lí thuyết động lực phức và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ ĐĂNG KHOA LÍ THUYẾT ĐỘNG LỰC PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ ĐĂNG KHOA LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Tôi xin cám ơn thầy hướng dẫn thầy, khoa Tốn trường ĐH Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh dạy dỗ trình học đại học, cao học Đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành đến người thầy- TS Nguyễn Văn Đơng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ nhiều q trình hồn thành luận văn Tôi cảm ơn bố mẹ người thân gia đình tạo điều kiện , động viên khuyến khích, giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin cám ơn số bạn bè giúp tơi suốt khóa học LỜI NĨI ĐẦU Việc nghiên cứu địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động phát triển mạnh vào cuối kỷ 19 Tuy nhiên, đến năm 1906 người ta biết đến dáng điệu tồn cục ánh xạ chỉnh hình lặp thơng qua kết Pierre Fatou Lĩnh vực này, mà ta gọi lý thuyết động lực phức, sau quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, J Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin… Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Nội dung luận văn tìm hiểu bước đầu lý thuyết động lực phức mặt Riemann, vài áp dụng vào lý thuyết điểm bất động địa phương số mối liên hệ với lý thuyết vị phức Luận văn gồm chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị mặt Riemann lý thuyết vị phức Chương trình bày số vấn đề lý thuyết động lực phức mặt Riemann Chương trình bày dạng biểu diễn địa phương hàm hữu tỷ f có điểm bất động hút đẩy Chương trình bày việc sử dụng lý thuyết vị phức phẳng nghiên cứu động lực hàm đa thức mặt cầu Riemann MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T LỜI NÓI ĐẦU T T MỤC LỤC T T CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Mặt Riemann T T 1.2 Kiến thức chuẩn bị vị phức 10 T T 1.2.1.Về hàm điều hòa 10 T T 1.2.2 Về hàm điều hòa 11 T T 1.2.3 Về vị - tập cực - độ đo cân - tập mỏng 11 T T 1.2.4 Độ đo điều hòa - Hàm Green 13 T T 1.2.5 Dung lượng 15 T T CHƯƠNG 2: ĐỘNG LỰC PHỨC 18 T T 2.1 Một số kết tổng quát động lực phức mặt Riemann 18 T T 2.2 Động lực phức mặt cầu Riemann .23 T T 2.3 Một số kết động lực phức mặt Riemann khác .33 T T CHƯƠNG 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG HÚT VÀ ĐẨY 35 T T CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA ĐA THỨC VÀ THẾ VỊ PHỨC 43 T T KẾT LUẬN 55 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 T T CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mặt Riemann Các phát biểu chứng minh mục xem [ 3] [4 ] Định nghĩa 1.1.1 Cho m ∈  k ∈  ∪ {∞} Ta ký hiệu lớp hàm khả vi k lần với đạo hàm liên tục C k Một đa tạp khả vi m chiều thực thuộc lớp C k không gian tôpô X Hausdorff, khả ly, nghĩa có sở đếm được, trang bị atlas lớp C k với giá trị  m Một atlas lớp C k m chiều X họ A = {(U α ,ϕα )}α∈A thỏa mãn: i U α tập mở khác rỗng X với α ∈ A ii ϕα :U α → Vα đồng phôi từ U α lên tập mở Vα  m với α ∈ A iii  α∈AU α = X iv φβα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) vi phôi lớp C k với α , β ∈ A + (U α ,ϕα ) gọi đồ địa phương + U α gọi miền tọa độ hay miền xác định đồ địa phương + Các thành phần ϕα ( x ) = ( x1α , x2α , , xnα ) gọi hệ tọa độ địa phương U α xác định ϕα + φαβ = ϕα  ϕ β−1 gọi phép biến đổi tọa độ Ta có mối liên hệ xα = φαβ ( x β ) Nếu k = ∞ ta nói X đa tạp trơn m chiều Nếu Ω tập mở X s ∈  ∪ {∞} , ≤ s ≤ k ta ký hiệu C s (Ω,  ) tập hợp hàm thuộc lớp C s Ω , nghĩa f  ϕα−1 thuộc lớp C s ϕα (U α  Ω ) Nếu Ω không tập mở X C s (Ω,  ) tập hợp hàm có mở rộng thuộc lớp C s lân cận Ω , Định nghĩa 1.1.2 Một đa tạp giải tích (phức) có chiều phức n đa tạp khả vi trang bị atlas chỉnh hình (U α ,ϕα ) với giá trị  n Điều có nghĩa φαβ ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.1.3 Cho ( X , Φ ) ( Ω, Ψ ) đa tạp giải tích f : X → Ω ánh xạ liên tục Cho a ∈ X b = f (a) Hàm f gọi chỉnh hình (giải tích) a với đồ ( Λ,ψ ) Ψ chứa b có đồ (U , ϕ ) Φ chứa a cho i) f (U ) ⊂ Λ ii) ψ  f  ϕ −1 chỉnh hình ϕ (U ) ⊂  Hàm f gọi chỉnh hình X chỉnh hình điểm thuộc X Cho ( X , Φ ) , (Y , Ψ ), ( Z , Σ ) đa tạp phức f : X → Y , g : Y → Z hàm chỉnh hình g  f : X → Z hàm chỉnh hình Những kết hàm chỉnh hình miền mặt phẳng khái quát hóa lên cho trường hợp đa tạp phức bổ đề Schwarz, nguyên lý mô-đun cực đại, định lý Liouville, định lý ánh xạ mở, đặc biệt luận văn ta sử dụng kết sau Định lý 1.1.4 (Định lý Weierstrass): Nếu dãy hàm chỉnh hình hội tụ đạo hàm chúng hội tụ đều, hàm giới hạn hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.5 Mặt Riemann đa tạp phức liên thông có số chiều phức Định nghĩa 1.1.6 Hai mặt Riemann S S’ gọi tương đương bảo giác có đồng phơi từ S vào S’chỉnh hình đồng thời ánh xạ ngược chỉnh hình Poincaré Koebe có mặt Riemann đơn liên sai khác đẳng cấu Định lý 1.1.7 Bất kỳ mặt Riemann đơn liên đẳng cấu bảo giác với (a) mặt phẳng phức  bao gồm tất số phức z= x + iy (b) đĩa tròn đơn vị D ⊂  bao gồm tất số phức z cho | z |2 = x + y < (c) mặt cầu Reimann  ∞ bao gồm  điểm vô cực ∞ Xem xét nhóm tự đồng cấu mặt Riemann đơn liên ta có số kết sau Định lý 1.1.8 Nửa mặt phẳng H = {w ∈  : w = u + iv, v > 0} đẳng cấu bảo giác với đĩa D qua ánh xạ chỉnh hình z = i (1 − z ) i−w với ánh xạ ngược w = 1+ z i+w Định lý 1.1.9 Họ G(H) bao gồm tự đồng cấu bảo giác nửa mặt phẳng H đồng với họ phép biến đổi tuyến tính w → thực thỏa ad − bc > Nhóm tự đồng cấu bảo giác H phân thành nhóm aw + b với hệ số cw + d Một tự đồng cấu bảo giác g ∈ G ( H ) gọi elliptic có điểm bất động w0 ∈ H Ta mơ tả g phép quay quanh w0 Một tự đồng cấu bảo giác g ∈ G ( H ) gọi hyperbolic có hai điểm bất động thuộc δ H Chẳng hạn, g có hai điểm bất động 0, ∞ có dạng g ( w) = λ w với λ > Một tự đồng cấu bảo giác g ∈ G ( H ) gọi parabolic có điểm bất động kép thuộc δ H=  ∪ ∞ Chẳng hạn, g có điểm bất động ∞ g phép tịnh tiến g ( w)= w + c với c ∈  Định lý 1.1.10 Mọi tự đồng cấu bảo giác g ∈ G ( ∞ )  ∞ biểu diễn phép biến đổi phân tuyến tính g ( z) = az + b cz + d với hệ số phức thỏa ad − bc > Mọi tự đồng cấu không đồng  ∞ có hai điểm bất động điểm bất động kép  ∞ Luu ý Nhóm G ( ) tự đồng cấu bảo giác từ mặt phẳng phức đồng với nhóm G ( ∞ ) bao gồm tự đồng cấu nhận ∞ điểm bất động tự đồng cấu bảo giác  thác triển thành tự đồng cấu bảo giác  ∞ Tiếp theo ta trình bày khái niệm khơng gian phủ phổ dụng Định nghĩa 1.1.11 Cho X không gian tô-pô Không gian phủ X không gian T với toàn ánh liên tục p :T → X cho với x ∈ X có lân cận mở U x cho p −1 (U ) hợp tập mở phân biệt T, mà tập mở ánh xạ đồng phôi vào U p Ánh xạ p gọi ánh xạ phủ, không gian X gọi khơng gian sở T gọi tồn thể phủ Với x không gian sở tạo ảnh x T không gian rời rạc gọi thớ x Ví dụ :+ Xét đường trịn đơn vị S1 in  Khi ánh xạ p :  → S1 với P T P T T T T T T T P T P T p(t) = (cos(t),sin(t)) phủ với điểm S1 phủ vô hạn lần P T P T + Xét mặt phẳng phức bỏ điểm gốc, ký hiệu  * = \ {0} n số nguyên khác n Khi q n :  * → * xác định q n (z) = z phủ Ở thớ gồm n phần tử T T R R T T P P Một không gian phủ gọi không gian phủ phổ dụng đơn liên Nếu S mặt Riemann tùy ý ta định nghĩa phủ phổ dụng S S mặt Riemann đơn liên, với ánh xạ chiếu tắc p : S → S ánh xạ chỉnh hình T T1 T T Theo định lý đơn trị phủ phổ dụng S phải đẳng cấu bảo giác với kiểu mặt Riemann Định lý 1.1.12 Mỗi mặt Riemann S đẳng cấu bảo giác với thương có dạng S / Γ , S mặt đơn liên đẳng cấu với D,  ,  ∞ Ở Γ nhóm rời rạc tự đẳng cấu bảo giác S , cho phần tử khác ánh xạ đồng Γ tác động lên S ngoại trừ điểm bất động Các phần tử nhóm rời rạc Γ ⊂ G ( S ) gọi phép biến đổi deck Nó mơ tả ánh xạ γ : S → S thỏa mãn γ = p  γ , nghĩa sơ đồ sau giao hoán S p↓ S γ → S ↓p =  → S Ngược lại, nều cho nhóm Γ tự đẳng cấu bảo giác mặt đơn liên  S , cho nhóm rời rạc G ( S ) cho phần tử khác ánh xạ đồng Γ tác động lên S ngoại trừ điểm bất động Γ nhóm phép biến đổi deck phủ phổ dụng S → S / Γ Ta phân trường hợp S sau Trường hợp mặt cầu: Theo định lý 1.1.10 tự đẳng cấu bảo giác mặt cầu Riemann  ∞ có điểm bất động Do S ≅  ∞ / Γ với phủ phổ dụng U U  ) phải nhóm tầm thường, S đẳng cấu đến  S ≅  ∞ nhóm Γ ⊂ G (C ∞ Trường hợp Euclide: Nhóm G ( ) tự đẳng cấu bảo giác mặt phẳng phức bao gồm phép biến đổi affin z  λ z + c với λ ≠ Mỗi phép biến đổi affin với λ ≠ có điểm bất động Vì S ≅  / Γ mặt với phủ phổ dụng S ≅  ,thì Γ phải nhóm rời rạc phép biến đổi z  z + c mặt phẳng phức  Từ ta có trường hợp nhỏ sau: Nếu Γ nhóm tầm thường, S đẳng cấu với  Nếu Γ có phần tử sinh S đẳng cấu với mặt trụ  / , mà đẳng cấu mặt phẳng thủng  \ {0} qua ánh xạ mũ Nếu Γ có hai phần tử sinh mơ tả lưới (lattice) hai chiều Λ ⊂  , nghĩa nhóm cộng sinh hai số phức độc lập tuyến tính  Thương = T  / Λ gọi mặt xuyến Chúng ta gọi chung ba loại mặt mặt Euclide Trường hợp hyperbolic Trong tất trường hợp khác, phủ phổ dụng S phải đẳng cấu bảo giác vào đĩa đơn vị Các mặt Riemann gọi mặt hyperbolic Ví dụ : Nếu a1 , a2 , a3 điểm phân biệt của=  ∞ , ∑  \{0;1} , ∞ \ {a1 ; a2 ; a3 } ≅ gọi mặt cầu thủng điểm, mặt hyperbolic Ta có kết sau U U U U Định lý 1.1.13 (Định lí Picard): Bất kì ánh xạ chỉnh hình từ  vào  ∞ khơng nhận giá trị khác biệt phải hàm Tổng quát hơn, có ánh xạ chỉnh hình khơng ánh xạ từ mặt Riemann S đến mặt cầu thủng điểm ∑ S phải mặt hyperbolic Định nghĩa 1.1.14 Một dãy ánh xạ f n : S →  ∞ mặt Riemann S gọi hội tụ địa phương (hay hội tụ tập compact) giới hạn g : S →  ∞ với tập compact K ⊂ S dãy { f n K } hội tụ g K Ở mê-tric  ∞ hiểu mê-tric cầu Định nghĩa 1.1.15 : Cho S S’ hai mặt Riemann, với S’ compact Một họ F ánh xạ chỉnh hình fα : S → S ' gọi chuẩn tắc dãy vô hạn ánh xạ F chứa dãy hội tụ địa phương giới hạn Định lý 1.1.16 (định lý Montel) Cho S mặt Riemann, mà ta giả sử mặt hyperbolic Nếu họ F ánh xạ chỉnh hình từ S vào mặt cầu Riemann  ∞ nhận giá trị tập mở hyperbolic U ⊂  ∞ đó, tương đương có điểm phân biệt  ∞ khơng giá trị, F họ chuẩn tắc Cụ thể ta có kết Hệ 1.1.17 Cho  họ hàm chỉnh hình miền D ⊂  ∞ Giả sử tồn số M > cho f ( z ) ≤ M , ∀z ∈ D, ∀f ∈  Khi  chuẩn tắc D Hệ 1.1.18 Cho  họ hàm chỉnh hình miền D ⊂  ∞ Giả sử tồn ba điểm phân biệt a, b, c ∈  ∞ cho f ( z ) ∈/ {a, b, c}, ∀z ∈ D, ∀f ∈  Khi  chuẩn tắc D 1.2 Kiến thức chuẩn bị vị phức Trong phần ta trình bày số kiến thức liên quan đến vị phức sử dụng chương Các phát biểu chứng minh mục xem [ 5] 1.2.1.Về hàm điều hòa Định nghĩa 1.2.1 Cho U tập mở  Hàm f : U →  gọi hàm điều hòa f ∈ C (U ) ∆= f ∂2 f ∂2 f + = U ∂x ∂y F ( Z ) = log f (e Z ) mà xác định sai khác số hạng k 2π i Với cách chọn nâng F này, ta kiểm tra F ( Z=) nZ + O(e− Re( Z ) ) với Re(Z) đủ lớn Thật ta cần điều kiện yếu (3.3) | F ( Z ) − nZ |< với Re(Z) đủ lớn Ta chọn σ > đủ lớn cho bất đẳng thức (3.3) thỏa mãn với Z nửa mặt phẳng Re( Z ) > σ , với ý F ánh xạ từ nửa mặt phằng vào Nếu Z → Z1 → quỹ đạo tùy ý F nửa mặt phẳng này, ta có | Z k +1 − nZ k |< Đặt Wk = Z k / n k , suy | Wk +1 − Wk |< 1/ n k +1 Do dãy hàm chỉnh hình Wk = Wk ( Z ) hội tụ k → ∞ tới hàm chỉnh hình Φ(Z ) = lim Wk ( Z ) Rõ ràng , ánh xạ Φ thỏa mãn tính chất k →∞ Φ ( F ( Z )) = nΦ ( Z ) Chú ý Φ( Z + 2π i) = ( z ) exp(Φ (log z )) xác định Φ ( Z ) + 2π i Do ánh xạ φ = gần vơ cùng, thỏa mãn tính chất φ ( f ( z )) = φ ( z )n Tính nhất: Để chứng minh tính nhất, ta xét ánh xạ w  η ( w) gần vơ U U thỏa tính chất η ( wn ) = η ( w)n Đặt η ( w) = c1w + c0 + c−1w−1 + Khi theo cơng thức ta có : c1wn + c0 + c−1w− n + = (c1w + c0 + ) n= c1n wn + nc1n −1c0 wn −1 + Vì c1 ≠ , c1 phải bậc n-1 phần tử đơn vị, co = tiếp tục ta chứng minh tất hệ số lại Vậy ta chứng minh tính φ  CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA ĐA THỨC VÀ THẾ VỊ PHỨC Trong chương ta sử dụng lý thuyết vị phức phẳng nghiên cứu động d lực hàm q( z ) đa thức bậc d : q( z ) = ∑ j =0 a j z j Cụ thể ta xét q  n = q  q  q n → ∞ Nếu d = d = người ta viết rõ cơng thức q  n Vì ta xét trường hợp d ≥ Ta xét đáy hút q tập hợp Ω∞= {z ∈  ∞ : q  n ( z ) → ∞ n → ∞} Với d ≥ , | z | đủ lớn | q( z ) |≥ | z | Do Ω∞ chứa lân cận mở liên thông U chứa ∞ cho U ⊂ q −1 (U ) Vì Ω∞ = n q −n (U ) nên thân Ω∞ tập mở liên thông q  n → ∞ hội tụ địa phương Ω∞ Tập Ω∞ bất biến hoàn toàn nghĩa q −1 (Ω∞ ) = Ω∞ Tập Julia q J = ∂Ω∞ Do tập Julia q tập compact  , J xác định bất biến hoàn toàn, nghĩa q −1 ( J ) = J Điều tập Julia đóng vai trọng trong động lực q Ta nhắc lại hai ví dụ đơn giản trình bày chương Nếu q ( z ) = z q  n ( z ) = z Vì Ω = {z :| z |> 1} = J {= z :| z | 1} ∞ n Nếu q( z=) z − q  n ( w + 1/ w) =w2 + 1/ w2 Khi Ω∞ = C∞ \[-2;2] J = [−2, 2] Mở đầu chương phần tính tính dung lượng, đường kính tập Julia (định lý 4.1, hệ 4.2) Sử dụng tính chất hàm Green ta chứng minh được: Đáy hút Ω∞ miền quy tốn Dirichlet, tập Julia J khơng mỏng điểm (hệ 4.5) Tính chất bất biến độ đo điều hòa ωΩ ∂Ω∞ = J (định lý 4.6) sử dụng để xét tính ergodic hàm q tập Julia (hệ 4.7) Sử dụng tính hội tụ yếu dãy độ đo xác suất Borel Julia J (định lý 4.8) hệ 4.9 mô tả tập Julia hợp ảnh phép lặp (lùi) đa thức q Phần cuối chương dành cho việc tính chiều Haussdorff tập Julia J λ họ đa thức (qλ )λ∈D , D miền phẳng (hệ 4.13, hệ 4.14, định lý 4.15) n n ∞ Một kết tập Julia luôn tập cực, ta có Định lý 4.1: Nếu q( z ) = ∑ j =0 a j z j đa thức bậc d ≥ tập Julia q có d dung lượng c( J ) = | ad |1/( d −1) Trước chứng minh định lý, ta nhắc lại khái niệm liên hợp đa thức Cho m( z=) α z + β đa thức bậc 1, liên hợp q q = m  q  m −1 n Khi q đa thức bậc d q = m  q  n  m −1 với n Vì động lực q giống động lực q Đặc biệt đáy hút ∞ tập Julia q  ∞ = m(Ω ) J = m( J ) cách tương ứng Lợi ích việc dùng xác định Ω ∞ liên hợp q cách biểu diễn q q phân tích đơn giản q cách chọn α , β cách thích hợp Ví dụ ta chọn α = (đa thức có hệ số đầu 1) lấy β = 1/( d −1) d a q đa thức nguyên ad −1 , ta có đảm bảo q ( z=) z d + O( z d −2 ) d z → ∞ Chứng minh Đầu tiên ta giả sử q đa thức nguyên Đặt U= {z ∈  ∞ :| z |> R} , R chọn đủ lớn cho | q ( z ) |≥ | z | ( z ∈ U ) Với n ≥ , ta xây dựng K n =  ∞ \q −n ( K n −1 ) với n Áp dụng định lý 1.2.39, ta có U U c( K n )= c( K n −1 )1/ d= = c( K )1/ d n Vì U ⊂ q −1 (U ) , nên K n ↓ K , K =  ∞ \ n q − n (U ) Áp dụng định lý 1.2.36, suy = c( K ) lim = c( K n ) lim c= ( K )1/ d n n →∞ Vì  n →∞ q (U ) = Ω∞ nên ∂K = ∂Ω∞ = J Áp dụng định lý 1.2.35 (d) suy c( J ) = −n n Bây xét trường hợp q tổng quát Đặt m( z ) = ad 1/( d −1) z , q = m  q  m −1 đa thức nguyên Chứng minh tương tự cho trường hợp q đa thức nguyên ta suy c( J ) = Vì J = m( J ) nên c( J ) = 1/ | ad |1/( d −1)  Kết hợp định lý 4.1 định lý 1.2.41 1.2.40 (a) ta suy hệ Hệ 4.2 : Với q, J định lý 4.1 , đường kính J thỏa mãn diam( J ) ≥ Hơn J tập liên thơng diam( J ) ≤ | ad | ( d −1) | ad | ( d −1) Các ví dụ q( z ) = z q( z=) z − bất đẳng thức tốt Vì Ω∞ tập khơng tập cực nên có hàm Green (định lý 1.2.32) Ta tính chất bất biến hàm Định lý 4.3 Cho q( z ) = ∑ j =0 a j z j đa thức bậc d ≥ Ω∞ đáy hút d ∞ hàm q(z) Khi g Ω∞ (q (= z ), ∞) d g Ω∞ ( z , ∞) với z ∈ Ω∞ Chứng minh : Đặt D = Ω∞ \{∞} xác định hàm h : D →  sau = h( z ) g Ω (q ( z ), ∞) − dg Ω ( z , ∞) với z ∈ D Suy h hàm điều hịa D Ngồi ra, h= ( z ) log | q ( z ) | −d log | z | +O = (1) O(1) z → ∞ Vậy h bị chặn D Nếu gọi I tập hợp điểm biên không quy Ω∞ I  q −1 ( I )  {∞} tập cực ∂D , theo định lý 1.2.33 U U ∞ ∞ lim h( z ) = z →ς (ς ∈ ∂D \(I  q −1 ( I )  {∞})) Do theo nguyên lý cực đại mở rộng (định lý 1.2.12) h ≡ D Từ suy g Ω (q (= z ), ∞) d g Ω ( z , ∞) với z ∈ D  ∞ ∞ Ta suy hệ sau Hệ 4.4: Với q, Ω∞ định lý 4.3 g Ω∞ ( z , ∞) =lim d − n log | q  n ( z ) | với z ∈ Ω∞ n →∞ hội tụ tập compact Ω∞ Chứng minh Theo định nghĩa hàm Green g Ω ( z= , ∞) log | z | +O(1) z → ∞ Áp dụng định lý 4.3, với z ∈ Ω∞ U U ∞ = g Ω∞ ( z , ∞) d − n g Ω= (q  n ( z ), ∞) d − n log | q  n ( z ) | +O(d − n ) ∞ n → ∞ hội tụ tập compact Ω∞ q n → ∞ hội tụ địa phương chúng  Kết dạng tiệm cận q  n Ω∞ Thật vậy, q( z=) z d + O( z d −2 ) , − d g ( z ,∞ ) d g ( z ,∞ ) = + O (e | qn ( z ) | e ) n Ω∞ n Ω∞ Một ứng dụng khác định lý 4.3 ta chứng minh tập Julia khơng có điểm cô lập Ta xét hệ sau Hệ 4.5 Đáy hút Ω∞ miền quy tốn Dirichlet, tập Julia J khơng mỏng điểm Chứng minh Vì g Ω ( z, ∞) bị chặn gần ∂Ω∞ , ta xác định số C > cho tập U tập compact U ∞ { z ∈ Ω ∞ : g Ω ∞ ( z , ∞ ) ≥ C} Áp dụng định lý 4.3 tính bất biến hồn tồn Ω∞ , ta có −n = {z ∈ Ω∞ : g Ω∞ ( z , ∞) ≥ Cd } q −n ({z ∈ Ω∞ : g Ω∞ ( z , ∞) ≥ C}) tập compact Từ , ς ∈ ∂Ω∞ , lim g Ω ( z, ∞) =0 theo định lý 1.2.33 suy ς điểm z →ς ∞ quy Vậy Ω∞ miền quy tốn Dirichlet Áp dụng định lý 1.2.24, ta suy ra= K C∞ \ Ω∞ không mỏng điểm Ta chứng minh tập Julia J = ∂ ( K ) có tính chất phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại tồn ς ∈ J u hàm điều hòa lân cận ς cho lim sup u ( z ) < u (ς ) z →ς z∈J \{ς } Theo định lý 1.2.42, tồn dãy hình trịn ∂∆(ς , rn ) với zn → cho ∂∆(ς , rn )  J = ∅ với n Ngồi đường trịn phải cắt Ω∞ , khơng khơng liên thơng với Ω∞ Suy ∂∆(ς , rn ) ⊂ Ω∞ với n Vậy với z nằm K đủ gần ς theo nguyên lý cực đại ta có lim sup u ( z ) = lim sup u ( z ) z →ς z∈K \{ς } z →ς z∈J \{ς } Kết hợp với điều ta giả sử lim sup u ( z ) < u (ς ) , suy z →ς z∈J \{ς } lim sup u ( z ) < u (ς ) z →ς z∈K \{ς } Nếu K tập mỏng (trái với chứng minh K tập khơng mỏng) Từ ta chứng minh tập Julia J không mỏng điểm  Độ đo điều hịa ωΩ ∂Ω∞ = J có tính chất bất biến quan trọng Ta xét định lý sau ∞ Định lý 4.6 Cho q( z ) = ∑ j =0 a j z j đa thức bậc d ≥ Ω∞ đáy hút d ∞ J tập Julia tương ứng hàm q(z) Khi với tập Borel B J ωΩ (q ( z ), B) = ωΩ ( z , q −1 ( B)) , z ∈ Ω∞ ∞ ∞ Chứng minh Xét hàm liên tục φ : J →  cho ( H Ω φ )  q H Ω (φ  q) nghiệm toán Dirichlet Ω∞ với liệu biên φ  q Theo tính chúng Từ định nghĩa độ đo điều hòa, ta suy z ∈ Ω∞ ∫J φ (ς )dωΩ (q( z ), ς ) = ∫J φ (q(ς ))dωΩ ( z, ς ) , U U ∞ ∞ ∞ ∞ Phương trình ln xảy φ hàm liên tục Nó φ hàm Borel bị chặn Chọn φ hàm đồng B : φ = 1B ta kết định lý  Định lý sử dụng để xét tính ergodic hàm q tập Julia Ta xét hệ sau Hệ 4.7 Cho q( z ) = ∑ j =0 a j z j đa thức bậc d ≥ Ω∞ đáy hút d ∞ J tập Julia tương ứng hàm q(z), ω độ đo xác suất Borel cho ω= ( B ) ωΩ ( ∞ , B ) , ∞ B ∈ Β( J ) a) ω q – bất biến : nghĩa ω (q −1 ( B)) = ω ( B) , B ∈ Β( J ) b) ω q – ergodic : nghĩa q −1 ( B) = B ω ( B) = c) Nếu φ : J → R hàm Borel bị chặn n −1 φ (q  k (ς )) = ∫ φdω ∑ J n →∞ n k =0 lim Chứng minh: a) Áp dụng định lý 4.6 lấy z = ∞ b) Giả sử B tập Borel J cho q −1 ( B) = B Áp dụng định lý 4.6 lặp lại n lần ta có ωΩ ( z , B) = ωΩ ( z , q  n ( B)) , z ∈ Ω∞ Cho n → ∞ ωΩ ( z , B ) ≡ ω ( B ) , z ∈ Ω ∞ Lấy C tập compact B, đặt u ( z ) = ωΩ ( z , C ) , z ∈ Ω ∞ u hàm điều hòa Ω∞ u ≤ ω ( B) Ω∞ Áp dụng định lý 1.2.28 suy lim u ( z ) = , ς ∈ J \C ∞ ∞ ∞ ∞ z →ς Theo định lý hai số 1.2.29 u ( z ) ≤ ω ( B )ωΩ∞ ( z , C ) , Đặc biệt , cho z = ∞ , ta z ∈ Ω∞ ω (C ) ≤ ω ( B)ω (C ) Lấy sup tất tập compact C B ta ω ( B) ≤ ω ( B)2 Suy ω ( B) = c) Điều suy trực tiếp từ a), b) cách áp dụng định lý Ergodic (trang 65, định lý 1.14 của[ 6]  Định lý 4.8 Cho q( z ) = ∑ j =0 a j z j đa thức bậc d ≥ , J tập Julia d nó, w ∈ J Gọi ( µn )n≥1 dãy độ đo xác suất Borel J định nghĩa µn = dn ∑ q  n (ς j ) = w δς , j δ j khối lượng đơn vị ς tổng lấy theo tất d n nghiệm ς j w* phương trình q n (ς ) = w , đếm kể bội Khi µn  →ν n → ∞ , ν độ đo cân J Chứng minh Lấy liên hợp hàm q đa thức m( z ) = α z + β khơng ảnh hưởng đến tính đắn kết Do ta giả sử q đa thức nguyên Theo định lý 4.1 , suy = I (ν ) log = c( J ) Đầu tiên ta vị µn thỏa mãn lim sup pµ ≤ J U U n n →∞ Thật vậy, q đa thức nguyên nên q ( z) − = w n dn ∏ (z − ς j =1 j ) ς , , ς n nghiệm phương trình q  n (ς ) = w Do = pµ n ( z ) dn dn z −ς | ∑ log |= j j =1 log | q  n ( z ) − w | n d (z ∈ C) Suy lim sup pµ ≤ J z ∈ J | q  n ( z ) − w | bị chặn n → ∞ n →∞ n Tiếp theo ta ( µn ) dãy ( µn ) ν − gần khắp nơi J lim sup pµ = j nj j →∞ Theo định lý Frostman (1.2.16) pν ≥ I (ν ) = C, từ sử dụng bổ đề Fatou định lý Fubini, ta suy ∫ lim sup pµ J j →∞ nj dν ≥ lim sup ∫ pµn dν = lim sup ∫ pν d µn j ≥ j →∞ J j J j →∞ Kết hợp với điều chứng minh bước lim sup pµ ≤ J ta n →∞ lim sup pµn = j →∞ j n J Ta cần chứng minh suppν toàn miền J Ta lấy ς ∈ J Áp dụng định lý 1.2.24 hệ 4.5 suy pν (ς ) = Mặt khác theo định lý Frostman pν ≥ I (ν ) = C Suy pν đạt giá trị nhỏ ς Nếu trường hợp ς ∉ suppν , pν điều hòa gần ς Theo nguyên lý cực đại ta suy pν ≡ lân cận mở ς Mặt khác lân cận mở ς giao với Ω∞ pν > Do ς ∈ suppν Bây ta chứng minh định lý Giả sử ngược lại ( µn ) khơng hội tụ yếu ν Khi tồn dãy ( µn ) , hàm liên tục φ : J → R số ε > cho j ∫ φd µ J nj với j − ∫ φ dν ≥ ε J Sử dụng định lý hội tụ yếu , thay ( µn ) dãy nó, ta giả sử w* µn  → µ cho số độ đo xác suất µ J Thực cách chứng minh tương tự bổ đề 1.2.15, ta j j lim sup pµn ( z ) ≤ pµ ( z ) j →∞ z ∈ j Kết hợp với phần chứng minh lim sup pµ = (ν − gkn J) , suy j →∞ nj pµ ≥ , ν − hkn J Xét pµ hàm nửa liên tục suppν = J , suy pµ ≥ J Do lượng µ thỏa mãn = I (µ ) ∫ J ≥ I (v ) pµ d µ= Vì µ độ đo cân J Theo tính độ đo cân , ta suy µ = v Từ , điều mâu thuẫn với ∫ φd µ J nj − ∫ φ dν ≥ ε với J j Từ suy điều phải chứng minh  Hệ 4.9 Với q, J, w định lý 4.8 J =  q −n ({w}) n≥0 Chứng minh Do J đóng bất biến hồn tồn nên ta có U U q −∗n ({w}) ⊂ J Mặt n≥0 khác theo định lý 4.8 q − n n≥0 ({w}) ⊃ supp v = J Vậy J =  q −n ({w})  n≥0 Thay xét q đa thức riêng lẽ, ta xét họ đa thức (qλ )λ∈D , D miền phẳng Cho A tập  Cho α > Ta định nghĩa độ đo Haussdorff α chiều sau: mα ( A) lim(inf{∑ (diamAj )α : A ⊂  j Aj , diamAj < ε }) = ε →0 j inf lấy theo phũ mở đếm A tập Aj có đường kính <  Infimum ngày lớn  giảm Do giới hạn tồn vơ hạn Thực tồn số δ ∈ [0; 2] cho ∞ mα ( S ) =  0 α δ Ta gọi δ chiều Haussdorf A, kí hiệu dim(A) Một tập khơng rỗng  ln chiều 2, tập đếm được, hay tổng quát tập cực Borel có chiều Mặt khác tập Cantor có chiều hữu tỷ, dạng log2/log3 (xem [……]) Việc tính tốn chiều tập Julia phức tạp Garber chứng minh kết quả: Với đa thức q bậc d ≥ , dim( J ) ≥ Do chiều J số dương thực log d log(sup J | q ' |) Shishikura chứng minh rằng: Tồn đa thức bậc hai q có tập Julia có chiều Có trường hợp đưa cơng thức xác cho dim(J) q hyperbolic, nghĩa điểm tới hạn q lặp lại điểm qua q có khoảng cách dương đến tập Julia Điều tương đương với việc tồn số C > γ > cho inf ( q  n ) ' ≥ Cγ n (n ≥ 1) Trong trường hợp ta có cơng thức Bowen-Ruelle-Manning   eµ (q )  dim( J ) = sup  µ  log q ' d µ   ∫J  supremum lấy toàn độ đo xác suất Borel J eµ (q) entropy q µ Việc chứng minh công thức Bowen-Ruelle-Manning công thức tính dim(J) nói chung phức tạp Ta phát biểu không chứng minh kết sau Định lý 4.10 Cho (qλ )λ∈D họ đa thức chỉnh hình bậc lớn Giả sử qλ hyperbolic D liên thơng Khi chiều Haussdorff tập Julia J λ qλ tính = inf h(λ ) dim( J λ ) h∈H (λ ∈D ) H họ hàm điều hịa D thỏa mãn tính chất sau : (a) với h ∈ H h ≥ 1/ D; (b) với hàm h ∈ H , tồn số C ≥ cho:  log | qλ' |   log | qλ' |  C inf  ≤ h λ ≤ C ( ) sup    (λ ∈ D) (4.1) Jλ J λ  log d   log d  Hơn nữa, tồn h0 ∈ H cho : (c) h0 ≥ D, dấu “=” xảy λ khơng có hữu hạn điểm tới hạn qλ tiến tới ∞ (d) h0 thỏa (4.1) C=1 Hệ 4.11 Với giả thiết định lý 4.10 ta có: 1 − dim( J λ1 ) ≤ τ D (λ1 , λ2 ) 1 − dim( J λ2 ) (λ1 , λ2 ∈ D) τ D kí hiệu khoảng cách Harnack D Do hàm λ → dim( J λ ) hàm liên tục D Chứng minh Cho h ∈ H , hàm h − hàm điều hịa dương D Do theo U U định nghĩa khoảng cách Harnack ( định nghĩa 1.2.3) h(λ1 ) − 1 ≤ τ D (λ1 , λ2 )(h(λ2 ) − ) 2 ≤ τ (λ , λ ) D (h(λ2 ) − ) h(λ1 ) − Suy với (λ1 , λ2 ∈ D) Lấy infimum theo h ta có bất đẳng thức phải chứng minh Theo định lý 1.2.4 log τ D 1 − dim( J λ1 ) nửa metric liên tục D nên từ ≤ τ D (λ1 , λ2 ) , ta suy dim( J λ ) 1 − dim( J λ2 ) hàm liên tục  Hệ 4.12 Hàm λ → 1/ dim( J λ ) hàm điều hòa trên D., λ → dim( J λ ) hàm điều hòa D infimum hàm điều hịa nên thỏa dim( J λ ) tính chất điều hịa Mặt khác từ hệ 4.11 ta suy λ → dim( J λ ) Chứng minh: Vì U U hàm liên tục Do hàm điều hịa trên D Mặt khác, ta có dim( J λ= ) ψ (− ) , với ψ ( x) = −1/ x , hàm lồi giảm x < Vậy theo định dim( J λ ) lý 1.2.6, ta dim( J λ ) hàm điều hòa D  Ta đưa số áp dụng đơn giản định lý 4.10 Định lý 4.13: Xét qλ ( z=) z + λ z , tập J λ tập Julia tương ứng Khi (| λ | < 1) ≤ dim( J λ ) ≤ 1+ | λ | Chứng minh Nhận xét= qλ (0) 0;= qλ '(0) | λ | , | λ | < điểm bất động hút qλ Suy ∉ J λ hút điểm tới hạn qλ Do qλ có (hay hữu hạn) điểm tới hạn, điểm phải tiến 0, nên phải nằm tập Julia Vậy qλ hyperbolic với | λ | < Do ta áp dụng định lý 4.10 Đối với chặn nhận xét hàm h0 định lý 4.10 (c) thỏa mãn h0 ≡ , nên U U = inf h(λ ) ≤ h0 (λ )= dim( J λ ) h∈H Áp dụng hệ 4.11 với λ1 = λ2 = λ , ta (| λ | < 1) 1 − dim( J ) 1+ | λ | ≤ τ ∆ (0,1) (0, λ ) = 1 1− | λ | − dim( J λ ) Vì q0 ( z ) = z nên dim( J ) = , từ suy 1 1− | λ | 1 ≥ + = dim( J λ ) 1+ | λ | 1+ | λ | (| λ | < 1) Kết hợp bất đẳng thức ta điều phải chứng minh  Mỗi đa thức bậc hai liên hợp với đa thức dạng qc ( z= ) z + c c ∈ C Do xem c- mặt phẳng tham sốhóa lớp liên hợp đa thức bậc hai Động lực qc chịu ảnh hưởng tính chất xảy điểm tới hạn nó, 0, đặc biệt quan trọng nhựng điểm nằm đáy hút ∞ Ta định nghĩa M= {c ∈  : qc n (0) không tiến ∞} Tập hợp gọi tập Mandelbrot Trong [23] tập hợp chứng minh tập đơn lien, compact có dung lương Với nhận xét z + λ z liên hợp với z + c , đó= c λ / − λ / Do đa thức qλ ( z= ) z + λ z định lý 4.13 tương ứng với c- giá trị đường hình tim W= {λ / − λ / :| λ |< 1} Ta W tập phần M Do từ định lý 4.13 có hệ Hệ 4.14 Xét qc ( z=) z + c J c tập Julia tương ứng Khi R R ≤ dim( J c ) ≤ 1+ |1 − − 4c | c ∈ W  Định lý 4.15 Xét qc ( z=) z + c J c tập Julia tương ứng Khi R −1 R  g (c )   g (c )  + 1 ≤ dim( J c ) ≤  + − g ( c )/2   +1  log   log e = g (c ) g  ∞ \ M (c, ∞ ) −1 c ∈  \M Chứng minh (tóm tắt) Nếu c ∈  \M qc n (0) → ∞ n → ∞ Khi qc hyperbolic Ta khơng thể áp dụng định lý 4.10 lúc miền  \M không miền đơn liên Để áp dụng định lý 4.10, miền đơn liên cần thiết chứng minh định lý 4.10 Thật vậy, khơng có hàm chỉnh hình ψ  \M cho ψ (c) ∈ J c với c ∈ C \M Ta chứng minh điều sau Nếu | z |>| c |1/2 +1 | z | 1} Vì  ∞ \M miền đơn liên, nên tồn ánh xạ bảo giác f : D →  ∞ \M cho lim f (λ ) = ∞ Hơn M có dung lượng 1, ánh xạ f cho λ →∞ f (λ )= λ + O(1) λ → ∞ (4.3) Với λ ∈ D , ta định nghĩa q λ ( z= ) q f ( λ ) ( z= ) z + f (λ ) tập Julia tương ứng định nghĩa J λ = J f ( λ ) Với tham số hóa này, ta tìm hàm chỉnh hình ψ D cho ψ (λ ) điểm bất động đẩy q λ với λ ∈ D , với n ≥ , tìm hàm chỉnh hình phân biệt (ψ n, j )2j =1 D với q λ (ψ n, j (λ )) = ψ (λ ) (λ ∈ D) Tiến hành [43] ta xây dựng hàm chỉnh hình thỏa mãn điều kiện định lý 4.10, với qλ , J λ thay q λ , J λ Bây ta áp dụng định lý 4.10 để chứng minh phần lại định lý Để chứng minh chặn bất đẳng thức định lý, ta xét h0 ∈ H từ (c) (d) định lý 4.10 Từ (c), suy h0 ≥ D Từ (d), (4.2), (4.3) ta n n h0 (λ ) = log(2 | f (λ )1/2 |) log | λ | + o(1) = + + o(1) log log λ → ∞ Nếu ta đặt log | λ | (λ∈D ) log k0 hàm điều hòa D thỏa lim k0 (λ ) = lim inf k0 (λ ) ≥ với k= h0 (λ ) − (λ ) λ →ζ λ →∞ ζ ∈ ∂D \{∞} Áp dụng nguyên lý cực đại suy k0 ≡ D, từ log | λ | (λ∈D ) h0 (λ ) = +1 log Với c = f (λ ) , ta có log | f −1 (c) | g (c) (4.4) log | λ | = = 2 = g (c) g  \M (c, ∞) Suy 1 g (c ) ≤ ≤ h0 (λ ) = + ( c ∈  \M ) dim( J c ) dim( J c ) log ∞ −1 Suy  g (c )  + 1 ≤ dim( J c )   log  Ta chứng minh chặn bất đẳng thức Theo (a) (b) định lý 4.10 cho ta h ≥ 1/ D  log | λ |  h (λ ) C  = + 1 + o(1)  log  C số C ≥ Nếu ta đặt λ → ∞ k= (λ ) h (λ ) − C log | λ | log (λ ∈D ) k hàm điều hịa D với lim k (λ ) = C lim inf k (λ ) ≥ λ →ζ λ →∞ với ζ ∈ ∂D \{∞} Áp dụng bất đẳng thức Harnack cho hàm (k – 1/2), ta 1 | λ | −1 (λ∈D ) k (λ ) − ≥ (C − ) 2 | λ | +1 Do C ≥ nên suy h (λ ) ≥ log | λ | + log +1 |λ | (λ ∈D ) Với c = f (λ ) , áp dụng (4.4) lần nữa, ta g (c ) 1 = = inf h(λ ) ≥ + − g ( c )/2  ∈ h H dim( J c ) dim( J c ) log e +1  g (c )  Suy dim( J c ) ≤  + − g ( c )/2  +1   log e −1  KẾT LUẬN Một số vấn đề làm luận văn : + Tìm hiểu bước đầu lý thuyết động lực phức, lý thuyết vị + Nêu số tính chất áp dụng động lực phức vài trường hợp cụ thể Các hướng nghiên cứu thêm: + Mở rộng đa thức C∞ lên không gian phức mở rộng nhiều chiều + Mở rộng kết lên hàm tựa đa thức TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, “Hàm biến phức” , NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 A.F.Beardon, Iteration of rational functions - Complex analytic dynamical systems Springer-Verlag, Cambridge 1990 J.P.Demailly, Complex Analytic and differential Geometry, Université de Grenoble 1Institut Fourrier, UMR 5582 du CNRS J Milnor, Dynamics in one complex variable (Introductory Lectures), Institute for Mathematical Sciences, Suny, Stony Brook NY T Ransford, “Potential Theory in the Complex Plane”, Cambridge University Press, 1995 P Walters, An introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathematics 79, Springer-Verlag, Newyork, 1982 ... T CHƯƠNG 2: ĐỘNG LỰC PHỨC 18 T T 2.1 Một số kết tổng quát động lực phức mặt Riemann 18 T T 2.2 Động lực phức mặt cầu Riemann .23 T T 2.3 Một số kết động lực phức mặt Riemann... quỹ đạo f Động lực phức nghiên cứu hệ động lực xác định hợp thành lặp lại hàm số không gian số phức Động lực phức chỉnh hình (giải tích) nghiên cứu động lực hàm chỉnh hình Trong động lực phức, tập... Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Nội dung luận văn tìm hiểu bước đầu lý thuyết động lực phức mặt Riemann, vài áp dụng vào lý thuyết