Tìm hiểu bước đầu về hàm lyapunov và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Bảo Hưng TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Bảo Hưng TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thạc sĩ thực Các nội dung nghiên cứu kết trích dẫn luận văn liệt kê đầy đủ danh mục tài liệu tham khảo Học viên cao học Trần Bảo Hưng LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phịng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn cao học Tơi xin gửi lời cảm ơn quý thầy tổ Giải tích, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Một cách đặc biệt, xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Thành Nhân – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành sâu sắc Chính thầy người giúp tơi hình thành ý tưởng thực luận văn, đồng thời hướng dẫn cách tận tình suốt trình nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ bạn bè gia đình giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Trần Bảo Hưng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan  Lời cảm ơn  Mục lục  MỞ ĐẦU 1  Chương HỆ ĐỘNG LỰC 3  1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Ví dụ .6 1.3 Sự hội tụ điểm cân bằng: 1.4 Tính ổn định điểm cân bằng: Chương ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH LYAPUNOV 10  2.1 Một kết tổng quát 10 2.2 Định lý ổn định cổ điển Lyapunov 12 2.2.1 Một chứng minh định lý ổn định Lyapunov cổ điển 12 2.2.2 Áp dụng phương pháp Lyapunov 13 2.2.3 Nhận xét chứng minh gốc Lyapunov định lý ổn định 15 2.3 Ứng dụng vào phương trình nhiệt nửa tuyến tính 17 2.3.1 Ứng dụng đơn giản 17 2.3.2 Nghiệm dương ổn định lũy thừa phương trình nhiệt .19 Chương NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN LASALLE 23  3.1 Phương pháp thứ hai Lyapunov 23 3.2 Ổn định tiệm cận hàm Lyapunov 24 3.3 Các tiêu chuẩn Barbashin-Krasovskii-LaSalle cho ổn định tiệm cận 28 3.4 Nguyên lý bất biến Lasalle tổng quát 29 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG .32  4.1 Tiêu chuẩn vi phân cực tiểu 32 4.2 Ứng dụng vào hệ gradient 34 4.3 Ứng dụng vào phương trình nhiệt nửa tuyến tính 36 KẾT LUẬN 38  TÀI LIỆU THAM KHẢO 39  MỞ ĐẦU Trong lý thuyết phương trình vi phân, hàm Lyapunov dùng để chứng minh tính ổn định điểm cân phương trình vi phân Hàm Lyapunov có vai trị quan trọng lý thuyết ổn định hệ động lực Hàm Lyapunov đưa nhà toán học người Nga Aleksandr Lyapunov Ngồi ơng người đưa lý thuyết ổn định Lyapunov mà ứng dụng nhiều phương trình vi phân Một toán quan trọng liên quan đến ổn định nghiệm gần điểm cân Mô tả cách dễ hiểu, nghiệm phương trình vi phân có khởi đầu gần điểm cân xe ln gần xe theo thời gian điểm cân xe gọi ổn định Lyapunov Nếu điểm xe ổn định Lyapunov nghiệm phương trình vi phân có khởi đầu gần điểm cân xe hội tụ xe điểm xe gọi ổn định tiệm cận (xem [2]) Lý thuyết ổn định Lyapunov dựa hai phương pháp mà người ta thường gọi phương pháp thứ phương pháp thứ hai Lyapunov Phương pháp thứ phương pháp tuyến tính hóa để hình thành ổn định tiệm cận quanh điểm cân Phương pháp thứ hai biết đến tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, xây dựng dựa khái niệm hàm Lyapunov hệ động lực Một cách đơn giản để hình dung phương pháp xem xét hệ vật lý với hàm lượng tương ứng Nếu hàm lượng giảm dần theo thời gian khơng phục hồi đến cuối hệ dừng lại đạt trạng thái nghỉ Phương pháp cho phép chứng minh tính ổn định mà khơng địi hỏi kiến thức vật lý hàm lượng, mà cần có hàm Lyapunov thỏa mãn tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Từ sau Lyapunov, nhóm nhà tốn học người Nga tiếp tục mở rộng lý thuyết Lyapunov, mà biết đến tiêu chuẩn ổn định BarbashinKrasovski-LaSalle hay nguyên lý bất biết LaSalle Nguyên lý công bố báo năm 1960 LaSalle [4] Ngồi ra, với số lớp phương trình vi phân, tồn hàm Lyapunov điều kiện cần đủ để thu ổn định Mặc dù chưa có phương pháp tổng quát để xây dựng hàm Lyapunov cho phương trình vi phân, nhiên hàm Lyapunov xây dựng với số phương trình đặc biệt Một kết gần công bố [1], [5] Luận văn tập trung tìm hiểu kiến thức bước đầu hàm Lyapunov, phương pháp Lyapunov tính ổn định, nguyên lý bất biến LaSalle số ứng dụng Các kết luận văn trích dẫn từ sách xuất năm 2015 hai tác giả Alain Haraux Mohamed Ali Jendoubi [3] Luận văn trình bày theo bốn chương - Chương Giới thiệu lại định nghĩa số tính chất hệ động lực dạng tổng quát Cùng với hệ động lực, tính chất tính ổn định điểm cân mơ tả chương - Chương Trình bày định lý ổn định Lyapunov dạng cổ điển chứng minh đơn giản Một số kết ứng dụng vào phương trình nhiệt nửa tuyến tính chứng minh chương - Chương Trình bày nguyên lý bất biến LaSalle, xây dựng dựa hàm Lyapunov Đây kết mở rộng định lý ổn định Lyapunov - Chương Giới thiệu số ứng dụng để chứng minh kết hội tụ đến điểm cân nghiệm hệ gradient bậc nhất, bậc hai phương trình nhiệt nửa tuyến tính Chương HỆ ĐỘNG LỰC 1.1 Kiến thức chuẩn bị Xuyên suốt luận văn này,  Z , d  không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực  Z , d  họ S (t )t  ánh xạ Z  Z thỏa: i t  0, S  t   C  Z , Z  ; ii S   ánh xạ đồng nhất; iii s, t  0, S  t  s   S (t )  S ( s ); iv z  Z , S (t ) z  C  0,   , Z  Chú ý 1.1.2 Trong phần sau ta kí hiệu S  t  S  s  thay cho S  t   S  s  Chú ý 1.1.3 Nếu F tập đóng Z thỏa S  t  F  F t  S  t   /F t 0 hệ động lực ( F , d ) Chú ý 1.1.4 Với z  Z , đường cong liên tục t  S (t)z gọi quỹ đạo z (dưới S  t  ) n  Định nghĩa 1.1.5 Cho z  Z Tập   z    y  Z tn   : S  tn  z  y gọi tập   giới hạn z (dưới S  t  ) Mệnh đề 1.1.6 Chúng ta có  ( z )   S (t ) z s 0 t  s Mệnh đề 1.1.7 Với z  Z t  , ta có  (S(t)z) =  (z); (1.1) S(t)( (z))   (z); (1.2) Ngoài ra,  S  t  z compact tương đối Z S(t)( (z)) =  (z)   t 0 (1.3) Chứng minh: a) (1.1) hệ trực tiếp mệnh đề 1.1.6 b) Cho y    z  Chuỗi vô hạn tn    mà n → + ∞, S ( tn ) z  y Với t ≥ 0, đặt  n  tn  t , ta thấy S  n  z  S  t  y , S  t  y    z  ; suy (1.2) c) Giả sử  S  t  z compact tương đối Z Tồn chuỗi vô hạn t 0   tn   y  Z cho S t n z n  y Do y   (z)   z    Để chứng minh   z   S  t    z   , ta lấy y   (z) tn   mà S  t n  z  y Đặt  n  tn  t Thay  n dãy con, giả sử S  n  z      z  Vì tính liên tục S  t  nên S  t    S  t  lim S  n  z  lim S  tn  z  y Điều phải n  n  chứng minh Định lí 1.1.8 Giả sử  S  t  z compact tương đối Z Khi đó: t 0 i S  t    z      z   t  0; ii   z  tập compact liên thông Z; t  0 iii d  S  t  z,   z    Chứng minh: (i) (1.3) Hơn nữa, s  0,  S  t  z tập khác rỗng , compact ts liên thông Z Theo mệnh đề 1.1.6,  ( z ) tập compact liên thơng Z, có biểu diễn giao dãy không tăng tập compact liên thông Đây ý (ii) Ta kiểm tra (iii) phản chứng, ta giả sử tồn tn     cho d  S  tn  z,   z     Do tính compact từ định nghĩa   z  , nên có y    z  dãy tn '   mà S  t n '  z  y Do d  S  tn '  z,   z    (mâu thuẫn) Bây giới thiệu ví dụ hệ động lực Cho X không gian Banach thực, A tốn tử tuyến tính, xác định X , F : X  X liên tục Lipschitz tập bị chặn X Với x  X , tồn   x    0;    nghiệm cực đại (maximum solution)   u  C 0,   x   , X phương trình 25 Để đơn giản xem xét nghiệm cổ điển (3.2) mà khác biệt rõ ràng hợp lý Chúng ta có kết sau ổn định tiệm cận toàn cục: Định lý 3.2.1 Cho 1, u  Lloc  R  , H  H 01      Wloc  R  , H 01      Wloc2,  R  , L2     nghiệm (3.2) Khi đó, có   u    2  ut2  t , x  dx  M   u  0, x  dx   ut  0, x  dx  e  t với       phụ thuộc  ; C ,  , M bị chặn tập bị chặn Chứng minh: Chúng ta kí hiệu ( , ) cho tích vơ hướng L2    , viết | | thay cho chuẩn tương ứng kí hiệu chuẩn H 01    Ngồi tích vơ hướng H 1     H 01    ký hiệu , Bây định nghĩa   t   u  t   ut  t     u  t  , ut  t   với   2 Đối với  đủ nhỏ,  so sánh với lượng bình thường có được:   2 d u  t   ut  t   utt  Lu , ut  2  g  ut  ut dx dt  2 d u  t  , ut  t    ut  t   utt  t  , u  t   ut  t   u  t    g  u ' udx  dt  Vì : 2 d  2  g  ut  ut dx   ut  t    u  t     g  ut  udx dt   Từ (3.3) , (3.4), (3.7) suy g  v   2C v  v  g v  1  2C  vg  v    v   Đặc biệt v  L 1 (Ω), cách đặt    1 ta có  (3.7) 26 g v   2C v Vì    N   /  N   2C   1   vg v dx     C1 v     nên       C2   vg  v  dx      2N   (2 ) '  N 2 (3.7) Suy 2 d       ut  t    u  t   K1 u  t  ut  t  dt   g  ut  ut dx  C2  ut g  ut  dx   u t  (3.8)  Bằng cách xếp lại số hạng áp dụng bất đẳng thức Young với số mũ    suy từ (3.8): 2  1 d    1        ut  t    K     u  t    C2  u  t  dt   Vì E  t   u  t   ut  t  hàm không giảm t  , chúng 2 ta chọn   nhỏ, tùy thuộc vào E   , thỏa: t  0,   2 d   u  t   ut  t   dt (3.9) Điều cho thấy E  t   theo cấp số nhân, tập bị chặn H 01     L2    Khi với điều kiện ban đầu, tìm thấy T0  , phụ thuộc vào E   , thỏa E  t   t ≥ T0 Bây cho t ≥ T0 , ta có (3.9) với  độc lập E   Suy (3.6) với  độc lập E   1)Xét phương trình vi phân cấp 1: u'   u p 1 u ,t  (3.10) với p  Các nghiệm (3.10) cho công thức u t   sign  u0   p  1t  u  1 p Rõ ràng từ (3.11): p 1 (3.11) 27   p 1 u t  ~  t  , u0     p  1 t  2) Trước hết xem xét phương trình (với c  0, p  ) u ''  u  c u ' p 1 u '  0, t  (3.12) Đặt   t   (u  u '2 )  t  Khi  '  t   2c u ' p 1   2c (u  u '2 ) p 1 /2  2c  t   p 1 /2 ví dụ trước, suy   p 1    t     1 p       c  p  1 t     Do lượng tiến tới giống t 2/  p 1 t    Thật ta có Mệnh đề 3.2.2 Với u nghiệm (3.12) t  0, {u  t   u '2  t }1/2  C  u   , u '    t 1/  p 1 (3.13) Chứng minh: Đặt   t   u  t   u '2  t    u  t  p 1 u t  u 't  Khi đó:  ' = 2c u ' c u ' p 1 p 1   u' u u p 1 p 1 ( pu '2  uu '')  2c u ' u )   2c u ' p 1 p 1  [ p u   { 1 /  u p 1 p 1 u '2   C u' u p 1 p 1 }, C phụ thuộc vào u   , u '   Đối với   đủ nhỏ, có  ' ≤    /  { u p 1  u ' p 1 }    (  )(p+1)/2 Rõ ràng, (3.14) suy (3.13)  đủ nhỏ 3) Cuối cùng, cách sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 3.2.1, ta chứng minh (3.14) 28 Định lí 3.2.3 Giả sử g  C1  R  thỏa mãn điều kiện   0, g  v  v  v C  0, g  v  p 1  C , v  R , v  v   , v  R , với:  p   ,  thỏa mãn (3.5) Khi đó, với nghiệm 2, u  Lloc  R  , H  H 01      Wloc  R  , L2     (3.2) ta có   1   2 u  u  t , x  dx  M   u  0, x  dx,  ut  0, x  dx  t p 1    2 t  (3.15) Chứng minh:  Đặt   t   u (t )  u '(t )   u (t )  u '(t ) 2 2  p 1  u (t ), u '(t )  Bằng cách điều chỉnh chứng minh Định lý 3.2.1 Mệnh đề 3.2.2 ta thu  '     p 1 với giá trị   đủ nhỏ số   phụ thuộc vào lượng ban đầu 3.3 Các tiêu chuẩn Barbashin-Krasovskii-LaSalle cho ổn định tiệm cận Định lý 3.3.1 Cho f  C1 ( R N ) xét hệ (2.6) Cho a  R N thỏa f  a   U tập mở bị chặn với a  U thỏa (i) Đối với x đủ gần a , nghiệm u (2.6) với u    x toàn cục U (ii) ∃ V  C1 ( R N ) cho u  U , V '  u  , f (u )  (iii) Tập u  U , V '(u ), f (u )  0 khơng chứa nghiệm (2.6) trừ a Khi đó, a tối thiểu địa phương nghiêm ngặt V , điểm cân U a điểm cân ổn định tiệm cận (2.6) Chứng minh: Lấy quỹ đạo u (2.6) với u   đủ gần a mà u U , lấy     u  lấy z nghiệm z '  f  z  ; z     29 Vì V  u  t   tiến tới l t → + ∞, nên ta có ∀ t ≥ 0, V  z  t    l Ngoài ∀ t ≥ 0, z  t   U V '  z (t )  , f  z (t )   d V  z (t )   dt Trường hợp đặc biệt hệ (iii), ta có t  0, z  t   a,   a Vì vậy, u  t  hội tụ tới a t →+ ∞ Hơn nữa, u0  a , (iii) nên có số T  R  mà V '  u (T )  , f  u (T )   V (u  )  V  a  Vì vậy, a tối thiểu địa phương nghiêm ngặt V từ 1.4.3 ta thu kết luận mong muốn Ví dụ 3.3.2 Ta xét hệ u '  v ; v '  u  g  v   c c  R g tăng với g    Đặt V  u, v   u  c   v2 Dễ thấy   u , v   R , V '  u , v  , f  u , v   2 g (v)v  Lấy cầu U tâm  c,0  , điều kiện i) ii) rõ ràng thực Khi đó, quỹ đạo  u , v  thỏa mãn V '  u , v  , f  u , v   , từ 2 g (v)v  ta suy v  , v '  phương trình thứ hai u  c Cuối  c,  cân ổn định tiệm cận toàn cục hệ Định lý 3.3.1 3.4 Nguyên lý bất biến Lasalle tổng quát Cho  Z , d  không gian metric đầy đủ S  t t 0 hệ động lực Z Định nghĩa 3.4.1 Một hàm   C  Z , R  gọi hàm Lyapunov cho S  t  t 0 có   S  t  z     z  , z  Z , t  (3.16) Nhận xét 3.4.2 Bằng việc sử dụng tính chất nhóm S  t  , ta thấy  hàm Lyapunov cho S  t  t 0 với z  Z hàm 30 t    S  t  z  không tăng Kết sau gọi nguyên lý bất biến LaSalle Định lý 3.4.3 Cho Φ hàm Lyapunov cho S  t t 0 , z ∈ Z thỏa  S (t ) z t 0 compact tương đối Z Khi (i) c  lim   S (t ) z  tồn t  (ii)   y   c, y    z  Đặc biệt : y    z  , t  0,   S  t  y     y  Chứng minh: (i)   S  t  z  không tăng bị chặn  S (t ) z compact tương đối t 0 Suy tồn giới hạn c (ii) Nếu y    z  , tồn chuỗi tn → + ∞ mà S ( t n ) z → y Do  ( S (tn ) z )    y  điều hàm ý   y   c Tính chất cuối hệ trực tiếp tính bất biến   z  (Định lý 1.1.8,(i)) Nhận xét 3.4.4 Thực tế, Định lý 3.4.3 sử dụng để biểu thị hội tụ số quỹ đạo S  t t 0 đến trạng thái cân Do đó, định nghĩa định lý sau Định nghĩa 3.4.5 Một hàm Lyapunov  cho S  t t 0 gọi hàm Lyapunov nghiêm ngặt điều kiện sau thoả mãn: z  Z mà   S  t  z     z   t  trạng thái cân S  t t 0 Định lý 3.4.6 Cho  hàm Lyapunov nghiêm ngặt cho S  t t 0 , z  Z thỏa  S (t ) z compact tương đối Z Đặt E tập điểm cân t 0 S  t t 0 Khi (i) E tập đóng khác rỗng Z ; 31 (ii) d  S  t  z , E   t → + ∞, nghĩa   z   E Chứng minh: Do tính liên tục S  t  nên E đóng Do Định lí 1.1.8 (i),   z    Bây lấy y    z  Theo Định lý 3.4.3 suy   S  t  y     y  , ∀ t  , Vf  hàm Lyapunov nghiêm ngặt nên y trạng thái cân bằng: ta có (i)   z   E Từ định lý 1.1.8 (iii) suy (ii) Nhận xét 3.4.7 Định lý 3.4.6 có nghĩa tập hợp điểm cân chứa tất quỹ đạo S  t t 0 3.4.8 Hệ Theo giả thiết Định lý 3.4.6, lấy c  lim   S  t  z   c   x   ,   x   c t  Khi  c tập đóng khác rỗng Z d ( S  t  z ,  c ) → t → + ∞ Nếu  c rời rạc tồn y   c mà S (t ) z  y t → + ∞ Chứng minh: Vì E đóng  liên tục, nên  c đóng Phần cịn lại hệ kết tất nhiên Định lý 3.4.3, 3.4.6 1.1.8 (ii) 32 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Tiêu chuẩn vi phân cực tiểu Cho S  t  hệ động lực  Z , d  Ta biểu thị F tập điểm cân S  t  sau F   x  Z , t  0, S  t  x  x (4.1) Định lý 4.1.1 Cho u  Z cho quỹ đạo S  t  u0 có dãy compact tương đối Z Khi tính chất sau tương đương   u0   F ; (4.2) h  0, d  S  t  h  u0 , S  t  u0   t   ; (4.3)   0, h   0,  , d  S  t  h  u0 , S  t  u0   t   (4.4) Chứng minh: (4.4) suy (4.2) Giả sử ta có (4.4) x    u0  Khi tồn t n tiến tới  cho lim S  tn  u0  x n  Do theo tính liên tục S  h  h  0, lim S  tn  h  u0  lim S  h  tn  u0  S  h  x n n Mặt khác, hệ (4.4), ta có h   0,  , lim S  tn  h  u0  x n  Bằng cách so sánh với hai cơng thức trước ta tìm h   0,   , S  h  x  x Khi chứng minh quy nạp tầm thường dẫn đến h   0,   , n   , S  n  h  x  x Điều rõ ràng suy (4.2) ii) (4.2) suy (4.3) Giả sử (4.3) khơng Khi với h  tồn   33 dãy t n tiến  cho n  , d  S  tn  h  u0 , S  tn  u0    Ta thay dãy t n dãy con, biểu thị t n , cho S  tn  u0 hội tụ giới hạn x  X Theo hệ (4.2) ta có x  F Bằng cách cho n tiến tới vô cực bất đẳng thức trên, S  tn  h   S  h  S  tn  S  h  liên tục, ta có d  S  h  x, x    Điều mâu thuẫn với (4.2) Vì (4.2) suy (4.3) ta kết thúc chứng minh Trong mục ta giả sử Z tập đóng khơng gian Banach X Hệ 4.1.2 Cho u  Z cho quỹ đạo S  t  u0 có dãy compact tương đối Z Giả sử có thêm điều kiện 1,1 S  t  u0 : u  t   Wloc  R , X  Khi   0,  t  t u '  s  ds  t   (4.5) Thì ta có (4.2) Chứng minh: Đủ để thấy h   0,   , d  S  t  h  u0 , S  t  u0    t h t u '  s  ds   t  t u '  s  ds  t   Vì (4.4) thỏa mãn, theo định lý 4.1.1 suy (4.2) Hệ 4.1.3 Cho u  X cho quỹ đạo S  t  u0 có dãy compact tương đối Z Giả sử có thêm điều kiện 1,1 S  t  u0 : u  t   Wloc  R , X  Khi với p  u '  Lp  R  , X  (4.6) 34 Thì ta có (4.2) Chứng minh: Thật trường hợp ta có  t 1 t u '  s  ds   t 1 t u '  s  ds p  p  t   4.2 Ứng dụng vào hệ gradient Cho N  F  C   N  Ta xét phương trình u '  t   F  u  t    (4.7) Và định nghĩa    z   N , F  z   0 Hệ 4.2.1 Bất kỳ nghiệm u  t  (4.7) mà xác định bị chặn   thỏa mãn lim dist u  t  ,    t  Trong trường hợp khác ta có   u      Hơn nữa, với c , tập  c  u   , F  u   c rời rạc, tồn u *   cho lim u  t   u* t  Chứng minh: Ta xét hệ động lực tổng quát (4.7) bao đóng dãy u Ở rõ ràng tập F điểm cố định S  t  cách xác với  định nghĩa Nhân u ' trường hợp tích bên  N lấy tích phân ta  T u '  t  dt  F  u     F  u  t   Vì u bị chặn ta có u '  L2    , X  với X   N Theo hệ 4.1.2, ta có   u      Hơn F  u  t   không tăng dọc theo quỹ đạo d F u t    u 't  dt 35 Vì F  u  t   tiến tới giới hạn c t trở thành vô cực   u      c Phần lại hệ Mệnh đề 1.2.1 Chú ý 4.2.2 Bằng cách sử dụng bổ đề 1.2.2 áp dụng cho hàm u '  t  dễ dàng chứng minh u '  t  tiến vô cực.Ta tự hỏi u  t  hội tụ Trong hai chiều, điều đoán chứng minh J.Palis W.De Melo hội tụ khơng xảy chí trường hợp F hàm C  Cho F ,  Ta xét phương trình u ''  t   u '  t   F  u  t    (4.8) Hệ 4.2.3 Bất kỳ nghiệm u  t  (4.8) mà xác định bị chặn   với u ' thỏa mãn lim u '  t   lim dist u  t  ,    t  t  Trong trường hợp khác ta có   u   , u '       0 Hơn nữa, với c , tập  c  u   , F  u   c rời rạc, tồn u *   cho lim u  t   u* t  Chứng minh Ta xét hệ động lực tổng quát (4.8) bao đóng dãy U   u , u '  Ở tập F điểm cố định S  t  lấy điểm  y, z    N   N cho nghiệm u (4.8) liệu lúc đầu độc lập với t Một cách hệ F    0 Nhân u ' trường hợp tích bên  N lấy tích phân ta 2 d 1   u 't   F u t     u 't  dt   Suy 36  T u '  t  dt  F  u     F  u  t     u ' 0  u 't  2  Vì u bị chặn ta có u '  L2    , X  với X   N Hơn lấy đạo hàm phương trình ta có u ''' u '' 2 F  u  t   u '  Bằng cách nhân với u '' trường hợp tích bên  N lấy tích phân ta  T   u '  t  dt    F  u  t   u '.u ''  t  dt  T  u ''    u ''  t  2  Vì u '' bị chặn phương trình, ta suy u ''  L2    , X  Do U '   u ', u ''  L2    , X  X  Theo Hệ 4.1.2, ta có   u   , u '       0 Đặc biệt u '  t  tiến t tiến vô cực Hơn nữa, u '  t   F  u  t   không tăng dọc quỹ đạo tiến giới hạn t tiến vô cực Cuối   u   , u '      c  0 Phần lại hệ Mệnh đề 1.2.1 4.3 Ứng dụng phương trình nhiệt nửa tuyến tính Cho  tập mở  N với biên  liên tục Lipschitz, f :    liên tục Lipschitz địa phương, f    X  C0    Xuyên suốt mục ta giả sử  bị chặn định nghĩa   u  X  H 01    , u  f  u   0 ,   X  H 01 , E     dx   F   dx    Với u F  u    f  s  ds, u   Cho  c  u   , E  u   c , với c   Ta chứng minh Định lý 4.3.1 Cho u nghiệm toàn cục (2.1) mà bị chặn X với 37 t  Khi ta có tính chất sau (i) E  u  t   tiến giới hạn c t   ; (ii)  c  ; (iii) dist  u  t  ,  c   t   , dist biểu thị khoảng cách X  H 01    Chứng minh: Tác dụng làm trơn phương trình nhiệt suy với      0,1 ,  u  t  bị chặn C 1    t  Đặc biệt,  u  t  compact tương đối X  u  t  compact tương t  t 1 đối H 01    Chúng ta biểu thị Z tập đóng X  H 01    u     E liên tục X  H 01    ,  Z , d  với d khoảng cách X  H 01 Hơn theo tính compact tương đối topo X  H 01    L2    trùng Z Một tính tốn đơn giản cho thấy với t  , ta có t   ut2  , x  dxd  E  u  t    E  u 1  Do   u      Khi E  u  t   không tăng kết suy ví dụ trước 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số tiêu chuẩn ổn định để nghiên cứu tốn tính ổn định Lyapunov cho phương trình vi phân, đặc biệt hệ động lực Các kết gần ứng dụng phổ biến để chứng minh ổn định tiệm cận nghiệm hệ gradient - hệ có đặc trưng hệ thừa nhận hàm lượng Lyapunov, có giá trị giảm dần theo thời gian 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Zvi Artstein, Constructions of strict Lyapunov functions, SIAM Rev 53(2011), no 1, 178–179 Jack K Hale, Asymptotic behavior of dissipative systems, Mathematical Surveys and Monographs, 25 American Mathematical Society, Providence, RI, 1988 x+198 pp Alain Haraux, Mohamed Ali Jendoubi, The convergence problem for dissipative autonomous systems: Classical methods and recent advances, SpringerBriefs in Mathematics, BCAM Basque Center for Applied Mathematics, Bilbao, 2015 xii+142 pp J P LaSalle, Some extensions of Lyapunov's second method IRE Trans CT- (1960), 520–527 Michael Malisoff, Frédéric Mazenc, Constructions of strict Lyapunov functions Communications and Control Engineering Series Springer-Verlag London, Ltd., London, 2009 xvi+386 pp ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Bảo Hưng TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60... gần công bố [1], [5] Luận văn tập trung tìm hiểu kiến thức bước đầu hàm Lyapunov, phương pháp Lyapunov tính ổn định, nguyên lý bất biến LaSalle số ứng dụng Các kết luận văn trích dẫn từ sách... MỞ ĐẦU Trong lý thuyết phương trình vi phân, hàm Lyapunov dùng để chứng minh tính ổn định điểm cân phương trình vi phân Hàm Lyapunov có vai trị quan trọng lý thuyết ổn định hệ động lực Hàm Lyapunov