Tìm hiểu bước đầu về động lực phức của ánh xạ tựa đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thái TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thái TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Đông hướng dẫn tận tình thầy Trong suốt trình nghiên cứu, thầy kiên nhẫn bảo, trợ giúp động viên em nhiều Sự hiểu biết sâu sắc khoa học kinh nghiệm thầy tiền đề giúp em đạt thành tựu kinh nghiệm quý báu Xin trân trọng cảm ơn quý thầy thuộc khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức cho em suốt thời gian học tập trường Và cuối cùng, lời thân thương xin gửi đến gia đình, nơi tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ giải tích ánh xạ bảo giác 1.2 Ánh xạ tựa bảo giác 1.3 Phép lặp 1.4 Tập Fatou tập Julia 1.5 Không gian phủ phép nâng 10 1.5.1 Không gian phủ 10 1.5.2 Vài tính chất phủ 11 1.5.3 Nhóm 11 1.5.4 Phép nâng 13 1.6 Đa tạp cấu trúc hầu phức 14 1.6.1 Đa tạp 14 1.6.2 Cấu trúc hầu phức 16 1.7 Mặt Riemann 16 1.7.1 Khái niệm phân loại mặt Riemann 16 1.7.2 Mêtric Riemann mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic) 17 1.8 Định lý ánh xạ đo Riemann (định lý Ahlfors – Bers) 18 1.9 Ánh xạ mở rộng – Hàm hyperbolic 22 Chương ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 24 2.1 Định nghĩa ví dụ ánh xạ tựa đa thức 24 2.2 Tập Julia đầy ánh xạ tựa đa thức loại tương đương ánh xạ 27 2.3 Định lý Straightenning 30 2.3.1 Giới thiệu định lý 30 2.3.2 Chứng minh định lý 34 Chương KHÔNG GIAN THAM SỐ CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 45 3.1 Họ giải tích ánh xạ tựa đa thức 46 3.1.1 Định nghĩa 46 3.1.2 Ánh xạ nhúng tubing 47 3.1.3 Phân hoạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ 47 3.1.4 Phát biểu chứng minh định lý 48 3.2 Họ tham số ánh xạ bậc hai 56 3.2.1 Ánh xạ chỉnh hình tơpơ 56 3.2.2 Tính chỉnh hình tơpơ c 59 3.2.3 Trường hợp M  compact định lý 60 3.2.4 Một số kết khác mối liên hệ M  M 63 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Ba phần tử (U , U ¢, f ) tạo thành ánh xạ tựa đa thức 24 Hình 2.2 Hạn chế ánh xạ bậc thành ánh xạ tựa đa thức bậc 25 Hình 2.3 Hạn chế f ( z ) = p cos z (bên trái) Qc3o ( z ) (bên phải) tạo thành ánh xạ tựa đa thức bậc 26 Hình 2.4 Tập Julia đầy Q0 ( z ) = z có màu trắng (bên trái); Tập Julia đầy P- 0.6 ( z ) có màu trắng (bên phải) 31 Hình 2.5 Tập Julia đầy R- 0.75 có màu trắng (bên phải); Tập Julia đầy Q- ( z ) = z - có màu trắng (bên trái) 32 Hình 2.6 Thành phần liên thơng lớn U¢ tương ứng với tập Julia đầy f ( z ) = p cos z hạn chế lên U¢ 32 Hình 2.7 Tập Julia đầy Qc0 , với c0 - 1.76 + 0.01i 33 Hình 2.8 Trái: Hình thỏ Douady hay tập Julia đầy Qc1 ( z ) = z - c1 có màu trắng, với c1 = - 0.122 + 0.745i Phải: Ảnh phóng to tập Julia đầy Qc0 quanh điểm tới hạn Bản tập thỏ Douady tập Julia đầy ánh xạ tựa đa thức ứng với Qc30 33 Hình 3.1 Tập Mandelbrot 45 Hình 3.2 Minh họa cho hệ 3.5 61 Hình 3.3 Bản tập Mandelbrot mặt phẳng tham số f   z   cosz 63 MỞ ĐẦU Tập Mandelbrot tập số phức c cho dãy { Qcn (0)} n³ bị chặn, với Qc = z + c Tập có quan hệ mật thiết với tập Julia đặt tên theo nhà toán học Benoit Mandelbrot Tập Mandelbrot, sau nghiên cứu nhiều nhà tốn học hình ảnh có sức hấp dẫn khơng lĩnh vực tốn học mà cịn lĩnh vực nghệ thuật Được mệnh danh “dấu vân tay Chúa”, tập hợp trở thành ví dụ tiêu biểu cho cấu trúc phức tạo nên từ quy tắc đơn giản hình fractal tiếng Việc nghiên cứu địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động phát triển mạnh vào cuối kỷ 19 Lĩnh vực sau quan tâm nhiều nhà toán học giới Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, … Việc nghiên cứu phép lặp hàm đa thức đóng vai trị quan trọng việc tìm hiểu phép lặp hàm phức tổng quát Khởi đầu với nghiên cứu Sullivan, tính khả tích cấu trúc phức đo mang đến nhiều ứng dụng cho động lực phức Chúng ta gặp tập Mandelbrot nhiều hệ động lực giải tích phức Một kết giải thích cho tính phổ dụng tập Mandelbrot lý thuyết ánh xạ tựa đa thức họ tựa Mandelbrot Douady Hubbard Lý thuyết hiểu biết đa thức không hấp dẫn mà giúp ta hiểu biết lớp rộng nhiều hàm mà địa phương tương đương với đa thức Luận văn “Tìm hiểu bước đầu động lực phức ánh xạ tựa đa thức” nêu số kết liên quan đến ánh xạ tựa đa thức tập Julia tập Fatou ánh xạ tựa đa thức, mối liên hệ ánh xạ tựa đa thức với đa thức, đặc trưng họ tựa Mandelbrot đồng phôi tập Mandelbrot Công cụ nghiên cứu động lực phức cổ điển sử dụng Fatou Julia mêtric Poincare, bổ đề Schwarz định lý Montel cho họ chuẩn tắc Định lý đơn trị hóa định lý Caratheodory cơng cụ để nghiên cứu tơpơ tập Julia tập Fatou Ngoài việc nghiên cứu cịn sử dụng phép biến hình tựa bảo giác, phương trình Beltrami định lý Ahlfors – Bers Cụ thể, luận văn gồm phần sau đây: - Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số khái niệm định lý hệ động lực phức, không gian phủ ánh xạ tựa bảo giác - Chương 2: Ánh xạ tựa đa thức Chương trình bày khái niệm ánh xạ tựa đa thức số ví dụ minh họa Ngồi ra, chương giới thiệu tập Julia tập Fatou ánh xạ tựa đa thức mối quan hệ tương đương, liên hợp ánh xạ Trọng tâm chương định lý Straightening, nói mối liên hệ ánh xạ tựa đa thức đa thức thực - Chương 3: Không gian tham số họ ánh xạ tựa đa thức Chương trình bày số kiến thức họ giải tích ánh xạ tựa đa thức bậc d ³ Nội dung chương mơ tả phụ thuộc liên tục, phụ thuộc giải tích họ ánh xạ tựa đa thức vào không gian tham số Chương nêu khái niệm họ tựa Mandelbrot tính chất Phần cuối luận văn tổng kết lại kết thu ánh xạ tựa đa thức danh mục tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ giải tích ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.1.1: Một hàm f gọi giải tích thực tập mở D Ì  với xo Ỵ D ta viết ¥ f ( x) = å an ( x - xo ) n n= an Î  chuỗi hội tụ f ( x) với x thuộc lân cận xo Định nghĩa hàm giải tích phức (chỉnh hình) phát biểu tương tự cách thay từ “thực” “phức” “  ” “  ” Tập hợp hàm chỉnh hình D ký hiệu O( D) Định nghĩa 1.1.2: Cho M đa tạp phức Một tập A Ì M gọi tập giải tích (phức) M A tập đóng với x0 Ỵ A tồn lân cận U x0 hàm chỉnh hình g1 , , g n thuộc O(U ) cho A ầ U = { z ẻ U : g1 ( z ) = = g N ( z ) = 0} Như tập giải tích (phức) định nghĩa cách địa phương tập không điểm chung hữu hạn hàm chỉnh hình Định lý 1.1.3 Cho D tập mở khác rỗng  Một hàm khả vi thực f : D ắắđ l hm chnh hỡnh D hợp này, ¶f (c) = , " c ẻ D Trong trng ảz ảf trựng vi f  ca f D ảz Định lý 1.1.4 (Nguyên lý phản xạ Schwarz) Giả sử F hàm liên tục nửa mặt phẳng đóng { z Ỵ { : Im z ³ 0} , chỉnh hình nửa mặt phẳng { z Ỵ { : Im z > 0} , nhận giá trị thực trục thực Khi cơng thức mở rộng F ( z ) = F ( z ) cho thác triển giải tích tồn mặt phẳng phức Lưu ý, nguyên lý áp dụng với đĩa đơn vị tồn đẳng cấu chỉnh hình nửa mặt phẳng với đĩa đơn vị Định nghĩa 1.1.5: Cho G Hm s f : G ắắđ  gọi ánh xạ bảo giác z0 Ỵ G có tính chất: a) Bảo tồn góc bảo tồn hướng z0 b) Có k > cho lim z ® z0 f ( z ) - f ( z0 ) =k z - z0 f gọi bảo giác G bảo giác điểm G Định nghĩa 1.1.6: Miền G1 gọi tương đương bảo giác với miền G2 có ánh xạ f : G1 ắắđ chnh hỡnh 1- v f (G1 ) = G2 Định lý 1.1.7 Nếu f chỉnh hình f ¢ khác G f bảo giác G Ngược lại, f bảo giác G f chỉnh hình f ¢ khác G Định nghĩa 1.1.8: Cho D tập mở khác rỗng  Hàm chỉnh hình f Î O( D) gọi ánh xạ song chỉnh hình từ D lên D¢ D¢= : f ( D) v ỏnh x f : D ắắđ DÂcú ỏnh x ngc f - : DÂắắđ D l hm chỉnh hình D Một ánh xạ f : D ¾¾®  gọi song chỉnh hình địa phương c Ỵ D có lân cận U c D cho ánh xạ hạn chế f U : U ắắđ f (U ) l ỏnh xạ song chỉnh hình Định lý 1.1.9 Cho f : D ắắđ l mt ỏnh x chnh hỡnh Khi f song chỉnh 56 Trước hết ta chứng minh co = c ( l o ) Ỵ ¶M Cho ( mn ) dãy P hội tụ đến l o Theo bổ đề 3.1, ta chọn dãy ( m*k )  cho P ¢: z  z + c¢ tương đương cho c ( m*k ) hội tụ đến điểm c¢ tựa bảo giác với Po : z  z + co c ( mn ) ẻ ảM vỡ PnÂ: z z + c¢ Với n tùy ý, điểm c¢= n n có điểm tuần  hồn trung hịa giống f mn Do c¢= lim c¢ n ẻ ảM ; co = c theo mnh 2.7 Cho ( l n ) dãy điểm L hội tụ đến l o Theo bổ đề 3.1, ta chọn dãy ( l *k ) cho c ( l *k ) hội tụ đến  : z  z + c tương đương tựa bảo giác với P điểm c thỏa mãn P o Theo mệnh đề 2.7, c = co Vậy ta có co = lim c ( l *k )  3.2 Họ tham số ánh xạ bậc hai Nội dung mục trình bày số tính chất ánh xạ Straightening c : L ắắđ t khụng gian tham s ca họ ánh xạ tựa đa thức bậc hai đến mặt phẳng phức Nội dung mục định lý (phần 3.2.2) tính chỉnh hình tơpơ c tập Mandelbrot M Phần 3.2.3 xem xét định lý trường hợp M  = c- ( M ) tập compact Phần 3.2.4 trình bày số điều kiện để c ánh xạ tựa bảo giác theo nghĩa M.S.S số mối liên hệ M M  3.2.1 Ánh xạ chỉnh hình tơpơ Trong mục xét  = ( f l ) l Ỵ L họ giải tích ánh xạ tựa đa thức bậc 2, dim L = 1, tức L mặt Riemann Chúng ta nghiên cứu ánh x Straightening c : L ắắđ (c xỏc nh 57 cách sử dụng tubing đó) tập hợp M  = c- ( M ) Nhớ lại rằng, M  hạn chế c M  không phụ thuộc vào việc chọn tubing c nói chung khơng giải tích Chúng ta c có tính chất tơpơ giống ánh xạ giải tích Ta nêu điều kiện để c cảm sinh đồng phôi, tựa bảo giác, từ M  lên tập Mandelbrot M Lưu ý Cho X Y cỏc mt tụpụ c nh hng v j :Y ắắđ X ánh xạ liên tục Nếu y Ỵ Y điểm lập thớ j bậc địa phương i y ( j ) j y định nghĩa sau: Đặt x = j ( y ) chọn U, V lân cận x y, đồng phôi với đĩa mở đơn vị D thỏa mãn j (V ) Ì U { y} = V  j - ( x ) Nếu g chu tuyến (loop) V \ { y} với số vịng quay quanh y i y ( j ) số vòng quay j  g quanh x Nếu j ánh xạ riêng X, Y liên thơng j có bậc, ký hiệu deg j Nếu j ánh xạ riêng X, Y liên thơng, y Ỵ Y cho j (do hữu hạn) deg j = å xỴ j - - ( y ) rời rạc ix ( y ) ( y) Định nghĩa Cho X, Y l cỏc mt nh hng, j :Y ắắđ X ánh xạ liên tục Cho M tập đóng X P = j - ( M ) Ta nói j chỉnh hình tơpơ M với y Ỵ P , y điểm cô lập thớ j i y ( j ) > Mệnh đề 3.6 Gi s j :Y ắắđ X l chnh hỡnh tụpụ M P = j - (M ) 58 a) Với p Ỵ P , tồn lân cận mở, liên thông U V m = j ( p ) p, lân cận có bao đóng compact, cho j cm sinh mt ỏnh x riờng V ắắđ U bậc d = i p j b) Nếu d = j cảm sinh đồng phơi từ P Ç V lên M Ç U Tổng quát hn, j V ắắđ U l phộp cú th viết dạng p  f , p :U  ánh xạ riêng chiếu phủ d – tờ U bị rẽ nhánh m, f : V ắắđ U bc nh x f cảm sinh đồng phơi từ P Ç V lên p- ( M  U ) Chứng minh a) Cho B lân cận compact p, không chứa điểm j - ( m) Vì m Ï j ( ¶B ) nên có lân cận mở U m, đồng phơi với đĩa mở đơn vị D cho U  j ( ảB ) = ặ Gi V l thnh phần liên thông j - o (U ) chứa p Vì V Ì B nên ánh xạ j :V ắắđ U l ỏnh x riờng Theo phn lu ý phía trên, ta có deg ( j V )= i j p b) Áp dụng điều kiện nâng lý thuyết không gian phủ Đặc biệt, biết j * ( p (V \ { p} )) chứa nhóm p1 (U \ { m} ) sinh d, vốn định nghĩa bậc địa phương  Hệ 3.4 Với giả thiết mệnh đề 3.6, điểm P thỏa i p ( j ) > tạo thành tập đóng, rời rạc P Mệnh đề xem nguyên lý cực đại ánh xạ chỉnh hình tơpơ Ta bỏ qua chứng minh mệnh đề Mệnh đề 3.7 (Nguyên lý cực đại ánh xạ chỉnh hình tơpơ) Cho X, Y mặt định hướng, Y liên thông, không compact, 59 j :Y ắắđ X l mt ỏnh x liờn tục, M Ì X tập đóng cho j chỉnh hình tơpơ M Đặt P = j - ( M ) Nếu W thành phần compact tương đối Y \ P j (W ) thành phần compact tương đối X \ M j cảm sinh ánh xạ riêng W ¾¾® j (W ) có bậc lớn 3.2.2 Tính chỉnh hình tơpơ c Định lý Cho  = ( f l ) l Ỵ L họ giải tích ánh xạ tựa đa thức bậc 2, với L liên thơng có số chiều phức Khi ánh xạ khác c : L ắắđ xỏc nh bi tubing T ca ánh xạ chỉnh hình tơpơ M Chứng minh Nếu c khác hằng, c- ( c ) rời rạc với c thuộc tập Mandelbrot M, (theo hệ 3.3) Ta cần chứng minh il ( c) > 0, " l Ỵ M Cho  T tập mở đóng bù L cho phân hoạch M.S.S Ta có trường hợp o a) l Ỵ  ; c Ỵ M Khi c chỉnh hình lân cận l theo định lý b) l ẻ ; c ẻ ảM Theo mnh đề 2.7, f l ¢ tương đương tựa bảo giác với f l l ¢ đủ gần l Theo mệnh đề 2.4, từ ta có f l ¢ tương đương lai với f l Suy c lân cận l Vậy c c) l Ỵ T ; c Ỵ ¶M Gọi D đĩa L chứa l khơng chứa điểm c- ( c ) Đặt g= ¶D; i = il ( c) Theo định nghĩa T , có o l Ỵ D cho c ( g) có số vịng quay i quanh c¢= c ( l ¢) f l ¢ có điểm tuần hồn trung hịa, khơng ổn định 60 o Khi tồn ti l ÂÂẻ D cho c ( g) cú số vịng quay i quanh c¢¢= c ( l ¢¢) o l ¢¢ có điểm tuần hồn hút, vỡ vy cÂÂẻ M Ta cú i = i m( c) , mẻ D c- ( cÂÂ) số hạng tổng lớn c chỉnh hình m (định lý 3) có số hạng tổng ứng với m= l ¢¢  3.2.3 Trường hợp M  compact định lý Giả sử giả thiết định lý thỏa mãn M  compact Khi ú c : M ắắđ M l ph phân nhánh M liên thơng, c có bậc d , mà ta gọi bậc tham số họ  , trái với bậc họ vốn trường hợp Nếu d= M  rỗng Nếu d= c hạn chế thành mt ng phụi M ắắđ M Trong trng hợp này, ta nói  tựa Mandelbrot Gọi wl điểm tới hạn f l Một điều kiện đủ để M  compact tồn A Ì L cho f l ( wl ) Ỵ U l \ U Âl vi l ẻ L \ A Mệnh đề 3.8 Giả sử L đồng phôi với D M  compact Cho A Ì L tập o đồng phôi với D cho M  Ì A Bậc tham số d  số lần f l ( wl ) - wl quay quanh l chạy khắp ¶A Chứng minh Cho l o Ỵ L điểm thỏa f l o ( wl o ) = wl o Khi c ( l o ) = c chỉnh hình lân cận l o Hơn nữa, bội il o ( c) l o không điểm c , với bội l  f l ( wl ) - wl l o không điểm 61 Thật vậy, tương đương lai j l f l với z  z + c ( l ) hàm giải tích theo ( l , z ) c( l ) = j với j ( ) l wl = ; Do d= l ( f l ( wl ) ) dj l ( wl ) ¹ dz il ( c) số không điểm l  f l ( wl ) - wl đếm å - l Ỵ c ( 0)  bội Hệ 3.5 Cho A Ì L tập đóng tham số đồng phôi với đĩa chứa tập M  Giả sử wl điểm tới hạn f l f l ( wl ) Ỵ U l \ U Âl vi mi l ẻ L \ A Đồng thời giả sử l chạy vịng theo ¶A , f l ( wl ) - wl quay vịng quanh (xem hình 3.2) Khi ú ỏnh x C : M ắắđ M l  c = C( l ) o đồng phơi giải tích M F (ở với l Ỵ M  , f l tương đương lai với đa thức dạng Qc ( z ) = z + c nên ánh xạ C định nghĩa tốt) Hình 3.2 Minh họa cho hệ 3.5 62 Lưu ý Giả thiết f l ( wl ) Ỵ U l \ U  l vi mi l ẻ L \ A tương đương với giả thiết M  compact Nếu số vòng f l ( wl ) - wl quay quanh d > C phủ phân nhánh bậc d Ta đưa ví dụ minh họa điều kiện thoả mãn hệ để M = M Xét mặt phẳng tham số họ bậc hai đặt L = { c : GM (c) < h} , A = { c : GM (c) < h} , GM ký hiệu hàm Green tập Mandelbrot M Nếu c Ỵ ¶A c thuộc đường đẳng thế vị h mặt phẳng động lực Như vậy, với mi c ẻ ảA , gi GÂc , Gc ln lượt đường đẳng mặt phẳng động lực Qc với vị h, h Các tập mở bao quanh G¢c , Gc ( ) ¢ họ giải tích ánh xạ tựa đa thức đĩa U ¢ c ,U c  = U c , U c , Qc U ¢ c Nhận xét theo cách xây dựng, với c Ỵ L \ A , giá trị tới hạn Qc (0) = c nằm U c \ U¢ c Đồng thời c quay vịng theo ¶A giá trị tới hạn c quay vòng quanh Trong trường hợp M  = M Ví dụ Cho f l ( z ) = l cos z giả sử A đĩa chọn thích hơp l - mặt phẳng quanh l = p Ta chọn U  , U  thích hợp, ánh   xạ U  , U  , f  |U  tạo thành họ giải tích ánh xạ tựa đa thức Khi l quay vịng theo ¶A , điểm tới hạn bất động  giá trị tới hạn   quay vịng quanh  , thỏa mãn điều kiện hệ Trong hình 3.3, ta thấy tập Mandelbrot với    tâm cardioid 63 Hình 3.3 Bản tập Mandelbrot mặt phẳng tham số f   z   cosz 3.2.4 Một số kết khác mối liên hệ M  M Đặt I = [ 0;1] , L mặt Riemann  = ( f s , l : U  đ U s , l )( ) s , l ắắ s, l ẻ I L họ ánh xạ tựa đa thức bậc Ta giả sử điều kiện i, ii định nghĩa mục 3.1.1 thỏa mãn Ta giả sử f : A' ắắđ A liờn tc, chnh hỡnh theo ( l , z ) ánh xạ riêng Giả sử với s Ỵ I , họ giải tích s = ( f s , l ) lỴ L tựa Mandelbrot M s chứa tập compact A Ì L Khi ta nói o 1 kết nối đường liên tục họ tựa Mandelbrot Mệnh đề 3.9 Cho  = ( f l ) l Ỵ L , 𝔾= ( g l ) l Ỵ L hai họ tựa Mandelbrot tham số hóa mặt Riemann L Nếu 𝔽 𝔾 kết nối đường liên tục họ tựa Mandelbrot đồng phơi c f , g = c-G1  c : M ắắđ M G l ta bo giác theo nghĩa M.S.S 64 Lưu ý rằng, cho X è Ơ , mt hm j : X ắắđ ¥ gọi tựa bảo giác theo nghĩa Mane – Sad – Sullivan (M.S.S) j phép nhúng tôpô thỏa mãn điều kiện sup d ( j ( y ), j ( x) ) suplimsup xỴ X tđ yẻ St ( x ) inf d ( j ( y ), j ( x) ) £¥ St ( x ) St ( x) = { y Ỵ X : d ( y, x) = t } Để chứng minh mệnh đề 3.9 ta sử dụng l - bổ đề sau Bổ đề 3.2 ( l - bổ đề) Cho A Ì  , D đĩa đơn vị mở  il : A ắắđ l mt h ton ỏnh phụ thuộc giải tích theo l Ỵ D (tức hàm l  il ( z ) giải tích " z Î A ) Giả sử io ánh xạ bao hàm từ A vào  Khi il có ánh xạ mở rộng tựa bảo giác il : A ắắđ l phộp nhỳng tụpụ ph thuc giải tích theo l Ỵ D ánh xạ ( l , z ) ắắđ il ( z ) l liên tục với ( l , z ) Ỵ D ´ A Chứng minh mệnh đề 3.9 Ta cần chứng minh tính chất với 𝔾 đủ gần 𝔽 Đặt hl = g l - f l Nếu 𝔾 đủ gần 𝔽, tồn R > L ¢ compact tương đối L , chứa M  , cho với t Ỵ  bất kì, t < R họ t = ( f l + t hl ) l Ỵ hợp, tựa Mandelbrot Khi ( c-t1 ) tỴ Dr , với thu hẹp phù L¢ họ giải tích phức phép nhúng tôpô từ M vào L Mệnh đề suy từ l - bổ đề (chú ý ta xét s tham số l biến)  Ví dụ Cho L V mở  , hai chứa đĩa D , bán kính ánh xạ 65 L V ắắđ ( l , z ) f l ( z ) = z + l + hl ( z ) ánh xạ giải tích phức, h¢l ( 0) = hl ( z ) £ 1, " ( l , z ) Ỵ L ´ V f l- (U l ) Khi ú f l : U Âắắ t U l = D10 , " l ; U Â= đ U l ánh xạ tựa l l đa thức bậc với l £  = ( f l : U Âl ắắđ U l ) l Î Thật vậy, l £ z = phương trình D4 họ tựa Mandelbrot f l ( z ) ³ 16 - - 1> 10 Vì f l ( z ) = w có hai nghiệm z1 , z2 Ỵ D4 w < 10 ® U l ánh xạ riờng bc hai f l : U Âắắ l Theo ngun lý cực đại, U ¢l hợp tơpơ đĩa có điểm tới hạn, tức 0, công thức Riemann – Hurwitz cho ta U ¢» D l U ¢Ì D Ì D10 l Hơn nữa, l = f l ( 0) ³ - 1= f l ( 0) ³ - - 1= Vì vậy, f l ( 0) Ï U ¢l l Ï M  Cuối cùng, theo mệnh đề 3.8, ta có bậc tham số Lưu ý Đối với họ trờn, ỏnh x c : M ắắđ M l tựa bảo giác theo nghĩa M.S.S (theo mệnh đề 3.9) Mệnh đề 3.10 Chọn e< , giả sử điều kiện ví dụ thỏa mãn Cho hl ( z ) £ e với l < 4; z < Khi a) c ( l ) - l £ e, " l Ỵ M  b) Nếu l , l Ỵ M  66 1 b( e) l 1- l £ c ( l ) - c ( l ) £ k+ ( e) l - l k- ( e) b( e) , k- ( e) = 82 e 1+ e; k+ ( e) = 82 e 1- e b( e) = 1- e 1+ e Chứng minh Đặt hl = e.hl cho hl ( z ) £ 1, với l < 4; z < Đặt Fs , l ( z ) = z + l + s.hl ( z ) Với s Ỵ D, s = ( Fs , l ) lỴ D4 họ tựa Mandelbrot, c s xác định cách sử dụng s , ánh xạ c-s ánh xạ nhúng từ M vào D4 Với c ẻ M , ỏnh x gc : D ắắđ D4 s  c-s ( c ) giải tích đồ thị tập giải tích D ´ D4 (theo hệ 3.3) a) Nếu s Ỵ D , gc ( s ) £ , c £ gc ( s ) - c £ Vì gc ( 0) = c nên gc ( s ) - c £ s theo bổ đề Schwarz Nếu lấy s = e, ta có c- ( c ) - c £ e b) Nếu c1 ¹ c2 ánh xạ gc1 gc2 có đồ thị rời Bất đẳng thức mệnh đề có bổ đề 3.3 B 3.3 Cho u; v : D ắắđ DR hai hàm chỉnh hình có đồ thị rời Khi u (0) - v(0) 2R b( z ) u ( z ) - v( z ) u (0) - v(0) £ £ 2R 2R b( z ) 67 b( z ) = 1- z 1+ z Chứng minh Đặt w= log(u - v) ta chọn nhánh hàm logarit 2R Ta làm điều u - v không triệt tiêu D liên thông Đặt wo = w( 0) Hàm w nhận giá trị nửa trái mặt phẳng Re ( w) < ánh xạ w  w- wo đẳng cấu từ nửa mặt phẳng lên D Khi đó, ta có w+ wo Re ( w- wo ) w- wo £ £ z w+ wo Re ( w+ wo ) Bất đẳng thức thứ đường mức ánh xạ w  w- wo đường w+ wo tròn Bất đẳng thức thứ hai theo bổ đề Schwarz Từ ta có b( z ) £ Re ( w) £ Re ( wo ) b( z ) Mệnh đề 3.10 chứng minh ®U l )l Ỵ Ví dụ Cho ( f l : U Âắắ l L l mt h gii tích ánh xạ tựa đa thức bậc hai tham số hóa tập mở  đồng phôi với D Ta giả sử U l lồi với l có tập compact A Ì L cho f l ( wl ) không thuộc bao lồi U ¢l , với l Î L \ A Điều suy M  compact Ta giả sử bậc tham số d= Mệnh đề 3.11 Với điều kiện vớ d 3, ng phụi c : M ắắđ M tựa bảo giác theo nghĩa M.S.S 68 Chứng minh Bằng phép đổi tọa độ affine theo biến l , ta giả sử wl = f l¢¢( wl ) = 2, " l Tức f l ( z ) = z + l + O ( z ) Hàm c : L ắắđ cú mt khụng im n l o Ỵ L ta đồng L với tập mở  cho l o = c¢( 0) = Khi f l ( z) = z2 + l + O( z + l ) co nhẹ L cần thiết, ta giả sử khoảng cách từ U¢ đến phần bù U bị chặn số m > không phụ thuộc vào l - U s , l = s- 2U s l Định Đặt L s = s- L Với l Ỵ L s , đặt U ¢ s, l = s U ¢ s2 l nghĩa f s , l : U  đ U s , l nh sau f s , l = s- f s l ( sz ) f o , l ( z ) = z + l s , l ¾¾ Ánh xạ ( s, l , z )  f s , l ( z ) tạo thành đường liên tục họ tựa Mandelbrot kết nối ( f l ) với z  z + l Theo mệnh đề 3.9, ta có điều phải chứng minh  69 KẾT LUẬN Mục đích luận văn tìm hiểu ánh xạ tựa đa thức không gian tham số họ ánh xạ tựa đa thức hệ động lực phức Kết luận văn trình bày chương chương Chương nêu ví dụ cho thấy ánh xạ tựa đa thức thu cách hạn chế đa thức thông qua phép lặp hàm thu hẹp miền cho trước Đặc biệt, định lý Straightening rõ ánh xạ tựa đa thức tương đương lai với đa thức thực sự, sai khác phép lấy liên hợp ánh xạ affine Định lý giải thích ta tìm thấy tập Julia đa thức mặt phẳng động lực loại hàm Chương khảo sát không gian tham số họ ánh xạ tựa đa thức cho đa tạp phức Định lý định lý cho ta thấy phụ thuộc liên tục, phụ thuộc giải tích họ ánh xạ tựa đa thức vào khơng gian tham số Chương trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ Straightening c tính chỉnh hình tơpơ tập Mandelbrot M, tính tựa bảo giác theo nghĩa M.S.S Đặc biệt, M compact, c : M ắắđ M l ph phân nhánh bậc d hạn chế thành đồng phơi Ngồi ra, chúng tơi cịn phân tích minh họa tập Mandelbrot mặt phẳng tham số họ tựa Mandelbrot Qua luận văn này, tác giả thực làm quen với việc đọc tài liệu công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc, có hệ thống Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong nhận đóng góp, bảo q Thầy Cơ ngồi Hội đồng 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adrien Douady, John Hamal Hubbard (1985), On the Dynamics of Polynomial-like Mapping, Annales Scientifiques De L’É.N.S tome 18, n0 2, 287-343 [2] Alan.F.Beardon (1990), Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag [3] A.Zdunik (1997), Harmonic Measure on the Julia set for Polynomial – like Maps, Invent.math, 303 – 327 [4] Curtis T McMullen, Complex Dynamics and Renormalization [5] John Milnor (2006), Dynamics in one Complex Variable, Princeton and Oxford [6] Lars V Ahlfors, Lectures on Quasiconformal Mappings, Princeton [7] Lennart Carleson, Theodore W.Gamelin (1992), Complex Dynamics, Springer-Verlag [8] Núria Fagella (1995), The theory of Polynomial-like Mapping – The importance of Quadratic Polynomials, Univ Autònomial de Barcelona [9] R Mane, P Sad, D Sullivan (1983), On the Dynamics of Rational Maps, Annales Scientifiques De L’É.N.S tome 16, n0 2, 193-217 [10] Tan Lei (2000), The Mandelbrot set – theme and variations, London Mathematical society lecture note series 274, Cambridge University ... mà giúp ta hiểu biết lớp rộng nhiều hàm mà địa phương tương đương với đa thức Luận văn ? ?Tìm hiểu bước đầu động lực phức ánh xạ tựa đa thức? ?? nêu số kết liên quan đến ánh xạ tựa đa thức tập Julia... liên hợp ánh xạ Mục 2.3 trình bày định lý Straightening nhằm giải thích mối liên hệ ánh xạ tựa đa thức đa thức thực 2.1 Định nghĩa ví dụ ánh xạ tựa đa thức Định nghĩa 2.1: Một ánh xạ tựa đa thức. .. x tựa đa thức bậc d 2.2 Tập Julia đầy ánh xạ tựa đa thức loại tương đương ánh xạ Tập Julia đầy tập Julia định nghĩa cho ánh xạ tựa đa thức giống cách định nghĩa với đa thức Ở đây, ta nhớ ánh xạ