Tìm hiểu bước đầu về lớp năng lượng hữu hạn trên đa tạp kahler (luận văn thạc sĩ toán học)

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỞNG ĐẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHÕ HỊ CHÍ MINH Lê Minh Thuấn TÌM HIẾU BƯỚC ĐẰU VẾ LỚP NĂNG LƯỢNG HŨU HẠN TRÊN ĐA TẠP KĂHLER Chun ngành: Tốn giãi tích Mã số: 604 60 102 LUẬN VĂN THẠC sl TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỞNG DÀN KHOA HỌC: TS NGUYÊN VÀN DÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 LỜI CAM DOAN Tồi xin cam (loan flay luân van tốt nghiệp tỏi thực hướng dân khoa học cùa TS Nguyen Vàn Dỏng Cốc nội dung nghiên cứu két tham khảo luân vãn (tươc trích dẫn liệt kẽ dầy dủ muc Tài liêu tham kháo Thành phố Hồ Chí Mtuh ngày 20 tháng ÍÍỊ năm 2Ơ2I LÊ MINH THUẦN LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đai liọc Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (lưới hưúng dán TS NguyỄn VAti Dong Nhãn dip tmy LÔI xin bày to lóng biết ơn sãu sắc tỡi Thầy, người đá tàn tìnli chi bao dạy dơ tơi q trình hoc tập nhẵn nai hướng dẫn tõi thực hiên luân vấn Tói xin chAn thành cám ƠII dón quý Thày Cơ Hội đồng clìÁm luận van đà dành thịi gian dục, (hình sửa đóng góp ý kiến giúp luận vãn (tược hồn chình Tói xin câm ơn tat CẢ Thay Cô (lã nhụt tinh giảng dạy truyên đạt kiến thức giúp toi suốt q trình ho< rập q Thảy Cơ Phịng Sau đại hoc cùa trường Dại học Sư phạm Thánh phố Hổ CI1Í Minh dã tạo điều kiện thuận lơi cho Lơi hồn thành chương trinh học tạp thực hiên luận vân Xin gửi lời cảm ơn (hãn thành đốn Ba Mr Anh hai Là chó dưa vfmg cho tỏi trình học tập thực luân van động viên mỏi lúc gặp khó khản hay CHII1 thầy âp lực Xin gừi lịi câm ơn đền q Thầy Cơ trương THPT Pbarn Phu Thứ, đãc bièt đén Thầy Iliệu trường Xguvcn Dức Iliền tao diều kiên rót nhát cho lơi tióp t ục dường học vân Xin cám ơn cốc anh chị bạn hực viên ngành t(M»n đà dòng hành dũng Viên giúp tũi suốt trinh hoc tập vá thực lưẽn luận van Do trinh độ thời gian có hạn bàn thân ncn luận vận khổng tranh khói sai sót Toi mong nhộn dược sư chi bào góp ý từ quý Thảy cỏ anh chị bạn Xin chân thánh câm ơn Thành phó ỈIỐ Chí Sỉtnh 2t) thăng U-i n4w» 2Ơ2Ỉ LÊ MINH THUẦN Muc luc DANH MỰC CÁC KÍ 1IIỆƯ Mổ đầu I Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số kiên thức vè đõ đo 1.1.1 Dó đo Borel 1 1.2 Các phiếm hàm tuyến tính dương trẽn C’o(Á) 1.1.3 Tõpõ yéu trẽn không gian đõ đo Một số kiến thức hình học H 1.2.1 Da tap khả vi & 1.2.2 Da lạp phức 13 1.2.3 Các mêtric Hecmit vã Káhler 24 Toán tứ Mongo - Ampère phức trơn da tạp Kãhler compact 21 Lóp hàm í*?-đa đi£u hòa đa tap Kàhler compact 2H 29 2.2 Toán tứ Monge - Ampère phức trẽn đa tap Kâhler compact 35 2.2.1 Khái niệm loan tư Monge - Ampère phức da tạp Kahler compact 2 Sự liên tuc toán tứ Monge -Ampère theo dàv giâm 35 36 2.3 Sự hội tụ theo dung lượng Monge - AmỊỉẻre 11 Dung lương Monge - Ampère 41 2.3.1 24 2.3.2 Tập da cực 2.3.3 Tinh liên tục 8ự hội tụ theo dung lượng cùa toán tư Monge - Ampère phức 47 Nguyện lý 80 sánh 50 Lđp lượng hữu hạn f(Auj)trên đa tạp KShler compact 3.1 3.2 44 53 Lóp£(A» 54 3.1.1 Định nghĩa 54 3.1.2 Nguyên lý so sanh 56 Lóp nâng lương vơi trọng 62 3.2.1 Các lđp 3.2.2 Tính liên lục cỏc toán tử Monge - Ampere xoắn 66 62 3.3 Toán tủ Monge - Ampère phúc niớ rông 67 3.3.1 Miền xác định toàn cục 67 3.3.2 Sự miêu tà dậc tinh cùa lóp nang lượng oộ 6$ Kết luân 70 Tài liệu tham khảo 71 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ld Tốn tứ dồng nhát c* Không gian ánh xa khà vi liên tục cấp i Khống gian tiếp XIÌC Af a T;ía Không gian đối tiếp xúc cua 1W fl TM Phân thớ tiép xúc T’.M Phán thớ dối tiếp xúc AH' Tàp hợp ánh xa p-tuyến tính thay (lau trẽn không gian vcctơ l' ứs (M, A^f) Không gian p-dạng vi phân thuộc lóp C’ |/| Dộ dài cùa đa sổ / uAV Tích ngồi cùa dang vi phân II c du Dạo hàm cùa dang vi phân u HUpp ĩt Giá u "írm Nhóm đỏi dịng diồu de Kham lc p trẽn A/ A^(.¥) Tâp hop dang vi phân kiều ịp í) trẽn V , I Từ địnlỉ nghĩa = max(i5 -j) G PSH(zV.ie) n Tiếp theo xét dãy tang đõ đo Borel '■= Vì Ịif có khói lương tồn bơ bị chạn bời nen ta xét = >—lịm I /*J *■»00 đõ Radon dương trẽn -V có khối lượng tồn nhó hốc bang Dỗ độ Monge - Ampfcre xác định tốt ta (ân (lịnh nghĩa lớp niíng lượng hữu hun f(.v,ui) gốm cốc hàm ,2 ui-đa diồu hôtt (lười vồ có khối lương P^.(.V) = I Như vãy, dinh nghĩa toán tứ Monge - Ampère O;) := Itf- dã dược IUỚ rơng lẽn lớp CÁC hám X’ da diều hịa không nhát thiết bị chận Hon lớp £(X,U>) lã lỡp lớn nhát mà trèn dó tốn tứ Monge - Ampère phức xác dính tốt nguyCn lý so sánh vần cịn đúng, a Các lóp nang lương hữu hạn có vai trị quan trong việc đưa mõt lý I huyết biến phan day phương trình Mongo - Ampère phức, góp phần mớ rong kết quã lý thuyết da thề vi Vice tìm hieu lóp nàng lương hữu hạn giúp tơi tim hiểu sâu sÁc cAc kiến thức vé phương trinh vi phân, lý thuyỗt đa thé vi hình học giãi tích phức Luũu vãn *Tìwi /iiế« bước (ỉầư Ỉtỉp ỉượng hứu h(tn írêti tỉa tạp hdftiti ■’ cùa tỏi có nội dung (hình trinh bày lai trinh xay dưng nén lớp nang lương hữu hạn trẽn da tạp Kahler compact vđl tinh chat vh két tiêu biểu Luồn vAn gốm ba chương: Chương Ị Kién thức chuẩn bì Chương trình bày kiến thức Hình hộc phức, Lý thuyết đa thề vi cớ liên quan đe phục vu cho chương Chương Toán tữ Monge - Ampỷn phức trẽn (ỉa tạp Kahỉt I compact Chương trình bây (ỈM kiến tinh cu bàn v£ lý thuyết vi đa tap Kăhler với nôi dung; • Lớp hàm w-đa điêu hịa • Tốn từ Monge - Ampère phức trẽn đa tap Kàhler compact • Su hoi tụ theo dưng lương Mongo - Ampère • Nguyen lý so sẲrih Chương i Lờp nàng lương hừu hau ếỊA.-■) tiên da tap Kahli l compact Chương mỡ rộng dinh nghĩa cùa toán tử Monge - Ampère phức (len lơp nãng lương hữu han £{X uỉ) trẽn da tap Kahler compact với noi dung: • Lỡp£(x,w) • Lơp uAng lương vơi • Toán tư Monge - Ampère phức mớ rông Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trinh bày mõt só kiên hức quan trong hình hoc giiii tích phức VÀ lý thuyết đa thố vị SIÌ dụng Chương Mực 1.1 trình bày vđi > r,+ i}\ {í? > V’} c {maxte.v) < -j} Thật vậy: maxte -j) > max(0, -j - I) /> < V ? < ’** p-(& + |^ + j| > -l + K+j + l| fj < V I Trường hơp 1: t’’ > -J - (I) < ( l^ +Jl > *• + J -J T> - + »5 + j > V + jĩ dần đổn Ý > V, Itnĩu thuẫn vói giả thiết Si’ < V Do dó £ < - j Trường hợp 2: t1’ < -J - l < -J Theo giả thiết (p < tó dân đốn < -ý Kér sau SC sù dụng Iihi^u trường hợp mà la krt quã Bedford vã Taylor [lị bi chặn: 6Ừ Mệnh đề 3.1.7 p A/.4ív) > ụ vời dỡ du ũortl dương /í rỉáu dó X Khi M /1(nmx(^ v)) > p Nhận rét ft hỉ không da cực (nghĩa Ịi kháng tinh tập da cực) rà df> dfi AM(ự>) không đa cực Chứng mirth Tư qua trước mà uuuc(i, € £(X.i*;) vã -V.4(max( ,?,»■•)) > l(>.>v.jAL4(ự>) + lp Như ta có điều phải chứng minh p {jĩ = v} = Bây giị giả sứ ịì {p 1} > í> Sau dãy ta chi rang p ({i? V to}) với moi ífl € R\ /p t rong ỉy khổng dem ditực Gia sứ ràng, la có thi’4 tìm dư«x dày giảm ij \ cho p({^> = V + e>}) = Thay ự/ = \ỹ + tv = (1 - /)y + lị' (là hàm -đa điều hịa bị chặn) Ta chi cần lằng í -? h\(pí) hàm tăng [0.1| Bay giò (n + Túh phân phan tích phan cuối có Ị \ũ s^dd*!' A (w + dd^y A u!n~J > Ị vx' ữ ự>f(ú^, - w) A (w + dđVi V ’1 A Ấ Ấ I' > V o ^»ụv “ “0- Sáp xỗp lại tổng thứ hai tu có - li Ị v^' ° (w + đd'‘Pf)n > X (li) Tá chứng minh J = Ắ + I (trưởng hợp tông quát suy »ừ quỵ nạp) Chi can nhan xét rang T mot đòng dương song chiều (1.1) “đù quy' theo (lịnh lý Stokes Vo X X X AT X Sứ (lung bắt đẳng thức T = i^/ '> ta có trường hợp Ẳ — ị 65 □ Tính chát đơn (liệu t rong Mệnh đề 3.2.3Í dân đến định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.4 ([7], Definition 10 15) Cố đinh X e >v Vói PSỈIịX,^) ta đặt £\(v?) = iuf{£\(t ) V hàm u»-đa điều hòa bi chán với < é} vồ = ị,? € PSlỉ(X^): Exte) > -»} Mệnh dể 3.2.5 (|7j Proposition 10.16) Ta (ó S(X^)= UWw)a u ỐX(A'.U.) XỂ»V XểH»+ Nhãn xét hơp táng theo nghìn í\ (.¥ *>) c í\(A'.*’) \ = O(x) dược làm trội bói X -5C Chứng mtnh Trước tiêu ta nhộn xét rầng t\(A'.cc) chứa Í(A I*>) That vây e í\(A’. (n+ l)Ev(ft) > (n + l)Fv(p) X bi < IiẠii deu Do dó / c -+ J — +00, suy

) Ngược lai giả sử ràng r’ £(A'.t) bi chan Theo Mênh đề 3.2.3 mót lán nữa, ta có cân dell Eỵịụ) đ dãy V > ự hùm w-đa diêu hòa dưrti bị chặn Như /e rjA'.-t) □ 66 3.2.2 Tính liên tục tốn tử Monge - Anipère xoắn Bây giị ta ràng tốn tứ Monge - Ampère phức xác đinh tốt trẽn lóp bàng cách tliiẽt lập rỉnh chắt liỗn tục Nhi'ú lụi ràng ta dã 'lát := € £(.¥,w) Định lý 3.2.6 ( 7], Theorem 10.18) cố dinh r G ỉà mội dày dơn diện hợi tu’ rác rà cho \pị € Kht V4(^) hụt lu y/« VC Chính e ễ\(A’.^) với \ dớ thũc w+, (i) Các dộ \ hôi tụ y>‘H X « ự>jA/4(v); (ti) r VỚI mỏi K có đinh, '-V.4 \ÍA(r'r' ) •) ■— \ ta có ket (i) Chứng minh (ii) tương tự L1Í11 ý: Sự tu cần tai điểm sư tu giảm, cần hàu khắp I1Ơ1 với U1Ọ1 độ Lebesgue sư tụ la tảng 3.3 Tốn tử Monge - Ampère phức mở rộng 3.3.1 Miền xác định toàn cục Tương tự lý thuyết địa phương ta nái ring ham mót đo Monge - Ampere xác đinh tốt -V.4(ựi) € f(A',w) cờ giói han VOU pU1 I đd*>j)’' f>t lù hàm (tf-;) bi chẠn hội tụ giâm vè Ý- Dinh nghía sau đáy đưa tí ung [3] Dịnh nghĩa 3.3.1 l[7j, Definition 10.42) Tu nói mót hàm V? Ễ /XV ■!(.¥.-;) nêu

J uMA(v] X X Trong dinh nghĩa tác già sư dưng khui niệm hội tu manh luõt (hút so với nghĩa hoi tu Radon veil Các hàm thứ đitạc phép khòng lien tục cluing hạn hàm u.’-da " s l{/> »)MA(p) Bây hai độ (lo có khối lượng lấy tích phàn hai vế (3.3.1) ta có 3.3.2 Sự miêu tả đặc tính lớp nấng lượng Trong mục trước ta biết rang tốn tử Monge - Ampère phức A/.4(sí) hồn lồn (ĨIIỢC XÁC (lịnh tốt với hàm p € £(X ũj) mẠc dù hảm nảy khơng nhát thiỗt có gradient /.2(.V) Diồu trái ngiKK với Lý thuyót (lia phương Chúng ta có mõt sư rniẽu tả thu vị lơp lương £(A',w) sau: Dịnh lý 3.3.3 ([7j Theorem 10.44) I.ĨỊÌ t’(A'.-j) ỉn lớp nhát ctia r.ác hàm ui—đa d'endix by Oscar Garcia-Prada Graduate Texts in Mathemat­ ics 65 Springer, New York, 2008 ... 2.3.3 Tinh liên tục 8ự hội tụ theo dung lượng cùa toán tư Monge - Ampère phức 47 Nguyện lý 80 sánh 50 Lđp lượng hữu hạn f(Auj )trên đa tạp KShler compact 3.1 3.2 44 53 Lóp£(A»... thiệu khái niém số tính chắt S0 cấp lớp hàtn da điều hịa diíới trẽn đa tạp Kahler compact Mục 2.2 trinh bày khái niệm toán từ Monge - Ampere ph lie đa tạp Kahler compact sư liên tm cua tốn tữ... nguyên lý cực đai hẹ quà cùa nõ (nguyên lý so sánh) trim da tap Kahler compac t dối với lớp hàm w -đa điều hòa l)i chặn 'lìũ liêu tham khảo chương li 28 29 2.1 Lớp hàm a; -đa điều hòa đa tạp Kàhler