ỏnh x riờng v X, Y liờn thụng, y ẻ Y cho j (do ú hu hn) thỡ deg j = xẻ j - - ( y ) ri rc ix ( y ) ( y) nh ngha Cho X, Y l cỏc mt nh hng, j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc Cho M l úng X v P = j - ( M ) Ta núi j l chnh hỡnh tụpụ trờn M nu vi mi y ẻ P , y l im cụ lp th ca j v i y ( j ) > Mnh 3.6 Gi s j :Y ắắđ X l chnh hỡnh tụpụ trờn M v P = j Footer Page 63 of 185 - (M ) Header Page 64 of 185 58 a) Vi mi p ẻ P , tn ti cỏc lõn cn m, liờn thụng U v V ln lt ca m = j ( p ) v p, lõn cn ny cú bao úng compact, cho j cm sinh mt ỏnh x riờng V ắắđ U bc d = i p j b) Nu d = thỡ j cm sinh mt ng phụi t P ầ V lờn M ầ U Tng quỏt hn, j V ắắđ U l phộp cú th vit di dng p f , ú p :U l ỏnh x riờng chiu ca ph d t ca U b r nhỏnh ti m, v f : V ắắđ U bc nh x f cm sinh mt ng phụi t P ầ V lờn p- ( M U ) Chng minh a) Cho B l lõn cn compact ca p, khụng cha bt kỡ im no ca j - ( m) Vỡ m ẽ j ( ảB ) nờn cú mt lõn cn m U ca m, ng phụi vi a m n v D cho U j ( ảB ) = ặ Gi V l thnh phn liờn thụng ca j - o (U ) cha p Vỡ V è B nờn ỏnh x j :V ắắđ U l ỏnh x riờng Theo phn lu ý phớa trờn, ta cú deg ( j V )= i j p b) p dng iu kin nõng ca lý thuyt v khụng gian ph c bit, chỳng ta bit j * ( p (V \ { p} )) c cha nhúm ca p1 (U \ { m} ) sinh bi d, l nh ngha bc a phng H qu 3.4 Vi cỏc gi thit ca mnh 3.6, cỏc im ca P tha i p ( j ) > to thnh mt úng, ri rc ca P Mnh tip theo cú th xem l nguyờn lý cc i ca ỏnh x chnh hỡnh tụpụ Ta b qua chng minh mnh ny Mnh 3.7 (Nguyờn lý cc i ca ỏnh x chnh hỡnh tụpụ) Cho X, Y l cỏc mt nh hng, Y liờn thụng, khụng compact, Footer Page 64 of 185 Header Page 65 of 185 59 j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tc, M è X l úng cho j chnh hỡnh tụpụ trờn M t P = j - ( M ) Nu W l thnh phn compact tng i ca Y \ P thỡ j (W ) l thnh phn compact tng i ca X \ M v j cm sinh mt ỏnh x riờng W ắắđ j (W ) cú bc ln hn 3.2.2 Tớnh chnh hỡnh tụpụ ca c nh lý Cho = ( f l ) l ẻ L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc 2, vi L liờn thụng cú s chiu phc l Khi ú ỏnh x khỏc hng c : L ắắđ xỏc nh bi tubing T ca l ỏnh x chnh hỡnh tụpụ trờn M Chng minh Nu c khỏc hng, c- ( c ) ri rc vi mi c thuc Mandelbrot M, (theo h qu 3.3) Ta cn chng minh il ( c) > 0, " l ẻ M Cho v T ln lt l cỏc m v úng bự ca L cho bi phõn hoch M.S.S Ta cú trng hp o a) l ẻ ; c ẻ M Khi ú c chnh hỡnh trờn mt lõn cn ca l theo nh lý b) l ẻ ; c ẻ ảM Theo mnh 2.7, f l  tng ng ta bo giỏc vi f l l  gn l Theo mnh 2.4, t ú ta cú f l  tng ng lai vi f l Suy c l hng trờn mt lõn cn ca l Vy c l hng c) l ẻ T ; c ẻ ảM Gi D l a L cha l v khụng cha bt kỡ im no ca c- ( c ) t g= ảD; i = il ( c) Theo nh ngha ca T , cú o l ẻ D cho c ( g) cú s vũng quay i quanh cÂ= c ( l Â) v f l  cú mt im tun hon trung hũa, khụng n nh Footer Page 65 of 185 Header Page 66 of 185 60 o Khi ú tn ti l ÂÂẻ D cho c ( g) cú s vũng quay i quanh cÂÂ= c ( l ÂÂ) o v l  cú mt im tun hon hỳt, vỡ vy cÂÂẻ M Ta cú i = i m( c) , mẻ D c- ( cÂÂ) ú mi s hng ca tng ln hn vỡ c chnh hỡnh ti m (nh lý 3) v cú ớt nht mt s hng tng ng vi m= l  3.2.3 Trng hp M compact nh lý Gi s cỏc gi thit ca nh lý c tha v M compact Khi ú c : M ắắđ M l ph phõn nhỏnh v vỡ M liờn thụng, c cú bc d , m ta gi l bc tham s ca h , trỏi vi bc ca h bng trng hp ny Nu d= thỡ M rng Nu d= thỡ c hn ch thnh mt ng phụi M ắắđ M Trong trng hp ny, ta núi l ta Mandelbrot Gi wl l im ti hn ca f l Mt iu kin M compact l tn ti A è L cho f l ( wl ) ẻ U l \ U Âl vi l ẻ L \ A Mnh 3.8 Gi s L ng phụi vi D v M compact Cho A è L l mt o ng phụi vi D cho M è A Bc tham s d ca bng s ln f l ( wl ) - wl quay quanh l chy khp ảA Chng minh Cho l o ẻ L l im tha f l o ( wl o ) = wl o Khi ú c ( l o ) = v c chnh hỡnh trờn mt lõn cn ca l o Hn na, bi il o ( c) ca l o nh mt khụng im ca c , bng vi bi ca l f l ( wl ) - wl Footer Page 66 of 185 l o nh l mt khụng im ca Header Page 67 of 185 61 Tht vy, tng ng lai j l ca f l vi z z + c ( l ) l hm gii tớch theo ( l , z ) v c( l ) = j vi j ( ) l wl = ; Do ú d= l ( f l ( wl ) ) dj l ( wl ) dz il ( c) l s cỏc khụng im ca l f l ( wl ) - wl m - l ẻ c ( 0) c bi H qu 3.5 Cho A è L l mt úng cỏc tham s ng phụi vi mt a v cha M Gi s wl l im ti hn ca f l v f l ( wl ) ẻ U l \ U Âl vi mi l ẻ L \ A ng thi gi s rng l chy mt vũng theo ảA , f l ( wl ) - wl quay mt vũng quanh (xem hỡnh 3.2) Khi ú ỏnh x C : M ắắđ M l c = C( l ) o l mt ng phụi v nú gii tớch M F ( õy vi mi l ẻ M , f l tng ng lai vi mt a thc nht dng Qc ( z ) = z + c nờn ỏnh x C c nh ngha tt) Hỡnh 3.2 Minh cho h qu 3.5 Footer Page 67 of 185 Header Page 68 of 185 62 Lu ý Gi thit f l ( wl ) ẻ U l \ U  l vi mi l ẻ L \ A tng ng vi gi thit M compact Nu s vũng f l ( wl ) - wl quay quanh l d > thỡ C l ph phõn nhỏnh bc d Ta a mt vớ d minh cỏc iu kin tho h qu M = M Xột mt phng tham s i vi h bc hai v t L = { c : GM (c) < h} , A = { c : GM (c) < h} , õy GM ký hiu hm Green ca Mandelbrot M Nu c ẻ ảA thỡ c thuc ng ng th ca th v h mt phng ng lc Nh vy, vi mi c ẻ ảA , gi GÂc , Gc ln lt l cỏc ng ng th mt phng ng lc ca Qc vi th v h, h Cỏc m c bao quanh bi GÂc , Gc ln lt l ( )  l h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc cỏc a U  c ,U c v = U c , U c , Qc U  c Nhn xột rng theo cỏch xõy dng, vi mi c ẻ L \ A , giỏ tr ti hn Qc (0) = c nm U c \ U c ng thi c quay mt vũng theo ảA giỏ tr ti hn c quay mt vũng quanh Trong trng hp ny M = M Vớ d Cho f l ( z ) = l cos z v gi s A l mt a c chn thớch hp l - mt phng quanh l = p Ta cú th chn U , U thớch hp, cỏc ỏnh x U , U , f |U to thnh mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc Khi l quay mt vũng theo ảA , im ti hn bt ng ti giỏ tr ti hn quay mt vũng quanh , ú tha cỏc iu kin ca h qu Trong hỡnh 3.3, ta thy bn ca Mandelbrot vi l tõm ca cardioid chớnh ca nú Footer Page 68 of 185 Header Page 69 of 185 63 Hỡnh 3.3 Bn ca Mandelbrot mt phng tham s ca f z cosz 3.2.4 Mt s kt qu khỏc v mi liờn h gia M v M t I = [ 0;1] , L l mt Riemann v = ( f s , l : U  đ U s , l )( ) s , l ắắ s, l ẻ I L l h cỏc ỏnh x ta a thc bc Ta gi s iu kin i, ii ca nh ngha mc 3.1.1 tha Ta cng gi s f : A' ắắđ A liờn tc, chnh hỡnh theo ( l , z ) v l ỏnh x riờng Gi s vi mi s ẻ I , h gii tớch s = ( f s , l ) lẻ L l ta Mandelbrot v M s cha mt compact A è L Khi ú ta núi o v kt ni bi mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot Mnh 3.9 Cho = ( f l ) l ẻ L , = ( g l ) l ẻ L l hai h ta Mandelbrot c tham s húa bi cựng mt mt Riemann L Nu v cú th kt ni bng mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot thỡ ng phụi c f , g = c-G1 c : M ắắđ M G l ta bo giỏc theo ngha M.S.S Footer Page 69 of 185 Header Page 70 of 185 64 Lu ý rng, cho X è Ơ , mt hm j : X ắắđ Ơ c gi l ta bo giỏc theo ngha Mane Sad Sullivan (M.S.S) nu j l mt phộp nhỳng tụpụ v tha iu kin sup d ( j ( y ), j ( x) ) suplimsup xẻ X tđ yẻ St ( x ) inf d ( j ( y ), j ( x) ) ÊƠ yẻ St ( x ) ú St ( x) = { y ẻ X : d ( y, x) = t } chng minh mnh 3.9 ta s dng l - b sau õy B 3.2 ( l - b ) Cho A è , D l a n v m ca v il : A ắắđ l mt h ton ỏnh ph thuc gii tớch theo l ẻ D (tc hm l il ( z ) gii tớch " z ẻ A ) Gi s io l ỏnh x bao hm t A vo Khi ú mi il cú mt ỏnh x m rng ta bo giỏc il : A ắắđ l phộp nhỳng tụpụ ph thuc gii tớch theo l ẻ D v ỏnh x ( l , z ) ắắđ il ( z ) l liờn tc vi ( l , z ) ẻ D A Chng minh mnh 3.9 Ta ch cn chng minh tớnh cht ny vi gn t hl = g l - f l Nu gn , tn ti R > v L  compact tng i L , cha M , cho vi t ẻ bt kỡ, t < R thỡ h t = ( f l + t hl ) l ẻ hp, l ta Mandelbrot Khi ú ( c-t1 ) tẻ Dr , vi thu hp phự L l h gii tớch phc cỏc phộp nhỳng tụpụ t M vo L Mnh c suy t l - b (chỳ ý rng ta ang xột s l tham s v l l bin) Vớ d Cho L v V m , c hai cha a D , bỏn kớnh bng v ỏnh x Footer Page 70 of 185 Header Page 71 of 185 65 L V ắắđ ( l , z ) f l ( z ) = z + l + hl ( z ) l ỏnh x gii tớch phc, hÂl ( 0) = v hl ( z ) Ê 1, " ( l , z ) ẻ L V f l- (U l ) Khi ú f l : U Âắắ t U l = D10 , " l ; U Â= đ U l l ỏnh x ta l l a thc bc vi l Ê v = ( f l : U Âl ắắđ U l ) l ẻ Tht vy, nu l Ê v z = thỡ phng trỡnh D4 l h ta Mandelbrot f l ( z ) 16 - - 1> 10 Vỡ vy f l ( z ) = w cú hai nghim z1 , z2 ẻ D4 nu w < 10 v đ U l l ỏnh x riờng bc hai f l : U Âắắ l Theo nguyờn lý cc i, U Âl l hp tụpụ ca cỏc a v vỡ cú ớt nht mt im ti hn, tc l 0, cụng thc Riemann Hurwitz cho ta U Âằ D v l U Âè D è D10 l Hn na, nu l = thỡ f l ( 0) - 1= v f l ( 0) - - 1= Vỡ vy, f l ( 0) ẽ U Âl v l ẽ M Cui cựng, theo mnh 3.8, ta cú bc tham s l Lu ý i vi mt h nh trờn, ỏnh x c : M ắắđ M l ta bo giỏc theo ngha M.S.S (theo mnh 3.9) Mnh 3.10 Chn e< , gi s cỏc iu kin ca vớ d tha Cho hl ( z ) Ê e vi l < 4; z < Khi ú a) c ( l ) - l Ê e, " l ẻ M b) Nu l , l ẻ M thỡ Footer Page 71 of 185 Header Page 72 of 185 66 1 b( e) l 1- l Ê c ( l ) - c ( l ) Ê k+ ( e) l - l k- ( e) b( e) , ú k- ( e) = 82 e 1+ e; k+ ( e) = 82 e 1- e v b( e) = 1- e 1+ e Chng minh t hl = e.hl cho hl ( z ) Ê 1, vi l < 4; z < t Fs , l ( z ) = z + l + s.hl ( z ) Vi mi s ẻ D, s = ( Fs , l ) lẻ D4 l h ta Mandelbrot, v nu c s c xỏc nh bng cỏch s dng s , ỏnh x c-s l ỏnh x nhỳng t M vo D4 Vi mi c ẻ M , ỏnh x gc : D ắắđ D4 s c-s ( c ) l gii tớch vỡ th ca nú l mt gii tớch ca D D4 (theo h qu 3.3) a) Nu s ẻ D , gc ( s ) Ê , c Ê thỡ gc ( s ) - c Ê Vỡ gc ( 0) = c nờn gc ( s ) - c Ê s theo b Schwarz Nu ly s = e, ta cú c- ( c ) - c Ê e b) Nu c1 c2 thỡ ỏnh x gc1 v gc2 cú th ri Bt ng thc mnh cú c b 3.3 B 3.3 Cho u; v : D ắắđ DR l hai hm chnh hỡnh cú th ri Khi ú u (0) - v(0) 2R Footer Page 72 of 185 b( z ) u ( z ) - v( z ) u (0) - v(0) Ê Ê 2R 2R b( z ) Header Page 73 of 185 67 ú b( z ) = 1- z 1+ z Chng minh t w= log(u - v) v ta cú th chn mt nhỏnh no ú ca hm logarit 2R Ta lm c iu ny vỡ u - v khụng trit tiờu v D liờn thụng t wo = w( 0) Hm w nhn giỏ tr na trỏi ca mt phng Re ( w) < v ỏnh x w w- wo l mt ng cu t na mt phng ú lờn D Khi ú, ta cú w+ wo Re ( w- wo ) w- wo Ê Ê z w+ wo Re ( w+ wo ) Bt ng thc th nht ỳng vỡ ng mc ca ỏnh x w w- wo l ng w+ wo trũn Bt ng thc th hai ỳng theo b Schwarz T ú ta cú b( z ) Ê Re ( w) Ê Re ( wo ) b( z ) Mnh 3.10 c chng minh đU l )l ẻ Vớ d Cho ( f l : U Âắắ l L l mt h gii tớch cỏc ỏnh x ta a thc bc hai c tham s húa bi mt m ca ng phụi vi D Ta gi s rng U l li vi mi l v cú mt compact A è L cho f l ( wl ) khụng thuc bao li ca U Âl , vi mi l ẻ L \ A iu ny suy M compact Ta gi s bc tham s l d= Mnh 3.11 Vi cỏc iu kin ca vớ d 3, ng phụi c : M ắắđ M l ta bo giỏc theo ngha M.S.S Footer Page 73 of 185 Header Page 74 of 185 68 Chng minh Bng phộp i ta affine theo bin l , ta cú th gi s wl = v f lÂÂ( wl ) = 2, " l Tc l f l ( z ) = z + l + O ( z ) Hm c : L ắắđ cú mt khụng im n ti l o ẻ L v ta cú th ng nht L vi mt m ca cho l o = v cÂ( 0) = Khi ú f l ( z) = z2 + l + O( z + l ) v co nh L nu cn thit, ta cú th gi s khong cỏch t U n phn bự ca U b chn di bi s m > khụng ph thuc vo l - v U s , l = s- 2U s l nh t L s = s- L Vi l ẻ L s , t U  s, l = s U  s2 l ngha f s , l : U  đ U s , l nh sau f s , l = s- f s l ( sz ) v f o , l ( z ) = z + l s , l ắắ nh x ( s, l , z ) f s , l ( z ) to thnh mt ng liờn tc ca h ta Mandelbrot kt ni ( f l ) vi z z + l Theo mnh 3.9, ta cú iu phi chng minh Footer Page 74 of 185 Header Page 75 of 185 69 KT LUN Mc ớch ca lun l tỡm hiu v ỏnh x ta a thc v khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc h ng lc phc Kt qu chớnh ca lun c trỡnh by chng v chng Chng nờu cỏc vớ d cho thy ỏnh x ta a thc cú th thu c bng cỏch hn ch mt a thc no ú hoc thụng qua phộp lp ca mt hm c thu hp trờn cho trc c bit, nh lý Straightening ch rừ mt ỏnh x ta a thc tng ng lai vi cỏc a thc thc s, sai khỏc mt phộp ly liờn hp bi ỏnh x affine nh lý ny gii thớch ti ta cú th tỡm thy cỏc bn ca Julia ca a thc cỏc mt phng ng lc ca mi loi hm Chng kho sỏt khụng gian tham s ca h cỏc ỏnh x ta a thc c cho trờn mt a phc nh lý v nh lý cho ta thy s ph thuc liờn tc, ph thuc gii tớch ca h ỏnh x ta a thc vo khụng gian tham s Chng ny cng trỡnh by nh ngha v mt s tớnh cht ca ỏnh x Straightening c nh tớnh chnh hỡnh tụpụ trờn Mandelbrot M, tớnh ta bo giỏc theo ngha M.S.S c bit, M compact, c : M ắắđ M l ph phõn nhỏnh bc d v cú th hn ch thnh mt ng phụi Ngoi ra, chỳng tụi cũn phõn tớch v minh bn ca Mandelbrot mt phng tham s v h ta Mandelbrot Qua lun ny, tỏc gi thc s lm quen vi vic c ti liu v cụng vic nghiờn cu khoa hc mt cỏch nghiờm tỳc, cú h thng Tuy nhiờn, vi s hiu bit cũn hn ch ca bn thõn, tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp, ch bo ca quý Thy Cụ v ngoi Hi ng Footer Page 75 of 185 Header Page 76 of 185 70 TI LIU THAM KHO [1] Adrien Douady, John Hamal Hubbard (1985), On the Dynamics of Polynomial-like Mapping, Annales Scientifiques De Lẫ.N.S tome 18, n0 2, 287-343 [2] Alan.F.Beardon (1990), Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag [3] A.Zdunik (1997), Harmonic Measure on the Julia set for Polynomial like Maps, Invent.math, 303 327 [4] Curtis T McMullen, Complex Dynamics and Renormalization [5] John Milnor (2006), Dynamics in one Complex Variable, Princeton and Oxford [6] Lars V Ahlfors, Lectures on Quasiconformal Mappings, Princeton [7] Lennart Carleson, Theodore W.Gamelin (1992), Complex Dynamics, Springer-Verlag [8] Nỳria Fagella (1995), The theory of Polynomial-like Mapping The importance of Quadratic Polynomials, Univ Autũnomial de Barcelona [9] R Mane, P Sad, D Sullivan (1983), On the Dynamics of Rational Maps, Annales Scientifiques De Lẫ.N.S tome 16, n0 2, 193-217 [10] Tan Lei (2000), The Mandelbrot set theme and variations, London Mathematical society lecture note series 274, Cambridge University Footer Page 76 of 185