Nội dung chính của chương chỉ ra rằng nếu một hàm hữu tỷ f có điểm bất động là hút hoặc đẩy thì về địa phương hàm f có thể quy về dạng đơn giản hơn bằng cách thực hiện phép biến đổi tọa độ thích hợp.
Phần đầu của chương xét hàm đa thức f xác định và chỉnh hình trong trong lân cận của gốc tọa độ, với điểm bất động có số nhân λ ≠0 tại z=0. Định lý Koenigs (định lý 3.1) chứng minh rằng về địa phương hàm f có thể được biểu diễn dưới dạng một ánh xạ tuyến tính
Hệ quả 3.2 của định lý Koenigs chỉ ra rằng nếu f là một ánh xạ chỉnh hình trên mặt Riemann vào chính nó với điểm bất động hút z và hệ quả 3.3 phát biểu cho trường hợp f là một ánh xạ chỉnh hình trên mặt Riemann vào chính nó với điểm bất động đẩy z.
Định lý 3.4 chỉ ra rằng nếu f :∞ →∞là hàm hữu tỷ bậc ≥2 với điểm bất động hút z thì đáy trực tiếp của z chứa ít nhất một điểm tới hạn. Định lý còn chỉ ra rằng nếu điểm bất động z là hút mà không là siêu hút thì tồn tại duy nhất một lân cận compact U của z trong đáy trực tiếp Ω0 sao cho U được biến đổi song ánh lên đĩa Dr tâm 0 trong và có ít nhất một điểm tới hạn thuộc biên U
Định lý 3.5 chỉ ra rằng nếu f là hàm đa thức có điểm bất động siêu hút (λ =0) thì về địa phương f có thể biểu diễn như một ánh xạ lũy thừa bậc n: n
ww
Định lý 3.1. (Định lý tuyến tính hóa Koenigs) Xét hàm số
2 3
2 3
( ) ....