Tìm hiểu bước đầu về dung lượng monge ampere (luận văn thạc sĩ toán học)

2 LỜI CÁM ƠN Ban luận ván náy đưực hoán trương Dại học Sư phạm Thảnh phó IIỐ Chí Minh dưói hướng dán tận tinh cùa TS Nguyên Văn Dõng Nhãn dịp xin câm ơn Thầy sư hướng dẫn hiéu quà kinh nghiệm q trình hoc táp, nghiên cưu hồn thành luãn ván Xin ( hãn thành câm ơn phòng Sau Đại hoc Ban nhiêm khoa Toán, thầy cô giáo Trường Dai hoc Sư pham Thành phố Hồ Chi Minh giông dạy tao điều kiện thuận lơi cho tô) trinh live tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cám ơn trường TIICS THPT Nguyên Khuyến đàng nghiệp dã tạo diều kiộn giúp dỡ toi vè mặt trình học tẠp hoàn thành luận ván Bail hum vàn chác chấn SŨ khơng tránh khói kliión khuyết váy rai mong nhận dược dóng góp ý kiến thay cô giáo bụn học viên đe bàn luận vAn hoàn chinh Ci cúng tơi xin càni ơn gia dinh ban bé dộng viên, khích lệ tơi thdi gian học tập nghiên cứu vã hoàn thành luận vàn Tháng (ks năm 2021 Tác giã LỜI MỚ ĐẦU Lý thuyết đa the vi mien V, klỉời xướng bỏi BedfordTaylor [2].[;{' Lý thuyết cho phép ta dinh nghĩa nghiệm tổng quát cũa phương trình Monge-Ampftre phức VÌ1 có nhiều áp dụng giải tích phức vã dộng lực phức Trong lý thuyết da the VỊ tãp Cực (nghĩa -00 tãp) cùa ham da diều hóa tãp khơng cùa nhiều độ đo Borel Các tãp cực không the mõ tà bới đo đơn giàn, nhà toán học phải giới thiêu khái nlẽm dung lưựitg mờ rông phi tuyến cùa khái niệm đõ Dung lượng dóng vni trị quan trong Giải tích phức chúng cho phép mơ tà tập nhị Có rat nhiều dung lương khác phụ thuộc vào van đề nghiên cứu dảy chung ta giới tlũêu khái niêm dung lương Monge Ampère dung lương khái qt theo nghĩa Choquet, < ó tập khơng cốc tộp da cực (nghĩa tộp dược chữa mọt cách dịu phương tập cực ciia hám da điền hòa dưái) Việc tim hiểu cầc dung lương Monge-Ainpỗre giúp tim hiểu sau bơn kiên thức phương trinh vi phân, lý thuyét (la thề vị hỉnh học giãi tích phũc.Tữ lv trẽn, rỏi dinh c hon dề tài 'Tìm hiểu bước dan dung lương Monge Ampere" Ln vãn sí trình háy lại kiến thức liên quan đen dung lương ứng với toán tữ Monge-Ampère phức trẽn cn Luân vãn nhắc lại đmh lý Choquet vẻ dung lương khái quát, hàm táp hợp khái quát khái niêm đõ do, chúng khơng thỏa mãn tính chat cõng tính Chúng lõi sẻ tlm hiểu hàm cưc tri tương dói nghĩa bao kiểu Perron tuo diều kiộn (ho việc tính toíin dung lương Monge-Ampere Sừ dụng dung lượng Monge-Atnpỉ-re mờ tả CMC tịip da cực Một tạp cỏ dung lượng Monge-Ampẽre ngoal bang nẹu vã chi néu la tạp da cực (.'húng ta chi lâng CÁC liAiu da diihi hòa (lười tựa liên tục dối vời dung lượng Monge-Ampère (chúng liên tục bẽn niỏt tập dung lượng nhò tùy ý) Tỉũ heu tham khảo bàn sù dụng tini hiến dung lương Monge-Apère cõng trình cùa E.Bcdlord vã B.A.Tayloi '3], S.Kolodziej [iu]) U.Cegtell |5j .1 P.Demnilly [7]) V.Guedj A Zcriahi s] Xoi dung luân van gồm có chương Chương 1: Phần chuẩn bị trinh bày cA( kiến thức VC Hình học phức Giịi tích phức có liên quan phục vụ cho chương Chương 2: Trình bày vè dung lương Choquet dặc biệt lã dung lượng MongeAmpère Chương 3: Trình bày tính liên tục cùa tốn tứ Monge-Ampère phức Chương 4: Tim hiểu ham cực trị tương đói Chương 5: Trình bày tâp nhó tập (la cực tập không đáng kể Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 llảm nứa liêu tục 1.2 Các hàm đa điều hòa dirởi 1.3 Dang vi phân dòng 1.3.1 Dạng vi phân 1.3.2 Dòng 1.4 Dỡ đo Monge-Ampère phức 1.5 Một số két khác Dung lượng Monge - Ampère 19 2.1 Dung lượng Choquet 19 2.2 Dung lương Monge - Aiupồre 23 2.2.1 D|nh nghĩa 23 2.2.2 Tập cực tẬp khống 26 Tính liên tục cún toán tứ Monge - Ampère phức 3.1 Tinh tựa liên tuc hàm đa điều hịa dưói 3.2 Sư hội tu theo dung lượng 3.3 Sư liỗn tục toán từ Monge - Ampère phức 7 X 10 10 13 16 17 20 29 31 31 Hàm cực trị tương dối 39 4.1 Dịnh nghĩa tinh chất ban hàm cựctri tương đổi 39 12 Dung lượng hàm cực trị tương đối 12 lặp nhò 47 5.1 Tãp đa cực hàm cực tri tương đối 47 Táp không dáng ke 50 MỤC LỤC Một số ký hiệu sử dụng luận văn tập hợp hàm da (lieu hòa trẽn ft táp hớp hàm đa điều hòa ám trẽn ft lởp belong hàm da diều hòa khơng gian hàm khâ tích địa phương tập U1Ỡ c LỈ” MO không gian hàm đo bi chăn háu khắp nơi trẽn tãp mơ í' c tì'1, £*(ư) 2« tãp tâp í ỉ n - đai bố tập Borel cứa ft ỈM) CopịE ft) dung lượng Monge Ampère (trong) doi với E c ft C'jp'(E.U) dung lượng Monge Ampère dối với A c ft hàm cực trị t ương dổi gán với í A',ft) dộ Leliesgue trẽn C" ^2n (ưư*u)" độ Monge Ampère hãm da diều hịa u (ưư-AỊ,)" dơ cân báng J£(^>)n khôi lượng Monge Ampère E c ft ý? € PSHịỉì) day tởi ứng với / A quy hóa nửa liẽn tục liáin đa diều hịa dưdi p ự>’ PSHịQ) PS//-(ft) £(V) Chiíơng Kiên thức chuân bị Chương danh trinh bày tồn lân cận V Xụ 8410 cho «(r) < ti(xo) ♦ £ với moi X Ế u íi(xo) > -ao VỈ1 u(x) clan tới -oc I tiền tói J-|| ư(zu) = -00 Ham dược gọi la nứa hên tục trẽn tiin X liên tuc trẽn tai mõi điểm thc Ar Nhận xét ràng, hàm tí nửa lièn tuc trên A' chí vói mói '} < X Ta (linh nghĩa hàm í.hình (Ịtty hóa hên tuc II* cùa u bời công thức II* (j) = iimsupv(y) r-»r.ự«r (z ẽ >') Mệnli đề 1.1.3 Hàm Ư* : Y -4 [-00,4-00) hàm mía liên tuc trẽn u’ > u y Hơn nữa, níu V Y -4 [-30; +oc) hàm nửa ltèn tực trên, u < r trèn Y u* < V trẽn Y Dác biệt, hãm u A' -4 [-x.+x) lit ham nứa liên tuc 1ICU vã chi néu IIĨ trùng vái hàm quy hóa liên rục trẽn 1.2 Các hàm đa điều hịa Dịnh nghĩa 1.2.1 Cho íì tap mơ cùá It'" 11 íỉ -* -X +x| hàm mía liên tuc trơn, khơng đống nhát -X trơn thành phần lién thông t lia Q Một ham II vạy dược gọi Jit'tt hin đttâi n licit vói nwjỉ tập mỡ compact rương đối G’ í ỉ vá vơi mọt hãm h € W(íi) n (•((?) phép keo theo sau lã (lúng 11 < A trẽn dG => u < h trẽn G Ký liiẽu: S7/(Q) hì ho hàm (liều hịa (lưới trẽn íl DỊnh nghĩa 1.2.2 Cho í> mọt tãp mơ hâm lí: íì —► |-x frx| hàm nửa liên tục trẽn, không đồng nhát bàng -X trẽn moi thành phần liên thõng cún tỉ Ilìnn u đưoc goi lĩi hàm da điều hỏa diíớt níu vói ft € Q A € V” hàm A t-r w(ơ + Aò) điều hòa (lưới (lỏng bàng -X moi thành phần lũ?n thõng cùa tạp {A € V (I + XI/ e íĩ} 'Dong trường hop nàv ta vrơt u € PSH(ÍỈ) Dịnli lý 1.2.3 Cho li íì -4 [-X + rc| hàm nứa licn tụt tri’n, khơng dịng nhát bang -X trịn thành phần liên thịng cùa íỉ c V" Khi u e p$ỉl(ữ) néu vã chi với mói u € í! vã € cho ft£ / tí ♦ Xí e c* n PSHựl) Hơn nữa, u ♦ Ví giám £ giâm iutt ú * v(r) = u(±) với mồi JT ft Ể-»0 Hệ 1.2.5 Cho ỉỉ Sỉ' lươt tập II1Ô V" cfc Nếu a € PSH(D) f ft' -> ft bì lình xa hình no/ íla (tiêu hịa di ÍK Hệ q 1.2.6 Nếu n tập mờ cùa V’ /’Ĩ7/(ÍÌJ c s//(íỉ) c Hệ 1.2.7 Nếu w,f e PSHịíl) u = r hầu khắp nơi íĩ tt = V t rong ft IIộ 1.2.8 (Nguyên lý cực (lại cùa hàm đa (liều hịa (lưói) Nếu ft tập mớ liên thông bị chộn cúa néu w € /’.S7/(ft) hoftc u hồng số vói mói : € ft u(-) < sup o S' p dược gọi lã p- tuyen Unit tuyền tinh theo bién biếu khúc cỏ định Một ánh xa p - tuyến tính cho /(t'1, í'p) I'j = v,t| I < j < n - 1.3 D.VNG VI PHÂN VẤ DÒNG II gọi lã p- tuyí-n tính thay phiên, 'ráp CÁC ánh xạ p - tnyén tính thay phiên ký hiệu Af(K",(Ư) Bàng cách thay t'i - £2’/ ị ut(iư)M La biểu diễn ánh xa p - tuyên tinh thay phiên thing công thức ĩ VíRM’) Dật u*(z) - dzfc(z), < ta viết mịi p - dạng vi phân Q dạng < n, X € Í1 từ lỹ luiin trẻn a — ĩị'tifdjf ỏ dãy / = (»|, ,tp), ỉ < i| < < ly < n,dxi - rfz,, A Adx.^.a : fỉ -* V- Tùy thuộc tính chat (II bi chặn liihi lục, khả vi tu nói p - dang bi chán, liôn tục, vi GiẶ sir (I - E'ufdzf lã p - dang ri - E'rfjdxj la q - dạng, dó < Vái mơi j ta dật Zfjt dãy quà cầu fi(zt.i-j) cho Slip = 8XtpU(3fJt) Bit,nì k Với ruồi (j A) tịn tui (lảy («'*)(/ e \) u bao (ho Dăt V := tuprfju1 ^ Khi V < ư, dó V* < ư* Bây sup V' > »up k £ w «i*(-j.*) - ™p Ufa*) = ™i> V ủ k dó sup#(wjV - w«(.-,.rjí-r với tnoi Vì B(z,sị hợp cầu /ỉ(ĩj,r?) ta dỹt = sttpnịz,e)ư dó = ư*[z) Ta xét i c íỉ chứa E cho Cap’( E;íỉ) “ hm CơplỊÍỈ) j-»tao Thay Oj bời fiisKjO* c Oj ta giã sứ (Oj)j>i giảm Theo Bổ đề 1.1.2 tồn tai (lảy lãng (tfj)j>i hàm đa (liều hòa (híới Hin san cho Uj = -1 trèn E Wj h*e hàu khắp nơi Đát Có tập mó giảm cùa cho E G G’> G Oj Uj - l/j < f>(; < hfĩDo hf;t t hg hiu khắp nơi Ỉ2 (-haỵt^h^Qr -> ị-hEf{dd'h'Bítr Vì (lõ (lo có giá tãp compact có (lịnh Ịfì(-^B)f‘(dJrhE,nr =ji:r\ Mạt khúc Cđp’(£,9)< lim Cap*(O ữ) = Cnp‘(E.ĨĨ) f-t+aa Công thức (4.2) cho tập mờ chi rồng /n(-/.^(^£,n)" = fnC«p’ịEJ,ty •(£': fì) tập ,v cổ dung lượng ngồi bàng fí Cuối tA chưng minh (d) Ta già Mt Jang Cu/IEj,ty < tồn tập mó Gị c Í1 bao cho Ef c Gị Cap(Gj,ty < C’ap’(Ej.a) + ci ’ Do đố ứ := Uj^j làtậpmâchứa£vàthóaCap*(E;Q) < CupịG Q) < E, Cap(ứ7;fì) < £jCap-{Ef ít) + í Ta có bát dắng thức càn chưng minh.ũ Lifti ý: Dơ đo («WrA£)n goi đõ (to cân (equilibrium measure) cúa E Ilệ quà ‘1.2.2 Ilám táp hop E ►"» Cup*(E íỉ) dung lương Ch(X|uet trẽn fỉ, (lo dó tập Đorel íỉ c íỉ bốt kỳ có (lung lương c