Tìm hiểu bước đầu về phương trình hess phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lâm Thanh Bình TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH HESS PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lâm Thanh Bình TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH HESS PHỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Văn Đông – Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đồng thời, tơi chân thành cảm ơn đến q thầy khoa Tốn – Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh mang đến kiến thức bổ ích từ chuyên đề, tạo tảng cho việc thực luận văn tốt Tơi xin cảm ơn Phịng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho thời gian theo học trường Ngồi ra, tơi xin gửi lời tri ân đến gia đình bạn bè hỗ trợ động viên đường học tập Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng năm 2015 Người viết luận văn Lâm Thanh Bình MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HESS PHỨC TRÊN n 20 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HESS PHỨC YẾU TRÊN ĐA TẠP KAHLER COMPACT 63 KẾT LUẬN 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 MỞ ĐẦU Phương trình m − Hess phức xem phương trình xen vào bao gồm phương trình Poisson cổ điển (tương ứng với trường hợp m = 1) phương trình Monge-Ampere phức (ứng với m = n ) Phương trình Hess phức nghiên cứu S.Y.Li [18], ơng giải tốn Dirichlet phương trình Hess phức miền m − giả lồi ngặt  n với liệu trơn Blocki [4] xem xét phương trình Hess suy biến  n bước đầu phát triển lý thuyết vị địa phương cho phương trình Hess tập mở  n tương tự lý thuyết Bedford Taylor [1] Một cách tự nhiên Blocki đề nghị nghiên cứu phương trình Hess phức đa tạp Kahler tương tự phương trình MongeAmpère phức Phương trình Hess phức khơng suy biến có dạng sau (ω + dd ϕ ) c với < f ∈ C ∞ ( X ) thỏa điều kiện m ∧ ω n−m = f ω n (1.1) ∫ fω n = ∫ ωn X X Jbilou [15] Hou-Ma-Wu [13] chứng minh cách độc lập phương trình (1.1) có nghiệm trơn chấp nhận (sai khác số cộng) với điều kiện mêtric ω có độ cong thiết diện chỉnh hình khơng âm Giả thiết kỹ thuật hóa lại q mạnh đa tạp trang bị mêtric hạn chế Một kết khác Hou-Ma-Wu [14] lại cung cấp C − đánh không cần giả thiết độ cong Sau đánh giá Dinew Kolodziej [8] sử dụng, quy việc giải phương trình Hess đa tạp Kahler việc chứng minh định lý kiểu Liouville hàm m − điều hòa  n H.C Lu [19], H.C.Lu Van-Dong Nguyen [21] nghiên cứu toán tử Hess phức hàm (ω , m ) − điều hòa đa tạp Kahler tìm nghiệm chấp nhận phương trình m − Hess phức Nhằm tìm hiểu bước đầu lý thuyết đa vị, chọn đề tài “Tìm hiểu bước đầu phương trình Hess phức” Nội dung luận văn trình bày lý thuyết vị cho tốn tử Hess phức áp dụng vào việc giải phương trình Hess phức suy biến trường hợp địa phương (trên miền bị chặn  n ) cho trường hợp toàn cục (trên đa tạp Kahler compact) Luận văn gồm chương: Chương 1: trình bày tóm tắt kiến thức Hình học vi phân, lý thuyết đa vị phục vụ cho chương sau luận văn Chương 2: trình bày phương trình Hess phức miền m − siêu lồi  n Chương 3: trình bày phương trình Hess phức suy biến đa tạp Kahler compact CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức Hình học 1.1.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1 Cho m ∈  k ∈ } ∪ {∞} Ta ký hiệu lớp hàm khả vi k lần với đạo hàm liên tục C k Một đa tạp khả vi m − chiều thực thuộc lớp C k không gian tôpô X Hausdorff, khả ly, nghĩa có sở đếm được, trang bị atlas lớp C k với giá trị  m Một atlas lớp C k m chiều X họ A = {(Uα , ϕα )} α ∈A thỏa mãn: i Uα tập mở khác rỗng X với α ∈ A ii ϕα :Uα → Vα đồng phôi từ Uα lên tập mở Vα  m với α ∈ A iii α∈AUα = X ( ) ( ) = iv φβα ϕ β α ϕα−1 : ϕα Uα  U β → ϕ β Uα  U β vi phôi lớp C k với α,β ∈ A + (Uα , ϕα ) gọi đồ địa phương + Uα gọi miền tọa độ hay miền xác định đồ địa phương ( + Các thành phần ϕα ( x ) = x1α , xα2 , , xαn ) gọi hệ tọa độ địa phương Uα xác định ϕα + φαβ = ϕα α ϕ β−1 gọi phép biến đổi tọa độ Ta có mối liên hệ xα = φαβ ( x β ) - Nếu k = ∞ ta nói X đa tạp trơn m chiều - Nếu Ω tập mở X s ∈ } ∪ {∞} , ≤ s ≤ k ta ký hiệu C s (Ω,  ) tập hợp hàm thuộc lớp C s Ω , nghĩa f α ϕα−1 thuộc lớp C s ϕα (Uα  Ω ) Nếu Ω không tập mở X C s (Ω, ) tập hợp hàm có mở rộng thuộc lớp C s lân cận Ω Định nghĩa 1.2 ( k − dạng vi phân) Cho X đa tạp trơn p ∈ X Một k - dạng (vi ( ) phân) p định nghĩa phần tử Λ k T p* X , không gian đẳng cấu với ( không gian ánh xạ k − tuyến tính thay phiên T p X Ký hiệu: Λ k X := ) k →   Λ k (Tp* X ) p∈M ( ) Một k - dạng (vi phân) X ánh xạ ω : X → Λ k X cho ω p ∈ Λ k T p* X với p Trong tập mở tọa độ Ω ⊂ X k − dạng vi phân viết u ( x) = ∑ uI ( x)dxI I =k I = (i1, , ik ) đa số với thành phần số nguyên i1 < < ik dxI =: dxi1 ∧ ∧ dxik Ký hiệu I số thành phần I , đọc độ dài I Định nghĩa 1.3 (Tích p − dạng) Nếu u ( x) = ∑ uI ( x)dxI p − dạng vi I =p phân v( x) = ∑ vJ ( x)dxJ J =q p + q xác định bởi: q − dạng vi phân, tích ngồi u v dạng ∑ = u ∧ v( x) = I p= ,J q u I ( x)vJ ( x)dxI ∧ dxJ Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm p − dạng) Đạo hàm p − dạng vi phân thuộc lớp C s toán tử vi phân: d : C s ( X , Λ pTX* ) → C s −1 ( X , Λ p +1TX* ) xác định hệ tọa độ địa phương du = I= ∂u I dxk ∧ dxI x ∂ p ,1≤k ≤m k ∑ Hai tính chất đạo hàm d (u ∧ v)= du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv ; d = Một dạng u gọi đóng du = gọi khớp viết u = dv với v dạng 1.1.2 Đa tạp phức Định nghĩa 1.5 Cho n ∈  Một đa tạp phức n − chiều X không gian tôpô Hausdorff với atlas phức A = {(Uα , ϕα )} α ∈A thỏa mãn: i Uα tập mở khác rỗng X với α ∈ A ii ϕα : Uα →  n đồng phôi từ Uα lên tập mở  n với α ∈ A iii α∈AUα = X ( ) ( ) iv ϕ β α ϕα−1 : ϕα Uα  U β → ϕ β Uα  U β chỉnh hình với α , β ∈ A Ví dụ  n khơng gian xạ ảnh phức P n đa tạp phức Định nghĩa 1.6 (Dạng vi phân đa tạp phức) Cho đa tạp phức n − chiều X Ta ký hiệu A p ,q ( X ) tập tất dạng vi phân kiểu ( p, q ) X , tức dạng u có biểu diễn: = u ∑ I p= ,J q = u I , J dz I ∧ dz−J (1.1), đó: ( z1, z2 , , zn ) hệ tọa độ địa phương ( ) ( ) I = i1, i2 , , i p J = j1, j2 , , jq tập đa số độ dài p q tương ( ) ứng ≤ i1 < i2 < < i p ≤ n,1 ≤ j1 < j2 < < jq ≤ n Và dz I = dzi1 ∧ dzi2 ∧ ∧ dzi p , d z J = d z j1 ∧ d z j2 ∧ ∧ d z jq Định nghĩa 1.7 (Các toán tử vi phân phức) a Nếu f ∈ C1 ( X ,  ) hệ tọa độ địa phương ( z1, z2 , , zn ) ta định nghĩa: = df n n ∂f ∂f ∂f ∂f ; ; + dz d z ∂ = ∂ f = dz f ∑ ∂z k ∂ z k ∑ ∂ z d zk ∑ ∂z k k k k =1 k k =1 k k =1 n b Nếu u ∈ C(∞p ,q ) ( X ) hệ tọa độ địa phương ( z1, z2 , , zn ) , u có biểu diễn (1.1) tốn tử vi phân ngồi: d : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p +1,q +1) ( X ) , ∂ : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p +1,q ) ( X ) , ∂ : C(∞p ,q ) ( X ) → C(∞p ,q +1) ( X ) , xác định bởi: 86 Bổ đề 3.41 Với C > tập hợp C1 ( X , ω , m ) := { ϕ ∈  ( X , ω , m ) sup ϕ ≤ 0, E (ϕ ) ≥ −C} X tập lồi compact SH m ( X , ω ) Chứng minh: Tính lồi C ( X , ω , m ) suy từ tính lõm phiếm hàm E Tính  compact suy từ tính nửa liên tục E Đánh giá dung lượng - thể tích sau Dinew Kolodziej [ ] Bổ đề 3.42 Cho < p < n Tồn số C = C ( p, ω ) cho với tập n−m Borel K X ta có V ( K ) ≤ C.Capω ,m ( K ) p V ( K ) := ∫ ω n K Hệ 3.43 Cho ϕ ∈ SH m ( X , ω ) Khi ϕ ∈ Lp ( X , ω n ) với p < Chứng minh: Ta giả sử sup ϕ = Cố định p < X n n−m n n q cho p < q < n−m n−m Từ [19, hệ 3.19] đánh giá dung lượng bổ đề 3.42 ta có ∫X +∞ p −1 t V (ϕ (−ϕ ) p ω n = + p ∫ < −t )dt +∞ p −1 t Capω ,m (ϕ ≤ + Cq p ∫ q +∞ p −q −1 t dt < −t )  dt ≤ + CCq p ∫ < +∞  87 Ta mong hệ 3.43 với p < nm Trong tình địa phương n−m ω mêtric Kahler, đoán Blocki Bổ đề 3.44 Cố định ϕ ∈ SH m ( X , ω ) Nếu +∞ m ∫0 t Capω ,m (ϕ < −t )dt < +∞ ϕ ∈  ( X , ω , m ) Ngược lại, với C > , sup{∫ +∞ tCapω ,m (ϕ < −t )dt / ϕ ∈ C1 ( X , ω , m )} < ∞ Chứng minh: Khẳng định thứ chứng minh giống [3] : Nếu +∞ m ∫0 t Capω ,m (ϕ < −t )dt < +∞ t mCapω ,m (ϕ < −t ) → t → ∞ Giả sử sup ϕ = −1 Nhận xét với t ≥ hàm + t −1 max(ϕ , −t ) hàm (ω , m ) − điều X hòa với giá trị thuộc [ 0;1] , H m (max(ϕ , −t )) ≤ t mCapω ,m Từ hai kết có ∫(ϕ ≤−t ) H m (max(ϕ , −t )) → t → ∞ Theo bổ đề 3.26 ta có ϕ ∈  ( X , ω , m ) Theo nguyên lý so sánh H m (max(ϕ , −t )) trùng với H m (ϕ ) tập Borel (ϕ > −t ) Như ta có 88 (−ϕ ) H m (ϕ ) ≤ + ∫ ∫X +∞ H m (ϕ ) (ϕ ≤ −t )dt = 1+ ∫ +∞ = 1+ ∫ +∞ = 1+ ∫ +∞ ≤ 1+ ∫ +∞ 1 1 [1 − H m (ϕ ) (ϕ > −t )]dt [1 − H m ( max(ϕ , −t ) ) (ϕ > −t )]dt H m ( max(ϕ , −t ) ) (ϕ ≤ −t )dt Capω ,m (ϕ ≤ −t )dt < +∞ Điều suy ϕ ∈  ( X , ω , m ) Ta chứng minh khẳng định thứ hai Chứng minh khác vài điểm với so với phương trình Monge-Ampère cổ điển thiếu tính khả tích (khơng rõ có ∫X ϕ ω < +∞ hay khơng) Cố định u ∈ SH m ( X , ω ) với giá trị thuộc [ −1,0)] Nhận xét n (ϕ < −2t ) ⊂ (t −1ϕ < u − 1) ⊂ (ϕ < −t ) Từ nguyên lý so sánh ta có ∫(ϕ sup ϕ k  k≥ j  k ≥ j   ta có ψ j = sup ϕk , µ − hầu khắp nơi Do ψ j hội tụ µ − hầu khắp nơi ϕ Suy k≥ j u =ϕ µ − hầu khắp nơi Điều dẫn đến lim = = ∫ u j d m lim ∫ ϕ jd m j X j X ∫ ud m X  Bổ đề 3.46 Cho m độ đo xác suất X cho m ( K ) ≤ ACapω ,m ( K ), ∀K ⊂ X với số dương A Khi phiếm hàm µ nửa liên tục tập compact C1 ( X , ω , m ) , C > ( ) Chứng minh: Giả sử ϕ j dãy C1 ( X , ω , m ) hội tụ L1 ( X ) ϕ ∈ C1 ( X , ω , m ) Ta giả sử ϕ j ≤ Từ bổ đề 3.44 tồn C ' > cho ∫ ( −ϕ j ) d m ≤ ∫0 X Từ bổ đề 3.45 ta có +∞ t m (ϕ j < −t )dt ≤ A∫ +∞ tCapω ,m (ϕ j < −t )dt ≤ AC ' 92 ∫ ϕ jd m → ∫ ϕd m X X Điều với tính nửa liên tục E dẫn đến điều phải chứng minh  Định nghĩa 3.47 Ta nói phiếm hàm µ ánh xạ riêng với ϕ j ∈  ( X , ω , m ) cho E (ϕ j ) → −∞ ∫X ϕ j = µ (j ) → −∞ j Bổ đề 3.48 Cho µ độ đo xác suất X cho C1 ( X , ω , m ) ⊂ L1 ( m ) Khi phiếm hàm µ ánh xạ riêng, tồn C > cho với ϕ ∈  ( X , ω , m ) với ∫X ϕω n = , ta có ℱ m (ϕ ) ≤ E (ϕ ) + C E (ϕ ) Chứng minh: Bằng lập luận phản chứng ta chứng minh sup{∫ (−ψ )d m / ψ ∈ C1 ( X , ω , m )} < ∞ ∀C > X  Sau ta lặp lại lập luận [3] 3.5.3 Định lý phép chiếu Cho f hàm nửa liên tục X Nhắc lại phép chiếu f SH m ( X , ω ) định nghĩa sup {u ∈ SH m ( X , ω ) | u ≤ f } P ( f ) := Bổ đề 3.49 Cho u, v hàm liên tục X Khi E  P (u + v= ) − E P (u ) ∫0  ∫X vH m ( P(u + tv))  dt 93 Chứng minh: Nhận xét điều phải chứng minh tương đương với dE  P (u + tv) dt ∫ t =0 = X vH m ( P (u )) (3.5) Bằng cách thay v −v ta cần xét đạo hàm phải Cố định t > , từ bổ đề 3.39 ta có: ∫X P (u + tv) − P(u) E  P (u + tv) − E ( P (u )) H m ( P (u + tv)) ≤ t t ≤∫ Từ hệ 3.12 ta có X P (u + tv) − P (u ) H m ( P (u )) t Do bất đẳng thức thứ hai dẫn đến ∫X (u − P(u )) H m ( P(u )) = bất đẳng thức “ ≤ ” (3.5) Mặt khác, bất đẳng thức với mối liên hệ trực giao cho E  P (u + tv) − E ( P (u )) P (u + tv) − P (u ) ≥∫ H m ( P (u + v)) X t t = ∫X u + tv − P (u ) H m ( P (u + tv)) t ≥ ∫ vH m ( P (u + tv)) X Cho t → 0+ ta có “ ≤ ” (3.5) H m liên tục Định lý 3.50 Cố định ϕ ∈  ( X , ω , m ) v ∈ C ( X ,  ) Khi phiếm hàm t → E  P(ϕ + tv) khả vi với  94 dE  P (ϕ + tv) dt ∫ t =0 = X vH m (ϕ ) Chứng minh: Như nhận xét bổ đề 3.49, ta cần chứng minh ) − E P(ϕ ) E  P (ϕ + v= ∫0  ∫X vH m ( P(ϕ + tv))  dt Với ϕ ∈  ( X , ω , m ) v ∈ C ( X ,  ) Do hệ 3.11, ta tìm dãy hàm (ω , m ) − điều hòa giảm ϕ Do tính liên tục H m ta giả sử ϕ trơn Ta có điều phải chứng minh bổ đề 3.49  3.6 Phép giải phương trình Hess phức suy biến Cho µ độ đo xác suất X với m ( A) = với A tập m − cực Ta nghiên cứu phương trình Hess phức suy biến sau (ω + dd cϕ ) m ∧ ω n−m = m (3.6) Định lý 3.51 Cho µ độ đo xác suất cho m ≤ ACapω ,m với số dương A Nếu Fm ánh xạ riêng tồn φ ∈  ( X , ω , m ) nghiệm phương trình (3.6) Fm (φ ) = sup ε ( X ,ω ,m ) Fm Chứng minh: Định lý chứng minh [3] Ta nhắc lại lập luận Vì Fm ánh xạ bất biến qua phép tịnh tiến ánh xạ riêng, ta tìm C > đủ lớn để sup Fm = ε ( X ,ω ,m) sup εC1 ( X ,ω ,m) Fm 95 Nhắc lại C1 ( X , ω , m ) := { ϕ ∈  ( X , ω , m ) / sup ϕ ≤ 0, E (ϕ ) ≥ −C} tập hợp X lồi compact SH m ( X , ω ) Theo bổ đề 3.46, Fµ nửa liên tục trên, C1 ( X , ω , m ) ta tìm ϕ ∈ C1 ( X , ω , m ) để phiếm hàm Fm đạt cực đại C1 ( X , ω , m ) ϕ Cố định v ∈ C ( X , ) hàm liên tục X ta xét g= (t ) : E  P (ϕ + tv) − ∫ (ϕ + tv)d m , t ∈  X Khi với t ∈  g (t ) ≤ E  P (φ + tv) − ∫ P(ϕ + tv)d m= Fm (ϕ + tv)= g(0) X Do g đạt cực đại tính khả vi g ta có g ′ ( ) = , dẫn đến ∫ vd m = ∫ vH m (ϕ )d m X X Vì v chọn tùy ý ta có điều phải chứng minh  Định lý 3.52 Cho µ độ đo xác suất X Khi C1 ( X , ω , m ) ⊂ L1 ( m ) m = H m (ϕ ) với ϕ thuộc  ( X , ω , m ) Chứng minh: Nếu m = H m (ϕ ) với ϕ thuộc ϕ ∈  ( X , ω , m ) với ψ ∈  ( X , ω , m ) cho ∫ ψ H m (ϕ ) > −∞ theo ngun lý so sánh ta chứng minh X ∫ ψ H m (ϕ ) ≥ 2(m + 1)(E(ϕ ) + E(ψ )) > −∞ X 96 ([12] mệnh đề 2.5) Ta giả sử µ thỏa mãn C1 ( X , ω , m ) ⊂ L1 ( m ) Theo gỉả thiết µ triệt tiêu { } ν ∈ P(X) :ν ≤ Capω ,m , tập m − cực Trước tiên nhận xét tập hợp M = P ( X ) không gian độ đo xác suất X , tập lồi compact P ( X ) Thật vậy, tính lồi rõ ràng tính compact suy từ tính quy ngồi m − dung lượng (xem định lý 3.20) Sử dụng định lý Radon- Nykodym mở rộng J Rainwater [24], ta chiếu µ tập lồi compact M có µ= fv + σ , ≤ f ∈ L1 (ν ) σ ⊥ M Vì µ triệt tiêu tập m − cực ta có σ ≡ Như m = f ν Đặt m j := c j { f , j}ν c j số chuẩn tắc để m j độ đo xác suất Vì m j ≤ jc j Capω ,m , theo định lý 3.51, tồn j j ∈  ( X , ω , m ) , cho m j = H m (ϕ j ) Chuẩn tắc hóa ϕ j cho sup ϕ j = Chúng ta giả sử rằng: X ϕ j → ϕ ∈ SH m ( X , ω ) L1 ( X ) Ta có ( ) E (ϕ j ) ≤ ∫ (−ϕ j ) H m ϕ j ≤ c j ∫ (−ϕ j )dν ≤ C E (ϕ j ) X X suy bổ đề 3.48 Suy E (ϕ j ) bị chặn ϕ ∈  ( X , ω , m ) *   Xét φ j :=  sup ϕk  Khi φ j ↓ ϕ từ mệnh đề 3.32 có H m (φ j ) ≥ { f , j}ν  k≥ j  Do H m (ϕ ) ≥ m Đẳng thức xảy hai độ đo xác suất  97 Có sẵn cơng cụ cần thiết thiết lập mục trước, ta nhận kết nhờ áp dụng kỹ thuật [3] Ta bỏ qua chứng minh kết sau Định lý 3.53 Cho µ độ đo xác suất X cho m ( A) = với A tập m − cực Khi tồn ϕ ∈  ( X , ω , m ) cho H m (ϕ ) = m 98 KẾT LUẬN Trong trình thực luận văn, tơi bước đầu tìm hiểu phương trình Hess phức, lĩnh vực nghiên cứu rộng rãi năm gần Ngoài khái niệm định lý lý thuyết đa vị hình học vi phân liên quan đến phương trình Hess phức, luận văn cịn giới thiệu số kết quan trọng sau: - Bằng phương pháp biến phân, luận văn phương trình Hess phức H m (ϕ ) = m miền m − siêu lồi  n có nghiệm điểm cực tiểu phiếm hàm lượng mà với phiếm hàm phương trình Hess phức xem phương trình EulerLagrange Nghiệm tìm thuộc lớp hàm m − điều hịa có lượng hữu hạn kiểu Cegrell - Luận văn điều kiện tồn nghiệm thuộc lớp hàm (ω , m ) − điều hịa có dung lượng Hess hữu hạn phương trình Hess phức yếu đa tạp Kahler compact (ω + dd cϕ ) m ∧ ω n − m = m, µ độ đo xác suất X - Để điều kiện luận văn trình bày kết quan trọng xấp xỉ hàm (ω , m ) − điều hòa hàm (ω , m ) − điều hòa trơn 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO E Bedford, B A Taylor (1976), “The Dirichlet problem for a complex MongeAmpère equation”,Invent Math 37, no 1, pp 1-44 R J Berman (2013), “From Monge-Ampère equations to envelopes and geodesic rays in the zero temperature limit”, arXiv:1307.3008 R J Berman, S Boucksom, V Guedj, A Zeriahi (2013), “A variational approach to complex MongeAmpère equations”, Publ Math Inst Hautes Études Sci 117, pp 179245 Z Blocki (2005), “Weak solutions to the complex Hessian equation”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 55, no 5, pp 1735-1756 Demailly J P (2007), Complex analytic and differential geometry, Université de Grenoble I Institut Fourier, France S Dinew(2009), “Uniqueness in E (X, ω)”, J Funct Anal 256, no 7, pp 2113-2122 S Dinew, S Kolodziej (2014), “A priori estimates for complex Hessian equations”, Anal PDE 7, no 1, pp 227-244 S Dinew, S Kolodziej (2012), “Liouville and Calabi-Yau type theorems for complex Hessian equations”, arXiv: 1203.3995 P Eyssidieux, V Guedj, A Zeriahi (2011), “Viscosity solutions to degenerate complex Monge-Ampère equations”, Comm Pure Appl Math 64, no 8, pp 1059-1094 10 P Eyssidieux, V Guedj, A Zeriahi (2013), “Continuous approximation of quasiplurisubharmonic functions”,arXiv: pp 1311.2866 11 V Guedj, A Zeriahi (2005), “Intrinsic capacities on compact Kahler manifolds”, J Geom Anal 15, no 4, pp 607-639 12 V Guedj, A Zeriahi (2007), “The weighted Monge-Ampère energy of quasiplurisubharmonic functions”, J Funct Anal 250, no 2, pp 442-482 13 Z Hou (2009), “Complex Hessian equation on Kahler manifold”, Int Math Res Not IMRN,no 16, pp 3098-3111 100 14 Z Hou, X Ma, D.-M Wu (2010), “A second order estimate for complex Hessian equations on a compact Kahler manifold”, Math Res Lett 17, no 3, pp 547-561 15 A Jbilou (2010),“Équations hessiennes complexes sur des variétés Kahlériennes compactes”, C R Math Acad Sci Paris 348, no 1-2, pp 41-46 16 Klimek M (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford 17 S Kolodziej (2005), “The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory”, Memoirs Amer Math Soc 178, 64p 18 S.-Y Li (2004), “On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues ofthe complex Hessian”, Asian J Math 8,no 1, pp 87-106 19 H C Lu (2013), “Solutions to degenerate complex Hessian equations”, Journal de mathmatiques pures et appliques 100, pp 785-805 20 H.C Lu (2013), A variational approach to complex Hessian equations in  n , arXiv:1301.6502 21 H C Lu and Van-Dong Nguyen (2014), “Degenerate complex Hessian equations on compact Kahler manifolds”, preprint 22 L Persson (1999), “A Dirichlet principle for the complex Monge-Ampère operator”, Ark.Mat 37, no.2, pp 345-346 23 S Plis (2013), The smoothing of m-subharmonic functions, arXiv:1312.1906 24 J.Rainwater (1969), “A note on the preceding paper”, Duke Math, J 36, pp 799-800 ... tạp Kahler tìm nghiệm chấp nhận phương trình m − Hess phức 2 Nhằm tìm hiểu bước đầu lý thuyết đa vị, tơi chọn đề tài ? ?Tìm hiểu bước đầu phương trình Hess phức? ?? Nội dung luận văn trình bày lý... MỞ ĐẦU Phương trình m − Hess phức xem phương trình xen vào bao gồm phương trình Poisson cổ điển (tương ứng với trường hợp m = 1) phương trình Monge-Ampere phức (ứng với m = n ) Phương trình Hess. .. 20 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH HESS PHỨC TRÊN n Trong chương ta giải phương trình Hess phức miền m − siêu lồi  n phương pháp biến phân Ta tìm nghiệm lớp lượng hữu hạn kiểu Cegrell phương trình: H m