Tìm hiểu bước đầu về fractal và tính tự đồng dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Chí Thiện TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ FRACTAL VÀ TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Chí Thiện TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ FRACTAL VÀ TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu đề tài trung thực chưa công bố hình thức trước Nếu phát có gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Học viên cao học Phan Chí Thiện LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phịng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn quý thầy tổ Giải tích, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt q trình học Cao học Một cách đặc biệt, xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành sâu sắc Chính thầy người giúp tơi hình thành ý tưởng thực luận văn, đồng thời hướng dẫn cách tận tình suốt trình nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm động viên, giúp đỡ bạn bè gia đình giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Phan Chí Thiện MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU 1  Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU VỀ FRACTAL VÀ CHIỀU HAUSDORFF 3  1.1 Một số kiến thức ánh xạ không gian mêtric 3  1.2 Một số ví dụ fractal 5  1.3 Mêtric Hausdorff 11  1.4 Độ đo Hausdorff .12  1.5 Chiều Hausdorff  d .14  1.6 Dãy số nguyên 21  Chương TẬP BẤT BIẾN 23  2.1. Sự tồn tập bất biến ứng với  23  2.2 Một số ví dụ tập bất biến 27  2.3 Đường cong tham số tập bất biến 29  2.4 Độ đo bất biến 30  Chương TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG 34  3.1. Tập tự đồng dạng 34  3.2 Điều kiện tập mở 35  3.3 Sự tồn tập tự đồng dạng 37  3.4 Vài ví dụ khác tập tự đồng dạng 39  KẾT LUẬN 42  TÀI LIỆU THAM KHẢO 44  DANH MỤC KÍ HIỆU ,  Tập hợp số nguyên, số thực n Không gian Euclide n chiều A , A0 , A , Ac Bao đóng, phần trong, biên, phần bù A d  x, A  Khoảng cách x tập A (X ,d) Không gian mêtric X   A, B  Khoảng cách Hausdorff tập A tập B diamE Đường kính tập E spt  Giá độ đo  M  Khối lượng độ đo  k  E  Độ đo k -chiều Hausdorff tập E k Độ đo Lebesgue k -chiều  k  k  A, x  Mật độ k -chiều A x dimH ( E ) Số chiều Hausdorff tập E i1 , , i p Bộ p số hạng có thứ tự lấy từ 1, , N  length Độ dài   Tập bất biến ứng với  ,  Độ đo bất biến ứng với  MỞ ĐẦU Theo Mandelbrot tập hợp có số chiều Hausdorff không nguyên gọi “fractal” Một đặc điểm chung nhiều fractal tính đồng dạng Trong luận văn này, nghiên cứu lý thuyết đối tượng tự đồng dạng Ta gọi tập compact K   n “bất biến” tồn tập hữu hạn   S1 , , S N  ánh xạ co K   n cho N K  Si ( K ) i 1 Trong trường hợp ta nói K bất biến tương ứng với  Trường hợp Si phép đồng dạng (nghĩa hợp thành phép tịnh tiến phép vị tự) K xây dựng trình lặp cách sử dụng đa giác chuẩn ban đầu Thật tập K xác định  Với  cho tồn tập compact bất biến K tương ứng với  Hơn nữa, K giới hạn dãy xấp xỉ tập hợp xây dựng từ  Nội dung luận văn điều kiện đủ cho tồn tập bất biến tập tự đồng dạng ứng với tập  Chính xác hơn, số nội dung sau trình bày luận văn: (1) Cho   S1 , , S N  tập hữu hạn ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ ( X , d ) N Khi tồn tập đóng bị chặn K cho K  Si ( K ) Hơn nữa, K i 1 tập compact K tập điểm bất động hợp thành hữu hạn Si1  Si p phần tử  Ngoài ra, với tập A  X Hausdorff , S p  S   S   p a.x Ký hiệu tập bất biến K (1)  ta có S p ( A)  K theo mêtric (2) Cùng với giả thiết (1), giả sử 1 ,,  N  (0,1) N  i 1 i  Khi tồn độ đo Borel quy  có khối lượng cho N    i Si #    Hơn giá   i 1 Ký hiệu độ đo bất biến (2)  ,  (3) Xét ( X , d ) không gian Euclide  n với mêtric Euclide Si   ánh xạ đồng dạng với LipSi  ri Giả sử D số nguyên dương thỏa mãn N r i 1 D i 1 ( D gọi chiều đồng dạng  ) Trong trường hợp “điều kiện tập mở” (hay gọi điều kiện “tách”, xem định nghĩa 3.2.1) ta có kết sau (i) D = chiều Hausdorff    D      ,  D độ đo Hausdorff (ii)  D ( Si   S j )  i  j ,  (iii)     D      D 1  i  ri D Nội dung luận văn tham khảo tài liệu [1], [2] [3] Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức mở đầu Fractal chiều Hausdroff: Trình bày cách ngắn gọn số khái niệm, ví dụ fractal,… cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau luận văn Chương 2: Tập bất biến: Trình bày tồn tập bất biến; thảo luận tính chất tập bất biến đưa số ví dụ chúng Chương 3: Tính tự đồng dạng: Trình bày khái niệm tự đồng dạng, số chiều đồng dạng điều kiện số chiều để tập bất biến tập đồng dạng Mặc dù có nhiều cố gắng việc tìm hiểu soạn thảo, sai sót điều khơng thể tránh khỏi, nên mong nhận ý kiến đóng góp từ q thầy tồn thể bạn đọc để luận văn tốt Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU VỀ FRACTAL VÀ CHIỀU HAUSDORFF Chương trình bày số kiến thức ví dụ nhằm chuẩn bị cho chương sau Mục 1.1 trình bày số kiến thức ánh xạ co, ánh xạ Lipschiz, ánh xạ đồng dạng không gian mêtric đầy đủ Mục 1.2 dành trình bày số fractal đơn giản giúp minh họa khái niệm kết lý thuyết trừu tượng chương 2, Mục 1.3 trình bày định nghĩa vài tính chất mêtric Hausdorff Mục 1.4 nêu định nghĩa, số tính chất độ đo Hausdorff Mục 1.5 trình bày chiều Hausdorff  d , cách tính chiều Hausdorff với số ví dụ minh họa Mục 1.6 trình bày số ký hiệu tính chất dãy số nguyên 1.1 Một số kiến thức ánh xạ không gian mêtric 1.1.1 Cho ( X , d ) không gian mêtric đầy đủ, thường luận văn ta xét ( X , d ) không gian Euclide  n với mêtric Euclide Ký hiệu B  a, r   {x  X : d  a, x   r} Nếu A  X A bao đóng A , A0 phần A , A biên A Ac phần bù A X (còn kí hiệu X \ A ) Hàm thuộc lớp C1 hàm mà đạo hàm riêng cấp tồn liên tục Hàm thuộc lớp C  hàm có đạo hàm riêng tất cấp Đa tạp thuộc lớp C1  n đa tạp nhúng khả vi liên tục vào  n có topo cảm sinh từ  n 1.1.2 Nếu F : X  X định nghĩa số Lipschitz F LipF  sup x y d  F  x , F  y  d  x, y  Dĩ nhiên, LipF   d  F  x  , F  y     d  x, y  với x, y  X LipF số  nhỏ Ta nói F Lipschitz LipF   F phép co LipF  Mọi ánh xạ co (trong không gian mêtric đầy đủ) có điểm bất động Giả sử   S1 , , S N  họ hữu hạn ánh xạ Si : X  X Ta định nghĩa Si1 i p  Si1   Si p 1.1.3 Ánh xạ S:X X gọi phép đồng dạng d  S  x  , S  y    rd  x, y  với x, y  X r cố định r :  n   n gọi phép vị tự r  x   rx  r   ,  b :  n   n gọi phép tịnh tiến  b  x   x  b (1) Mệnh đề: S : n  n phép đồng dạng S  r   b  O với phép vị tự r , tịnh tiến  b , phép biến đổi trực chuẩn O (2) Quy ước: Trong luận văn tất phép đồng dạng phép co (3) Quay trở trường hợp   n , d  , cho phép đồng dạng S có điểm bất động a , LipS  r O phép biến đổi trực chuẩn cho O  x   r 1  S  x  a   a  Khi S  x  a   rO  x   a nên S  x   rO  x  a   a , dẫn đến S   a1   r  O   a   a1  r   a    a1  O   a  , nên S xem phép biến đổi trực chuẩn quanh a nối theo sau phép vị tự tâm a Ta viết S   a, r , O  nói S có dạng tắc a r xác định S , O xác định S r  Nếu S1   a1 , r1 , O1  , S2   a2 , r2 , O2  S1  S2   a, r , O  r  r1r2 O  O1  O2 Biểu thức tính tốn a 30   f1  x     f  x   Si  f1  g i  x   Si  f  g i  x   Lip Si f1  g i  x    f  g i  x    Lip Si   f1 , f  Vì     f1  ,   f    r   f1 , f  , r  max Lip Si :1  i  N  Dẫn đến  ánh xạ co 2.3.3 Định lí Với giả thuyết  2.3.1, tồn g   cho   g   g Hơn Im g  S Chứng minh: Sự tồn ánh xạ g suy từ mệnh đề 2.3.2 Bằng cách xây dựng Im   f    (Im f ) với f   Nếu   g   g , điều suy Im g   (Im g ) Im g   định lý 2.1.1(i)  2.4 Độ đo bất biến 2.4.1 Định nghĩa độ đo bất biến Cho  X , d  không gian mêtric đầy đủ,   S1 , ,SN  họ ánh xạ co Thêm nữa, ta giả sử tồn tập   1 , ,  N  với i   0,1  N i 1 i  Trong phần 2.4.5, thấy trường hợp Si phép tự đồng dạng với Lip Si  ri , ta lấy i  ri D cách tự nhiên, D chiều đồng dạng tương ứng S (sẽ sử dụng 3.1.3.) Chúng ta quay lại mục 1.4 với thuật ngữ độ đo 1 Với    , đặt   ,      i 1 i Si# Nên   ,    A    i 1  i  S i  A   N N  Đặt   ,       ,   ,        ,      ,        ,     ,   p p 1    với p  Đặt  i1 i p  i1 i p Si1 i p#   Nhận xét rằng:   ,       i , ,i  i1 i p Đồng thời M    ,      M   nên p M  ,   p     M   p với tất p Đặc biệt,   ,   : 1  1  gọi bất biến (tương ứng với   ,   )   ,      31 2.4.2 Mêtric L Cho  ,  1 , đặt L   ,   sup        |  : X  , Lip   1 Chú ý  định nghĩa phần tử   X  Khi kiểm tra L mêtric, có phần khơng dễ kiểm tra điều kiện L   ,    Giả sử spt   spt  B  a, R  Khi với Lip   ta có:               a     a         a     a         a         a   (vì    a       a   )    R     R   2R Ta kiểm tra tơpơ sinh mêtric L tôpô yếu trùng 1  {  : spt  compact} Cuối ý L  a ,  b   d  a, b  2.4.3 Sự tồn độ đo bất biến Định lí 2.4.3.1 (i)   ,   : 1  1 ánh xạ co theo mêtric (ii) Tồn  1 cho   ,       p L  ,      Nếu   1 theo mêtric L Chứng minh (ii) suy từ (i) Chứng minh (i) Giả sử Lip   đặt r  max1i N ri Tiếp theo cho  ,  1 ta có: N N i 1 i 1   ,         ,        i Si#       i Si#    N    i     S i       S i   i 1 N    i r   r 1  Si    r 1  Si  i 1 N   i rL   ,   rL   ,  , i 1  32 Lip  r 1  Si   r 1.1.ri   Độ đo bất biến tương ứng với   ,   kí hiệu  ,  Phần ta có sử dụng số ký hiệu 1.6 Định nghĩa 2.4.3.2 Ta định nghĩa  độ đo tích   N  cảm sinh độ đo   i   i nhân tử 1, , N  Định lí 2.4.3.3 (i)  ,    # ,  :   N   K ánh xạ tọa độ 2.1.1(vii) (ii) spt  ,    Chứng minh: (ii) suy từ (i) 2.1.1(vii) Chứng minh (i) Đặt  i :   N     N  toán tử nâng thứ i định nghĩa 1.6(3) Rõ ràng    i  Si     , ,  ,   bất biến Do đó, N ( S ,  )( # )   i Si#  #    i #  i#    #  i  i#    # Và tính ta có  #   ,   Chú ý: 1) Từ định lý 2.4.3.3 (ii) suy  ,  có giá compact 2) Tồn độ đo bất biến bị chặn, đặc biệt độ đo Lesbesgue n  n 3) Nếu  bất biến  với  dương cố định Yêu cầu  ,   1 đơn giản địi hỏi chuẩn tắc hóa 1  2.4.4 Ví dụ 11 Trở lại ví dụ mục 2.2(1), đặt    ,  kí hiệu r thay 2 2 cho r ,  Trong 3.3.1(iii), ta thấy r   r r  s với Ta 1  r  s  Giả sử  r  s  Bằng cách lấy A   0,1  s  , ta 2  thấy S2  r  ( A)   0,1   r S  r  1 r với  r  1  A  spt  r   0,1 Điều 33  r  A  r S1  r  dẫn đến 1  A   r  rA Một cách tương tự, s  A  s  sA Nếu r  s     sA \ rA  Chọn A   0,1  s  , điều mâu thuẫn với spt    0,1 2.4.5 Những tập khác phép biến đổi đồng dạng sinh tập Cho I tập hữu hạn 1.6(6), đặt I  S :   I  Khi   I  k :   Iˆ áp dụng 2.1.1(iv) cho I Từ 1.6(8)(i), Iˆ  I I chắn Vì I   I chắn ánh xạ tọa độ  ánh xạ 1-1 I   I chắn Giả sử  I : I   0,1 cho  I  i , , i     i    i  Nếu I ngặt, p cách sử dụng 1.6 (8)(ii) ta kiểm tra  p I  I    I ,  I   ,  suy từ 2.4.4(4) 2.1.2 Cuối cùng,  ánh xạ 1-1 I ,  I   ,  I ngặt 34 Chương TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG Trong chương trình bày nội dung luận văn Mục 3.1 dành trình bày khái niệm tự đồng dạng, số chiều đồng dạng điều kiện số chiều để tập bất biến tập đồng dạng Mục 3.2 trình bày điều kiện tập mở Đây điều kiện để tập bất biến  tập tự đồng dạng, cho phép “tách rời” thành phần  i  Mục 3.3 trình bày tồn tập tự đồng dạng dựa vào điều kiện tập mở Mục 3.4 trình bày số ví dụ khác tập đồng dạng 3.1 Tập tự đồng dạng 3.1.1 Định nghĩa K gọi tự đồng dạng (tương ứng với  ) nếu: (i) K bất biến tương ứng với  , (ii)  k  K   0,  k  K i  K j   với i  j k  dim K 3.1.2 Quy ước: Trong phần lại mục này, hạn chế trường hợp   X ,d  họ phép đồng dạng,  n với mêtric Euclide,  k độ đo Hausdorff k -chiều, Lip  Si   ri Đặt   t    i 1 rit Khi đó,     N   t   t   , vậy, tồn N D cho  3.1.3 Định nghĩa: Nếu N r D  i 1 i r D i  , D gọi số chiều đồng dạng  Chúng ta thấy định lý 3.3.1 D với số chiều Hausdorff  Trong phần lại mục này,   1 , ,  N  i  ri D vậy,  xác định bới  Chúng ta viết  thay cho  ,  thường viết K cho   cho  Chú ý  i1 , ,i p xuyên ri1D riDp    i 1 ri D N  p sử dụng kết thường 35 Cuối cùng, ta lấy chọn r1  r2    rN cho để r1  ri :1  i  N  , rN  max ri :1  i  N  3.1.4 Mệnh đề Cho K   , dim K  k Khi đó, (i)  D  K    k  D (điều với ánh xạ co tùy ý Si ) (ii)   k  K    dẫn đến : K tự đồng dạng k  D Chứng minh: (i) K   i1 , ,i p K i , ,i p  i1 , , i p  diam K i , ,i p  D  ri1D ri pD  diam K    diam K  D i1 , , i p D Vì K i , ,i  rND diam K  p   , có điều cần chứng minh p (ii) Giả sử   k  K    K tự đồng dạng cho  k  K i  K j   i  j Khi  k  K    i 1  k  K i    ri k  k  K  , N r i k  D  k Ngược lại, giả sử   D  K    Khi  D  K    i 1  D  K i    i 1 ri D  D  K  N Vì  N N r D  1,  D  K    i 1  D  K i  ,  D  K i  K j   i  j  N i 1 i 3.2 Điều kiện tập mở 3.2.1 Định nghĩa: S thỏa mãn điều kiện tập mở tồn tập mở khác rỗng O cho (i)  Ni1 Si O  O, (ii) Si O  S j O   i  j 3.2.2 Ví dụ điều kiện tập mở (a) Giả sử có tập đóng khác rỗng C thỏa mãn (i) (ii) 3.2.1 với O thay C Đặt d  i  j d  Si C , S j C  , chọn  cho ri  d với i  1, , N Khi  thỏa mãn điều kiện tập mở với O   xC B  x,   Ta thấy Si O   Si B  x,     B  Si x, r ,     B  y, ri  xC xC ySi C Vì vậy, Si O  S j O   i  j SI O  O Trường hợp áp dụng 36 vào ví dụ 2.2.1,  r  12 với tập đóng khác rỗng  0,1 (b) Giả sử tồn tập đóng C với phần khác rỗng thỏa mãn: (1) SiC  C i  1, , N , (2)  Si C    S j C    i  j   Khi điều kiện tập mở với O  C  Trường hợp áp dụng 2.2.1, 2.2.2 với C tập bao lồi đóng  , nghĩa C   0,1 cho 2.2.1 C tam giác  a1 , a5 , a3  cho 2.2.2 3.2.3 Những tính chất điều kiện tập mở Giả sử S thỏa mãn điều kiện tập mở với O Chú ý Si1 i p giao hoán với phép toán tử topo  ,  , , c (tương ứng lấy bao đóng, phần trong, biên, phần bù) Đặc biệt, Oi1 i p  Oi1 i p nên viết rõ ràng O i1 i p Khi đó, (i) O  Oi1  Oi1i2    Oi1i2 i p ; (ii) Ki1 i p  Oi1 i p ; (iii) K j1 j p  Oi1 i p    j1 , , j p    i1 , , i p  ; (iv) Nếu I ngặt, O ,  I rời Vì vậy, (ii) (iii) nói Oi1 i p “cô lập” Ki1 i p khỏi K j1 j p với  j1 , , j p    i1 , , i p  Chứng minh (i) (ii) suy trực tiếp từ 2.1(3) (iii) Giả sử  j , , j    i , , i  p p Nhưng Ki1 i p  Oi1 i p , O j1 j p  Oi1 i p   O j1 j p  Oi1 i p   Do K j1 j p  Oi1 i p   Với (iv), giả sử I ngặt,  ,   I    Đặt p số nguyên lớn (có thể 0) cho tồn dãy i1 , , i p với i1 , , i p   i1 , , i p   Vì I ngặt, nên tồn i p1  j p1 cho i1 , , i p , i p 1   , j1 , , j p , j p 1   Nhưng O  Oi1 i pi p 1 , O  O j1 j p j p 1 3.2.1 vậy, 37   O  O  Si1 i p Oi p 1  O j p 1    3.3 Sự tồn tập tự đồng dạng 3.3.1 Định lý: Giả sử  thỏa mãn điều kiện tập mở Khi (i) Tồn 1 , 2 cho  1  D  K , k     D  K , k   2   với k  K , (ii)   D  K    vậy, K tự đồng dạng 3.1(4)(ii) Đặc biệt, dim K  D 1 (iii)     D  K    D K Để chứng minh định lý trước hết ta cần chứng minh bổ đề sau 3.3.2 Bổ đề: Giả sử  c1  c2       Đặt U i  họ tập mở rời Giả sử tập U i chứa cầu bán kính  c1 chứa cầu bán kính c2 Khi có nhiều 1  2c2  c1 n U i giao với B  0,   n Chứng minh Giả sử U i , ,U k giao với B  0,   Khi đó, U i , ,U k tập B  0, 1  2c2    Cộng thể tích k cầu rời bán kính  c1 tương ứng, thấy k n  nc1n   n 1  2c2   n n k  1  2c2  c1 n  n Chứng minh định lý 3.3.1 Giả sử O tập mở khẳng định tồn điều kiện tập mở Đặt    Trước tiên, chứng minh tồn số 1 ,  cho  1  D   , k     D   , k      với k  K Nhận xét       K i i  i i K i i  ri D ri D  Si i K i i p p p p  ri1D ri pD   K   ri1D ri pD p p  38 Đặt k  ki1 i p xét B  k ,   Chọn  nhỏ thỏa mãn K i1 i p  B  k ,   Khi đó, ri1 ri p  diam K    r1 (nhắc lại r1    rN )   ri D riD  B  k ,    K i i ri D    D D D D  D  D  D  diam K  D Vì p p D   , k   r1D D1  diam K  nên D với k  K Bây chứng minh   D   , k  bị chặn bên  với kK Giả sử O chứa cầu bán kính c1 chứa cầu bán kính c2 Với dãy j1 , , jq ,  C  N  , chọn q nhỏ cho r1   rj1 r jq   Đặt I tập j1 , , jq chọn nhận xét I  ngặt (1.6(7)) Từ 3.2.3 ta O j1 jq : j1 , , jq  I  họ tập mở rời Hơn nữa, O j1 jq chứa cầu có bán kính rj1 rjq c1 chứa cầu có bán kính r1 c1 Nó chứa cầu có bán kính rj1 rjq c2 chứa cầu có bán kính c2 Từ bổ đề (a), ta có nhiều 1  2c2   r1c1  n nhiều 1  2c2   r1c1  n n n O j1 jq , j1 , , jq  I giao với B  k ,   Vì vậy, có K j1 jq , j1 , , jq  I giao với B  k ,     Bây 2.4.3.3(ii) ta có spt  j1 jq  K j1 jq Do 2.4.5   j1 , , jq I   j j q  Cuối cùng, M  j1 jq  rjD1 r jDq   D với j1 , , jq  I Vì  B  k ,   1  2c2   D 1  2c2    D n n D D r1 c1 D  D r1D c1n n n 39 Điều dẫn đến   D   , k   1  2c2   D r1D c1n  1 n (c) Ta có điều (ii) từ 1.4.2(3) (d) Vì K tự đồng dạng nên  D  K i  K j   i  j vậy, 1.4.2 (2) D 1 Đặt     D  K    D N K   D i 1 N Ki    ri D Si #  D i 1 K  , ta có    i 1 ri D Si#   , M    Bởi tính N K nên    , ta chứng minh (iii)   1 (e)Từ (iii), ta có D  K , k   D  D , k    D  K   D   , k  tương tự cho   D K (i) suy từ (b)  3.4 Vài ví dụ khác tập tự đồng dạng Ví dụ tầm thường tập tự đồng dạng đoạn đơn vị  0,1 Ví dụ 12 Đặt S1 (x)  x 2, S2 (x)  (x  1) Khi  0,1  S1  0,1  S2  0,1 Ví dụ gọi “rồng Heighway” John Heighway xây dựng sau: lấy bìa tơng gấp đơi lại Tiếp tục lặp lại q trình tương tự n lần ln theo hướng Cuối cùng, mở tờ giấy theo cách ta có góc vng gấp uốn Đây xấp xỉ thứ n rồng Heighway Chính xác hơn: Ví dụ 13 (Rồng Heighway) Xét tự đồng dạng IFS mặt phẳng:  12  H :  S1 (x)    2  12    12 x, S (x)   1   2   12  1   x   0   12     (3.1) 40 Hình 3.1 Bốn xấp xỉ rồng Heighway Ở ta ý rồng Heighway đường cong phủ khơng gian theo nghĩa có phần khác rỗng Hơn nữa, tồn mặt phẳng lát kích thước rồng Heighway phần rồng Heighway hợp đếm tập phẳng mở rời giống đĩa (xem [5]) Hình 3.2 Xấp xỉ thứ rồng Heighway 41 Trong tất ví dụ mà ta thấy trên, tỉ số co tất ánh xạ IFS giống Ta nói tự đồng dạng IFS Dưới ví dụ IFS tự đồng dạng khơng Ví dụ 14 Đặt 1 S1 ( x)  x S2 ( x)  x  4 (3.2) n Khi xấp xỉ thứ n tập bất biến  gồm n khoảng mà số chúng có   i  khoảng với độ dài 1 với  i  n 4i 2ni Một ví dụ tổng quát IFS tự đồng dạng không thiết sau: Ví dụ 15 Đặt gen : Si ( x)  ri x  ti i 1 IFS  , ri , ti chọn m sau: (i) ri  , (ii) t1  rm  tm  , (iii) ri  ti  ti 1 cho i  1, , m  , Khi cho I i : Si  0,1 , ta có: (a) Ii  Ii 1 ( điều nghĩa điểm cuối bên phải Ii nhỏ điểm cuối bên trái I i 1 ) cho  i  m  (b) Điểm cuối bên trái I1 (c) Điểm cuối bên phải I m Hình 3.3 Ba xấp xỉ IFS tự đồng dạng không 42 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tìm hiểu tính tự đồng dạng Fractal Nội dung luận văn điều kiện cho tồn tập bất biến tập tự đồng dạng Những nội dung tóm tắt sau: Ta gọi tập compact K  n bất biến tồn tập hữu hạn   S1 , , S N  N ánh xạ co K   n cho K  Si ( K ) Với  cho tồn i 1 tập compact bất biến K tương ứng với  Hơn nữa, K giới hạn dãy xấp xỉ tập hợp xây dựng từ  Trường hợp  họ phép đồng dạng Si (1  i  N ) với hệ số Lip  Si   ri tồn số D cho  N r D  D gọi số chiều đồng i 1 i dạng  K gọi tự đồng dạng (tương ứng với  ) nếu: (i) K bất biến tương ứng với  ,   (ii) k  K   0, k Ki  K j  với i  j k  dim K Tập bất biến K tự đồng dạng số chiều với số chiều đồng dạng tập  , nghĩa k  D Với điều kiện tập mở thỏa mãn cho phép đồng dạng Si D với số chiều Hausdorff  Khi tập bất biến  tập tự đồng dạng, cho phép “tách rời” thành phần  i  Tính tự đồng dạng đặc điểm chung fractal Nhưng tập tự đồng dạng fractal Ngày với hỗ trợ công nghệ thơng tin, Hình học fractal phát triển mạnh mẽ Tính tự đồng dạng fractal có nhiều ứng dụng việc mô tả nghiên cứu cấu trúc hỗn độn giới tự nhiên, điều mà hình học Euclid chưa làm Do cịn nhiều hạn chế khách quan lẫn chủ quan nên luận văn dừng lại khuôn khổ định Tôi hy vọng 43 tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề tương lai, qua phát nhiều ứng dụng quan trọng, góp phần nhỏ cho phát triển Toán học đại giai đoạn ngày 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Antonio Di Ieva (2016), The Fractal Geometry of the Brain, Springer Series in Computational Neuroscience, New York Christoph Bandt, Kenneth Falconer, Martina Zähle (2015), Fractal Geometry and Stochastics V , Progress in Probability 70, Birkhäuser Basel Herbert Federer (1969), Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, New York Kenneth Falconer (2014), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley John E Hutchinson (1981), Fractals and Self Similarity, Indiana University Mathematics Journal, 30(5), pp.713–747 ... thành phần  i  Tính tự đồng dạng đặc điểm chung fractal Nhưng tập tự đồng dạng fractal Ngày với hỗ trợ công nghệ thông tin, Hình học fractal phát triển mạnh mẽ Tính tự đồng dạng fractal có nhiều... Chương TÍNH TỰ ĐỒNG DẠNG 34  3.1. Tập tự đồng dạng 34  3.2 Điều kiện tập mở 35  3.3 Sự tồn tập tự đồng dạng 37  3.4 Vài ví dụ khác tập tự đồng dạng ... Hình 3.3 Ba xấp xỉ IFS tự đồng dạng không 42 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tìm hiểu tính tự đồng dạng Fractal Nội dung luận văn điều kiện cho tồn tập bất biến tập tự đồng dạng Những nội dung tóm