Tìm hiểu bước đầu về chiều hausdorff của tập julia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kim Ngân TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP JULIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kim Ngân TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP JULIA Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phịng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn cao học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Tốn – Tin tận tình dạy dỗ, hướng dẫn để tơi trang bị cho kiến thức cần thiết cho việc thực luận văn Một cách đặc biệt, xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm TPHCM, lời cảm ơn chân thành sâu sắc Chính thầy người giúp tơi hình thành ý tưởng thực luận văn, đồng thời hướng dẫn cách tận tình suốt q trình nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Nguyễn Thị Kim Ngân MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mặt cầu Riemann 1.2 Ánh xạ hữu tỉ 1.3 Liên hợp 1.4 Bậc ánh xạ điểm 1.5 Điểm bất động .6 1.6 Điểm tới hạn 1.7 Tập Fatou, tập Julia .7 1.8 Điểm tuần hoàn .9 1.9 Sự phân nhánh parabolic hình trụ Ecalle .10 1.10 Dáng điệu toàn cục phép biến đổi Ecalle 17 Chương CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG 20 2.1 Định nghĩa tính chất chiều Hausdorff 20 2.2 Cách tính chiều Hausdorff 23 2.3 Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng .28 Chương CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP JULIA .32 3.1 Chiều Hausdorff tập Julia ánh xạ hữu tỷ .32 3.2 Chiều Hausdorff biên tập Mandelbrot tập Julia số đa thức phức bậc hai .39 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Khái niệm chiều Hausdorff (còn biết đến chiều HausdorffBesicovitch) đưa vào năm 1918 nhà toán học Felix Hausdorff Chiều Hausdorff khái quát khái niệm chiều khơng gian vectơ thực Nó số thực khơng âm nhận giá trị ∞ Việc đưa chiều Hausdorff nhằm khắc phục khuyết điểm chiều tơpơ Nó sử dụng để tính chiều Hausdorff cho đối tượng đơn giản mà cịn cho đối tượng có tính kì dị cao, bao gồm fractal có chiều Hausdorff khơng số nguyên Việc nghiên cứu chiều Hausdorff tập hợp động lực phức nói chung, đặc biệt tập Julia mở nhiều hướng nghiên cứu nhiều lĩnh vực sinh học, y học, thiên văn, kinh tế, cơng nghệ thơng tin, Với mong muốn tìm hiểu chiều Hausdorff tập Julia, định chọn đề tài “Tìm hiểu bước đầu chiều Hausdorff tập Julia” Đề tài nghiên cứu lý luận thực tiễn hai hướng tiếp cận có giá trị, nhiên mục đích luận văn cung cấp số kiến thức lý thuyết bước đầu chiều Hausdorff tập Julia ánh xạ hữu tỷ Luận văn chia làm chương với nội dung cụ thể sau đây: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày cách ngắn gọn số khái niệm, định lý,… cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau luận văn Chương 2: Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng: Trình bày định nghĩa, số tính chất chiều Hausdorff cách đánh giá chiều Hausdorff tập hợp, đặc biệt tập tự đồng dạng Chương 3: Chiều Hausdorff tập Julia: Trình bày cách đánh giá chiều Hausdorff tập Julia ánh xạ hữu tỷ bậc lớn nói chung, chiều Hausdorff biên tập Mandelbrot tập Julia số đa thức phức bậc hai Vì thời gian có hạn nên kết tơi tìm hiểu trình bày luận văn gặp phải sai sót, mong quý thầy tồn thể bạn đọc thơng cảm, góp ý, bổ sung, để tơi học hỏi đúc kết nhiều kinh nghiệm việc tìm hiểu trình bày nghiên cứu tốn học, tạo tài liệu học tập hữu ích hơn, chất lượng cho thân tơi tồn thể bạn đọc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày cách ngắn gọn số khái niệm, định lý (có thể bỏ qua chứng minh cụ thể) nhằm gợi nhớ lại kiến thức biết cung cấp số kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau luận văn 1.1 Mặt cầu Riemann Mặt phẳng phức mở rộng hiểu đơn giản lấy hợp tập  {∞} : {{ ∪ {∞} ∞ = • Định nghĩa 1.1.1 Mê-tric dây cung  ∞ khoảng cách Euclide xác định bởi: σ ( z , w) = z−w (1 + z ) (1 + w ) với z , w ∈  với z ∈  1/2 = σ ( z , ∞) lim= σ ( z, w) w→∞ 1/2 (1 + z ) 1/2 • Định nghĩa 1.1.2 Một mê-tric khác  ∞ gọi mê-tric cầu σ , mê-tric cầu tương đương với mê-tric dây cung σ Khoảng cách cầu σ ( z , w) z w  ∞ thỏa mãn:  s ( z , w)     s ( z , w) = 2sin   Chú ý: Ta có bất đẳng thức quan trọng thể mối liên hệ hai mê-tric trên: (2 / π )σ ( z , w) ≤ σ ( z , w) ≤ σ ( z , w) 1.2 Ánh xạ hữu tỉ • Định nghĩa 1.2.1 Một ánh xạ hữu tỉ R hàm có dạng: R ( z ) = P( z ) , P Q( z ) Q đa thức nguyên tố (khơng có khơng điểm chung) khơng đồng thời đa thức • Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ hữu tỉ bậc g ( z ) = az + b a , ad − bc ≠ g (∞) = , cz + d c  d g−  = ∞ gọi ánh xạ Mobius (hàm phân tuyến tính) từ  ∞ đến  ∞  c • Định nghĩa 1.2.3 Bậc deg( R ) ánh xạ hữu tỷ R định nghĩa deg( R) = max{deg( P),deg(Q)}, deg ( S ) bậc thơng thường đa thức S Nếu R ánh xạ có giá trị α , α ≠ 0, α ≠ ∞ , ta có deg( R) = để tiện lợi ta quy ước deg ( R ) = α = α = ∞  Chú ý: Nếu R hàm hữu tỷ bậc d dương, R ánh xạ d – lớp từ  ∞ vào  ∞ , nghĩa với w thuộc  ∞ , phương trình R ( z ) = w có d nghiệm (đếm nghiệm bội) • Định lí 1.2.4 (Định lý hội tụ Weierstrass) Giả sử f n giải tích miền D  ∞ f n hội tụ D đến f theo mêtric σ Khi f giải tích D • Bổ đề 1.2.5 (Bổ đề Schwarz) Cho = D { z : z < 1} đĩa đơn vị mở  có tâm gốc tọa độ giả sử f : D → D ánh xạ chỉnh hình cho f (0) = f ( z ) < với z ∈ D Khi f ( z ) ≤ z với z ∈ D f '(0) ≤ Hơn nữa, f ( z ) = z với z khác khơng f ( z ) = az với a ∈  mà a = f '(0) = • Định nghĩa 1.2.6 Một ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → Ω gọi ánh xạ phủ với điểm b ∈ Ω , tồn lân cận mở V, cho f −1 (V ) =  U α hợp α ∈I tập mở U α rời mà f Uα toàn ánh bảo giác từ U α lên V Hiển nhiên, f bảo giác f ánh xạ phủ chỉnh hình, Ω đơn liên tồn ánh xạ phủ Ω biến ∆ lên Ω , ánh xạ ánh xạ bảo giác • Định nghĩa 1.2.7 Một ánh xạ gọi phủ phân nhánh ánh xạ phủ nơi trừ tập không đâu trù mật, gọi tập nhánh 1.3 Liên hợp • Định nghĩa 1.3.1 Hai ánh xạ hữu tỷ R S gọi liên hợp với có ánh xạ Mobius g cho: S = gRg −1 • Mệnh đề 1.3.2 Nếu R S hai ánh xạ liên hợp với thì: (i) deg( R ) = deg( S ) (ii) S n = gR n g −1 1.4 Bậc ánh xạ điểm • Định nghĩa 1.4.1 Cho hàm f khác hàm chỉnh hình gần điểm z0  Khi f có khai triển Taylor z0 là: f ( z ) =a0 + ak ( z − z0 ) k + ak +1 ( z − z0 ) k +1 + , ak ≠ , k ∈ ∗ xác định điều kiện giới hạn lim z → z0 f ( z ) − f ( z0 ) tồn tại, hữu hạn khác khơng Ta kí hiệu số ngun k ( z − z0 ) k v f ( z0 ) gọi bậc f z0 • Mệnh đề 1.4.2 (i) v f ( z0 ) số nghiệm phương trình f ( z ) = f ( z0 ) z0 (ii) f đơn ánh lân cận z0 v f ( z0 ) = 1.5 Điểm bất động • Định nghĩa 1.5.1 Cho f hàm số xác định tập D  ∞ nhận giá trị  ∞ Điểm ξ gọi điểm bất động hàm f f (ξ ) = ξ • Mệnh đề 1.5.2 Giả sử ξ điểm bất động ánh xạ giải tích f ξ ≠ ∞ Khi f có k điểm bất động ξ f ( z ) − z có k khơng điểm ξ • Bổ đề 1.5.3 Giả sử ξ ∈  điểm bất động ánh xạ giải tích f ϕ ánh xạ giải tích bất kì, đơn ánh hữu hạn lân cận ξ Khi số điểm bất động ϕ Rϕ −1 ϕ (ξ ) số điểm bất động f ξ • Định lý 1.5.4 Giả sử ξ điểm bất động ánh xạ hữu tỷ R giả sử g ánh xạ Mobius Khi gRg −1 có số điểm bất động g (ξ ) số điểm bất động R ξ • Định lý 1.5.5 Nếu d ≥ ánh xạ hữu tỷ bậc d có d + điểm bất động  ∞ 1.6 Điểm tới hạn • Định nghĩa 1.6.1 Một điểm z gọi điểm tới hạn ánh xạ hữu tỷ R R không đơn ánh lân cận z Nếu R khơng ánh xạ z điểm tới hạn vR ( z ) > • Định nghĩa 1.6.2 Một giá trị w gọi giá trị tới hạn R ảnh điểm tới hạn, tức w = R ( z ) với z điểm tới hạn  Chú ý: Giả sử R có bậc d w không giá trị tới hạn R −1{w} chứa d điểm phân biệt z1 , , zd Vì z j khơng điểm tới hạn, nên có lân cận N w N1 , , N d lân cận z1 , , zd , với R tác động song ánh từ N j lên N Do với j, ánh xạ hạn chế R j ánh xạ R N j có ánh xạ ngược R −j : N → N j 47 lim H dim ( X ll ∩ D ( i ( z0 ), r ) ) > H dim( X ) − ε với λ ∈ Λ ' (do bổ đề 3.2.5), để r →0 điểm tới hạn f λ không chia nhánh Λ ' − {λ0 } Từ lý thuyết Mané-Sad-Sullivan suy tồn λ1 ∈ Λ ' − {λ0 } , số nguyên N > điểm tới hạn c f λ1 cho f λN1 (c) = iλ1 ( z0 ) Khi tồn nhánh điểm tới hạn cλ f λ lân cận Λ " ( ⊂ Λ ') λ1 với cλ1 = c , (do dó cλ hàm phân hình) Chú ý λ1 c chọn cho f λN (cλ ) ≠ iλ ( z0 ) Λ " Áp dụng bổ đề 3.2.6 cho iλ ( λ ∈ Λ ") v(λ ) = f λN (cλ ) , (sau thay đổi affine phù hợp tham số), ta { } ( ( )) N Hdim l ∈ Λ " | f llllll (c ) ∈ X ≥ lim Hdim X ∩ D i ( z0 ), r > hyp dim( f ) − 2ε Dễ thấy r →0 f λN (cλ ) ∈ X λ , f λ khơng J-ổn định họ, f λN (cλ ) ≠ iλ ( z ) với z Vì ε > tùy ý, định lý chứng minh  • Định lý 3.2.9 Giả sử ánh xạ hữu tỷ f bậc d (d > 1) có điểm bất động parabolic ζ với số nhân exp(2p ip / q ) 1) đáy parabolic tức thời ζ ( p, q ∈ ,( p, q) = chứa điểm tới hạn f Khi đó: Với ε > b > , tồn lân cận N f không gian ánh xạ hữu tỷ bậc d , lân cận V ζ  ∞ , số nguyên dương N1 N cho f ∈ N , f có điểm bất động V với số nhân exp(2p iα ) , qa= p ± a1 ± a2 + β < 1, Im ≤ b , với số nguyên a1 ≥ N1 , a2 ≥ N β ∈  , ≤ Re bb hyp dim( f ) > − ε 48 Tóm tắt chứng minh định lý 3.2.9 Ta trình bày tóm tắt chứng minh định lý trường hợp: số nhân số nhân khác q 1,= p 0)  Trường hợp 1: Số nhân (do đó= Để xây dựng tập hyperbolic mô tả trước bổ đề 3.2.2, ta ảnh ngược điểm bất động sử dụng ϕ0 , ε f0 , ψ , ε g0 , v.v…, sau phân tích ánh xạ bị nhiễu dọc theo quỹ đạo  Bước f {z j } Giả sử f ánh xạ hữu tỷ f ∈F0 Tồn quỹ đạo ngược (định nghĩa 1.10) { z j } ∞ j =0 f cho z0 = 0, z j ≠ ( j > 0) z j → ( j → ∞) Thực ra, thuộc tập Julia, có ảnh ngược gần Điểm phải có dãy ảnh ngược hội tụ đến 0, nói cách khác thuộc đáy parabolic  Bước g {w j }, {w'j } Từ việc xây dựng phần chuẩn bị trước, ta thu ϕ0 g = ε f0 Đặt v giá trị tới hạn g Do bổ đề 1.10.2, tồn w ∈ Dom(ϕ0 ) ứng với quỹ đạo ngược {z j } cho j0 ( w − j ) = z j Hơn nhận xét z0 = không thuộc đáy parabolic 0, π ( w ) ∉ Dom( g ) định nghĩa g o Bổ đề 3.2.10 Với w0 ∈ ∗ cho trước, tồn hai quỹ đạo ngược {w j } ∞ j =0 { } w'j ∞ j =0 w0 ánh xạ g cho: w0 = w0' ; w j , w'j → ( j → ∞) ; {w } ∞ j j =1 { } ∩ w'j ∞ j =1 = ∅ ; w j , w'j ( j ≥ 2) không điểm tới hạn g Hơn nữa, w0 ∉ Dom( g ) w1 , w1' không điểm tới hạn 49 (Chứng minh bổ đề xem [5]) Áp dụng bổ đề với w0 = π ( w ) , ta thu {w j }, {w'j }  Bước hˆ {W j } Vì g ∈F0 , ta áp dụng việc xây dựng 1.9 1.10 cho g Để đơn giản, ta ký hiệu ψ = ϕ0,g0 (“ ϕ0 ” tương ứng với g ) h0 = ε g0 Như bước trên, từ bổ đề 1.10.2, tồn ζ0 , ζ0' ∈ Dom(ψ ) ứng với {w j }, {w'j } Do w0 = ψ (ζ0 ) w0' = ψ (ζ0' ) Hơn ψ 0' (ζ0 ) ≠ ψ 0' (ζ0' ) ≠ o Bổ đề 3.2.11 Cho b > Tồn tại: lân cận N h0 , ta xem 0, ∞ ∈ Dom(h0 ) ; hai đĩa rời W ,W ' ⊂  /  chứa ζˆ0 = π (ζ0 ) , ζˆ0' = π (ζ0' ) ; số dương C0 , C1 , C1' , với tính chất sau: Nếu h1 ∈ N , β ∈  /  với Im b ≤ b = hˆ(ζ ) π 2−1  h1  π (ζ ) − β (với ζ ∈ Dom(hˆ) ≡ π 2−1 ( Dom(h1 ) ) ⊂  / ζ ), tồn dãy đĩa topo rời W j ⊂  /  thỏa mãn: + W0 = W hay W0 = W ' ; + W j ⊂ Dom(hˆ) , hˆ(W j ) = W j −1 hˆ | W j đơn ánh ( j ≥ 1) ; + Với K > , W j ⊂ {ζ ∈ {ζ / | Im ζ > K } , với j lớn; ( ) + diamW j < / , dist W j ,W j +1 < C0 , + C1 < (hˆ j ) ' < C1' W j , với j ≥ (Chứng minh bổ đề xem [5]) 50  Bước Các tập U i Các kết 1.9 áp dụng cho f g Vì ta ký hiệu đối tượng ϕ f , R f , N1 (η ) , v.v… phần 1.9.3 Cụ thể ta kí hiệu ϕ f , R f , N1 ( f ,η ) f , f , ψ g , Rg , N1 ( g ,η ) g , g Cho W j đĩa bổ đề 3.2.11 Khi tồn số γ > (chỉ phụ thuộc vào C0 ) cho với η > lớn, f ∈ N1 ( f ,η ) ∩ F1 g ∈ N1 ( g , e 2πη ) ∩ F1 , tồn đĩa topo rời U1 , ,U N , N ≥ γη (e 2πη ) , thỏa mãn: U i ⊂ ϕ f ( D(η ) ) ⊂ D '(η ) ; ( = Vi π  ϕ f | D (η ) ) −1 ( (U i ) ⊂ ψ g ( D(η ') ) ⊂ D '(η ') , η ' = ± e 2πη ; W j (i ) = π  ψ g | D (η ') ) −1 (Vi ) với số j (i ) ∈  (Chứng minh xem [5]) ( ∗ Ta ký hiệu U i = τ 0−1 (U i ) , Vi = ϕ f | D (η ) ) −1 (U i ) , Vi ∗ = τ 0−1 (Vi ) Khi ta có ánh xạ π1 (ψ g∗ | D (η ') ) (j∗f | D (η ) ) →V  π∗ ∗ U i →U  V W j (i ) → → i i τ 0−1 −1 −1 ∗ i đánh giá đạo hàm 1 < [π  (ψ g∗ | D (η ') ) −1 ]' < , η < (τ 0−1 | Ui ) ' < η < [(ϕ ∗f | D (η ) ) −1 ]' < , 2 4 π e 2πη < (π ∗ | V ) ' < 3π e 2πη i Với đánh giá cuối cùng, ta sử dụng kết Vi chứa hộp  Bước Từ W0 tới U Tồn số nguyên k ≥ cho z j ( j > k ) không điểm tới hạn f Đặt π ( −1) ánh xạ ngược địa phương π gần w0 cho π ( −1) ( w0= ) w − k 51 Tương tự đặt π 1( −1) ánh xạ ngược địa phương π gần ζ ζ 0' cho π 1( −1) (ζ ) = ζ0 π 1( −1) (ζ 0' ) = ζ0' Chú ý bổ đề 3.2.11, ta lấy W, W’ nhỏ mà không làm thay đổi mệnh đề Từ bổ đề 1.10.2, ta có ϕ0' ( w − k ) ≠ , ψ 0' (ζ0 ) ≠ ψ 0' (ζ0' ) ≠ Khi dẫn đến ta thay đổi W, W’ nhỏ để tồn lân cận nhỏ U zk , lân cận N ( f ), N ( g ) f , g số C2 , C2' cho: với f ∈ N ( f ) ∩ F1 g ∈ N ( g ) ∩ F1 , ϕ f  π ( −1) ψ g  π 1( −1) xác định đơn ánh W W’, ảnh chúng phủ U; đạo hàm bị chặn C2 < (ϕ f  π ( −1) ψ g  π 1( −1) ) ' < C2' W ∪ W '  Bước Phép lặp thứ k cuối Cho U v = v f k ( zk ) Khi dễ dàng thấy tồn lân cận N ( f ,η ) f , phụ thuộc vào η > lớn, cho với f ∈ N ( f ,η ) , tồn tập mở U ' ⊂ U cho f k : U ' → τ ( D '(η ) ) song ánh 1 C3   η  v −1 v 1 < ( f k ) ' < C3'   η  v −1 v U ' , C3 , C3' > số phụ thuộc vào η  Bước Tập hyperbolic X f Cho f ánh xạ hữu tỷ thuộc lớp F0 , b > η > lớn Đầu tiên ý hàm giải tích gần với f , liên hợp với hàm F gần với f phép tịnh tiến gần id Vì với định lý 3.2.9, ta cần xét hàm F Giả sử f ∈F gần f 52 a( f ) = a1 − a2 + β < , Im ≤ b Các với số nguyên dương lớn a1 , a2 β ∈  thỏa mãn ≤ Re bb trường hợp khác với ký hiệu khác biểu thức α ( f ) xem xét tương tự, việc sử dụng liên hợp phức hay cách thực lại trình cho đầu mút  /  thay cho đầu mút Xem ý (1.9.4.1) Nếu f gần f a1 lớn, arg a ( f ) < π , R f xác định e 2π i α ( f ) R f gần g = ε f0 (hay Rˆ f + g gần gˆ = εˆ f0 ) Ta ký hiệu g = R f Hơn nữa, a2 đủ lớn, α( f ) g0 , = arg a ( g ) arg tự gần với ( p, q ) = Khi ta biết f 0q ( z ) ≠ z , có khai triển dạng 54 f 0q ( z ) = z + av q +1 z v q +1 + O( z v q + ) , v số nguyên dương av q +1 ≠ Sau đây, ta giả sử v = , nói cách khác, ( f 0q )( q +1) ≠ Khi ta giả sử aq +1 = Để phân tích phân nhánh, ta cần xem xét q hình trụ Ecalle vào q hình trụ Ecalle C0k , + , C0k , − (k ∈  / q) Bây phép biến đổi Ecalle biến đầu mút C0k , − thành đầu mút C0k , + , biến đầu mút C0k , − thành đầu mút C0k , + Vì vậy, phát biểu 1.9, 1.10 phần chứng minh trường hợp thay đổi sau Ta ý phần bị thay đổi  Thay đổi 1.9 1.9.2 Điểm bất động parabolic (1.9.2.1) Có 2q miền Ω(+k ) , Ω(−k ) (k ∈  q) thay cho hai miền Ω + , Ω − ;  Ω(+k ) ∪ Ω(−k ) ∪ {0} lân cận 0, f đơn ánh; k ( )⊂ Ω (k ) f0 Ω+ (k + p) + ( ) (k + p) ∪ {0} f Ω(−k ) ∪ {0} ⊃ Ω − ; Ω(+j ) ∩ Ω(−k ) khác rỗng liên thông, j = k hay j= k − rỗng; f 0n → n → ∞ Ω(+k ) ; Các đáy parabolic B ( k ) xác định  f − nq (Ω(+k ) ) , điểm thuộc n≥0 B ( k ) có lân cận mà f n (n = 1, 2, ) xác định k f nq → n → ∞ Ta cố định k ∈  q (1.9.2.2) ϕ0 , f , Ω − thay ϕ0( k ) , f 0q , Ω(−k ) Cũng với ϕ0∗ , định nghĩa ϕ0( k )∗ ( w) = − ( q ϕ ) (k ) q , 55 ϕ ( k )∗  qq−1  ( w)= w + O  w      (1.9.2.3) Φ , B , f , Ω + thay Φ (0k ) , B ( k ) , f 0q , Ω(+k ) ( (1.9.2.4) Cho B ( k ,u ) = ϕ0( k ) ) −1 ( (B ( k ) ) B ( k ,l ) = ϕ0( k ) ) −1 (B ( k −1) ) Khi B ( k ,u ) , B ( k ,l ) bất biến qua T B ( k ,u ) ⊃ {w | Im w > η0 } , B ( k ,l ) ⊃ {w | Im w < −η0 } với số η0 > Định nghĩa ε (f0k ,u ) : B ( k ,u ) →  , ε (f0k ,l ) : B ( k ,l ) →  ε (f0k ,u ) = Φ (0k )  ϕ0( k ) ε (f0k ,l ) = Φ (0k −1)  ϕ0( k ) Chúng thỏa mãn ε (f0k ,u ) ( w= + 1) ε (f0k ,u ) ( w) + với w ∈ B ( k ,u ) , v.v…; = ε (f0k ,u ) π  ε (f0k ,u )  π −1 : π (B ) ∪ {0} → { định nghĩa tốt giải tích, tự, ε (f0k ,l ) π  ε (f0k ,l )  π −1 : π (B ) ∪ {0} → { − {0} giải tích, = ε (f0k ,u ) ' (0) ≠ Tương ε (f0k ,l ) ' (∞) ≠ 1.9.3 Sự nhiễu loạn   p +α  π F1 = exp  2p i  f ∈ F | f '(0) =  với α ≠ arg a <  q  4    p +α( f )  Đặt f '(0) = exp  2p i  q   Các điểm tuần hoàn f chu kỳ q gần ký hiệu σ (k ) ( f ) = ( −2π iα ( f ) ) e2π ik q (1 + o(1) ) f → f0 , 1q arg ( −2π ia ( f ) ) 1q ( ) < π q , f σ ( k ) ( f ) = σ ( k + p ) ( f ) Các hàm ϕ f , R f , ε f0 thay ϕ (f k ) , R (f k ,u ) , ε (f0k ,u ) Phương trình hàm ϕ f trở thành ϕ (f k ) ( w + 1) = f q  ϕ (f k ) ( w) 56 Trong (1.9.3.3) (1.9.4.4), f n thay f nq + r , r số nguyên cho < r < n rp ≡ −1 (mod q ) Cuối ϕ (f k )∗ ( w) = − q (ϕ f ( w) ) q thỏa mãn (1.9.3.5) 1.9.4 Các ý (1.9.4.1) Nếu f ∈F thỏa mãn 3π < arg a ( f ) < 5π , ta sử dụng R (f k ,l ) , ε (f0k ,l ) thay cho R (f k ,u ) , ε (f0k ,u )  Các thay đổi 1.10 Cho f 1.9 Khi f có q đáy parabolic B ( k ) (k ∈  q) Đặt F0 tập tất hàm f ∈F mà có đáy parabolic tức thời B ( k ) B ( k ) , chứa điểm tới hạn f 0q Cho B ( k ,u ) thành phần B ( k ,u ) chứa {w | Im w > η0 } , ( ) B ( k ,u ) = π B ( k ,u ) Khi g ε (f0k ,u ) : B ( k ,u ) → ∗ phủ phân nhánh bậc vô hạn, phân = nhánh điểm (Mệnh đề 1.10.5) Các mệnh đề khác 1.10 không đổi  Các thay đổi phần chứng minh trường hợp Chú ý g ∈F0 theo nghĩa 1.9, g 0' (0) = Vì ta cần thay đổi ϕ f τ 0−1 | Ui thành z  − qz q Do bước 3, việc đánh giá đạo hàm τ 0−1 thay C η q +1 < (τ 0−1 | Ui ) ' < C 'η q +1 , bước 6, đánh giá ( f ni | U i ) ' trở thành ( f ni | U i ) ' ≤ C η q +1 v e 2πη Điều đủ để chứng minh Hdim( X f ) → η → ∞  57 Sau hệ định lý 3.2.8 định lý 3.2.9 họ đa thức phức bậc hai Pc ( z= ) z2 + c Trước phát biểu hệ quả, ta nhắc lại định nghĩa sau: K= {z ∈ { | Pcn ( z ) c ∞ n → ∞} (tập Julia đầy Pc ), bao đóng {các điểm tuần hồn đẩy Pc } (tập Julia Pc ), ∂K c = Jc = M= | ∈ Kc } = {c ∈ {{ {c ∈ | K c liên thông } (tập Mandelbrot), Tập Mandelbrot M có ∂M = {c ∈ { | Pc khơng J-ổn định } • Hệ 3.2.12 (i) Nếu U tập mở chứa c ∈ ∂M V= {c ∈ ∂M ∩ U | khơng lặp Pc } Hdim(∂M ∩ U ) ≥ Hdim(V ) ≥ hyp dim( Pc ) (ii) Nếu Pc có điểm tuần hồn parabolic với số nhân tồn dãy {cn } ( ) ∂M cho cn → c hyp dim Pc n → , n → ∞ Chứng minh (i) Từ định lý 3.2.8 kết c ∈ ∂M Pc không J-ổn định ([6]) ta đpcm (ii) Ta biết Pc có điểm tuần hồn parabolic ζ bậc k , f = Pck thỏa giả thuyết định lý 3.2.9, có điểm tới hạn (trong  ) Pc Bất kỳ điểm tuần hoàn parabolic Pc khơng ổn định (nếu khơng tất Pc có điểm tuần hồn parabolic), bị nhiễu thành điểm tuần hoàn mà số nhân giống định lý 3.2.9 Nếu Im β = điểm tuần hồn trung hịa, đa thức bị nhiễu không J-ổn định Do thu dãy {cn } (trong ∂M ) Hơn nữa, chọn cn cho điểm tiền tuần hoàn nghiêm ngặt qua Pc n , tham số trù mật ∂M [6]  58 Tiếp theo số kết quan trọng phần • Định lý 3.2.13 Hdim(∂M ) = Hơn với tập mở U giao ∂M , ta có Hdim(∂M ∩ U ) = Chứng minh Theo [6] ta có tham số mà Pc có điểm tuần hồn parabolic (không ổn định) trù mật ∂M Từ hệ 3.2.12 ta đpcm  Điểm sinh (generic point) không gian topo X điểm mà bao đóng X , nghĩa điểm trù mật X • Định lý 3.2.14 Với điểm sinh c ∈ ∂M ta có Hdim( J c ) = Nói cách khác, tồn tập dư (do trù mật) R ∂M cho c ∈ R Hdim( J c ) = (Tập dư (residual set) tập chứa phần giao tập đếm tập mở trù mật ∂M ) Chứng minh  (n = 1, 2, )  Đặt R = c ∈ ∂M | hyp dim( Pc ) > −  n n  Khi R = ∩ Rn = {c ∈ ∂M | hyp dim( Pc ) = 2} ⊂ {c ∈ ∂M | H dim ( J ( Pc ) ) = 2} n≥0 Do tính chất (iii) chiều hypebolic, R n mở ∂M Hơn R n trù mật ∂M , hệ 3.2.12 (ii) nhận xét (sự trù mật tham số parabolic ∂M ) Do R tập dư Tập R trù mật ∂M định lý Baire  59 • Định lý 3.2.15 Tồn tập dư R '  /  cho Pc có điểm tuần hoàn với số nhân exp(2p iα ) với α ∈ R ' Hdim( J c ) = Chứng minh Cho W thành phần hyperbolic, nghĩa thành phần liên thông tập hợp số c cho Pc có điểm tuần hồn hút Khi theo [3] tồn phép đồng phơi từ W lên đĩa đơn vị đóng (bảo giác W) xác định số nhân quỹ đạo tuần hồn khơng đẩy Vì thế, tham số với điểm tuần hoàn parabolic trù mật ∂W Theo chứng minh hệ 3.2.12(ii) lập luận tương tự chứng minh định lý 3.2.14, ta chứng minh với điểm sinh α ∈  /  , c ∈ ∂M Pc có điểm tuần hồn với số nhân exp(2p iα ) Hdim( J c ) = Vì có đếm thành phần hyperbolic, ta có đpcm  60 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tìm hiểu chiều Hausdorff tập hợp cách đánh giá chiều Hausdorff tập tự đồng dạng tập Julia ánh xạ hữu tỷ Những nội dung tóm tắt sau: Định nghĩa chiều Hausdorff tập E xây dựng dựa độ đo Hausdorff t-chiều mt ( E ) E Nó số thực khơng âm nhận giá trị ∞ Cụ thể Hdim( E ) = inf {t : mt ( E ) = 0} = sup {t : mt ( E ) = +∞} Nhờ vào độ đo xác suất E , ta thu cận chiều Hausdorff Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng Λ sinh họ phép đồng dạng với hệ số đồng dạng ri (ri < 1, i = 1, , m) nghiệm dương phương trình r1s + r2s + + rms = Cho ánh xạ hữu tỷ R bậc d ( d ≥ ) , ∞ ∈ F ( R ) chiều Hausdorff tập Julia R dương, cận chiều Hausdorff tập Julia log d với K max { R '( z ) : z ∈ J } = log K Sử dụng hình trụ Ecalle để phân tích nhiễu loạn điểm bất động parabolic giúp nghiên cứu chiều hyperbolic, qua thu kết quan trọng, là: Biên tập Mandelbrot M có chiều Hausdorff với điểm sinh c ∈ ∂M , tập Julia z  z + c có chiều Hausdorff Trên thực tế, việc đánh giá số chiều Hausdorff tập Julia công việc khơng đơn giản, địi hỏi nhiều kiến thức nhiều kỹ thuật phức tạp khác Tuy nhiên thời gian vốn kiến thức có hạn, luận văn dừng lại việc nghiên cứu nội dung Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề tương lai, qua phát nhiều ứng dụng quan trọng tuyệt vời Giải tích phức nói riêng Tốn học nói chung, góp phần nhỏ cho phát triển Toán học đại giai đoạn ngày 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Alan F Beardon (2000), Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer – Verlag A F Beardon and D Minda (2006), “The hyperbolic metric and geometric function theory”, Proceedings of the International Workshop on Quasiconformal Douady A and Hubbard J H (1985), “Étude dynamique des polynômes complexes”, Publications Mathématiques d’Orsay, 1er partie, 84-02; 2me partie, 85-04 Hiroyuki Inou and Mitsuhiro Shishikura (2008), The renormalization for parabolic fixed points and their perturbation Mitsuhiro Shishikura (1991), “The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets”, Tokyo Institute of Technology and State University of New York at Stony Brook R Mané, P Sad, D Sullivan (1983), “On the dynamics of rational maps”, Annales scientifiques de l’É.N.S 4e série, tome 16, no2, pp 193-217 ... −s n 32 Chương CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP JULIA Chương trình bày cách đánh giá chiều Hausdorff tập Julia ánh xạ hữu tỷ bậc lớn nói chung, chiều Hausdorff biên tập Mandelbrot tập Julia số đa thức... J-ổn định với chiều Hausdorff tập hyperbolic tập Julia Nó phản ánh giống tập Mandelbrot số tập Julia + Định lý 3.2.9 cho thấy ta tìm ánh xạ mà tập Julia chúng có chiều Hausdorff (hay chiều hyperbolic)... Chương 2: Chiều Hausdorff tập tự đồng dạng: Trình bày định nghĩa, số tính chất chiều Hausdorff cách đánh giá chiều Hausdorff tập hợp, đặc biệt tập tự đồng dạng Chương 3: Chiều Hausdorff tập Julia: