Chiều phức của các dây fractal tự đồng dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu đề tài trung thực chưa cơng bố hình thức trước Nếu phát có gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Học viên cao học Võ Văn Cưu LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hờ Chí Minh, Phịng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn cao học Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy tổ Giải tích, khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hờ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Đặc biệt, xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hờ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành sâu sắc nhất Chính thầy người giúp tơi hình thành ý tưởng thực hiện luận văn, đờng thời hướng dẫn cách rất tận tình suốt q trình nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của bạn bè gia đình giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Võ Văn Cưu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu Danh mục hình MỞ ĐẦU Chương GIỚI THIỆU VỀ CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL 1.1 Chiều Phức của dây fractal thông thường 1.1.1 Hình học của dây fractal thông thường 1.1.2 Hàm Zeta hình học của dây fractal thơng thường 10 1.1.3 Tần số của dây fractal thông thường hàm Zeta phổ 16 1.2 Dây fractal tổng quát 19 1.2.1 Khái niệm về dây fractal tổng quát 19 1.2.2 Một số ví dụ về dây fractal tổng quát 21 1.2.3 Tần số của dây fractal tổng quát 23 1.2.4 Khái niệm dây fractal tổng qt có tính chất languid 26 Chương CHIỀU PHỨC CỦA DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG 28 2.1 Xây dựng dây fractal thông thường tự đồng dạng 28 2.1.1 Dây tự đồng dạng 28 2.1.2 Mối liên hệ với tập hợp tự đồng dạng 30 2.2 Hàm zeta hình học của dây tự đờng dạng 33 2.2.1 Cơng thức tính hàm zeta hình học của dây tự đồng dạng 33 2.2.2 Dây tự đồng dạng với khe hở 36 2.3 Ví dụ về chiều phức của dây tự đồng dạng 37 2.3.1 Dây Cantor 37 2.3.2 Dây Fibonacci 38 2.3.3 Dây Cantor Fibonacci có điều chỉnh 42 2.3.4 Một dây với cực điểm bội 43 2.3.5 Hai ví dụ về dây nonlattice: Dây Hai – Ba Dây Vàng 44 2.4 Dây lattice nonlattice 49 2.5 Cấu trúc của chiều phức 50 2.6 Mật độ tiệm cận của cực điểm trường hợp nonlattice 57 Chương CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG NONLATTICE 60 3.1 Phương trình đa thức Dirichlet 61 3.2 Vài ví dụ về phương trình đa thức Dirichlet 62 3.2.1 Vài ví dụ về phương trình lattice 62 3.2.2 Vài ví dụ về phương trình generic nonlattice nongeneric nonlattice 62 3.3 Cấu trúc của nghiệm phức 63 3.4 Xấp xỉ phương trình nonlattice bởi phương trình lattice 69 3.4.1 Xấp xỉ Diophant 72 3.4.2 Mẫu tựa tuần hoàn của chiều phức 76 Chương LÂN CẬN HÌNH ỐNG VÀ TÍNH ĐO ĐƯỢC MINKOWSKI 83 4.1 Một số kết chuẩn bị 83 4.1.1 Công thức về hàm đếm dạng phân bố của dây fractal tổng quát 83 4.1.2 Các số hạng hình học địa phương 89 4.2 Công thức tính thể tích lân cận hình ống 90 4.3 Tính đo Minkowski chiều phức 96 4.4 Cơng thức hình ống của dây tự đồng dạng 99 4.4.1 Tính chất languid của dây fractal tự đờng dạng 99 4.4.2 Công thức hình ống của dây Cantor tổng quát 99 4.4.3 Dây tự đồng dạng lattice 100 4.4.4 Dây tự đồng dạng nonlattice 106 KẾT LUẬN 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 110 DANH MỤC KÍ HIỆU tập số ngun khơng âm *  \ 0 tập số nguyên dương tập số nguyên tập số hữu tỷ tập số thực tập số thực dương *  tập số phức  x số nguyên lớn nhất nhỏ hoặc x (phần nguyên của x) x  x \  x phần thập phân của x (phần phân của x) f ( x)  O( g ( x)) f ( x) bị chặn g ( x) f ( x)  o( g ( x)) f ( x) dần về g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) dần về g ( x) #A số phần tử của tập hữu hạn A 𝑣𝑜𝑙1 độ đo Lebesgue chiều ℝ 𝑉(𝜀 ) thể tích của lân cận hình ống bên của 𝜕Ω với bán kính 𝜀 ∞ ℒ = {𝑙𝑗 }𝑗=1 biểu thị của dây fractal thông thường  biểu thị của dây (fractal) tổng quát  đô đo biến phân toàn phần tương ứng với độ đo  𝑁ℒ ( N ) hàm đếm nghịch đảo của độ dài của fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát  ) 𝑁𝑣 hàm đếm tần số hay hàm đếm phổ 𝐷ℒ ( D ) số chiều của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  ) 𝑀 = 𝑀(𝐷; ℒ ) dung lượng Minkowski của dây fractal thông thường ℒ 𝑀∗ = 𝑀∗ (𝐷; ℒ ) dung lượng Minkowski của dây fractal thông thường ℒ 𝑀∗ = 𝑀∗ (𝐷; ℒ ) dung lượng dưới Minkowski của dây fractal thông thường ℒ 𝒲𝑙 số bội của độ dài l của dây fractal thông thường ℒ (𝑣) 𝒲𝑓 số bội tổng của tần số 𝑓 CS dây Cantor phần ba Fib dây Fibonacci GS dây vàng (golden string) ℎ dây điều hòa  dây nguyên tố  hàm zeta Riemann ℒ hàm zeta hình học của dây fractal thông thường ℒ 𝑣 (   ) hàm zeta phổ của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  ) 𝑆: 𝑆(𝑡) + 𝑖𝑡 (𝑡 ∈ ℝ), 𝑊 = {𝑠 ∈ ℂ: Re 𝑠 ≥ 𝑆(Im 𝑠)}: 𝔇ℒ (𝑊 ) (𝔇𝜂 (𝑊 )) cửa sổ tập hợp chiều phức nhìn thấy qua cửa sổ W của dây fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát  ) 𝔇ℒ (ℂ) (𝔇𝜂 (ℂ)) tập hợp chiều phức của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát  )   ' tích chập của hai dây tổng quát   ' 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑁 hệ số tỉ lệ của phép đồng dạng co 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝐾 hệ số tỉ lệ của khe hở hoặc độ dài khe hở 𝑟𝑒𝑠(ℒ (𝑠); 𝐷) thặng dư của hàm ℒ tại D ord ( f ; s) cấp của hàm f tại s 𝔇 = 𝔇(𝑊 ) ước của hàm phân hình f tập đóng W N ngun hàm thứ k của dây fractal tổng quát  triệt tiêu tại k P k nguyên hàm thứ 𝑘 của phân bố  𝔇(0, ∞) không gian hàm lớp C  với giá compact (0, ∞)   sai số dạng phân bố 𝜑̃ phép biến đổi Mellin của  k DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 Một đàn hạc fractal Hình 1.2 Dây Cantor Hình 1.3 Lân cận hình ống bán kính 0,037 của dây Cantor Hình 1.4 Hàm 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐶𝑆 (𝜀) + 2𝜀), cộng tính Hình 1.5 Hàm 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐶𝑆 (𝜀) + 2𝜀) tuần hoàn nhân Hình 1.6 Màn S Cửa sổ W 14 Hình 2.1 Xây dựng dây tự đờng dạng với bốn hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = 𝑟3 = 1 𝑟4 = hai khe hở 𝑔1 = 𝑔2 = 29 Hình 2.2 Phép lặp thứ nhất việc xây dựng tập hợp tự đồng dạng F với hệ số tỉ lệ 𝑟1 , … , 𝑟4 khe hở ban đầu 𝐺𝑘 có độ dài 𝑔𝑘 (𝑘 = 1,2,3) .32 Hình 2.3 Xây dựng dây fractal tự đồng dạng với 𝑁 = phép biến 1 đổi đồng dạng với hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = 𝑟3 = 𝑟4 = khe hở 𝑔1 = 36 Hình 2.4 Chiều phức của dây Cantor 𝐷 = log 𝐩 = 2𝜋⁄log .38 Hình 2.5 Chiều phức của dây Fibonacci 𝐷 = log 𝜙 𝐩 = 2𝜋/ log 40 Hình 2.6 Hàm cộng tính 21−𝐷 𝑓1 (log (2𝜀 )−1 ) 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐹𝑖𝑏 (𝜀 ) + 2𝜀) 41 Hình 2.7 Hàm có tính nhân 21−𝐷 𝑓1 (log (2𝜀 )−1 ) 𝜀 𝐷−1 (𝑉𝐹𝑖𝑏 (𝜀) + 2𝜀) 41 Hình 2.8 Xây dựng dây Cantor thay đổi, với năm hệ số tỉ lệ 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = , 𝑟4 = 𝑟5 = Hình 2.9 1 1 27 , bốn khe hở 𝑔1 = 𝑔3 = , 𝑔2 = , 𝑔4 = 27 42 Chiều phức của dây với cực điểm bội 𝐷 = 𝑙𝑜𝑔3 𝐩 = 2𝜋/log3 Ở đây, kí hiệu ∘ có nghĩa cực điểm cấp hai 44 1 Hình 2.10 Chiều phức của dây nonlattice với hệ số tỉ lệ 𝑟1 = , 𝑟2 = khe hở 𝑔1 = 46 Hình 2.11 Chiều phức của dây vàng (dây nonlattice với hệ số tỉ lệ 𝑟1 = 2−1 𝑟2 = 2−𝜙 ) 47 97 với dây lattice tự đồng dạng ℒ có chiều D 𝐷 + 𝑖𝑛𝐩 với n  p chu kỳ dao động của ℒ (mọi chiều phức bên D) cũng đơn Nhắc lại từ Mục 1.1 ℒ đo Minkowski nếu giới hạn lim V ( ) D1  0 tồn tại thuộc  0,  Khi D trùng với chiều Minkowski của ℒ Định lý 4.17 (Tiêu chuẩn đo Minkowski) Cho ℒ dây fractal thơng thường có tính chất languid đối với không qua 0, xen đường thẳng đứng Res  D mọi chiều phức của ℒ với phần thực nhỏ 𝐷 Khi mệnh đề sau tương đương: (i) 𝐷 chiều phức nhất có phần thực 𝐷, cực điểm đơn (ii) N ( x)  E.x D  o( x D ) với số dương E (iii) Biên của ℒ đo Minkowski Hơn nữa, nếu bất kỳ điều kiện điều kiện thỏa mãn ℳ = 21 D res( ( s); D) E  21 D 1 D D(1  D) (4.42) dung lượng Minkowski của biên của ℒ Chứng minh: Giả sử ta có (i) chọn cho có D nhìn thấy Áp dụng Định lý 4.1 đối với ℒ, sử dụng Định lý 4.5, 4.6 ta có P  ( x)  N ( x) ,   xs xD 1 P  ( x)  res   ( s) ; D     ( x)  res  ( s); D   o( x D ) , x   s D   Do (ii) với E  D1res  (s); D  Vì 𝐷 giả sử cực điểm đơn của  ( s) (do (i))  (s)    D nên số E , cho bởi lim   D  ( ) ,  D  số dương Lý luận tương tự, ta suy (iii) nhờ sử dụng Định lý 4.9 Giả sử ta có (ii) Khi theo Định lý 1.13 Bổ đề 4.15  có cực điểm đơn đường thẳng Res  D Giả sử D  i n  dãy (hữu hạn hay vô hạn) cực điểm Theo Định lý 4.1 ta có 98 N ( x)   an x Di n  o( x D ) x   n an  res  s 1 (s); D  i n  Do  a x D i n n  Ex D  x   n Từ Định lý nhất đối với hàm tựa tuần hoàn (xem [18], Section VI.9,6, tr 08) ta có an  với  n  Do có (i) Để suy (i) từ (iii) ta lập luận tương tự cách sử dụng V ( ) thay N ( x) đặt an  res  s(1  s)1 (s); D  i n  Nhận xét 4.18 Mệnh đề 1.1, Định lý 1.13 Bổ đề 4.15 ở cần để bảo đảm (dưới giả thiết của Định lý 4.17) N ( x)  x D G ( x)  o( x D ) x   hoặc V ( )   1 DG1 ( )  o( 1 D )   0 G G1 hàm tựa tuần hồn nhân Nhận xét 4.19 Đối với dây nonlattice nhất định, ta chọn Định lý 4.17 chứng minh về tiêu chuần đo Minkowski không áp dụng với dây nonlattice thế Tuy nhiên, theo cơng trình của M L Lapidius K J Falconer [9] dây nonlattice đo Minkowski Nhận xét 4.20 Giả sử l j   j 1 ký hiệu dãy độ dài của dây fractal ℒ Khi điều kiện (ii) Định lý 4.17 tương đương với điều kiện 1 (ii’) l j M j D (nghĩa j D l j  M ) j   với hạng số dương M Hơn nữa, số E (ii) M (ii’) liên hệ bởi E  M D Nhận xét 4.22 (Các chiều bên D dao động hình học).Tính đo Minkowski của ℒ, thể hiện (iii) Định lý 4.17, có nghĩa số hạng cấp cao nhất của thể tích của lân cận nhỏ hình ống không dao động Tương tự, điều kiện (ii) (hay tương đương(ii’)) nói dãy độ dài của ℒ không dao động (tiệm cận) 99 Tức là, (ii) (iii) hiểu sự vắng mặt của dao động cấp D hình học của ℒ Do theo nghĩa (với D đơn), Định lý 4.17 nói sự vắng mặt của dao động hình học cấp D ℒ tương đương với sự vắng mặt của chiều phức không thực của ℒ D Lưu ý ℒ vẫn có dao động ở cấp thấp 4.4 Cơng thức hình ống dây tự đồng dạng 4.4.1 Tính chất languid dây fractal tự đồng dạng Theo Định lý 2.4 hàm zeta hình học của dây tự đờng dạng ℒ có độ dài L với hệ số tỉ lệ r1 , , rN khe hở g1 , , g K cho bởi  ( s )  Ls g1s   g Ks  r1s   rNs (4.43) Nhắc lại 𝑔𝑘 khe hở nhỏ nhất, ta suy  (s)  Lg  1   K N r   Re s   (4.44)  ( s) thỏa mãn L1 L2’ với   Do ta chọn W  A  L1 g K1rN Thật vậy, Định lý 3.17 cho phép ta tìm dãy thích hợp Tn n với Tn   n   cho  ( s) bị chặn đều đường nằm ngang Im s  Tn (với mọi n  ) L1 cho bởi (1.61) thỏa mãn với   Thứ hai, từ ước lượng (4.44) ở trên, ta chọn cách đơn giản S m đường thẳng đứng Res  m với m  để kiểm tra giả thiết L2’ cho bởi (1.63) với   A  L1 g K1rN Dẫn đến dây tự đồng dạng languid mạnh với   (và với mọi   ) Trong mục này, ta thảo luận về công thức hình ống của lớp ví dụ dây tự đờng dạng, dây Cantor tổng qt, dây lattice dây nonlattice 4.4.2 Cơng thức hình ống dây Cantor tổng quát Một dây Cantor tổng quát dây fractal tổng quát (nghĩa độ đo) có đường thẳng đơn chiều phức có dạng D  inpn Một dây thế có độ dài 1, a , a , , với số bội 1, b, b , b  a a  e 1 2 D 2 p nghịch đảo của 100 phần tử sinh nhân r Ta giả sử p  nên a  Một dây thế dây lattice ngoại trừ trường hợp D số phức tùy ý Như a  r 1 số thực dương b số phức Các tham số a b có mối liên hệ với D p bởi ar 1 e 2 p , p 2 , b  a D , D  log a b log a (4.45) Ta cho phép D  D  tương ứng với b  b  a Hàm zeta hình học của dây fractal tổng quát chiều D chu kỳ dao động p cho bởi  D ,p  với thặng dư  b.a  s tại s  D Ta ký hiệu dây Rõ ràng dây ℒ𝐷,𝐩 có log a đường chiều phức 𝔇 = {𝐷 + 𝑖𝑛𝐩: 𝑛 ∈ ℤ} với chu kỳ dao động p  2 thặng dư tại chiều phức log a log a Nếu a  b  b số nguyên dây dây fractal thông thường V ( )  VD ,p ( ) Tiếp theo ta tính thể tích của lân cận hình ống của ℒ𝐷,𝐩 Theo phần thứ hai của hệ 4.13, với D  (nghĩa b  ) ta có (2 )1 D inp 2 VD ,p ( )    log a n ( D  inp)(1  D  inp) b  đẳng thức theo điểm hàm, với    (4.46) a Trong trường hợp D  ta có (2 )1inp 1  V0,p ( )   2   log a 2   log a n0 inp(1  inp) 2  (4.47) 4.4.3 Dây tự đồng dạng lattice Cho ℒ dây tự đồng dạng với biên 𝜕ℒ có chiều Minkowski D trình bày ở Chương Như ℒ có hệ số tỉ lệ r1 , , rN ( N  2) khe hở bởi 101 g1 , , g K ( K  1) Hơn  rN   r1  ,  g K   g1  phương trình (2.4) thỏa mãn: N K i 1 j 1  ri   g j  (4.48) Hơn L     Vol1 (ℒ) (4.49) ký hiệu độ dài tổng của ℒ Nhắc lại hàm zeta hình học của ℒ cho bởi phương trình (2.10) của Định lý 2.4 Đặc biệt khơng cực điểm của  Đồng thời ℒ gọi dây lattice nếu tồn tại phần tử sinh r   0,1 số nguyên dương k1 , , kN ước số chung cho rj  r kj với mọi j  1, , N Nếu ngược lại, ℒ gọi dây nonlattice Nếu ℒ dây lattice tất chiều phức nằm đường thẳng đứng Res  D đều đơn có dạng D  inp (với n  ) p  dao động của ℒ r  e 2  p 2 chu kỳ log r 1 phần tử sinh nhân của (xem Định lý 2.13 Định nghĩa 2.12) Dây Cantor tổng quát ví dụ về dây tự đồng dạng lattice với đường đơn chiều phức Trong mục ta chứng minh định lý sau với hai kết xác Định lý 4.24 Hệ 4.27 Định lý 4.23 Một dây lattice không bao giờ đo Minkowski hình học của ln có dao động tuần hoàn nhân cấp D, với D chiều của Chứng minh: (Chứng minh cho trường hợp khe hở đơn, phần nhiều khe hở xem xét Định lý 4.24 Hệ 4.27) Giả sử ℒ dây lattice tự đồng dạng với khe hở đơn, chuẩn tắc hóa Nhận xét 2.6 Chọn số  với    D cho đường chiều phức bên trái của D nằm bên trái của đường thẳng Res   (nếu khơng có đường vậy, ta lấy   ) Khi sự tính tốn ta có 102 V ( )  res  ( s); D   n  (2 )1 D inp ( D  inp)(1  D  inp)   ( s)(2 )1 s  res   s(1  s) ;   2 (0) Re   D    (2 )1 D G(log r 1 (2 ) 1 )  O( 1 )   0 (4.50) (2 ) 2 inx G ( x)  res  ( s); D   n ( D  inp)(1  D  inp) (4.51) ở res  (s); D  cho bởi (2.43) (với K  g1L  1): res  ( s); D   N r j 1 D j log r  1 j log r 1 N k r j 1 (4.52) k jD j j Nhắc lại Chương 2, số nguyên dương k1 , , kN xác định bởi rj  r kj với j  1, , N Vì hàm hàm tuần hồn 𝐺 khác (do có hệ số Fourrier với n  ), suy ℒ không đo Minkowski theo Định lý 4.17 2.13 Hơn nữa, dao động hình học tuần hồn nhân 𝐺 tuần hồn Nhận xét cơng thức (4.50) hội tụ đơn có hữu hạn đường chiều phức, đường chiều phức có thặng dư bị chặn mẫu số của số hạng bình phương của  + Kết sau nhằm hoàn tất chứng minh của Định lý 4.23 trường hợp có nhiều khe hở Hệ 4.27 của kết trường hợp ℒ có chiều phức với số bội cao Định lý 4.24 (Các dây lattice với nhiều khe hở) Cho ℒ dây lattice tự đồng dạng với phần tử sinh nhân r Giả sử tất chiều phức của ℒ đơn Khi với mọi  :    Lg K rN1 thể tích V ( ) cho bởi cơng thức hình ống dạng điểm: q V ( )   (2 )1u Gu (log r 1 (2 ) 1 )  u 1 2K  1 N (4.53) 103 ở với u  1, , q hàm Gu hàm nhận giá trị thực, khác hằng, tuần hoàn với chu kỳ 1  D  Re 2  tương ứng với đường chiều phức qua u ( u  1, , q ) với  Re q cho chuỗi Fourrier hội tụ tuyệt đối Gu ( x)   n res  ( s); u  inp  2in x e (u  inp)(1  u  inp) (4.54)  g L    K res  ( s ); u  inp   u  inp 1 log r 1 N k r j 1 k ju (4.55) j Chứng minh: Định lý suy từ phần thứ hai của Định lý 4.10 Vì ℒ có tính chất languid mạnh với A  L1 g K1rN   (nên cũng với   ) khơng chiều phức của ℒ, áp dụng Định lý 4.10 ta có với   Lg K rN1 : V ( )   D    ( s)(2 )1 s  res  ;    2 (0)   s(1  s)  q   ( s)(2 )1 s  2K   res  ; u  inp    s (1  s )  N u 1 n   (4.56) ở đẳng thức thứ hai suy từ cấu trúc tuần hoàn của chiều phức trường hợp lattice (xem Định lý 2.13) Nếu u (và u  inp với mọi n  ) đơn res  ( s); u  inp    ( s)(2 )1 s  res  ; u  inp   (2 )1u inp (u  inp)(1  u  inp)  s(1  s)  theo công thức (2.50) Nhận xét 2.14 K res  ( s ); u  inp     g L   u  inp K 1 log r 1 N k r j 1 k ju (4.57) j Nhận xét 4.25 Nếu ℒ có khe hở đơn chuẩn tắc hóa (nghĩa K  g1L  1) (4.53) quy về công thức 104 q V ( )   (2 )1u Gu ( log r 1 (2 ) 1 )  2 (0) u 1 điểm với mọi    , (4.54) với (4.55) trở thành 2rN Gu ( x)  res  ( s ); u   n e 2in x (u  inp)(1  u  inp) Nhận xét 4.26 Hơn nữa, giả sử kích thước khe hở g  L lũy thừa nguyên của phần tử sinh nhân r của ℒ; nghĩa g  L  r k đối với số nguyên nhất định k ,   1, ,k (như (2.40) của Định lý 2.13) Khi với u  1, , q , thặng dư 𝑟𝑒𝑠(ℒ (𝑠); 𝜔𝑢 + 𝑖𝑛𝐩) độc lập với n  , Nhận xét 2.14 Chính xác hơn, 𝑖𝑛𝐩 (𝑔𝜇 𝐿) = công thức (4.57) quy về (như (2.51)): k 𝑟𝑒𝑠(ℒ (𝑠); 𝜔𝑢 + 𝑖𝑛𝐩)  r   k  1 log r 1 N k r j 1 k ju với n  (4.58) j Hệ tiếp theo áp dụng cho dây lattice tùy ý đặc biệt làm cho Định lý 4.23 hồn tồn tổng qt Nó cũng hồn tất chứng minh Định lý 2.13 3.2 trường hợp lattice Hệ 4.27 Cho ℒ dây lattice tự đồng dạng, với hệ số tỉ lệ r1 , , rN ( N  2) khe hở g1 , g , , g K ( K  1) Giả sử Res   đường thẳng đứng tận bên phải của phía bên trái đường thẳng Res  D chứa chiều phức của ℒ, giả sử m  số bội lớn nhất của chiều phức đường thẳng Khi V ( )   2  1 D G(logr 1  2  )  E( ) 1 (4.59) G hàm giá trị thực khác tuần hoàn với chu kỳ cho bởi G ( x)   n res  ( s ); D  inp  2 inx e  D  inp  (1  D  inp) thặng dư của hàm zeta của ℒ cho bởi (4.60) 105  g L    K res  ( s ); D  inp   D  inp 1 log r 1 N k r j 1 (4.61) kjD j mà vô hạn chúng không triệt tiêu Trong công thức (4.59) sai số E ( ) đánh sau: Khi   0 (i) Nếu   (nghĩa có chiều phức với phần thực thuộc  0, D  ) hoặc nếu   chiều phức của ℒ có số bội tối đa 𝑚 −  E ( )  O  1 log  m1  (ii) Nếu   E ( )  O    (iii) Nếu   chiều phức của ℒ bội 𝑚  E ( )  O  log  m1  Suy ℒ khơng đo Minkowski Nói cách khác, dây lattice khơng có dung lượng Minkowski Chứng minh: Từ phần của cơng thức hình ống dạng điểm (Định lý 4.10) suy công thức (4.59), với G  G1 hệ số của G cho bởi (4.60) (4.61) Để nhận đánh giá sai số cho, ta chọn đường thẳng đứng Res     nếu   , hoặc đường thẳng đứng Res       nếu   Với sự chọn lựa thế này, cực điểm của  (s) mà tham s gia vào công thức V ( ) nằm đường Res  D hai đường Re s  hoặc Res   , mà ta chọn đường nằm xa nhất về phía phải Do sự chọn lưa  bị chặn màn, tính chất L1 L2 thỏa mãn với   Do đó, ta áp dụng cơng thức hình ống dạng điểm (4.38) của phần của Định lý 4.10 Từ tính tốn về số hạng địa phương Mục 4.1.2 ta suy số hạng có cơng thức tường minh có cấp cho Nhận xét hàm tuần 106 hoàn G1 ( x) khác hàm tất chiều phức D  inp, n  , n  đều bị loại bỏ bởi không điểm của  công thức (2.10) (giống chứng minh Định lý 2.13) Suy ℒ ln có dao động tuần hoàn nhân của số hạng cấp cao nhất D ℒ khơng đo Minkowski Nhận xét 4.28 Trong Hệ ta sử dụng tổng chiều phức đường thẳng Res  D công thức tường minh đối với V ( ) cách chọn mà che phủ mọi chiều phức khác Cách ngăn chặn việc phải xác định số hạng công thức tương ứng với chiều phức có số bội cao 4.4.4 Dây tự đồng dạng nonlattice Một dây tự đồng dạng, lattice hay nonlattice, ln languid mạnh Chính xác hơn, giải thích Mục 4.3.1,  ( s) thỏa mãn L1 L2’ với   A  L1 g K1rN Do theo phần thứ hai của Định lý 4.10, V ( ) xác định bởi cơng thức hình ống dạng điểm mà khơng có số hạng sai số V ( )    D ( với      ( s)(2 )1 s  res  ,    2 (0) )  s (1  s)  (4.62) Lg K rN1 Nhận xét không chiều phức của dây tự đồng dạng Đồng thời nếu  chiều phức đơn của ℒ   ( s)(2 )1 s  (2 )1 res  ;    res  ( s);    (1   )  s(1  s)  Đối với dây nonlattice ta cần công thức tường minh với số hạng sai số để nhận thông tin về V ( ) Khi sử dụng thích hợp cơng thức nhận liên quan đến chiều phức nhìn thấy tương ứng Theo Định lý 2.13, D chiều phức nhất nằm đường thẳng Res  D đơn Do theo Hệ 4.13, ta có V ( )  (2 )1 D res  ( s ); D   D(1  D)    ( s)(2 )1 s  res   s(1  s) ;   2 (0)  ( ) Re   D   (4.63) 107  ℳ  1 D + o( 1 D ) (4.64)   0 , ở  chạy 𝔇ℒ (𝑊) số hạng cặp móc   bao gờm W Suy ℒ đo Minkowski (theo Định lý 4.17) với dung lượng Minkowski cho bởi (4.42) 21 D ℳ  res( ( s); D) D(1  D) (4.65) Phân tích khơng nếu khơng có qua Res  D chiều phức thực sự nằm bên trái đường với dây nonlattice languid ℒ Trong trường hợp ta áp dụng Định lý 3.25 với công thức  D  4  k 1  2   (2 )1 D V ( )  res  ( s ); D    res  ( s );    o x  D(1  D) D    Re   D  1      1 (4.66)   0 Việc lại ước lượng    2  res ( ( s );  ) 1  (1   ) D   Re   D (4.67) với  dương nhỏ điều thực hiện Định lý 4.7 Kết suy tổng o( x D ) x   , từ ta suy (4.63) điểm với dây nonlattice tùy ý Nhận xét giả thiết của Định lý 4.7 thỏa mãn tổng (4.67) hội tụ tuyệt đối Thật vậy, theo Định lý 3.16, res( ( s);  ) bị chặn đều với mọi chiều phức nhìn thấy  , nên (4.67) so sánh với D   2  Re   D , mà chuỗi hội tụ đánh giá mật độ (2.37) Ta tóm tắt thảo luận định lý sau Định lý 4.29 Mọi dây nonlattice đo Minkowski Hơn thể tích V ( ) của lân cận hình ống của ℒ cho bởi cơng thức 108 V ( )  ℳ  1 D + o( 1 D ) dung lượng Minkowski của ℒ cho bởi 1 D ℳ= G D L g   D 1 N D(1  D) r log r D j j 1 1 j Nhận xét 4.30 Thặng dư của  tính rõ ràng Nếu ℒ dây tự đồng dạng với hệ số tỉ lệ r1 , , rN khe hở g1 , , g K , ta có (xem phương trình (2.43)): K res  ( s ); D   LD  g D  1 (4.68) N r j 1 D j log r 1 j (như chứng minh Định lý 2.13) Do từ (4.65) dây nonlattice ℒ có dung lượng Minkowski K 21 D LD  g D ℳ=  1 N D(1  D) rjD log rj1 j 1 phù hợp với đẳng thức (2.44) của Định lý 2.13 ta hoàn tất chứng minh Định lý 109 KẾT LUẬN Nội dung của luận văn tìm hiểu tính chất hình học của dây fractal tự đồng dạng thông qua việc nghiên cứu chiều phức của chúng (các định lý 2.13, 3.2, 3.10, 3.13, 3.14, 4.24, 4.29) Những nội dung tơi tìm hiểu tóm tắt sau: Các khái niệm tính chất hình học của dây fractal thông thường, dây fractal tự đồng dạng, dây fractal dưới dạng độ đo, phân bố Phân loại loại dây fractal lattice, nonlattice Cấu trúc chiều phức của dây fractal tự đồng dạng Cụ thể tìm hiểu sự tờn tại phân bố của chiều phức của dây tự đồng dạng lattice nonlattice Từ hiểu biết về cấu trúc chiều phức suy tính chất hình học của dây tự đờng dạng tính tuần hồn hay tựa tuần hồn; tính đo Minkowski của dây Chẳng hạn: + Dây lattice có chiều phức khơng thực với phần thực 𝐷 nên dây lattice không đo Minkowski: hình học có dao động bậc D + Dây nonlattice khơng có chiều phức khơng thực với phần thực 𝐷 nên dây nonlattice đo Minkowski: hình học khơng có dao động bậc 𝐷 Cách tính chiều phức của dây fractal lattice thơng qua cách tìm cực điểm hàm zeta hình học của dây, dẫn đến việc tìm nghiệm phương trình Dirichlet Biết cách xấp xỉ chiều phức của dây nonlattice bởi chiều phức của dãy dây lattice Cách tính thặng dư tại chiều phức của hàm zeta hình học của dây, cách tính thể tích lân cận hình ống của biên dây fractal, dẫn đến cơng thức tính dung lượng Minkowski của dây nonlattice Lý thuyết chiều phức dây fractal hướng nghiên cứu mới mẻ nhiều vấn đề chưa giải qút Bản thân tơi mong muốn có dịp tìm hiểu sâu lĩnh vực 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO L V Ahlfors (1985), Complex Analysis, 3d ed., McGraw-Hill, London K J Falconer (1990), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Chichester G B Folland (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., John Wiley & Sons, Boston C Q He and M L Lapidus (1996), Generalized Minkowski content and the vibrations of fractal drums and strings, Mathematical Research Letters 3, 31–40 C Q He and M L Lapidus (1997), Generalized Minkowski content, spectrum of fractal drums, fractal strings and the Riemann zeta-function, Memoirs Amer Math Soc., No 608, 127, 1-97 J E Hutchinson (1981), Fractals and self-similarity, Indiana Univ Math J.30, 713-747 A E Ingham (1992), The Distribution of Prime Numbers, 2nd ed (reprinted from the 1932 ed.), Cambridge Univ Press, Cambridge M L Lapidus (1992), Spectral and fractal geometry: From the Weyl– Berry conjecture for the vibrations of fractal drums to the Riemann zeta-function, in: Differential Equations and Mathematical Physics (C Bennewitz, ed.), Proc Fourth UAB Intern Conf (Birmingham, March 1990), Academic Press, NewYork, pp 151–182 M L Lapidus (1993), Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture, in: Ordinary and Partial Differential Equations (B D Sleeman and R J Jarvis, eds.), vol IV, Proc Twelfth Internat Conf (Dundee, Scotland, UK, June 1992), Pitman Research Notes in Math Series, vol 289, Longman Scientific and Technical, London, pp 126–209 10 M L Lapidus and H Maier (1991), Hypothèse de Riemann, cordes fractales vibrantes et conjecture de Weyl- Berry modifiée, C R Acad Sci Paris Sér I Math 313, 19-24 111 11 M L Lapidus and H Maier (1995), The Riemann hypothesis and inverse spectral problems for fractal strings, J London Math Soc (2) 52, 15-34 12 M L Lapidus and C Pomerance (1990), Fonction zêta de Riemann et conjecture de Weyl–Berry pour les tambours fractals, C R Acad Sci Paris Sér I Math 310, 343–348 13 M L Lapidus and C Pomerance (1993), The Riemann zeta-function and the onedimensional Weyl–Berry conjecture for fractal drums, Proc London Math Soc (3), 41–69 14 M L Lapidus and M van Frankenhuijsen (2006), Fractal Geometry, Complex Dimensions and Zeta Functions: Geometry and Spectra of Fractal Strings, Springer Monographs in Mathematics 15 B B Mandelbrot (1983), The Fractal Geometry of Nature, rev and enl ed (of the 1977 ed.), W H Freeman, Newyork 16 P A P Moran (1946), Additive functions of intervals and Hausdorff measure, Math Proc Cambridge Philos Soc 42, 15-23 17 W M Schmidt (1980), Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., vol 785, Springer-Verlag, Newyork 18 L Schwartz (1966), Théorie des Distrbutions, rev and enl ed (of 1951 ed.), Hermann, Paris 19 J P Serre (1973), A Course in Arithmetic, English translation, Springer-Verlag, Berlin ... Tần số của dây fractal tổng quát 23 1.2.4 Khái niệm dây fractal tổng qt có tính chất languid 26 Chương CHIỀU PHỨC CỦA DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG 28 2.1 Xây dựng dây fractal thông... điểm trường hợp dây nonlattice 2.1 Xây dựng dây fractal thông thường tự đồng dạng 2.1.1 Dây tự đồng dạng Cho đoạn I có độ dài L (được gọi khoảng ban đầu), xây dựng dây tự đồng dạng ℒ sau Giả... THIỆU VỀ CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL 1.1 Chiều Phức của dây fractal thông thường 1.1.1 Hình học của dây fractal thông thường 1.1.2 Hàm Zeta hình học của dây fractal